Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
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exponentielle, fonction exponentielle, exercices
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
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\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\epsi{\varepsilon}
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\def\lbd{\lambda}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonction exponentielle - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\bgex
Soit $n$ un nombre entier relatif.
Simplifier les écritures suivantes:
\vspd
a)\ $2^{2n}\tm 2$
\hspace{0.5cm}
b)\ $\dsp \frac{2^{3n+1}}{2^{2n+1}}$
\hspace{0.5cm}
c)\ $\dsp \lp2^{n+1}\rp^3\tm 2^{-1}$
\hspace{0.5cm}
d)\ $\dsp \frac{4^{n+2}}{2^{2n}}\tm\frac{1}{8}$
\hspace{0.5cm}
e)\ $\dsp \frac{2^{n+3}}{4^{-n}}\tm 2^{-n}$
\enex
\bgex
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ telle que
pour tout $x$ réel, $f'(x)=0$.
Que peut-on dire de $f$ ?
\vsp
On suppose de plus que $f(0)=2$. Que peut-on alors dire de $f$ ?
\enex
\bgex
Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentative de
la fonction exponentielle aux points d'abscisse $0$; $1$ et $2$.
\enex
\bgex
Simplifier les expressions:
a)\ \ $\dsp (e^x)^5e^{-2x}$
\hspace{0.6cm}
b)\ \ $\dsp \frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}$
\hspace{0.6cm}
c)\ \ $\dsp \frac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}$
\enex
\bgex
Démontrer que pour tout réel $x$,
a)\ \ $\dsp\frac{e^{2x}-1}{e^x+1}=e^x\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-x}}$.
\quad
b)\ \ $(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2=4$.
\vspd
c)\ \ $\dsp \frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
\hspace{1cm}
d)\ \ $\dsp e^{-x}-e^{-2x}=\frac{e^x-1}{e^{2x}}$
\enex
\bgex
Résoudre les équations et inéquations:
\noindent
$\bullet$\ $\dsp(E_1) : e^x=1$
\hspace{0.3cm}
$\bullet$\ $\dsp(E_2) : e^{2x}=e$
\hspace{0.3cm}
$\bullet$\ $\dsp(E_3) : e^{x}=e^{-x}$
\hspace{0.3cm}
$\bullet$\ $\dsp(E_4) : e^{x^2}=(e^{-x})^2e^3$
\hspace{0.3cm}
$\bullet$\ $\dsp(E_5) : e^{2x+1}=e^{\frac{6}{x}}$
\vspd\noindent
$\bullet$\ $\dsp(I_1) : e^x>e$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp(I_2) : e^{2x}\leq 1$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp(I_3) : (e^x)^3\leq \frac{1}{e}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp(I_4) : e^x-\frac{1}{e^x}>0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp(I_5) : e^{x^2}\geq e^{-x-1}$
\enex
\bgex
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction
exponentielle dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$.
\bgen
\item Soit $a$ un réel. Déterminer l'équation de la tangente $T_a$ à
la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$.
\item Etudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ par
rapport à la droite $T$
{\it (Indication: on pourra étudier les variations de la fonction
$\vphi$ définie par $\vphi(x)=e^x-y$, où $y$ désigne l'équation de la
tangente $T_a$)}.
\enen
\enex
\bgex
\'Etudier le sens de variation des fonctions suivantes: \\[.4em]
1) $f(x)=\dfrac{e^x}x$ \quad
2) $f(x)=e^{2x}-2x$ \quad
3) $f(x)=e^{x^2}-x^2$ \quad
4) $f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}2$ \quad
5) $f(x)=(2x+3)e^{-2x}$
\enex
\bgex
Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ des fonctions
suivantes:
\vspd
a)\ $f(x)=e^{-3x}$
\hspace{1cm}
b)\ $g(x)=e^{x}+e^{-x}$
\hspace{1cm}
c)\ $h(x)=x+e^x$
\hspace{0.5cm}
d)\ $k(x)=e^{2x}+e^x+1$
\vspd
e)\ $\dsp l(x)=e^{3x}-e^{x}$
\hspace{0.5cm}
f)\ $\dsp m(x)=\frac{e^x+1}{e^x+2}$
\hspace{1.2cm}
g)\ $\dsp n(x)=\dfrac{-2e^x}{1+e^x}$
\enex
\bgex Déterminer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes:
\vspd%\noindent
a) $f(x)=x^2+2-e^x$\hspace{1.6cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{2e^x-x}{x^2}$\hspace{1.2cm}
c) $\dsp h(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$%\hspace{1cm}
\vsp%\noindent
d) $l(x)=e^{2x}-(x+1)e^x$\hspace{1cm}
e) $\dsp k(x)=\frac{\sqrt{e^x+2}}{x}$ \hspace{1cm}
f) $\dsp t(x)=\frac{e^{2x}+x^2}{x^2+x-3}$
\enex
\bgex A l'aide d'un changement de variable, étudier la limite en
$+\infty$ des fonctions:
a) $\dsp f(x)=\frac{e^{2x+1}}{x}$\hspace{1cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{2e^{x^2-1}}{x^2}$\hspace{1cm}
c) $\dsp f(x)=x^3e^{-\sqrt{x}}$.
\enex
\bgex
Etudier sur $\R$ les fonctions suivantes (sens de variations et limites):
\vspd
a)\ $f(x)=e^{-x}$
\qquad
b)\ $g(x)=e^x+e^{-x}$
\qquad
c)\ $h(x)=x+e^x$
\qquad
d)\ $k(x)=e^{3x}-3e^x$
\vspd
e)\ $l(x)=e^{-x^2}$
\qquad
f)\ $m(x)=(0,4x-2)e^{-0.1x}$
\qquad
g)\ $n(x)=(x+1)^2e^{-x}$
\enex
\bgex
$f$ et $g$ sont les fonctions définies sur $\R$ par:
$f(x)=-x^2e^x$ et $g(x)=\lp x^2-x-1\rp e^x$.
\bgen
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des courbes
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ représentatives des fonctions $f$
et $g$.
\item Déterminer la position relative de $\mathcal{C}_f$ et
$\mathcal{C}_g$.
\item Déterminer les limites de $f$ et $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Dresser les tableaux de variations de $f$ et $g$.
\enen
\enex
\bgex
Un capteur solaire récupère de la chaleur par le biais d'un fluide.
On s'inétéresse à l'évolution de la température du fluide dans un
capeteur de 1m de longueur.
Cette température est modélisée par:
$T(x)=170-150e^{-0,6x}$,
où $x\in[0;1]$ est la distance, en mètres, parcourue par le fluide
depuis son entré dans le capteur, et $T(x)$ est la température en
$^\circ$C.
\bgen
\item Déterminer la température à l'entrée du capteur.
\item
\bgen
\item Etudier les variations de la température $T$ sur $[0;1]$.
\item En déduire la température maximale, au degré près, atteinte
par le fluide.
\item Tracer dans un repère la courbe représentant la température
$T$.
\enen
\enen
\enex
\bgex {\em (Extrait Bac)}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par:
$f(x)=(x-1)\lp 2-e^{-x}\rp$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormé d'unité graphique 2 cm et $\Delta$ la droite d'équation
$y=2x-2$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Etudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\Delta$.
\enen
\item
\bgen
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$,
$f'(x)=xe^{-x}+2\lp1-e^{-x}\rp$.
\item En déduire que, pour tout réel $x$ positif,
$f'(x)\geqslant 0$.
\item Préciser la valeur $f(0)$, puis établir le tableau de
variation de $f$.
\enen
\item Avec le plus grand soin, tracer $\mathcal{C}$ et $\Delta$ dans
le même repère.
\item Déterminer le point de $A$ de $\mathcal{C}$ où la tangente à
$\mathcal{C}$ est parallèle à $\Delta$.
Tracer cette tangente dans le repère précédent.
\enen
\enex
%\bgex
%Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0;\pi]$ par les
%expressions:
%\[ f(x)=e^{-x} \sin(x) \ \ \mbox{ et, } \ \
%g(x)=e^x
%\]
%
%\bgit
%\item[a)] Montrer que les courbes $\Cf$ et $\mathcal{C}_g$
% représentatives des fonctions $f$ et $g$ admettent un point commun
% $A$.
%\item[b)] Démontrer que les courbes admettent en $A$ une tangente
% commune.
%\enit
%\enex
\bgex
Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $\R$ qui vérifient les
propriétés suivantes:
(1) Pour tout réel $x$, $\lb f(x)\rb^2-\lb g(x)\rb^2=1$\vsp
(2) Pour tout réel $x$, $f(x)=g'(x)$\vsp
(3) $f(0)=1$.
\vspd
\vspd
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)\not=0$.
\vsp
\item[b)] Calculer $g(0)$.
\enit
\vspd
\item[2.] En dérivant la relation (1),
montrer que $g(x)=f'(x)$.
\vspd
\item[3.] On pose $u=f+g$ et $v=f-g$. \vsp
\bgit
\item[a)] Calculer $u(0)$ et $v(0)$.
\vsp
\item[b)] Démontrer que $u'=u$ et que $v'=-v$.
\vsp
\item[c)] On déduit de ce qui précède que
$u(x)=Ae^x$ et $v(x)=Be^{-x}$,
$A$ et $B$ étant deux réels.
En déduire alors $f$ et $g$.
\enit
\enit
\enex
%\bgex {\it (d'après Bac 2005)}
%
%On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction $f$
%dérivable sur $\R$ vérifiant la condition:
%\[ (C) \la\bgar{ll}
%f(-x)f'(x)=1\ \mbox{pour tout réel } x, \vspd\\
%f(0)=4
%\enar\right.
%\]
%
%\bgit
%\item[1.] On suppose qu'il existe une fonction $f$ satisfaisant la
% condition $(C)$, et on considère la fonction $g$ définie par
% $g(x)=f(-x)f(x)$.
% \vspd
% \bgit
% \item[a)] Démontrer que la fonction $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
% \item[b)] Calculer la dérivée de la fonction $g$.
% \item[c)] En déduire que la fonction $g$ est constante et déterminer
% sa valeur.
% \item[d)] Montrer que la fonction $f$ vérifie:
% \[ f'=\frac{1}{16}f \ \ \mbox{ et, } \ f(0)=-4
% \]
% \enit
% \vspd
%\item[2.] Démontrer qu'il existe une seule fonction dérivable
% sur $\R$ satisfaisant la condition $(C)$ et préciser cette
% fonction.
%\enit
%\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$f(x)=x+1-\dfrac{2e^x}{e^x+1}$.
On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthogonale.
\vspd
\bgit
\item[1.] Démontrer que $f$ est une fonction impaire.
Que peut-on en déduire pour la courbe $\Cf$ ?
\vspd
\item[2.] Montrer que pour tout réel $x$,
$f(x)=x+1-\dfrac{2}{1+e^{-x}}$.
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\vspd
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Montrer que pour tout réel $x$,
$f(x)-(x-1)=\dfrac{2}{e^x+1}$.
En déduire que la droite d'équation $\Delta$ d'équation
$y=x-1$ est asymptote à $\Cf$ en $+\infty$.
\item[b)] Préciser la position de $\Cf$ par rapport à $\Delta$.
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$f(x)=\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}$,
et on désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative.
\vspd
\bgit
\item[1.] Etudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire pour la
courbe $\Gamma$ ?
\vsp
\item[2.] Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul,
$e^{-x}\leq e^x$.
\vsp
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$.
\item[b)] Etudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$,
et tracer l'allure de $\Gamma$.
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=(2x+1)e^{-2x}$.
$\mathcal{C}$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormal
$(O;\vec{i},\vec{j})$ (unité graphique 2 cm).
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Que peut-on en déduire ?
\vsp
\item[b)] Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\enit
\vspd
\item[2.] Dresser le tableau de variation de $f$.
\vspd
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de
$\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
\vsp
\item[b)] Etudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex ({\it (d'après Bac S)}
$g_1$ et $g_2$ sont les fonctions définies sur $\R$ par:
\[ g_1(x)=xe^{-x}\ \ \mbox{ et, } \
g_2(x)=x^2e^{-x}
\]
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] Etudier les limites de $g_1$ et $g_2$ en $-\infty$ et
$+\infty$.
Interpréter graphiquement ces résultats.
\vsp
\item[b)] Etudier le sens de variation de $g_1$ et $g_2$.
\enit
\vspd
\item[2.] Dans un repère orthonormal du plan, on note
$\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ les courbes représentatives de $g_1$
et $g_2$.
\bgit
\item[a)] Préciser la position relative des deux courbes.
\vsp
\item[b)] Tracer les deux courbes.
\enit
\vspd
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Donner une équation de la tangente à la courbe
$\mathcal{C}_1$ au point d'abscisse $a$ ($a$ réel).
\vsp
\item[b)] Cette tangente coupe l'axe des ordonnées en un point $N$.
Déterminer en fonction de $a$, l'ordonnée de $N$.
\enit
% \vspd
%\item[4.] $t$ est un réel donné. On note $T$ le point de l'axe des
% ordonnées qui a pour ordonnée $t$.
%
% Etudier à l'aide de la courbe $\mathcal{C}_2$, suivant les valeurs
% de $t$,
% le nombre de tangentes à $\mathcal{C}_1$ passant par $T$.
\enit
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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