Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S,
exponentielle, fonction exponentielle
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp\vspd
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\newlength{\lcorol}
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
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\settowidth{\llem}{Lemme \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Lemme}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonction exponentielle}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\section*{Introduction}
\paragraph{Chute d'un corps dans le vide} \
\noindent
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,1)(4,2.5)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,2){0.2}
\psline[linewidth=1pt]{->}(1,2)(1,0)
\put(1.5,1){$P=mg$}
\end{pspicture}
\bgmp{14cm}
Si $v(t)$ désigne la vitesse du corps à l'instant $t$,
alors l'accélération du corps est la dérivée $v'(t)$.
Dans le vide, le corps est soumis uniquement à la force de pesanteur
son poids) et la loi de Newton (principe fondamental de la mécanique) donne:
\[ m v'(t)=P=mg
\]
soit aussi, \hspace{3cm}\fbox{$v'(t)=g$}
\vspq
Cette équation est une \ul{équation différentielle},
c'est-à-dire une équation dont l'inconnue est une fonction et faisant
intervenir les dérivées de la fonction recherchée.
\enmp
\vspq
\paragraph{Chute d'un corps dans un fluide visqueux} \
\noindent
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,2)(4,5)
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=black](1,2){0.2}
\psline[linewidth=1pt]{->}(1,2)(1,0)
\put(1.5,1){$P=mg$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(1,2)(1,3.5)
\put(1.5,3){$F=-k\,v$}
\end{pspicture}
\bgmp{14cm}
Pour fournir un modèle plus réaliste, on peut prendre en compte de
plus les frottements; ceux-ci peuvent-être modélisés par une force
opposée au mouvement du corps, et inversement proportionnelle à sa
vitesse.
La loi de Newton s'écrit alors:
\[ m v'(t)=F+P=-kv(t)+mg
\]
soit aussi, \hspace{2.5cm}\fbox{$mv'(t)+kv(t)=mg$}
\vspq
La fonction $v(t)$ est cette fois solution d'une équation
différentielle reliant $v(t)$ et sa dérivée $v'(t)$.
\enmp
\vspq
\paragraph{Radioactivité}
A la toute fin du XIX ème siècle, Marie et Pierre Curie mettent en
évidence des éléments radioactifs autres que l'uranium, le polonium et
le radium.
\vspd\noindent
Des atomes de ces éléments radioactifs se désintègrent en permanence.
\noindent
Si on désigne par $N(t)$ le nombre d'atomes de radium à l'instant $t$,
alors la quantité d'atomes qui se désintègrent à un instant donné est
proportionnelle à la quantité d'atomes encore présente:
\vspd\ct{\fbox{$N'(t)=-aN(t)$}}
\vspd
En résolvant cette équation, on peut donc connaître à chaque instant
$t$ le nombre d'atome $N(t)$.
\vspd
Ceci est par exemple appliqué pour la {\it datation au carbone 14} de
matière organique.
Le carbone 14 est un isotope radioactif du carbone.
Connaissant le nombre d'atomes de carbone 14 présents et qui se sont
désintégrés, on détermine la durée qu'à pris cette désintégration,
c'est-à-dire l'âge de la matière organique.
\pagebreak
\section{Rappels}
\vspace{-0.6cm}
\bgex
Soit $n$ un nombre entier relatif.
Simplifier les écritures suivantes:
\vspd
a)\ $2^{2n}\tm 2$
\hspace{0.5cm}
b)\ $\dsp \frac{2^{3n+1}}{2^{2n+1}}$
\hspace{0.5cm}
c)\ $\dsp \lp2^{n+1}\rp^3\tm 2^{-1}$
\hspace{0.5cm}
d)\ $\dsp \frac{4^{n+2}}{2^{2n}}\tm\frac{1}{8}$
\hspace{0.5cm}
e)\ $\dsp \frac{2^{n+3}}{4^{-n}}\tm 2^{-n}$
\enex
\bgex
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ telle que
pour tout $x$ réel, $f'(x)=0$.
Que peut-on dire de $f$ ?
\vsp
On suppose de plus que $f(0)=2$. Que peut-on alors dire de $f$ ?
\enex
\section{Equation $y'=y$.\! Définition de la fonction exponentielle}
\vspace{-0.7cm}
\bglem{
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\R$ telle
que, pour tout $x\in\R$, $f'(x)=f(x)$, et $f(0)=1$,
alors $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
}
\vspd\noindent
\bgproof{%\ul{Démonstration:}
On note $\vphi$ la fonction définie sur $\R$ par
$\vphi(x)=f(x)\tm f(-x)$.
$f$ est dérivable sur $\R$, et donc $\vphi$ l'est aussi.
\noindent
De plus, si on pose $u:x\mapsto-x$,
alors on a
$\vphi(x)=f(x)\tm f\lp u(x)\rp$,
et alors, avec $u'(x)=-1$,
%$\lp f(-x)\rp'=\Bigl( f\lp u(x)\rp\Bigr)'
%=u'(x)\,f'\lp u(x)\rp=-f'(-x)
%$, et donc,
\[\bgar{ll}
\vphi'(x)&\dsp=f'(x) \tm f(u(x))+ f(x)\tm \lb u'(x)\tm f'(u(x))\rb \\[0.3cm]
&\dsp=f'(x) \tm f(-x)+ f(x)\tm \lb -f'(-x)\rb \\[0.3cm]
&=f(x)\tm f(-x)+f(x)\tm \lb -f(-x)\rb=0
\enar
\]
$\vphi$ est donc une fonction constante sur $\R$.
Or $\vphi(0)=1$, et donc, pour tout réel $x$,
$\vphi(x)=1$, c'est-à-dire $f(x)\tm f(-x)=1$.
En particulier, pour tout $x\in\R$, $f(x)\not=0$.
}
\bgth{\ul{Equation $f'=f$}\vspd
Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\R$ telle que
$f'=f$ et $f(0)=1$.
Cette fonction est appelée {\bf fonction exponentielle}, et est
notée {\bf exp}:
$x\mapsto \exp(x)$.
}
\vspd\noindent
\bgproof{%\ul{Démonstration:}
$\bullet$\ {\bf Existence:} admise
\noindent$\bullet$ {\bf Unicité:} Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables
sur $\R$ telles que $f'\!=f$, $f(0)=1$ et $g'=g$, $g(0)=1$.
On note $h$ la fonction $\dsp h=\frac{g}{f}$ qui est définie et
dérivable sur $\R$ car la fonction $g$ ne s'annule pas sur $\R$,
avec,
$\dsp h'=\frac{g'f-gf'}{f^2}=\frac{gf-gf}{f^2}=0$.
Ainsi, $h$ est constante sur $\R$.
Or $\dsp h(0)=\frac{g(0)}{f(0)}=1$, et donc, pour tout $x\in\R$,
$\dsp g(x)=\frac{g(x)}{f(x)}=1$,
c'est-à-dire, pour tout $x$ réel,
$f(x)=g(x)$, et ainsi $g=f$.
}
\bgex
Déterminer les équations des tangentes à la courbe représentative de
la fonction exponentielle aux points d'abscisse $0$; $1$ et $2$.
\enex
\paragraph{\fbox{Méthode d'Euler}}
\bgmp[t]{13.5cm}
On cherche à résoudre de manière approchée l'équation $f'(x)=f(x)$,
avec $f(0)=1$, sur l'intervalle~$[0;1]$.
\enmp
\vsp
On découpe pour cela l'intervalle $[0;1]$ avec les $N$ points
régulièrement espacés:
\[x_0=0\ ;\ x_1=\frac{1}{N}\ ;\ x_2=\frac{2}{N}\ ;\ \dots \ ;\
x_{N-1}=\frac{N-1}{N}\ ;\ x_N=1 .
\]
et on cherche alors les valeurs prises par la fonction $f$ aux points
$x_n$.
On peut approximer la dérivée de $f$ au point $x_n$ par le taux de variation:
$f'(x_n)\simeq \dfrac{f(x_n+h)-f(x_n)}{h}
$
l'approximation étant d'autant meilleur que $h$ est petit.
\vspd\noindent
En prenant $\dsp h=\dfrac{1}{N}$, cela s'écrit
$f'(x_n)\simeq \dfrac{f(x_{n+1})-f(x_n)}{h}$\\
et l'équation $f'=f$ devient approximativement en chaque point $x_n$:
\[f(x_n)=f'(x_n)\simeq \frac{f(x_{n+1})-f(x_n)}{h}
\hspace{0.8cm}\mbox{soit aussi: }\hspace{0.5cm}
f(x_{n+1})=(1+h)f(x_n)
\]
\vspd
Si on note: $y_n=f(x_n)$, la suite $(y_n)$ est ainsi définie par
$y_0=f(x_0)=f(0)=1$, puis, pour tout entier $1\leq n\leq N$,
$y_{n+1}=(1+h)y_n$.
\bgmp{9cm}
\ul{Avec $N=4$ points}; $\dsp h=\frac{1}{N}=\frac{1}{4}=0,25$.
$y_0=1$\\
$y_1=(1+h)y_0=1,25$\\
$y_2=(1+h)y_1=(1+h)^2y_0\simeq1,56$\\
$y_3=(1+h)y_2=(1+h)^3y_0\simeq1,95$\\
$y_4=(1+h)y_3=(1+h)^4y_0\simeq2,44$
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5,3.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-0.5,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-0.5)(0,3.4)
\multido{\i=0+1}{5}{
\psline[linewidth=0.2pt](\i,0.1)(\i,-0.1)
\put(\i,-0.5){$\scriptstyle{x_{\i}=\frac{\i}{4}}$}
}
\nwc\f[1]{1.25 #1 exp}
\multido{\i=0+1}{5}{
\rput(!\i \space \f{\i}){\LARGE\bf$.$}
}
\multido{\i=1+1}{3}{
\psline[linewidth=0.2pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{9cm}
\ul{Avec $N=10$ points}; $\dsp h=\frac{1}{N}=\frac{1}{10}=0,1$.
$y_0=1$\\
$y_1=(1+h)y_0=1,1$\\
$y_2=(1+h)y_1=(1+h)^2y_0\simeq1,21$\\
$y_3=(1+h)y_2=(1+h)^3y_0\simeq1,33$\\
$y_4=(1+h)y_3=(1+h)^4y_0\simeq1,46$\\
$y_5= \dots $
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(12,3.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-0.5,0)(11,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-0.5)(0,3.4)
\multido{\i=0+1}{11}{
\psline[linewidth=0.2pt](\i,0.1)(\i,-0.1)
% \psdot(\i,-0.5)%{$x$}
}
\nwc\f[1]{1.1 #1 exp}
\multido{\i=0+1}{11}{
\rput(!\i \space \f{\i}){\LARGE\bf$.$}
}
\multido{\i=1+1}{3}{
\psline[linewidth=0.2pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
}
\end{pspicture}
\enmp
\vspd
\ul{Remarque:} Cette méthode d'approximation d'une fonction solution
d'une équation différentielle s'appelle la méthode
{\bf des différences finies}, car on approxime l'expression
de la dérivée:
$\dsp f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$
par une différence {\bf finie}:
$\dsp f'(x)\simeq \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
\bgmp{10.5cm}
Courbe représentative de la fonction exponentielle
\begin{tabular}{*{5}{|c}|}\hline
$x$ & $-5$ & $-4$ & $-3$ & $-2$ \\\hline
$\exp(x)$ & $\simeq 6.10^{-3}$
& $\simeq 0,01$
& $\simeq 0,04$
& $\simeq 0,13$
\\\hline
\end{tabular}
\vspd
\begin{tabular}{*{6}{|c}|}\hline
$x$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\\hline
$\exp(x)$
& $\simeq 0,36$
& $ 1$
& $\simeq 2,718$
& $\simeq 7,4$
& $\simeq 20$
\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{9cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-3,0)(3,5)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-5.5,0)(3.5,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-0.3)(0,5)
\psplot[linewidth=1.2pt]{-5}{1.5}{2.718 x exp}
\multido{\i=-5+1}{8}{
\psline[linewidth=0.2pt](\i,0.1)(\i,-0.1)
}
\multido{\i=0+1}{5}{
\psline[linewidth=0.2pt](-0.1,\i)(0.1,\i)
}
\end{pspicture}
\enmp
\section{Propriétés de la fonction exponentielle}
\vspace{-0.7cm}
\bgprop{
Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp\lp x+y\rp=\exp(x)\,\exp(y)$
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Soit $y\in\R$ et $\vphi$ la fonction définie par
$\vphi(x)=\dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)}$.
Cette fonction est dérivable sur $\R$ car $\exp$ ne s'annule pas sur
$\R$, et
$\vphi=\dfrac{u}{v}$,
avec $u(x)=\exp(w(x))$, où $w(x)=x+y$, odnc $w'(x)=1+0=1$ et donc,
$u'(x)=w'(x)\exp'(w(x))=\exp(x+y)$, et $v(x)=\exp(x)$, donc
$v'(x)=\exp(x)$.
On a alors,
\[
\vphi'(x)=\dfrac{\exp(x+y)\exp(x)-\exp(x+y)\exp(x)}{\lb \exp(x)\rb^2}
=0
\]
On en déduit que $\vphi$ est contante sur~$\R$.
Or, $\vphi(0)=\dfrac{\exp(0+y)}{\exp(0)}=\exp(y)$.
Ainsi, pour tout réel $x$,
$\vphi(x)=\dfrac{\exp(x+y)}{\exp(x)}=\exp(y)
\iff \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$.
\bgprop{\ul{Positivité de l'exponentielle}
La fonction exponentielle est strictement positive sur $\R$.
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Pour tout $x\in\R$,
$\dsp\exp(x)=\exp\lp\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\rp
=\exp\lp\frac{x}{2}\rp\tm\exp\lp\frac{x}{2}\rp
=\lb\exp\lp\frac{x}{2}\rp\rb^2\geq 0$,
et donc, comme la fonction exponentielle ne s'annule pas sur $\R$,
$\exp(x)>0$ pour tout $x$ réel.
\bgprop{\ul{Croissance de l'exponentielle}
La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$.
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$,
et $\exp'(x)=\exp(x)>0$ d'après la propriété précédente.
D'où la propriété.
\bgcorol{
Pour tous réels $a$ et $b$,
\vspd
\bgit
\item[$\bullet$] $\exp(a)=\exp(b) \Longleftrightarrow a=b$
\vspd
\item[$\bullet$] $\exp(a)<\exp(b) \Longleftrightarrow a<b$
\quad{\it(conservation de l'ordre)}
\enit
}
\vspace{-0.3cm}
\bgprop{\ul{Inverse de l'exponentielle}
Pour tout $x$ réel, $\dsp \exp(-x)=\frac{1}{\exp(x)}$
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Pour tout réel $x$, $\exp(x+(-x))=\exp(0)=1$, mais par ailleurs aussi,
$\exp(x+(-x))=\exp(x)\tm \exp(-x)$,
et donc, $\exp(x)\exp(-x)=1$, d'ou le résultat.
\bgprop{
Pour tous réels $x$ et $y$,
$\dsp \exp(x-y)=\frac{\exp(y)}{\exp(y)}$
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Pour tous réels $x$ et $y$,
$\dsp \exp(x-y)=\exp(x+(-y))=\exp(x)\exp(-y)=\frac{\exp(x)}{\exp(y)}$
\bgprop{
Pour tous réels $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$,
$\exp(x_1+x_2+\dots+x_n)=exp(x_1) \exp(x_2) \dots \exp(x_n)$
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} Par récurrence sur $n$:
soit $P(n)$ la propriété "pour $n$ nombres réels quelconques
$x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$, on a
$\exp(x_1+x_2+\dots+x_n)=exp(x_1) \exp(x_2) \dots \exp(x_n)$"
\vspd
\ul{Initialisation}. La propriété est évidente pour $n=1$, et a été
démontrée précédcemment pour $n=2$.
pour $n$ nombres réels quelconques
$x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$, on a
$\exp(x_1+x_2+\dots+x_n)=exp(x_1) \exp(x_2) \dots \exp(x_n)$"
\vspd
\ul{Hérédité}. Supposons $P(n)$ vraie et considérons
$n+1$ nombres $x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$, $x_{n+1}$ réels
quelconques.
\vsp
Alors
\[\bgar{ll}
\exp(x_1+x_2+\dots+x_n+x_{n+1})
&=\exp\big(\lb x_1+x_2+\dots+x_n\rb +x_{n+1}\big) \vspd\\
&=\exp(x_1+x_2+\dots+x_n) \exp(x_{n+1}) \vspd\\
&=exp(x_1) \exp(x_2) \dots \exp(x_n) \exp(x_{n+1}) \ \mbox{ d'après} P(n)
\enar\]
Ainsi $P(n+1)$ est aussi vraie.
On a ainsi démontré la propriété d'après le principe de récurrence.
\bgcorol{
Pour tout réel $x$ et tout entier relatif $n$,
$\exp(nx)=\Big[\exp(x)\Big]^n$
}
\vspd
Les propriétés de l'exponentielle coïncident avec les règles de
calcul sur les puissances.
En fait, pour tout entier $n$, on peut écrire
$\exp(n)=\exp(n\tm1)=\Big[\exp(1)\Big]^n=e^n$, où on a noté
$e=\exp(1)\simeq 2,718$.
\vspd
Cette écriture se généralise:
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
On note pour tout $x$ réel, $\exp(x)=e^x$,
qui se lit "$e$ exponentielle $x$", ou "$e$ exposant $x$".
}
%\pagebreak
\bgex
Simplifier les expressions:
a)\ \ $\dsp (e^x)^5e^{-2x}$
\hspace{0.6cm}
b)\ \ $\dsp \frac{e^{2x+3}}{e^{2x-1}}$
\hspace{0.6cm}
c)\ \ $\dsp \frac{e^x+e^{-x}}{e^{-x}}$
\enex
\bgex
Démontrer que pour tout réel $x$,
a)\ \ $\dsp\frac{e^{2x}-1}{e^x+1}=e^x\frac{1-e^{-2x}}{1+e^{-x}}$.
\quad
b)\ \ $(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2=4$.
\vspd
c)\ \ $\dsp \frac{e^x-1}{e^x+1}=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$
\hspace{1cm}
d)\ \ $\dsp e^{-x}-e^{-2x}=\frac{e^x-1}{e^{2x}}$
\enex
\bgex
Résoudre les équations et inéquations:
\noindent
$\bullet$\ $\dsp(E_1) : e^x=1$
\hspace{0.3cm}
$\bullet$\ $\dsp(E_2) : e^{2x}=e$
\hspace{0.3cm}
$\bullet$\ $\dsp(E_3) : e^{x}=e^{-x}$
\hspace{0.3cm}
$\bullet$\ $\dsp(E_4) : e^{x^2}=(e^{-x})^2e^3$
\hspace{0.3cm}
$\bullet$\ $\dsp(E_5) : e^{2x+1}=e^{\frac{6}{x}}$
\vspd\noindent
$\bullet$\ $\dsp(I_1) : e^x>e$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp(I_2) : e^{2x}\leq 1$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp(I_3) : (e^x)^3\leq \frac{1}{e}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp(I_4) : e^x-\frac{1}{e^x}>0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp(I_5) : e^{x^2}\geq e^{-x-1}$
\enex
\bgex
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction
exponentielle dans un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$.
\bgen
\item Soit $a$ un réel. Déterminer l'équation de la tangente $T_a$ à
la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $a$.
\item Etudier la position relative de la courbe $\mathcal{C}$ par
rapport à la droite $T$
{\it (Indication: on pourra étudier les variations de la fonction
$\vphi$ définie par $\vphi(x)=e^x-y$, où $y$ désigne l'équation de la
tangente $T_a$)}.
\enen
\enex
\bgex
\'Etudier le sens de variation des fonctions suivantes: \\[.4em]
1) $f(x)=\dfrac{e^x}x$ \quad
2) $f(x)=e^{2x}-2x$ \quad
3) $f(x)=e^{x^2}-x^2$ \quad
4) $f(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}2$ \quad
5) $f(x)=(2x+3)e^{-2x}$
\enex
\section{Limites de la fonction exponentielle}
\bgprop{\ul{Limites de l'exponentielle}
\hspace{0.4cm}
$\bullet \dsp \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$,
\hspace{0.4cm}
$\bullet \dsp \lim_{x\to-\infty}e^x=0$,
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+$ par $f(x)=e^x-x$.
$f$ est dérivable sur $\R_+$, et, pour tout $x\geq 0$,
$f'(x)=e^x-1\geq 0$, car $e^0=1$ et la fonction exponentielle est
croissante sur $\R_+$.
\vsp\noindent
On en déduit que $f$ est croissante.
Or, $f(0)=1$, donc, pour tout $x\geq 0$,
$f(x)\geq 1>0$, c'est-à-dire, $e^x>x$.
\vspd
De plus, $\dsp\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$, et donc, d'après le
théorème des gendarmes, $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$.
\vspd
Par ailleurs, comme pour tout réel $x$,
$\dsp e^x=\frac{1}{e^{-x}}$,
et que d'après ce qui précède,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$,
on en déduit que $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$,
et donc que la droite d'équation $y=0$ (l'axe des abscisses) est
asymptote horizontale à la courbe représentative de la fontion
exponentielle.
\bgex
Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ des fonctions
suivantes:
\vspd
a)\ $f(x)=e^{-3x}$
\hspace{1cm}
b)\ $g(x)=e^{x}+e^{-x}$
\hspace{1cm}
c)\ $h(x)=x+e^x$
\hspace{0.5cm}
d)\ $k(x)=e^{2x}+e^x+1$
\vspd
e)\ $\dsp l(x)=e^{3x}-e^{x}$
\hspace{0.5cm}
f)\ $\dsp m(x)=\frac{e^x+1}{e^x+2}$
\hspace{1.2cm}
g)\ $\dsp n(x)=\dfrac{-2e^x}{1+e^x}$
\enex
\bgprop{\ul{Croissance comparée de l'exponentielle}
\vsp
(1) $\dsp\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$
\hspace{5cm}
(2) $\dsp\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
(1) Soit $\vphi$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par:
$\dsp\vphi(x)=e^x-\frac{x^2}{2}$.
$\vphi$ est dérivable sur $[0;+\infty[$, et
$\vphi'(x)=e^x-x$.
De même, $\vphi'$ est dérivable sur $[0;+\infty[$ et
$\vphi"(x)=e^x-1\geq0$, car $x\mapsto e^x$ étant croisssante,
si $x\geq0$, $e^x\geq e^0=1$.
On en déduit que $\vphi'$ est croissante.
Or $\vphi'(0)=0$, et donc $\vphi'\geq0$, d'où
$\vphi$ est croissante.
De plus, $\vphi(0)=1$, et donc, on déduit aussi que
$\vphi$ est positive sur $[0;+\infty[$, c'est-à-dire que
$\dsp\vphi(x)=e^x-\frac{x^2}{2}\geq 0$,
soit aussi
$\dsp\frac{e^x}{x}\geq \frac{x}{2}$.
De plus, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{2}=+\infty$, et donc,
d'après le théorème des gendarmes,
\mbox{$\dsp\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty$.}
\vspd
(2) On efectue le changement de variable $X=-x$;
alors, $\dsp xe^x=-Xe^{-X}=-\frac{X}{e^X}$.
$\dsp\lim_{x\to-\infty}xe^x=\lim_{X\to+\infty}-\frac{X}{e^X}
=\lim_{X\to+\infty}\frac{-1}{\frac{e^X}{X}}
=0$.
\bgprop{Pour tout entier naturel $n$ non nul,
\quad
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$
\quad et\qquad
$\dsp\lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0$
}
\noindent
{\it "Le comportement à l'infini de l'exponentielle est
prépondérant (l'emporte) sur les polynômes".}
\bgex Déterminer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes:
\vspd%\noindent
a) $f(x)=x^2+2-e^x$\hspace{1.6cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{2e^x-x}{x^2}$\hspace{1.2cm}
c) $\dsp h(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$%\hspace{1cm}
\vsp%\noindent
d) $l(x)=e^{2x}-(x+1)e^x$\hspace{1cm}
e) $\dsp k(x)=\frac{\sqrt{e^x+2}}{x}$ \hspace{1cm}
f) $\dsp t(x)=\frac{e^{2x}+x^2}{x^2+x-3}$
\enex
\bgex A l'aide d'un changement de variable, étudier la limite en
$+\infty$ des fonctions:
a) $\dsp f(x)=\frac{e^{2x+1}}{x}$\hspace{1cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{2e^{x^2-1}}{x^2}$\hspace{1cm}
c) $\dsp f(x)=x^3e^{-\sqrt{x}}$.
\enex
\section{Récapitulatif}
\fbox{\fbox{
\bgmp{16cm}
%$f(x)=\exp(x) \Longleftrightarrow
%\la\bgar{ll} \forall\,x\in\R,\ f'(x)=f(x) \vspd\\ f(0)=1 \enar\right.
%\Longleftrightarrow
%\forall\,x,y\,\mbox{réels}\,,\ f(x+y)=f(x)f(y)
%$
$\exp'=\exp$ et donc, pour toute fonction $u$, $\lp e^u\rp'=u'e^u$.
\vspd
Pour tout $x\in\R$, $e^x>0$; $e^0=1$; $e^1=e\simeq 2,718$
\vspd
La fonction exponentielle est dérivable sur $\R$, strictement
croissante.
\vspd
Pour tous réels $a$ et $b$,
$e^{a+b}=e^a e^b$\ ;\ \
$\dsp e^{-a}=\frac{1}{e^a}$\ ;\ \
$\dsp e^{a-b}=\frac{e^a}{e^b}$\ ;\ \
$\dsp \lp e^a\rp^b=e^{ab}$
\vspd
$\dsp \lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$\ ;\ \
$\dsp \lim_{x\to-\infty}e^x=0$, \ \ \
$\dsp \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^n}=+\infty$\ ;\ \
$\dsp \lim_{x\to-\infty}x^ne^x=0$,
\enmp
}}
\bgex
Etudier sur $\R$ les fonctions suivantes (sens de variations et limites):
\vspd
a)\ $f(x)=e^{-x}$
\qquad
b)\ $g(x)=e^x+e^{-x}$
\qquad
c)\ $h(x)=x+e^x$
\qquad
d)\ $k(x)=e^{3x}-3e^x$
\vspd
e)\ $l(x)=e^{-x^2}$
\qquad
f)\ $m(x)=(0,4x-2)e^{-0.1x}$
\qquad
g)\ $n(x)=(x+1)^2e^{-x}$
\enex
\bgex
$f$ et $g$ sont les fonctions définies sur $\R$ par:
$f(x)=-x^2e^x$ et $g(x)=\lp x^2-x-1\rp e^x$.
\bgen
\item Déterminer les coordonnées des points d'intersection des courbes
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ représentatives des fonctions $f$
et $g$.
\item Déterminer la position relative de $\mathcal{C}_f$ et
$\mathcal{C}_g$.
\item Déterminer les limites de $f$ et $g$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Dresser les tableaux de variations de $f$ et $g$.
\enen
\enex
\bgex
Un capteur solaire récupère de la chaleur par le biais d'un fluide.
On s'inétéresse à l'évolution de la température du fluide dans un
capeteur de 1m de longueur.
Cette température est modélisée par:
$T(x)=170-150e^{-0,6x}$,
où $x\in[0;1]$ est la distance, en mètres, parcourue par le fluide
depuis son entré dans le capteur, et $T(x)$ est la température en
$^\circ$C.
\bgen
\item Déterminer la température à l'entrée du capteur.
\item
\bgen
\item Etudier les variations de la température $T$ sur $[0;1]$.
\item En déduire la température maximale, au degré près, atteinte
par le fluide.
\item Tracer dans un repère la courbe représentant la température
$T$.
\enen
\enen
\enex
\bgex {\em (Extrait Bac)}
Soit $f$ la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par:
$f(x)=(x-1)\lp 2-e^{-x}\rp$.
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère
orthonormé d'unité graphique 2 cm et $\Delta$ la droite d'équation
$y=2x-2$.
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Etudier les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Etudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\Delta$.
\enen
\item
\bgen
\item Calculer $f'(x)$ et montrer que, pour tout réel $x$,
$f'(x)=xe^{-x}+2\lp1-e^{-x}\rp$.
\item En déduire que, pour tout réel $x$ positif,
$f'(x)\geqslant 0$.
\item Préciser la valeur $f(0)$, puis établir le tableau de
variation de $f$.
\enen
\item Avec le plus grand soin, tracer $\mathcal{C}$ et $\Delta$ dans
le même repère.
\item Déterminer le point de $A$ de $\mathcal{C}$ où la tangente à
$\mathcal{C}$ est parallèle à $\Delta$.
Tracer cette tangente dans le repère précédent.
\enen
\enex
%\bgex
%Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0;\pi]$ par les
%expressions:
%\[ f(x)=e^{-x} \sin(x) \ \ \mbox{ et, } \ \
%g(x)=e^x
%\]
%
%\bgit
%\item[a)] Montrer que les courbes $\Cf$ et $\mathcal{C}_g$
% représentatives des fonctions $f$ et $g$ admettent un point commun
% $A$.
%\item[b)] Démontrer que les courbes admettent en $A$ une tangente
% commune.
%\enit
%\enex
\bgex
Soit $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $\R$ qui vérifient les
propriétés suivantes:
(1) Pour tout réel $x$, $\lb f(x)\rb^2-\lb g(x)\rb^2=1$\vsp
(2) Pour tout réel $x$, $f(x)=g'(x)$\vsp
(3) $f(0)=1$.
\vspd
\vspd
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] Montrer que pour tout réel $x$, $f(x)\not=0$.
\vsp
\item[b)] Calculer $g(0)$.
\enit
\vspd
\item[2.] En dérivant la relation (1),
montrer que $g(x)=f'(x)$.
\vspd
\item[3.] On pose $u=f+g$ et $v=f-g$. \vsp
\bgit
\item[a)] Calculer $u(0)$ et $v(0)$.
\vsp
\item[b)] Démontrer que $u'=u$ et que $v'=-v$.
\vsp
\item[c)] On déduit de ce qui précède que
$u(x)=Ae^x$ et $v(x)=Be^{-x}$,
$A$ et $B$ étant deux réels.
En déduire alors $f$ et $g$.
\enit
\enit
\enex
%\bgex {\it (d'après Bac 2005)}
%
%On se propose de démontrer qu'il existe une seule fonction $f$
%dérivable sur $\R$ vérifiant la condition:
%\[ (C) \la\bgar{ll}
%f(-x)f'(x)=1\ \mbox{pour tout réel } x, \vspd\\
%f(0)=4
%\enar\right.
%\]
%
%\bgit
%\item[1.] On suppose qu'il existe une fonction $f$ satisfaisant la
% condition $(C)$, et on considère la fonction $g$ définie par
% $g(x)=f(-x)f(x)$.
% \vspd
% \bgit
% \item[a)] Démontrer que la fonction $f$ ne s'annule pas sur $\R$.
% \item[b)] Calculer la dérivée de la fonction $g$.
% \item[c)] En déduire que la fonction $g$ est constante et déterminer
% sa valeur.
% \item[d)] Montrer que la fonction $f$ vérifie:
% \[ f'=\frac{1}{16}f \ \ \mbox{ et, } \ f(0)=-4
% \]
% \enit
% \vspd
%\item[2.] Démontrer qu'il existe une seule fonction dérivable
% sur $\R$ satisfaisant la condition $(C)$ et préciser cette
% fonction.
%\enit
%\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$f(x)=x+1-\dfrac{2e^x}{e^x+1}$.
On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthogonale.
\vspd
\bgit
\item[1.] Démontrer que $f$ est une fonction impaire.
Que peut-on en déduire pour la courbe $\Cf$ ?
\vspd
\item[2.] Montrer que pour tout réel $x$,
$f(x)=x+1-\dfrac{2}{1+e^{-x}}$.
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
\vspd
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Montrer que pour tout réel $x$,
$f(x)-(x-1)=\dfrac{2}{e^x+1}$.
En déduire que la droite d'équation $\Delta$ d'équation
$y=x-1$ est asymptote à $\Cf$ en $+\infty$.
\item[b)] Préciser la position de $\Cf$ par rapport à $\Delta$.
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par :
$f(x)=\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}$,
et on désigne par $\Gamma$ sa courbe représentative.
\vspd
\bgit
\item[1.] Etudier la parité de $f$. Que peut-on en déduire pour la
courbe $\Gamma$ ?
\vsp
\item[2.] Démontrer que, pour tout réel $x$ positif ou nul,
$e^{-x}\leq e^x$.
\vsp
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$.
\item[b)] Etudier les variations de $f$ sur $[0;+\infty[$,
et tracer l'allure de $\Gamma$.
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R$ par
$f(x)=(2x+1)e^{-2x}$.
$\mathcal{C}$ est sa courbe représentative dans un repère orthonormal
$(O;\vec{i},\vec{j})$ (unité graphique 2 cm).
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Que peut-on en déduire ?
\vsp
\item[b)] Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\enit
\vspd
\item[2.] Dresser le tableau de variation de $f$.
\vspd
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Déterminer les coordonnées du point $A$ d'intersection de
$\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses.
\vsp
\item[b)] Etudier le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex ({\it (d'après Bac S)}
$g_1$ et $g_2$ sont les fonctions définies sur $\R$ par:
\[ g_1(x)=xe^{-x}\ \ \mbox{ et, } \
g_2(x)=x^2e^{-x}
\]
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] Etudier les limites de $g_1$ et $g_2$ en $-\infty$ et
$+\infty$.
Interpréter graphiquement ces résultats.
\vsp
\item[b)] Etudier le sens de variation de $g_1$ et $g_2$.
\enit
\vspd
\item[2.] Dans un repère orthonormal du plan, on note
$\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ les courbes représentatives de $g_1$
et $g_2$.
\bgit
\item[a)] Préciser la position relative des deux courbes.
\vsp
\item[b)] Tracer les deux courbes.
\enit
\vspd
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Donner une équation de la tangente à la courbe
$\mathcal{C}_1$ au point d'abscisse $a$ ($a$ réel).
\vsp
\item[b)] Cette tangente coupe l'axe des ordonnées en un point $N$.
Déterminer en fonction de $a$, l'ordonnée de $N$.
\enit
% \vspd
%\item[4.] $t$ est un réel donné. On note $T$ le point de l'axe des
% ordonnées qui a pour ordonnée $t$.
%
% Etudier à l'aide de la courbe $\mathcal{C}_2$, suivant les valeurs
% de $t$,
% le nombre de tangentes à $\mathcal{C}_1$ passant par $T$.
\enit
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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