Source Latex
du cours de mathématiques
\documentclass[12pt]{article}
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\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours math�matiques: produit scalaire},
pdftitle={Produit scalaire},
pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale, S,
trigonom�trie, cosinus, sinus, fonction trigonom�trique}
}
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linkcolor = red,
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}
\voffset=-1.cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm
\newlength{\ProgIndent}
\setlength{\ProgIndent}{0.3cm}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\newlength{\lprops}
\nwc{\bgprops}[1]{
\settowidth{\lprops}{Propri�t�s \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�s}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
% "Cadre" type Objectifs....
\nwc{\ObjTitle}{D�finition\!\!:\ \ }
\newlength{\lgObjTitle}
\newlength{\hgObj}
\newlength{\hgObjTitle}\settoheight{\hgObjTitle}{\ObjTitle}
\newcommand{\Obj}[1]{%
\begin{flushright}%
\settowidth{\lgObjTitle}{\ObjTitle}
\settototalheight{\hgObj}{\phantom{\bgmp{16.4cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp}}
\bgmp{17.1cm}
\psline(-1ex,-\hgObj)(-1ex,-1.5\hgObjTitle)(\lgObjTitle,-1.5\hgObjTitle)\par
\bgmp{17.cm}{\bf\emph{\ObjTitle}}#1\enmp
\enmp
\end{flushright}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
\renewcommand\thesubsubsection{\hspace*{0.5cm}\alph{subsubsection})\hspace*{-0.4cm}}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Trigonom�trie et fonctions trigonom�triques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\,- TS - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$}
\psset{arrowsize=7pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{0.2cm}
\ct{\LARGE \bf \TITLE}
\vspace{0.4cm}
\section{Mesure d'un angle en radians}
\bgmp{6cm}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
\psline[linewidth=0.3pt](-1.2,0)(1.2,0)
\psline[linewidth=0.3pt](0,-1.2)(0,1.2)
\pscircle(0,0){1}
\psline(0,0)(-0.5,0.85)
\psarc{->}(0,0){0.4}{0}{120}
\rput(0.3,0.4){$\alpha$}
\rput(-0.1,-0.1){$O$}
\rput(1.1,-0.1){$A$}
\rput(-0.5,0.98){$M$}
% Orientation:
\psarc[linecolor=blue,linewidth=1.4pt]{->}(0,0){1.2}{30}{70}
\rput(1.,1.){\blue\bf\Large$+$}
\psarc[linecolor=green,linewidth=1.4pt]{<-}(0,0){1.2}{-70}{-30}
\rput(1.,-1.){\green\bf\Large$-$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{10cm}
$\bullet$ Un cercle trigonom�trique est un cercle de rayon $1$
orient�.
\vspt
$\bullet$ Sur un cercle trigonom�trique, la longueur de l'arc
$\stackrel{\frown}{AM}$
est la mesure en radian de l'angle $\alpha$:
\[
\widehat{AOM}=\stackrel{\frown}{AM}=\alpha\ \text{radians}
\]
\enmp
\vspt
\ct{
\rput(0,0){
\psarc[linewidth=1.4pt]{->}(0,0){0.8}{95}{265}
\rput(-1.5,0){\large$\tm \dfrac{\pi}{180}$}
}
\begin{tabular}{|c|*{10}{p{0.9cm}|}}\hline
\rule[-0.5cm]{0.cm}{1.2cm}$\alpha$ (deg) & 0 & 45 & 60 & 90 & 135 & 180 & 270 & 360 & -60 &
-120 \\\hline
\rule[-0.5cm]{0.cm}{1.2cm}$\alpha$ (rad) & &&&&&&&&&
\\\hline
\end{tabular}
\rput(0,0){
\psarc[linewidth=1.4pt]{->}(0,0){0.8}{275}{85}
\rput(1.5,0){\large$\tm \dfrac{180}{\pi}$}
}
}
\vspd
Sur un cercle re rayon $R$, si $\widehat{AOM}=\alpha$ rad,
alors
$\stackrel{\frown}{AM}=R\alpha$.
\vspt
Si $\stackrel{\frown}{AM}=\alpha$,
alors
$\stackrel{\frown}{AM}=\alpha+2\pi
\equiv \alpha+4\pi \equiv \dots
\equiv \alpha-2\pi\equiv \alpha -4\pi \equiv \dots$.
On note
$\stackrel{\frown}{AM}\equiv \alpha\ [2\pi]$,
ou
$\stackrel{\frown}{AM}=\alpha+k2\pi, k\in\Z$.
\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] On appelle \ul{\bf mesures} de l'angle orient�
$\widehat{AOM}=\lp \V{OA},\V{OM}\rp$ tous les r�els de la forme
$\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$.
\vspd
\item[$\bullet$] On appelle \ul{\bf mesure principale} de l'angle
$\lp \vec{u},\vec{v}\rp=\alpha+k2\pi$, $k\in\Z$,
\ul{\ul{la}} mesure de l'angle dans l'intervalle
$]-\pi;\pi]$.
\enit
}
\bgex
Donner la mesure principale de:
\vsp
$\bullet$ $-\dfrac{5\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{11\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $-\dfrac{11\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $-\dfrac{13\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{27\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{2005\pi}{4}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{37\pi}{6}$
\qquad
$\bullet$ $\dfrac{178\pi}{8}$
\enex
\section{Trigonom�trie}
\subsection{Cosinus et sinus d'un angle}
\vspace{-1cm}
\noindent
\bgmp{13cm}
\bgdef{
Soit $x\in\R$ et $M$ le point du cercle trigonom�trique tel que
$x$ soit une mesure de l'angle orient� $\lp\vec{i},\V{OM}\rp$.
Le cosinus, not� $\cos x$, de $x$ est l'abscisse de $M$;
son sinus, not� $\sin x$, est son ordonn�e.
}
\enmp\hfill
\bgmp{4.4cm}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\pscircle(0,0){1}
\psline{->}(-1.1,0)(1.2,0)
\psline{->}(0,-1.1)(0,1.2)
\rput(-0.1,-0.1){$O$}
\rput(1.05,-0.1){$1$}\rput(-0.1,1.05){$1$}
\psline(0,0)(0.65,1.1258)
\rput(0.5,0.866){$\bullet$}\rput(0.45,1.05){$M$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.866)(0,0.866)
\psarc{->}(0,0){1.3}{3}{57}\rput(1.25,0.8){$x$}
\rput(0.5,-0.1){$\cos x$}
\rput(-0.22,0.866){$\sin x$}
\end{pspicture}
\enmp
{\bf\ul{Valeurs remarquables}}
\quad
\begin{tabular}[t]{|*7{p{1cm}|}}\hline
\rule[-0.4cm]{0cm}{1cm}
$x$ & $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$
& $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$ & $\pi$
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0cm}{1.2cm}
$\sin x$ & $0$ & $\dfrac{\bf\red1}{2}$
& $\dfrac{\sqrt{\bf\red2}}{2}$
& $\dfrac{\sqrt{\bf\red3}}{2}$
& 1 & 0
\\\hline
\rule[-0.4cm]{0cm}{1.2cm}
$\cos x$ & $1$ & $\dfrac{\sqrt{\bf\red3}}{2}$
& $\dfrac{\sqrt{\bf\red2}}{2}$
& $\dfrac{\bf\red1}{2}$
& 0 & -1
\\\hline
\end{tabular}
\noindent
\bgmp{5cm}
\psset{unit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.2)(1,1.2)
\psline[linewidth=0.3pt](-1.2,0)(1.2,0)
\psline[linewidth=0.3pt](0,-1.2)(0,1.2)
\pscircle(0,0){1}
\psline(0,0)(0.5,0.866)
\psarc{->}(0,0){0.3}{0}{60}
\rput(0.35,0.15){$\alpha$}
\rput(-0.1,-0.1){$O$}
%\rput(1.1,-0.1){$A$}
\rput(0.55,0.98){$M$}
%
\psline[linestyle=dashed](0.5,0)(0.5,0.866)(0,0.866)
\rput(0.5,-0.1){$\cos \alpha$}
\rput(-.25,0.85){$\sin \alpha$}
\end{pspicture}
\enmp\hfill
\bgmp{13cm}
\bgprop{Pour tout r�el $\alpha$: \vspd
\bgit
\setlength{\itemsep}{0.3cm}
\item[$\bullet$] $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$
\item[$\bullet$] $-1\leqslant \sin\alpha\leqslant 1$
\ ;\
$-1\leqslant \cos\alpha\leqslant 1$
\item[$\bullet$] $\cos\lp-\alpha\rp=\cos\alpha$;
$\sin\lp-\alpha\rp=-\sin\alpha$
\item[$\bullet$] $\cos\lp\pi-\alpha\rp=-\cos\alpha$
\ ; \
$\sin\lp\pi-\alpha\rp=\sin\alpha$;
\item[$\bullet$] $\cos\lp\pi+\alpha\rp=-\cos\alpha$
\ ; \
$\sin\lp\pi+\alpha\rp=-\sin\alpha$;
\item[$\bullet$] $\cos\lp\dfrac{\pi}{2}-\alpha\rp=\sin\alpha$
\ ; \
$\sin\lp\dfrac{\pi}{2}-\alpha\rp=\cos\alpha$;
\item[$\bullet$] $\cos\lp\dfrac{\pi}{2}+\alpha\rp=-\sin\alpha$
\ ; \
$\sin\lp\dfrac{\pi}{2}+\alpha\rp=\cos\alpha$;
\enit
}
\enmp
\bgex
Donner les valeurs exactes de:
\vspd
$\cos\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$\ ;\quad
$\sin\lp-\dfrac{\pi}{3}\rp$\ ;\quad
$\cos\dfrac{5\pi}{6}$\ ;\quad
$\sin\dfrac{5\pi}{6}$\ ;\quad
$\cos\dfrac{4\pi}{3}$\ ;\quad
$\sin\dfrac{4\pi}{3}$\ ;\quad
$\cos\lp-\dfrac{2\pi}{3}\rp$\ ;\quad
$\sin\lp-\dfrac{2\pi}{3}\rp$\ ;\quad
\enex
\bgex
\bgen
\item Soit $x\in\lb0;\pi\rb$ tel que
$\cos x = -\dfrac{1}{4}$.
D�terminer $\sin x$.
\item Soit $x\in\lb\dfrac{\pi}{2};\pi\rb$ tel que
$\sin x = \dfrac{3}{5}$.
D�terminer $\cos x$.
\enen
\enex
\bgex
On pose $m=\sin\dfrac{\pi}{10}$.
Exprimer en fonction de $m$: \quad
$\sin\dfrac{9\pi}{10}$\ ;\quad
$\sin\dfrac{11\pi}{10}$\ ;\quad
$\cos\dfrac{4\pi}{10}$\ ;\quad
$\sin\dfrac{6\pi}{10}$
\enex
\bgex
Calculer les expressions suivantes, sans utiliser la calculatrice:
\[\bgar{llllllll}
A
&=\sin\dfrac{2\pi}{5}
&+&\sin\dfrac{4\pi}{5}
&+&\sin\dfrac{6\pi}{5}
&+&\sin\dfrac{8\pi}{5}\ .
\\[0.3cm]
B
&=\sin\dfrac{3\pi}{8}
&+&\sin\dfrac{5\pi}{8}
&+&\sin\dfrac{11\pi}{8}
&+&\sin\dfrac{13\pi}{8}\ .
\\[0.3cm]
C
&=\cos\dfrac{\pi}{10}
&+&\cos\dfrac{2\pi}{5}
&+&\cos\dfrac{3\pi}{5}
&+&\cos\dfrac{9\pi}{10}\ .
\enar\]
\enex
\subsection{Equations trigonom�triques}
\bgprop{
\begin{tabular}[t]{p{6.5cm}|p{6.5cm}}
L'�galit� \ $\cos\alpha=\cos\beta$
�quivaut �
$\alpha=\beta+k2\pi$
ou
$\alpha=-\beta+k2\pi$.
&
L'�galit� \ $\sin\alpha=\sin\beta$
�quivaut �
$\alpha=\beta+k2\pi$
ou
$\alpha=\pi-\beta+k2\pi$.
\end{tabular}
}
\vspq\noindent
\ul{Exemple:}
$\cos x=\cos\dfrac\pi3
\iff
x=\dfrac\pi3+k2\pi
\text{ ou }
x=-\dfrac\pi3+k2\pi
$
\bgex
\bgen
\item R�soudre dans $\R$ l'�quation $\cos x=\cos\dfrac\pi6$.
\item R�soudre dans $[0;2\pi[$ l'�quation
$\sin x=\sin\dfrac\pi6$
et repr�senter ses solutions sur un cerlce trigonom�trique.
\item Donner la mesure principale des solutions de l'�quation
$\cos x=\dfrac{\sqrt2}{2}$.
\enen
\enex
\bgex
R�soudre dans $\R$ l'�quation:\quad
$\cos\lp x+\dfrac{\pi}{6}\rp=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Donner la mesure principale des angles $x$ solutions.
\enex
\bgex
R�soudre dans $\R$ l'�quation:\quad
$2\sin\lp2x+\dfrac{\pi}{2}\rp=1$.
Donner la mesure principale des angles $x$ solutions.
\enex
\bgex
D�terminer les racines de
$P(X)=2X^2-X-1$.
En d�duire les solutions de l'�quation: \quad
$2\cos^2x-\cos x-1=0$.
\enex
\bgex
R�soudre dans $\R$ l'�quation:\quad
$2\cos^2x-3\cos x=2$.
\enex
\bgex
R�soudre dans $\R$ l'�quation:\quad
$4\sin^2\lp 2x+\dfrac{5\pi}{6}\rp
+4\sin\lp 2x+\dfrac{5\pi}{6}\rp=3$.
\enex
\section{Fonctions trigonom�triques}
\bgdef{
La fonction cosinus est d�finie la fonction d�finie sur $\R$ par
$x\mapsto \cos(x)$.
La fonction sinus est d�finie la fonction d�finie sur $\R$ par
$x\mapsto \sin(x)$.
}
\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] Pour tout r�el $x$,
$\cos(x+2\pi)=\cos x$ et $\sin(x+2\pi)=\sin x$.
Les fonctions $x\mapsto \cos x$ et $x\mapsto \sin x$ sont
{\bf p�riodiques} de p�riode $2\pi$.
Les courbes repr�sentatives des fonctions sinus (sinuso�de) et
cosinus (cosinuso�de) sont inchang�es par translation de vecteur
$2\pi\vec{i}$.
\item[$\bullet$] Pour tout r�el $x$, $\cos(-x)=\cos x$.
La fonction cosinus est {\bf paire}, sa courbe repr�sentative
admet l'axe des ordonn�es comme axe de sym�trie.
\item[$\bullet$] Pour tout r�el $x$, $\sin(-x)=-\sin x$.
La fonction sinus est {\bf impaire}, sa courbe repr�sentative
admet l'origine du rep�re comme centre de sym�trie.
\enit
}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-1.5)(8.5,1.5)
\psline{->}(-8.2,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-1.4)(0,1.4)
\rput(0.2,-0.2){$O$}
\psplot[plotpoints=1000]{-8}{8}{x 3.14 div 180 mul sin}
\psline(-6.28,-0.1)(-6.28,0.1)\rput(-6.28,-0.4){$-2\pi$}
\psline(-4.59,-0.1)(-4.59,0.1)\rput(-4.59,-0.4){$-\frac{3\pi}{2}$}
\psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)\rput(-3.14,-0.4){$-\pi$}
\psline(-1.53,-0.1)(-1.53,0.1)\rput(-1.53,-0.4){$-\frac{\pi}{2}$}
\psline(1.53,-0.1)(1.53,0.1)\rput(1.53,-0.4){$\frac{\pi}{2}$}
\psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)\rput(3.14,-0.4){$\pi$}
\psline(4.59,-0.1)(4.59,0.1)\rput(4.59,-0.4){$\frac{3\pi}{2}$}
\psline(6.28,-0.1)(6.28,0.1)\rput(6.28,-0.4){$2\pi$}
\rput(2.7,1.1){$y=\sin x$}
\end{pspicture}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-8.5,-1.5)(8.5,1.5)
\psline{->}(-8.2,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-1.4)(0,1.4)
\rput(0.2,-0.2){$O$}
\psplot[plotpoints=1000]{-8}{8}{x 3.14 div 180 mul cos}
\psline(-6.28,-0.1)(-6.28,0.1)\rput(-6.28,-0.4){$-2\pi$}
\psline(-4.59,-0.1)(-4.59,0.1)\rput(-4.59,-0.4){$-\frac{3\pi}{2}$}
\psline(-3.14,-0.1)(-3.14,0.1)\rput(-3.14,-0.4){$-\pi$}
\psline(-1.53,-0.1)(-1.53,0.1)\rput(-1.53,-0.4){$-\frac{\pi}{2}$}
\psline(1.53,-0.1)(1.53,0.1)\rput(1.53,-0.4){$\frac{\pi}{2}$}
\psline(3.14,-0.1)(3.14,0.1)\rput(3.14,-0.4){$\pi$}
\psline(4.59,-0.1)(4.59,0.1)\rput(4.59,-0.4){$\frac{3\pi}{2}$}
\psline(6.28,-0.1)(6.28,0.1)\rput(6.28,-0.4){$2\pi$}
\rput(1.5,1){$y=\cos x$}
\end{pspicture}
\bgprop{
Les fonctions $\sin$ et $\cos$ sont d�rivables sur $\R$ avec
$\cos'=-\sin$ et $\sin'=\cos$.
}
\bgex
Calculer la d�riv�e de:
$\bullet\ f(x)=3\cos(x)$
\quad
$\bullet\ g(x)=\cos^3(x)$
\vspd
$\bullet\ h(x)=\cos^2(x)+\sin^2(x)$
\quad
$\bullet\ k(x)=\cos(2x+1)$
\quad
$\bullet\ l(x)=\sin\lp \dfrac{x^2-3}{x+1}\rp$
\enex
\bgprop{
\qquad$\dsp\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1
\quad\text{ et } \quad
\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x -1}{x}=0
$
}
\bgproof{
Le taux d'accroissement de la fonction $\sin$ en $0$ est:
\[\tau(h)=\dfrac{\sin(0+h)-\sin(0)}{h}=\dfrac{\sin(h)}{h}\]
La fonction $\sin$ est d�rivable sur $\R$ donc aussi en $0$, et en a
donc,
\[
\lim_{h\to0}\tau(h)=\lim_{h\to0}\dfrac{\sin(h)}{h}=\sin'(0)=\cos(0)=1
\]
De m�me,
\[
\lim_{x\to0}\dfrac{\cos(h)-\cos(0)}{h}
=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos(h)-1}{h}=\cos'(0)=-\sin(0)=0
\]
}
\bgex
\'Etudier les fonctions d�finies par les expressions:
$f(x)=\cos x+x\sin x$ \quad , \quad
$g(x)=-\ln\lp\cos x\rp$ \quad , \quad et \quad
$h(x)=\cos\lp2x+\dfrac\pi4\rp$.
\enex
\end{document}
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