Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours de math�matiques: G�om�trie dans l'espace - Produit scalaire},
pdftitle={G�om�trie dans l'espace - Produit scalaire},
pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale, S,
G�om�trie, espace, Produit scalaire
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\ga{\gamma}
\def\Ga{\Gamma}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{%
\vspt\noindent%
\ul{D�monstration:} #1%
\hfill$\square$%
}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
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\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{G�om�trie dans l'espace}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\usepackage{lastpage}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%% Environnement Prog...
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\newlength{\plgshadow}\setlength{\plgshadow}{0.5ex}
\makeatletter
\def\Prog{\@ifnextchar[{\@with}{\@without}}
% avec un argument optionnel: le titre:
\def\@with[#1]#2#3{%
\par%\vspd%
\bgmp{\linewidth}
\hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
\emph{\textcolor{white}{\!\! #1}}} \\
\vspace*{-0.5ex}\\
\bgmp{#2}
%\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
\settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#2}#3\enmp}}
\setlength{\plgn}{\linewidth}
\setlength{\phgtq}{-\phgn}%\addtolength{\hgtq}{-3ex}
\setlength{\phgtqg}{\phgtq}\addtolength{\phgtqg}{-\lgshadow}
\setlength{\plgng}{\plgn}\addtolength{\plgng}{\lgshadow}
\setlength{\plgtq}{\plgn}\addtolength{\plgtq}{-\lgcoin}
\setlength{\plgtqg}{\plgtq}\addtolength{\plgtqg}{\lgshadow}
\setlength{\phgnp}{\phgn}\addtolength{\phgnp}{\lgcoin}
\setlength{\phgng}{\phgnp}\addtolength{\phgng}{\lgshadow}
\pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
(\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
\pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]%
(\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white]%
(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
(\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
\par
\bgmp{\linewidth}#3\enmp
\enmp
\enmp
\vspd
}
% sans argument optionnel: le titre est alors "Programme Python"
\def\@without#1#2{%
\par%\vspd%
\bgmp{\linewidth}
\hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
\psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
\emph{\textcolor{white}{\!\!Programme Python}}} \\
\vspace*{-0.5ex}\\
\bgmp{#1}
%\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
\settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#1}#2\enmp}}
\setlength{\plgn}{\linewidth}
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\pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
(\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
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(-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
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\par
\bgmp{\linewidth}#2\enmp
\enmp
\enmp
\vspd
}
\makeatother
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\section{Rappels - Produit scalaire dans le plan}
\bgdef{
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls, alors
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\lp \vec{u},\vec{v}\rp$
}
\vspd
\noindent
\ul{Cons�quence:} Le carr� scalaire de $\vec{u}$ est:
$\vec{u}\cdot\vec{u}=\vec{u}^2=\|\vec{u}\|^2$,
car $\cos(\vec{u},\vec{u})=\cos(0)=1$.
\bgprop{
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$,
et tout r�el $k$, \vspd
$\bullet\ \vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$\hspace{1.2cm}
$\bullet\ (k\vec{u})\cdot\vec{v}=k\vec{u}\cdot\vec{v}$\hspace{1.2cm}
$\bullet\ \vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$
}
\bgex
$A$, $B$, $C$ et $D$ sont quatre points quelconques du plan.
\vsp
En utilisant la relation de Chasles, d�montrer que
$\V{AB}\cdot\V{CD}+\V{AC}\cdot\V{DB}+\V{AD}\cdot\V{BC}=0$.
\enex
\bgprop{(Produit scalaire et projection)
\bgmp{10cm}
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points, et $C'$ le projet� orthogonal de
$C$ sur $(AB)$, alors,
\[
\V{AB}\cdot\V{AC}= \V{AB}\cdot\V{AC'}=
\la\bgar{ll}
AB\tm AC' \text{ si }\V{AB} \text{ et } \V{AC'} \text{ont m�me sens}
\\[0.3cm]
-AB\tm AC' \text{ si }\V{AB} \text{ et } \V{AC'} \text{ont un sens contraire}
\enar\right.
\]
\enmp
\bgmp{3cm}
\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(0,-1.7)(3,1.)
\pspolygon(0,0)(3,0)(2,1)
\psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1)
\rput(-0.2,-0.2){$A$}
\rput(2,-0.25){$C'$}
\rput(3.2,-0.2){$B$}
\rput(2,1.3){$C$}
\end{pspicture}
\enmp
}
\bgprop{
$\dsp
\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\Big[
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2
\Big]$
}
\bgproof{
$\bgar[t]{ll}
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2=
\lp \vec{u}+\vec{v} \rp\cdot\lp \vec{u}+\vec{v} \rp
&=
\vec{u}\cdot\vec{u}
+\vec{u}\cdot\vec{v}
+\vec{v}\cdot\vec{u}
+\vec{v}\cdot\vec{v} \vspd\\
&=\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2
\enar$
d'o�,
$\dsp
\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\Big[
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2
\Big]$
}
\bgprop{
$\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \iff
\la\bgar{ll}
\vec{u}=\vec{0} \ \mbox{ ou\,, } \vec{v}=\vec{0} \vspd\\
\mbox{ ou\,, } \vec{u}\perp\vec{v}
\enar\right.
$
}
\noindent
\bgmp{12.6cm}
\bgex
Soit $ABCD$ un carr�, et $I$ et $J$ les points tels que
$\V{BI}=\dfrac{1}{5}\V{BC}$ et $\V{CJ}=\dfrac{1}{5}\V{CD}$.
\vsp
D�montrer que les droites $(AI)$ et $(BJ)$ sont perpendicualires.
\enex
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(4,2.5)
\pspolygon(0,0)(2.5,0)(2.5,2.5)(0,2.5)
\rput(-0.2,2.7){$A$}\rput(2.7,2.7){$B$}
\rput(2.7,-0.2){$C$}\rput(-0.2,-0.2){$D$}
\psline(0,2.5)(2.5,2)\rput(2.7,2){$I$}
\psline(2,0)(2.5,2.5)\rput(1.9,-0.25){$J$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspt
\bgex
$A$ et $B$ sont deux points du plan tels que $AB=3$ cm.
\vsp
\bgit
\item[a)] D�terminer l'ensemble $E_1$ des points $M$ du plan tels que
$\V{AM}\cdot\V{AB}=0$.
\vsp
\item[b)] Donner un point $H$ de $(AB)$ tel que
$\V{AH}\cdot\V{AB}=-6$.
D�terminer l'ensemble $E_2$ des points $M$ du plan tels que
$\V{AM}\cdot\V{AB}=-6$.
\enit
\enex
\vspq\noindent
\bgmp{12.3cm}
\bgth{
{\it (Al-Kashi, ou Pythagore g�n�ralis�)}
Dans un triangle $ABC$ quelconque, on a :
\[ a^2=b^2+c^2-2\,b\,c\,\cos\alpha \]
}
\enmp
\bgmp[t]{6cm}
\psset{unit=0.8cm}%{xunit=1.4cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(0.5,1)(5,1.5)
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,1.5)\put(-0.5,0.){$B$}
\psline[linewidth=0.8pt](3,1.5)(6,-1)\put(2.9,1.7){$A$}
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(6,-1)\put(6.2,-1){$C$}
\psarc(0,0){0.8}{-9.5}{26.5}\put(1.1,0.15){$\beta$}
\psarc(3,1.5){0.6}{207}{320}\put(2.8,0.6){$\alpha$}
\psarc(6,-1){1}{140}{171}\put(4.6,-0.5){$\gamma$}
\put(2.7,-0.9){$a$}\put(1.3,1.){$c$}\put(4.5,0.5){$b$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgcorol{
{\it (Th�or�me de Pythagore)}
$ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si \
$a^2=b^2+c^2$.
}
\bgproof{
$\bgar[t]{ll}
a^2=\V{BC}^2=\lp \V{BA}+\V{AC}\rp^2
&=\V{BA}^2+\V{AC}^2+2\V{BA}\cdot\V{AC} \vsp\\
&=c^2+b^2+2\cos(\pi-\alpha) \vsp\\
&=c^2+b^2-2\cos\alpha
\enar$
\vspd
Le th�or�me de Pythagore est alors un corollaire direct:
$ABC$ rectangle en $A$ $\iff$ $\alpha=\dfrac{\pi}{2} [\pi]$
$\iff \cos\alpha=0$ $\iff$ $a^2=b^2+c^2$.
}
\vspq\noindent
\bgmp{12.3cm}
\bgth{
{\it (Formule des sinus)}
L'aire d'un triangle $ABC$ quelconque, est donn�e par
\[
\mathcal{A}=\frac{1}{2}ab\sin\ga
=\frac{1}{2}ac\sin\beta
=\frac{1}{2}bc\sin\alpha
\]
et de plus, \hspace{0.4cm}
$\dsp\frac{\sin\alpha}{a}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\ga}{c}
$
}
\enmp
\bgmp[t]{6cm}
\psset{unit=0.8cm}%{xunit=1.4cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-0.3,1)(5,1)
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,1.5)\put(-0.5,0.){$B$}
\psline[linewidth=0.8pt](3,1.5)(6,-1)\put(2.9,1.7){$A$}
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(6,-1)\put(6.2,-1){$C$}
\psarc(0,0){0.8}{-9.5}{26.5}\put(1.1,0.15){$\beta$}
\psarc(3,1.5){0.6}{207}{320}\put(2.8,0.6){$\alpha$}
\psarc(6,-1){1}{140}{171}\put(4.6,-0.5){$\gamma$}
\put(2.7,-0.9){$a$}\put(1.3,1.){$c$}\put(4.5,0.5){$b$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspd\noindent
\bgmp{12.5cm}
\bgproof{
L'aire de $ABC$ est
$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}ah$,
avec $h=c\sin\beta$,
d'o�, $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}ac\sin\beta$.
En proc�dant de m�me (par permutation circulaire),
on obtient les autres formules.
\enmp
\bgmp[t]{6cm}
\psset{unit=0.8cm}%{xunit=1.4cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.)(5,2)
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(3,1.5)\put(-0.5,0.){$B$}
\psline[linewidth=0.8pt](3,1.5)(6,0)\put(2.9,1.7){$A$}
\psline[linewidth=0.8pt](0,0)(6,0)\put(6.2,0){$C$}
\psarc(0,0){0.8}{0}{26.5}\put(1.1,0.15){$\beta$}
\psarc(3,1.5){0.4}{207}{330}\put(2.4,0.8){$\alpha$}
\psarc(6,0){1}{154}{180}\put(4.6,0.2){$\gamma$}
\put(2.7,-0.35){$a$}\put(1.3,1.){$c$}\put(4.5,0.9){$b$}
\psline[linestyle=dashed](3,1.5)(3,0)
\rput(3.2,0.6){$h$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspd
Enfin, en divisant chaque terme par $\dfrac{1}{2}abc$, on obtient:
$\dsp \frac{\mathcal{A}}{\frac{1}{2}abc}
=\frac{\sin\ga}{c}=\frac{\sin\beta}{b}=\frac{\sin\alpha}{a}
$
}
\bgex
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=8$ cm, $AC=6$ cm et
$\widehat{A}=120^{\,\circ}$.
Calculer toutes les longueurs et angles de ce triangle.
\enex
\section{Produit scalaire et g�om�trie analytique du plan}
\subsection{Expression du produit scalaire}
\vspace{-0.4cm}
\bgprop{Soit dans un rep�re orthonormal,
$\vec{u}(x;y)$ et $\vec{v}(x';y')$.
Alors, $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$
}
\vspq\noindent
\ul{Remarque:} On a alors aussi,
$\vec{u}^2=\|\vec{u}\|^2=x^2+y^2$,
soit,
$\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2}$.
\bgex
Reprendre l'exercice 2, et donner dans le rep�re orthonormal
$(D;\V{DC},\V{DA})$ les coordonn�es de tous les points de la figure.
D�montrer alors que les vecteurs $\V{AI}$ et $\V{BJ}$ sont
orthogonaux.
\enex
\bgex
Dans un RON, on consid�re les points $A(1;1)$, $B(-1;2)$ et
$C(-3;0)$.
Donner une valeur de $\widehat{ABC}$ � $0,1$ degr� pr�s.
\enex
%\noindent
%\bgmp{12cm}
%\bgex
%Dans un RON (rep�re orthonormal), on consid�re les points
%$A(1;1)$, $B(-1;2)$ et $C(-3;0)$.
%Soit de plus $H$ le projet� orthogonal de $A$ sur la droite $(BC)$.
%
%\vspd
%\bgit
%\item[1)] Calculer l'angle $\widehat{ABC}$.
%\vsp
%\item[2)] Calculer la longueur $BH$.
%\enit
%\enex
%\enmp
%\bgmp{6cm}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}*(-4,-0.5)(4,4.3)
% \rput(1,1){$\tm$}\rput(1.2,1.2){$A$}
% \rput(-1,2){$\tm$}\rput(-1.2,2.2){$B$}
% \rput(-3,0){$\tm$}\rput(-3.05,-0.25){$C$}
% \psline{->}(-3.7,0)(2.3,0)
% \multido{\i=-5+1}{8}{\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)}
% \psline{->}(0,-1.3)(0,4.2)
% \multido{\i=-1+1}{5}{\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)}
% \psline(-4,-1)(1,4)
% \psline[linestyle=dashed](-0.5,2.5)(1,1)%\rput(-0.5,2.5){$\tm$}
% \rput(-0.7,2.7){$H$}
%\end{pspicture}
%\enmp
%\clearpage
\subsection{Equation d'une droite de vecteur normal $\vec{n}$}
\bgdef{
Dire qu'un vecteur $\vec{n}$ est normal � une droite $d$ signifie
que la direction de $\vec{n}$ est orthogonal � $d$.
}
\vspd\noindent
\ul{Cons�quence:}
\bgmp[t]{15.2cm}
\bgit
\item[$\bullet$] Ainsi, si $\vec{u}$ est un vecteur directeur de $d$, on a
$\vec{u}\cdot\vec{n}=0$.
\vspd
\item[$\bullet$] Si $A$ est un point de la droite $d$, alors $d$ est
l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\V{AM}\cdot\vec{n}=0$.
\enit
\enmp
\bgprop{
\bgit
\item[(1)] Une droite de vecteur normal $\vec{n}(a;b)$ a une
�quation de la forme $ax+by+c=0$.
\vspd
\item[(2)] L'ensemble $d$ d'�quation $ax+by+c=0$,
o� $a$ et $b$ sont des r�els non tous les deux nuls,
est la droite de vecteur normal $\vec{n}(a;b)$.
\enit
}
\bgproof{
Soit $\vec{n}(a;b)$, $A(x_A;y_A)$ un point de $d$,
et $M(x;y)$ un point quelconque du plan, alors
$\V{AM}\cdot\vec{n}=a(x-x_A)+b(y-y_B)$,
donc,
$\V{AM}\cdot\vec{n}=0\iff a(x-x_A)+b(y-y_B)=0
\iff ax+by+c=0$, avec $c=-ax_A-by_B$.
}
\vspd\noindent
\ul{Remarque:}
Si $b\not=0$, on peut retrouver l'�quation r�duite de la droite $d$:
\[ax+by+c=0 \iff y=-\dfrac{a}{b}x-\dfrac{c}{b}\ .\]
\vspd
\bgex
$ABC$ est un triangle tel que
$A(3;-2)$, $B(0;-1)$ et $C(1;3)$.
\vsp
\bgit
\item[a)] D�terminer une �quation de la m�diatrice du segment $[AB]$.
\vsp
\item[b)] D�terminer une �quation de la hauteur issue de $C$ dans le
triangle $ABC$.
\enit
\enex
\bgex
Dans un RON, on consid�re les points
$A(-3;0)$, $B(3;-1)$ et $C(1;5)$.
\vspd
\bgit
\item[a)] D�terminer une �quation de la droite $d_1$ perpendiculaire �
$(AB)$ et passant par $C$.
\vsp
\item[b)] D�terminer une �quation de la droite $d_2$ parall�le �
$(AB)$ et passant par $C$
(on pourra tout d'abord d�terminer un vecteur $\vec{n}$ normal
� $\V{AB}$).
\enit
\enex
%\bgex
%$ABC$ est un triangle tel que
%$A(1;-2)$, $B(4;3)$ et $C(-2;1)$.
%
%\vsp
%Calculer les coordonn�es de l'hortocentre du triangle $ABC$.
%\enex
%\subsection{Distance d'un point � une droite}
%
%\bgmp{11cm}
%\bgprop{
% Soit $d$ la droite d'�quation $ax+by+c=0$
% (avec $(a;b)\not=(0,0)$), et $A$ le point de coordonn�es
% $(x_A;y_A)$,
% alors, la distance de $A$ � $d$ est �gale �
% $\dsp \frac{|ax_A+bx_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
%}
%\enmp
%\bgmp[t]{6cm}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,1.5)
% \psline(0,0)(6,0)\rput(5,0.3){$d$}
% \psline[linestyle=dashed](2,0)(2,1.5)
% \rput(2,-0.25){$H$}\rput(2,1.5){$\tm$}\rput(2,2){$A$}
% \pspolygon(2,0)(2,0.2)(2.2,0.2)(2.2,0)
% \psline{->}(3.5,0)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\vec{n}$}
% \pspolygon(3.5,0)(3.5,0.2)(3.7,0.2)(3.7,0)
%\end{pspicture}
%\enmp
%
%\bgproof{
% La distance de $A$ � $d$ est la distance $AH$ o� $H$ est le projet�
% orthogonal de $A$ sur $d$.
%
% Le vecteur $\V{AH}$ est colin�aire � $\vec{n}(a;b)$ qui est aussi
% normal � $d$, et donc il existe un r�el $\lbd$ tel que
% $\V{AH}=\lbd\vec{n}$.
%
% \vsp
% On cherche alors $AH=\|\V{AH}\|=|\lbd|\|\vec{n}\|=|\lbd|\sqrt{a^2+b^2}$.
%
% \vspd
% On a, $\V{AH}(\lbd a;\lbd b)$, et comme
% $\V{AH}(x_H-x_A;y_H-y_A)$, on a donc,
% $x_H=\lbd a+x_A$ et $y_H=\lbd b+y_A$.
%
% \vspd
% De plus, $H\in d$, et donc, $ax_H+bx_H+c=0$, d'o�,
%
% $\dsp a(\lbd a+x_a)+b(\lbd b+y_B)+c=0
% \iff \lbd=-\frac{ax_A+by_B+c}{a^2+b^2}$.
%
% et finalement,
% $\dsp AH=|\lbd|\|\vec{n}\|=|\lbd|\sqrt{a^2+b^2}
% =\left|-\frac{ax_A+by_B+c}{a^2+b^2}\right|\sqrt{a^2+b^2}
% =\frac{|ax_A+bx_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$.
%}
%\subsection{Equation d'un cercle}
%
%\bgprop{
% \bgmp[t]{12cm}
% \bgit
% \item[1)] Le cercle $\mathcal{C}$ de diam�tre $[AB]$ est l'ensemble
% des points $M$ tels que $\V{MA}\cdot\V{MB}=0$.
% \item[2)] Le cercle $\mathcal{C}$ de centre $C(x_C;y_C)$ et de rayon
% $R$ a pour �quation $(x-x_C)^2+(y-y_C)^2=R^2$.
% \enit
% \enmp
% \bgmp[t]{4cm}
% \psset{unit=0.8cm}
% \begin{pspicture}(-0.8,0)(4,0.2)
% \pscircle(2,0){2}
% \psline(0,0)(4,0)
% \rput(2,0){$\tm$}
% \rput(-0.2,-0.2){$A$}\rput(4.2,-0.2){$B$}\rput(2,-0.35){$C$}
% \rput(0.9,2){$M$}
% \pspolygon(0,0)(1,1.722)(4,0)
% \end{pspicture}
% \enmp
%}
%
%\bgproof{
% \bgit
% \item[1)] Si $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)$, et $M(x;y)$ alors,
% $\V{MA}(x-x_A;y-y_A)$ et $\V{MB}(x-x_B;y-y_B)$.
%
% On a alors
% $M(x;y)\in\mathcal{C}\iff \V{MA}\cdot\V{MB}=0
% \iff \ul{(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0}$.
%
% \vspt
% \item[2)]
% Soit $C(x_C;y_C)$ le centre du cercle $\mathcal{C}$ de rayon
% $R\geq 0$.
%
% Alors, $\V{CM}(x-x_C;y-y_C)$
% et
% $M(x;y)\in\mathcal{C}\iff MC^2=R^2\iff \ul{(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=R^2}$
% \enit
%}
%
%
%\bgex
%Soit dans un RON, les points $I(3;-1)$ et la droite $d$ d'�quation
%$-x+y+1=0$.
%
%\vspd
%\bgit
%\item[a)] Calculer la distance du point $I$ � la droite $d$.
% \vsp
%\item[b)] D�terminer une �quation du cercle $\mathcal{C}$
% de centre $I$ est tangent � $d$.
%\enit
%\enex
%
%
%\bgex
%Dans un RON, on consid�re la droite $d$ d'�quation $x+2y-2=0$ et
%le cercle $\mathcal{C}$ de diam�tre $[AB]$,
%avec $A(-3;5)$ et $B(1;-1)$.
%
%\vspd
%\bgit
%\item[1)] Repr�senter graphiquement $\mathcal{C}$ et $d$.
% \vsp
%\item[2)] Calculer les coordonn�es des deux points d'intersection de
% $\mathcal{C}$ et $d$.
%\enit
%\enex
\clearpage
\setcounter{nex}{0}
\section{G�om�trie analytique dans l'espace}
\vspace{-0.4cm}
L'espace est muni d'un rep�re orthonorm�
$(0;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
\bgmp{9.5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-4.)(6.4,4.5)
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(-2.5,0)(5.6,0)\rput(5.,0.3){$y$}
\psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,-1.5)(0,4.5)\rput(-0.3,3.){$z$}
\psline[linewidth=1.2pt]{<-}(-3.5,-3.5)(1.1,1.1)\rput(-2.3,-2.){$x$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(1,0)\rput(0.7,0.35){$\vec{j}$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,1)\rput(-0.3,0.7){$\vec{k}$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(-1,-1)\rput(-0.9,-0.4){$\vec{i}$}
\multido{\i=-2+1}{8}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
}
\newlength{\unitcm}\setlength{\unitcm}{1cm}
\newlength{\tmpx}
\newlength{\tmpy}
\multido{\i=-3+1}{5}{
\setlength{\tmpx}{0.1cm+\i\unitcm}
\setlength{\tmpy}{-0.1cm+\i\unitcm}
\psline(\tmpy,\tmpx)(\tmpx,\tmpy)
}
\psline[linestyle=dashed](-2,-2)(3,-2)
\psline[linestyle=dashed](3,-2)(5,0)
\psline[linestyle=dashed](3,-2)(3,1)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3,-2)
\psline[linestyle=dashed](0,3)(3,1)
\rput(3,1){$\tm$}\rput(3.9,1.3){$M(x;y;z)$}
\rput(3.9,-2.2){$H(x;y;0)$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}
Pour tout point $M$ de l'espace, il existe un {\bf unique} triplet
$(x;y;z)$ de nombres r�els tels que
\[\V{OM}=x\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}\]
On note $M(x;y;z)$ les coordonn�es du point~$M$.
\enmp
\vspace{-0.8cm}
\bgex $ABCDEFGH$ est un cube.
\bgmp{12cm}
\bgit
\item[1)] D�terminer dans le rep�re
$(A;\V{AB},\V{AD},\V{AE})$ les coordonn�es de tous les points.
\vsp
\item[2)] D�terminer les longueurs $AC$, $OG$ et $BG$.
\vsp
\item[3)] Le triangle $HAF$ est-il rectangle en $A$ ?
\enit
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(4,2.5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)
\psline(4,0.5)(4,3.5)
\psline(4,3.5)(1,3.5)
\psline(0,3)(1,3.5)
\psline(3,3)(4,3.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
\rput(-0.2,-0.2){$A$}
\rput(3.2,-0.2){$B$}
\rput(4.3,0.6){$C$}
\rput(1.2,0.7){$D$}
\rput(-.2,3){$E$}
\rput(2.95,3.18){$F$}
\rput(4.3,3.7){$G$}
\rput(.7,3.7){$H$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(4,3.5)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(1,3.5)
\rput(2.1,2.1){$O$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\bgex
Soit, dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$,
les points
$A(1;5;2)$,
$B(-2;3;4)$,
$C(-2;-2;0)$ et
$D(7;-3;1)$.
\bgen
\item Calculer les coordonn�es des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{CD}$.
Ces vecteurs sont-ils colin�aires ?
\item Calculer les longueurs $AB$ et $AC$.
\item D�terminer les coordonn�es des milieux des segments $[AB]$ et
$[CD]$.
\item Calculer les coordonn�es des vecteurs
$\vec{u}=\dfrac12\V{AB}+3\V{CD}$
et
$\vec{v}=-\dfrac13\V{AD}-2\V{BC}$.
\item D�terminer les coordonn�es du point $K$ tel que
$ABCK$ soit un parall�logramme.
\item Calculer les coordonn�es du point $A'$ sym�trique de $A$ par
rapport � $B$.
\enen
\enex
\subsection{Vecteurs coplanaires}
\bgdef{{\it (Vecteurs coplanaires)}
Dire que les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$, et $\vec{w}$ sont
coplanaires signifie qu'ils peuvent �tre plac�s dans un m�me plan:
les points $O$, $A$, $B$ et $C$ tels que
$\V{OA}=\vec{u}$, $\V{OB}=\vec{v}$ et $\V{OC}=\vec{w}$ sont dans un
m�me plan.
}
\[\psset{unit=1.cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(5,2.2)
\rput[l](-.4,-.6){$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires}
\pspolygon(-0.3,-0.1)(4,-0.1)(5,1.2)(0.7,1.2)\rput(0.1,0.1){$\mathcal{P}$}
\psline{->}(2.2,0.3)(3.4,0.8)\rput(2.8,0.75){$\vec{v}$}
\psline{->}(2.2,0.3)(1.,0.8)\rput(1.3,0.45){$\vec{u}$}
\psline{->}(2.2,0.3)(3.7,0.1)\rput(3.25,0.35){$\vec{w}$}
\rput(2.1,0.1){$O$}
\rput(0.85,0.9){$A$}
\rput(3.5,0.95){$B$}
\rput(3.85,0.1){$C$}
\end{pspicture}
\hspace{0.8cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.5)(5,2.2)
\rput[l](-.4,-.6){$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas coplanaires}
% \pspolygon(0,0)(4,0)(5,1.)(1,1.)\rput(0.4,0.2){$\mathcal{P}$}
\pspolygon(-0.3,-0.1)(4,-0.1)(5,1.2)(0.7,1.2)\rput(0.1,0.1){$\mathcal{P}$}
\psline{->}(2.2,0.3)(3.4,0.8)\rput(2.8,0.75){$\vec{v}$}
\psline{->}(2.2,0.3)(1.8,1.8)\rput(1.8,0.9){$\vec{u}$}
\psline{->}(2.2,0.3)(3.7,0.1)\rput(3.25,0.35){$\vec{w}$}
\rput(2.1,0.1){$O$}
\rput(1.6,1.7){$A$}
\rput(3.5,0.95){$B$}
\rput(3.85,0.1){$C$}
\end{pspicture}
\]
\bgprop{
Les vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si
et seulement si il exsite des r�els $a$ et $b$ tels que
$\vec{u}=a\vec{v}+b\vec{w}$.
}
\bgex
Les vecteurs
$\vec{u}\lp\bgar{c} 3\\6\\0\enar\rp$,
$\vec{v}\lp\bgar{c} 1\\2\\2\enar\rp$ et
$\vec{w}\lp\bgar{c} 1\\2\\-1\enar\rp$
sont-ils coplanaires ?
\enex
\bgex
Les vecteurs
$\vec{u}\lp\bgar{c} 4\\-2\\0\enar\rp$,
$\vec{v}\lp\bgar{c} 6\\-1\\2\enar\rp$ et
$\vec{w}\lp\bgar{c} 2\\0\\-1\enar\rp$
sont-ils coplanaires ?
\enex
\bgprop{
Si $\vec{u}$,$\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont trois vecteurs non
coplanaires de l'espace, alors, pour tout vecteur $\vec{t}$,
il existe un unique triplet $(a;b;c)$ tel que
\[\vec{t}=a\vec{u}+b\vec{v}+c\vec{w}\ .\]
Pour tout point $A$, $\lp A;\vec{u},\vec{v},\vec{v}\rp$ forme alors
un rep�re de l'espace.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:} $(\vec{i};\vec{j};\vec{k})$ sont trois vecteurs non
coplanaires de l'espace, 2 � 2 orthogonaux, et forment un rep�re
(orthonorm�) de l'espace: tout vecteur $\vec{t}$ s'exprime selon ses
coordonn�es $(x;y;z)$ dans ce rep�re:
\[\vec{t}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\ .\]
\subsection{Repr�sentation param�trique d'une droite}
La droite $d$ passant par le point $A\lp x_A;y_A;z_A\rp$ et de vecteur
directeur $\vec{u}(a;b;c)$ est l'ensemble des points $M$ tels que
$\V{AM}=t\vec{u}$, $t\in\R$.
Autrement dit, $M(x;y;z)\in d$ si et seulement si il existe un r�el $t$ tel
que
$\V{AM}=t\vec{u}$, c'est-�-dire tel que
$\la\bgar{ll}
x=x_A+ta \\
y=y_A+tb \\
z=z_A+tc
\enar\right.$
\qquad
{\sl (ou "$M=A+t\vec{u}$\,").}
\bgdef{
Le syst�me pr�c�dent est {\bf une repr�sentation param�trique} de la
droite $d$
($t$ �tant le param�tre de cette repr�sentation).
}
\bgex
On consid�re la droite $d$ passant par $A(-2;3;1)$ et $B(5;2;-2)$.
\bgen
\item Donner un vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $d$.
\item Donner alors une repr�sentation param�trique de la droite $d$.
\item Les points $M(-9;4;4)$ et $N(12;1;1)$ appartiennent-ils � cette
droite ?
\enen
\enex
\bgex
Dans un RON, on donne les points $A(1;-2;3)$ et $B(0;0;1)$.
\vspd
\bgit
\item[a)] D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite
$(AB)$.
\vsp
\item[b)] Les points $C(-3;6;-5)$ et $D(2;-5;5)$ appartiennent-ils �
cette droite ?
\enit
\enex
\bgex
Les droites $d$ et $d'$ d�finies par les repr�sentations
param�triques suivantes sont-elles orthogonales ?
\vspace{-0.6cm}
\[\hspace{1.6cm}\la\bgar{cccccl}
x&=&2t &-& 1 \\
y&=&-3t &+& 2\\
z&=&t &&
\enar\right.,\ t\in\R
\hspace{1cm} \mbox{et, }\ \
\la\bgar{cccccl}
x&=&3t && \\
y&=&t &+& 2\\
z&=&-3t &-& 2
\enar\right.,\ t\in\R
\]
\enex
\bgex
D�montrer que les droites $d$ et $d'$ d�finies par les repr�sentations
param�triques sont s�cantes:
\vspace{-0.6cm}
\[\hspace{1.6cm}\la\bgar{cccccl}
x&=&5 &+& 3t \\
y&=&2 &+& t\\
z&=&1 &-& 4t
\enar\right.,\ t\in\R
\hspace{1cm} \mbox{et, }\ \
\la\bgar{cccccl}
x&=&-11 &+& 2t \\
y&=&10 &-& 2t\\
z&=&4 &+& t
\enar\right.,\ t\in\R
\]
\enex
\bgex
Soit, dans un rep�re $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$,
$A(-1;1;2)$, $\vec{u}(1;0;1)$ et $\vec{v}\lp\dfrac12;-1;1\rp$.
\bgen
\item Ecrire une repr�sentation param�trique du plan $(A;\vec{u},\vec{v})$
\item Les points $B(1;2;3)$ et $C(0;-1;4)$ appartiennent-il � ce plan ?
\item D�terminer l'intersection $d$ de ce plan et du plan
$(O;\vec{i},\vec{j})$.
Pr�ciser un point et un vecteur directeur de $d$.
\enen
\enex
\section{Produit scalaire dans l'espace}
\subsection{Projections orthogonales dans l'espace}
\vspace{-0.5cm}
\bgdef{
\bgmp[t]{10cm}
Soit $\mathcal{P}$ un plan et $M$ un point de l'espace.
Le projet� orthogonal de $M$ sur le plan $\mathcal{P}$ est le
point $M'$ intersection de la droite $\Delta$ passant par $M$ est
perpendiculaire � $\mathcal{P}$.
\enmp
\bgmp[t]{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.4,0.9)(4,0.5)
\pspolygon(0,0)(4,0)(5,1.)(1,1.)\rput(0.4,0.2){$\mathcal{P}$}
\rput(2.5,2){$\tm$}\rput(2.85,2.2){$M$}
\psline(2.5,2.5)(2.5,0.6)
\rput(2.5,0.6){$\tm$}\rput(2.9,0.7){$M'$}
\psline[linestyle=dashed](2.5,0.5)(2.5,-0.2)
\psline(2.5,-0.2)(2.5,-1)
\psline(2.5,0.8)(2.3,0.6)
\psline(2.3,0.6)(2.3,0.4)
\end{pspicture}
\enmp
}
\bgdef{
\bgmp[t]{10.8cm}
Soit $\mathcal{D}$ une droite et $M$ un point de l'espace.
Le projet� orthogonal de $M$ sur la droite $\mathcal{D}$ est
le point $M'$ intersection de $\mathcal{D}$ et du plan $\mathcal{P}$
perpendiculaire � $\mathcal{D}$.
\enmp
\bgmp[t]{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.7,0.8)(2,1.)
\pspolygon(-1,-1.)(1,-1.5)(1,1.)(-1,1.5)\rput(-0.7,1.1){$\mathcal{P}$}
\rput(-.3,0){$\tm$}\rput(0.5,-1){$M$}
\psline(-2,0)(-0.3,0)\rput(-2,0.25){$\mathcal{D}$}
\psline[linestyle=dashed](-0.5,0)(1,0)
\psline(1,0)(2,0)
\psline(-0.3,0)(0.2,-0.8)\rput(0.2,-0.8){$\tm$}\rput(0,0.35){$M'$}
\psline(-0.6,0)(-0.4,-0.3)(-0.2,-0.3)
\end{pspicture}
\enmp
}
\vspd
\bgex
\bgmp[t]{11cm}
$ABCDEFG$ est un cube.
D�terminer le projet� orthogonal $A'$ du point $A$ sur la droite
$(HC)$.
{\it (Indication: quelle est la nature du triangle $AHC$, et que
repr�sente dans ce triangle la droite $(AA')$)}
\enmp
\bgmp[m]{6cm}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1.5,0)(4,6)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)
\psline(4,0.5)(4,3.5)
\psline(4,3.5)(1,3.5)
\psline(0,3)(1,3.5)
\psline(3,3)(4,3.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
\rput(-0.2,-0.2){$A$}
\rput(3.2,-0.2){$B$}
\rput(4.3,0.6){$C$}
\rput(1.2,0.7){$D$}
\rput(-.2,3){$E$}
\rput(3.2,2.8){$F$}
\rput(4.3,3.7){$G$}
\rput(.7,3.7){$H$}
\psline[linestyle=dashed](1,3.5)(4,.5)
\psline(-1,5.5)(1,3.5)
\psline(4,0.5)(5,-0.5)
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\subsection{Produit scalaire dans l'espace}
\bgdef{
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace, et
$A$, $B$ et $C$ trois points de l'espace tels que
$\vec{u}=\V{AB}$ et $\vec{v}=\V{AC}$.
Le produit scalaire des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le
produit scalaire $\V{AB}\cdot\V{AC}$ calcul� dans un plan
contenant les points $A$, $B$ et $C$.
}
\vspq\noindent
\ul{Remarque:} Si les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas align�s,
il existe un unique plan $\mathcal{P}$ contenant $A$, $B$ et $C$.
Dans ce plan, $(A;\V{AB},\V{AC})$ est un rep�re
(a priori quelconque).
%\vspd
%\noindent
%\bgmp[t]{12.5cm}
%\ul{Exemple:}
%Dans le cube $ABCDEFG$ d'ar�te $a$,
%\[\V{AB}\cdot\V{DG}=\V{AB}\cdot\V{AF}=\V{AB}\cdot\V{AB}=a^2
%\]
%\[ \mbox{et, }\ \ \V{AC}\cdot\V{BF}=\V{AC}\cdot\V{AE}=0
%\]
%\enmp
%\bgmp[m]{6cm}
%\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,1.5)(4,3.6)
% \pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
% \psline[linestyle=dashed](1,0.5)
% \psline(4,0.5)(4,3.5)
% \psline(4,3.5)(1,3.5)
% \psline(0,3)(1,3.5)
% \psline(3,3)(4,3.5)
% \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
% \psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
% \psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
% \rput(-0.2,-0.2){$A$}
% \rput(3.2,-0.2){$B$}
% \rput(4.3,0.6){$C$}
% \rput(1.2,0.7){$D$}
% \rput(-.2,3){$E$}
% \rput(3.2,2.8){$F$}
% \rput(4.3,3.7){$G$}
% \rput(.7,3.7){$H$}
% %\psline[linestyle=dashed](0,0)(4,3.5)
% %\psline[linestyle=dashed](3,0)(1,3.5)
% %\rput(2.1,2.1){$O$}
%\end{pspicture}
%\enmp
\vspd
\bgex
\bgmp[t]{10cm}
$SABCD$ est une pyramide � base carr�e de sommet $S$ et dont toutes
les ar�tes ont la m�me longueur $a$.
Calculer, en fonction de $a$, les produits scalaires suivants:
\[ a)\ \V{SA}\cdot\V{SB} \hspace{1cm}
b)\ \V{SA}\cdot\V{SC}
\]
\[
c)\ \V{SA}\cdot\V{AC} \hspace{1cm}
d)\ \V{SC}\cdot\V{AB}
\]
\enmp
\bgmp[m]{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.6,2)(3.5,2.5)
\psline(0,0)(3,0)(4,1)
\psline[linestyle=dashed](4,1)(1,1)(0,0)
\psline(2,3)(0,0)
\psline(2,3)(3,0)
\psline(2,3)(4,1)
\psline[linestyle=dashed](2,3)(1,1)
\rput(-0.2,-0.2){$A$}
\rput(3.2,-0.2){$B$}
\rput(4.2,1){$C$}
\rput(1,0.8){$D$}
\rput(2,3.3){$S$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\section{Expressions et propri�t�s du produit scalaire}
Toutes les propri�t�s du produit scalaire dans le plan restent
vraies dans l'espace:
\vspd
\bgit
\item[$\bullet$]
$\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\lp \vec{u},\vec{v}\rp$
\vspd
\item[$\bullet$]
$\dsp
\vec{u}\cdot\vec{v}=\frac{1}{2}\Big[
\|\vec{u}+\vec{v}\|^2-\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2
\Big]$
\vspd
\item[$\bullet$] Le calcul du produit scalaire � l'aide d'une
projection.
\vspd
\item[$\bullet$] Les r�gles de calcul:
sym�trie, associativit�, distributivit�, lin�arit�.
\enit
\vspd
Il faut n�anmoins adapter l'expression du produit scalaire en fonction
des coordonn�es:
\bgprop{
Dans un RON de l'espace, soit $\vec{u}(x;y;z)$
et $\vec{v}(x';y';z')$,
alors,
\[\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'
\]
}
\noindent
\bgmp[t]{12.5cm}
\bgex
$ABCDEFGH$ est un cube de centre $O$ et d'ar�te~$a$.
\bgit
\item[1)] Calculer, en fonction de $a$, les produits scalaires:
\[ a)\, \V{AE}\cdot\V{BG} \hspace{0.4cm}
b)\, \V{HB}\cdot\V{BA} \hspace{0.4cm}
c)\, \V{AB}\cdot\V{AO} \hspace{0.4cm}
\]
\item[2)] D�terminer dans le rep�re $(A;\V{AB},\V{AD},\V{AE})$ les
coordonn�es de tous les points et retrouver a).
\item[3)] D�terminer une mesure de l'angle $\widehat{HOG}$.
\enit
\enex
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,4)(4,4.5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)
\psline(4,0.5)(4,3.5)
\psline(4,3.5)(1,3.5)
\psline(0,3)(1,3.5)
\psline(3,3)(4,3.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
\rput(-0.2,-0.2){$A$}
\rput(3.2,-0.2){$B$}
\rput(4.3,0.6){$C$}
\rput(1.2,0.7){$D$}
\rput(-.2,3){$E$}
\rput(3.2,2.8){$F$}
\rput(4.3,3.7){$G$}
\rput(.7,3.7){$H$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(4,3.5)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(1,3.5)
\rput(2.1,2.1){$O$}
\end{pspicture}
\enmp
\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgex
$ABCDEFGH$ est un parall�l�pip�de rectangle tel que
$AD=AE=1$ cm et $AB=2$ cm
\vsp
$I$ est le centre du carr� $ADHE$ et $J$ le milieu du segment $[GH]$.
\vspd
\bgit
\item[a)] Donner, dans le RON
$\lp A;\dfrac{1}{2}\V{AB},\V{AD},\V{AE}\rp$,
les coordonn�es des points $I$, $J$ et $F$.
\vsp
En d�duire le produit scalaire $\V{JI}\cdot\V{JF}$.
\vsp
\item[b)] D�terminer l'angle, au dixi�me de degr� pr�s, $\widehat{IJF}$.
\enit
\enex
\enmp
\bgmp[t]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,1.5)(4,5)
\pspolygon(0,0)(6,0)(6,3)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)
\psline(7,0.5)(7,3.5)
\psline(7,3.5)(1,3.5)
\psline(0,3)(1,3.5)
\psline(6,3)(7,3.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)(7,0.5)
\psline[linestyle=dashed](6,0)(7,.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
\rput(-0.2,-0.2){$A$}
\rput(6.2,-0.2){$B$}
\rput(7.3,0.6){$C$}
\rput(.7,0.7){$D$}
\rput(-.2,3){$E$}
\rput(6.2,2.8){$F$}
\rput(7.3,3.7){$G$}
\rput(.7,3.7){$H$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,3.5)
\psline[linestyle=dashed](0,3)(1,.5)
\rput(0.25,1.7){$I$}
\psline[linestyle=dashed](0.5,1.75)(4,3.5)
\psline[linestyle=dashed](4,3.5)(6,3)
\rput(4,3.8){$J$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{-0.8cm}
\noindent
\bgmp[t]{12.5cm}
\bgex
$ABCDEFGH$ est un cube d'ar�te~$a$.
$J$ et $K$ sont les milieux respectifs des segments $[FB]$ et $[GH]$.
Calculer $JK$.
\enex
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,2)(4,4)
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,3)(0,3)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)
\psline(4,0.5)(4,3.5)
\psline(4,3.5)(1,3.5)
\psline(0,3)(1,3.5)
\psline(3,3)(4,3.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)(4,0.5)
\psline[linestyle=dashed](3,0)(4,.5)
\psline[linestyle=dashed](1,0.5)(1,3.5)
\rput(-0.2,-0.2){$A$}
\rput(3.2,-0.2){$B$}
\rput(4.3,0.6){$C$}
\rput(1.2,0.7){$D$}
\rput(-.2,3){$E$}
\rput(3.2,2.8){$F$}
\rput(4.3,3.7){$G$}
\rput(.7,3.7){$H$}
\psline[linestyle=dashed](3,1.5)(2.5,3.5)
\rput(3,1.5){$\tm$}\rput(3.2,1.5){$J$}
\rput(2.5,3.5){$\tm$}\rput(2.5,3.8){$K$}
\end{pspicture}
\enmp
\section{Orthogonalit� dans l'espace}
\subsection{Orthogonalit� de deux droites}
\vspace{-0.3cm}
\bgdef{
Deux droites sont orthogonales si leurs parall�les men�ees par un
point quelconque sont perpendiculaires.
}
\vspt\noindent
\ul{Remarque:} Dans l'espace, deux droites peuvent n'�tre ni
parall�les ni s�cantes.
\bgprop{
\bgit
\item[$\bullet$] $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0$
\vspd
\item[$\bullet$] Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ de vecteurs
directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonales si et seulement
si $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$
\vspd
\item[$\bullet$] Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont
perpendiculaires si et seulement si elles sont orthogonales
{\bf \ul{et}} s�cantes.
\enit
}
\subsection{Droites et plans perpendiculaires}
\vspace{-0.3cm}
\bgdef{
Une droite est perpendiculaire � un plan lorsqu'elle est orthogonale
� toutes les droites de ce plan.
}
\bgprop{
Une droite $\mathcal{D}$ de vecteur directeur $\vec{u}$ est
perpendiculaire � un plan $\mathcal{P}$ si et seulement si
il existe deux vecteurs non colin�aires du plan
$\mathcal{P}$ orthogonaux � $\vec{u}$.
}
\bgproof{
\bgit
\item[$\bullet$] {\bf La condition est n�cessaire.}
Si $\mathcal{D}$ est perpendiculaire � $\mathcal{P}$, elle est
orthogonale � toutes les droites de $\mathcal{P}$.
En particulier, il existe deux droites de $\mathcal{P}$,
non parall�les et orthogonales � $\mathcal{D}$ et $\vec{u}$ est
donc orthogonal aux vecteurs directeurs de ces droites qui sont
des vecteurs de $\mathcal{P}$ non colin�aires.
\item[$\bullet$] {\bf R�ciproque: la condition est suffisante.}
Soit $\vec{v}$ et $\vec{w}$ deux vecteurs non colin�aires de
$\mathcal{P}$ orthogonaux � $\vec{u}$.
Alors, pour tout vecteur $\vec{z}$ de $\mathcal{P}$,
les vecteurs $\vec{z}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires,
et donc, il existe $\alpha$ et $\beta$ tels que
$\vec{z}=\alpha\vec{v}+\beta\vec{w}$.
On a alors,
$\vec{u}\cdot\vec{z}
=\vec{u}\cdot\lp \alpha\vec{v}+\beta\vec{w}\rp
=\alpha\vec{u}\cdot\vec{v}+\beta\vec{u}\cdot\vec{w}
=0
$,
ce qui montre que $\vec{u}$ et $\vec{z}$ sont orthogonaux, et
donc,
$\vec{z}$ �tant un vecteur quelconque de $\mathcal{P}$,
que $\vec{u}$ est orthogonal � tout vecteur de $\mathcal{P}$.
\enit
}
\bgex
On consid�re dans un RON, les points
$A(-1;-1;-1)$,
$B(0;-2;0)$ et
$C(-2;1;0)$.
Montrer que le vecteur $\vec{n}(3;2;-1)$ est un vecteur normal au plan
$(ABC)$, et d�terminer une �quation de ce plan.
\enex
\subsection{Vecteur normal � un plan et plans perpendiculaires}
\vspace{-0.3cm}
\noindent
\bgmp[t]{11.cm}
\bgprop{
Soit $\vec{n}$ un vecteur et $A$ un point de l'espace.
L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que
$\V{AM}\cdot\vec{n}=0$ est le plan de vecteur normal $\vec{n}$.
}
\enmp
\bgmp[m]{5cm}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(0.4,1.2)(4,1.5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(4,1)(1,1)\rput(0.35,0.18){$\mathcal{P}$}
\psline[linewidth=1.4pt]{->}(2,0.5)(2,1.5)\rput(2.15,1.4){$\vec{n}$}
\rput(3,0.7){$\tm$}\rput(3.2,0.8){\small$M$}
\psline(2,0.5)(3,0.7)
\psline(2.,0.75)(2.2,0.8)(2.2,0.54)
\rput(1.9,0.45){$A$}
\rput(1.4,0.9){$\tm$}\rput(1.2,0.9){\small$M'$}
\psline(2,0.5)(1.4,0.9)
\psline(2,0.65)(1.85,0.8)(1.85,0.6)
\psline(2,0.5)(2.2,0.2)\rput(2.2,0.2){$\tm$}\rput(2.45,0.2){\small$M''$}
\psline(2.06,0.42)(2.06,0.52)(2,0.62)
\end{pspicture}
\enmp
\bgcorol{Dans un rep�re orthonormal,
\bgit
\item[(1)] Un plan $\mathcal{P}$ de vecteur normal $\vec{n}(a;b;c)$
a une �quation de la forme \mbox{$ax+by+cz+d=0$}.
\vspd
\item[(2)] R�ciproquement, $a$, $b$, $c$ et $d$ �tant quatre r�els
avec $(a;b;c)\not=(0;0;0)$, l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels
que $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal
$\vec{n}(a;b;c)$.
\enit
}
\bgproof{
Soit $A(x_A;y_A;z_A)$ et $M(x;y;z)$ alors
$\V{AM}(x-x_A;y-y_A;z-z_A)$
et
$\V{AM}\cdot\vec{n}=a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)$.
Ainsi, $\V{AM}\cdot\vec{n}=0 \iff ax+by+cz+d=0$,
en posant $d=-ax_A-bx_B-cx_C$.
}
\bgdef{
Deux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ de vecteurs normaux
$\vec{n}$ et $\vec{n}'$ sont orthogonaux lorsque
$\vec{n}$ et $\vec{n}'$ sont orthogonaux.
}
\bgex
L'espace est muni d'un RON $(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
$A$ %et $M$ sont les points de coordonn�es respectives
est le point de coodonn�es
$(1;-5;7)$.% et $(1;1;1)$.
$\mathcal{L}$ est le plan d'�quation cart�sienne:
$-2x+y+z-4=0$.
\vspd
\bgit
\item[a)] D�terminer une �quation cart�sienne du plan $\mathcal{P}$
tel que le projet� orthogonal de l'origine $O$ sur $\mathcal{P}$
soit le point $A$.
\vspd
\item[b)] Montrer que les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont
perpendiculaires.
% \vspd
%\item[c)] Calculer les distances du point $M$ au plan $\mathcal{L}$ et
% du point $M$ au plan $\mathcal{P}$.
% \vspd
%\item[d)] D�duire des questions pr�c�dentes la distance du point $M$
% � la droite $\Delta$ intersection des plans $\mathcal{L}$ et
% $\mathcal{P}$.
\enit
\enex
\bgex
Dans un RON, le plan $\mathcal{P}$ a pour �quation
$2x-y+3z-1=0$, et le point $A$ a pour coordonn�es
$A(0;-1;-4)$.
On note de plus $H$ le projet� orthogonal du point $A$ sur le plan
$\mathcal{P}$.
\vsp
\bgit
\item[a)] D�terminer les coordonn�es d'un vecteur $\vec{n}$ normal �
$\mathcal{P}$.
\item[b)] Justifier l'existence d'un r�el $k$ tel que
$\V{AH}=k\vec{n}$.
Traduire cette relation en termes de coordonn�es.
\item[c)] D�terminer $k$ en exprimant que $H$ appartient �
$\mathcal{P}$.
En d�duire les coordonn�es de $H$ et la distance $AH$
de $A$ au plan $\mathcal{P}$.
\enit
\enex
%\section{Applications du produit scalaire}
%
%\subsection{Distance d'un point � un plan}
%
%\bgprop{
% Soit $\mathcal{P}$ un plan de l'espace.
% La distance du point $A(x_A;y_A;z_A)$ au plan $\mathcal{P}$ est la
% distance $AH$,
% o� $H$ est le projet� orthogonal de $A$ sur $\mathcal{P}$,
% \[ AH=\frac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
% \]
%}
%
%\bgproof{
% $\V{AH}$ est colin�aire � $\vec{n}(a;b;c)$, et donc,
% il existe un nombre $\lbd$ tel que $\V{AH}=\lbd\vec{n}$,
% et ainsi,
% $(x_H-x_A;y_H-y_A;z_H-z_A)=(\lbd a;\lbd b;\lbd c)$,
% d'o�, $x_H=x_A+\lbd a$, $y_H=y_A+\lbd b$ et $z_H=z_A+\lbd c$.
%
%
% De plus, $H\in\mathcal{P}$, d'o�,
% $ax_H+by_H+cz_H+d=0
% \iff a(x_A+\lbd a)+b(y_A+\lbd b)+c(z_A+\lbd c)+d=0$
% et donc, $\dsp \lbd=\frac{ax_A+by_A+cz_A}{a^2+b^2+c^2}$.
%
%
% On a aussi $AH=|\lbd|�\|\vec{n}\|=|\lbd|\sqrt{a^2+b^2+c^2}$,
% d'o� la formule de la propri�t�.
%}
%
%\subsection{In�quation caract�risant un demi-espace}
%
%\noindent
%\bgmp[t]{12.cm}
%\bgprop{
% Dans un rep�re orthonormal, l'ensemble des points
% $M(x;y;z)$ qui v�rifient $ax+by+cz+d\geqslant 0$ (resp $>0$),
% avec $(a;b;c)\not=(0;0;0)$, est le demi-espace ferm�
% (resp. ouvert) d�limit� par le plan $\mathcal{P}$
% d'�quation $ax+by+cz+d=0$.
%}
%\enmp
%\bgmp[m]{5cm}
%\psset{unit=1.5cm}
%\begin{pspicture}(0.,1.5)(4,1.)
% \pspolygon(0,0)(3,1)(4,2)(1,1)%\rput(0.55,0.35){$\mathcal{P}$}
% \rput(1.5,1.5){\rotatebox{20}{$ax+by+cz+d>0$}}
% \rput(2,1){\rotatebox{20}{$\mathcal{P}:ax+by+cz+d=0$}}
% \rput(1.5,0){\rotatebox{20}{$ax+by+cz+d<0$}}
%\end{pspicture}
%\enmp
%
%\bgex
%Dans un RON, le plan $\mathcal{P}$ a pour �quation:
%$5x-\dfrac{y}{2}+z+\dfrac{1}{3}=0$.
%
%D�terminer une in�quation du demi-espace ferm� de fronti�re
%$\mathcal{P}$ contenant le point $B$ de
%coordonn�es $(-1;2;3)$.
%\enex
%\clearpage
\section{Intersection de plans et de droites dans l'espace}
%\newrgbcolor{c1}{0.66 0.66 0.73}
\newrgbcolor{c1}{0.79 0.79 0.86}
%\newrgbcolor{c2}{1 0.8 0.8}
\newrgbcolor{c2}{1 0.81 0.81}
\newrgbcolor{c3}{1. 0.88 0.88}
\subsection{Intersection de deux plans}
\vspace{-0.5cm}
\bgprop{
Soit $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ deux plans de l'espace.
Alors, trois cas sont possibles:
\vspt
\begin{tabular}{*2{p{5cm}|}p{5cm}}
$\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont strictement parall�les: ils
n'ont aucun point commun
&
$\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont s�cants suivant une droite $d$
&
$\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ sont confondus: leur intersection
est un plan
\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(4,2.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](0,1.2)(3,1.2)(4,2.2)(1,2.2)
\end{pspicture}
&
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-2.5,0.6)(3,3.2)
\psline(0,0)(0,5)\rput(.25,4.95){$d$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](-2,0)(0,1.5)(0,4.5)(-2,3.)
% \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](2,0)(0,1.5)(0,4.5)(2,3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](2,0)(0,1.5)(0,4.5)(2,3)
\end{pspicture}
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(3,2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
\end{pspicture}
\end{tabular}
}
\bgprop{
Alg�briquement,
si les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ ont pour �quation
respective
$ax+by+cz+d=0$ et $a'x+b'y+c'z+d'=0$,
leur intersection est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que
\[
\la\bgar{ccccccccc}
ax &+& by &+& cz &+& d &=& 0 \vspd\\
a'x &+& b'y &+& c'z &+& d'&=& 0
\enar\right.
\]
\bgmp{11.4cm}
Si les plans sont s�cants, le syst�me est alors un
\ul{syst�me d'�quations cart�siennes}
repr�sentant la droite $d$.
\enmp%\hspace{0.4cm}
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,1)(4.,4.2)
\psline(0,0)(0,6.5)\rput(0.4,6.5){$d$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,1.5)(3.5,2)(3.5,6)(0,5.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](0,1.5)(3,0)(3,4)(0,5.5)
\end{pspicture}
\enmp
}
\bgex
\bgit
\item[a)] Le syst�me
$\la\bgar{rccccrrcc}
2x &-& y &+& 3z &-& 1 &=& 0 \vspd\\
x &+& y &-& 4z &-& 6&=& 0
\enar\right.
$
est-il un syst�me d'�quations cart�siennes d'une droite $d$ ?
\vspd
\item[b)] D�terminer $x$ et $y$ en fonction de $z$, puis en d�duire une �quation
param�trique de $d$, en introduisnat le param�tre $t=z$.
Donner alors un point et un vecteur directeur de $d$.
\enit
\enex
\bgex Dans un RON, les plans $\mathcal{P}$, $\mathcal{L}$ et
$\mathcal{R}$ ont pour �quations cart�siennes
\[\mathcal{P}:\ x+y+z+3=0\,,
\ \ \mathcal{L}:\ 2x+2y+2z+7=0\,,
\ \mbox{ et }\ \ \mathcal{R}:\ 3x-y+2=0\]
Etudier l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$, puis
des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{R}$.
\enex
\subsection{Intersection d'une droite et d'un plan}
\bgprop{Soit $d$ une droite et $\mathcal{P}$ un plan de l'espace.
Alors, trois cas sont possibles:
\vspt
\begin{tabular}{*2{p{5cm}|}p{5cm}}
$d$ et $\mathcal{P}$ sont strictement parall�les: ils
n'ont aucun point commun
&
$d$ et $\mathcal{P}$ sont s�cants en un unique point $A$
&
$d$ est contenue dans $\mathcal{P}$: leur intersection
est la droite $d$
\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,0.2)(4,1.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
\psline(-0.,1.2)(4.,1.2)
\rput(0.2,1.5){$d$}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,1.8)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
\psline(1,2)(2,0.5)
\psline[linestyle=dashed](2,0.5)(3,-1.)
\psline(2.33,0)(3,-1)
\rput(0.2,1.5){$d$}\rput(2,0.5){$\bullet$}%\psdot(2.,0.5)
\end{pspicture}
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0)(3,1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
\psline(1.2,0.8)(2.8,0.1)
\end{pspicture}
\end{tabular}
}
\bgex Dans un RON, le plan $\mathcal{P}$ a pour �quation
$5x+y-z+3=0$ et la droite $d$ pour repr�sentation param�trique
$\la\bgar{ll}
x=t\\
y=1-6t \\
z=3-t
\enar\right.,\ t\in\R$.
\vspd
D�terminer l'intersection de $d$ et $\mathcal{P}$.
\enex
\bgex
Les points $A$ et $B$ ont pour coordonn�es respectives
$(2;-1;5)$ et $(-1;2;3)$.
Etudier l'intersection de la droite $(AB)$ avec le plan $\mathcal{P}$
d'�quation $5x-3y-z=1$.
\enex
\section{Intersection de trois plans}
Soit $\mathcal{P}$ et $\mathcal{L}$ et $\mathcal{R}$ trois plans de
l'espace.
Alors, six cas sont possibles:
\vspt\hspace{-1.cm}
\begin{tabular}{*2{p{5.7cm}|}p{5.5cm}}
\multicolumn{3}{l}{\bf $\bullet$ Ils n'ont aucun point commun}\vspd\\
Les trois plans sont strictement parall�les
&
Deux plans sont strictement parall�les et s�cants au troisi�me
&
Deux plans sont s�cants suivant une droite, et le troisi�me plan
est strictement parall�le � cette droite
est un plan
\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1.5)(4,4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](0,1.2)(3,1.2)(4,2.2)(1,2.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](0,2.4)(3,2.4)(4,3.4)(1,3.4)
\end{pspicture}
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(3,4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,1)(-1,0)(3,0)(4,1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](0,2.2)(-1,1.2)(3,1.2)(4,2.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](0,2.4)(1,3.4)(3.5,-0.6)(2.5,-1.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](2.53,1)(1.53,0)(3,0)(4,1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](1.76,2.2)(0.76,1.2)(3,1.2)(4,2.2)
\psline[linewidth=0.9pt](0.5,-1.02)(2.65,1.13)
\psline[linewidth=0.9pt](0,0.44)(1.95,2.38)
\end{pspicture}
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(3,4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(0,2)(4,2.5)(4,0.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](1.5,-0.5)(1.5,1.5)(4,2.5)(4,0.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](-1,0.5)(-1,2.5)(4.5,0.8)(4.5,-1.2)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(0,2)(0.4,2.05)(0.4,0.05)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](1.5,-0.5)(1.5,1.5)(1.8,1.63)(1.8,-.37)
\psline[linestyle=dashed](1.5,-0.5)(4,0.5)
\psline[linestyle=dashed](4,2.5)(4,-1.05)
\psline[linewidth=0.9pt](4,-1.05)(4,-1.5)
\psline[linewidth=0.9pt](4,2.5)(4,3)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(4,0.5)
\psline[linewidth=0.9pt](0.4,3)(0.4,-0.8)
\psline[linewidth=0.9pt](1.8,2.5)(1.8,-1.8)
\rput(0.2,3.1){$d_1$}
\rput(1.6,2.6){$d_2$}
\rput(3.8,3){$d_3$}
\end{pspicture}
\end{tabular}
\vspt\hspace{-1.cm}
\begin{tabular}{*2{p{5.7cm}|}p{5.5cm}}
$\bullet$ {\bf Ils ont un unique point d'intersection}
&
$\bullet$ {\bf Leur intersection est une droite}
&
$\bullet$ {\bf Leur intersection est un plan}
\\
&
&
Les trois plans sont confondus
\\
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,0)(3,5)
\psline(0,0)(0,5)\rput(.25,4.95){$d$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](-2,0)(0,1.5)(0,4.5)(-2,3.)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](2,0)(0,1.5)(0,4.5)(2,3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2](-2,2.5)(0,3)(2,1.)
\rput(0,3){$\bullet$}%\psdot(0,3)
\rput(0.3,3.2){$A$}
\end{pspicture}
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.5,0)(3,5)
\psline(0,0)(0,5)\rput(.25,4.95){$d$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](-2,0)(0,1.5)(0,4.5)(-2,3.)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c2]
(-1.,-.5)(0,1.5)(0,4.5)(-1.,2.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c3](2,0)(0,1.5)(0,4.5)(2,3)
\psline[linestyle=dashed](-2,0)(0,1.5)
\end{pspicture}
&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.5)(4,4)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=c1](0,0)(3,0)(4,1)(1,1)
\end{pspicture}
\end{tabular}
\vspd
\bgprop{Alg�briquement, si dans un RON, les plans ont pour �quations
respectives $ax+by+cz+d=0$,
$a'x+b'y+c'z+d'=0$, et $a''x+b''y+c''z+d''=0$, alors leur
intersection est l'ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que:
\[
\la\bgar{ccccccccc}
ax &+& by &+& cz &+& d &=& 0 \vspd\\
a'x &+& b'y &+& c'z &+& d'&=& 0 \vspd\\
a''x &+& b''y &+& c''z &+& d''&=& 0
\enar\right.
\]
Ce syst�me de trois �quations � trois inconnues peut donc avoir:
aucune solution, une unique solution, ou une infinit�.
}
\bgex
D�terminer l'intersection des plans $\mathcal{P}$,
$\mathcal{L}$ et $\mathcal{R}$ d'�quations respectives:
\[3x+3y+z+2=0\ \ ,\ \
y+z-5=0\ \mbox{ et, }\ \
2z-8=0\,.\]
\enex
\bgex
D�terminer l'intersection des plans $\mathcal{P}$,
$\mathcal{L}$ et $\mathcal{R}$ d'�quations respectives:
\[4x+3y+z+2=0\ \ ,\ \
x+2y+z-5=0\ \mbox{ et, }\ \
3x+5y+2z-9=0\,.\]
\enex
\section{Th�or�me "du toit"}
Le th�or�me dit du "toit" permet de d�montrer que des droites dans
l'espace sont parall�les ou concourantes en un point.
\bgth{
Si trois plans $P$, $Q$ et $R$ de l'espace sont s�cants deux � deux,
alors les trois droites d'intersection sont concourantes ou
parall�les.
}
\bgproof{
On note $d_1=P\cap Q$ la droite intersection des plans $P$ et $Q$,
$d_2=Q\cap R$ la droite intersection des plans $Q$ et $R$, et
$d_3=P\cap R$ la droite intersection des plans $P$ et $R$.
Consid�rons, par exemple, dans un premier temps, les droites $d_1$ et
$d_2$.
Comme ces deux droites sont coplanaires
(elles appartiennent au m�me plan $Q$),
seulement deux cas sont possibles:
les droites $d_1$ et $d_2$ sont s�cantes ou bien elles sont
parall�les
(si ces deux droites n'�taient pas coplanaires, elles pourraient
aussi n'�tre ni s�cantes, ni parall�les).
\bgit
\item[\ul{1$^{\text{er}}$ Cas:}] Supposons $d_1$ et $d_2$ s�cantes.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-1.5)(7,4.5)
\psplot{-3}{7}{0.25 x mul -0.5 add}\rput(-3,-1){$d_3$}
\psplot{-3}{7}{1}\rput(-3,1.2){$d_1$}
\psplot{-3}{7}{x -3 div 3 add}\rput(-3,3.8){$d_2$}
%
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=green,linecolor=green]
%(-1.5,1)(-0.66,3.22)(4.2,1.6)(4,1)
%\rput(-1.1,1.3){\textcolor{green}{$Q$}}
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=blue,linecolor=blue]
%(0,-0.5)(-1.5,1)(4,1)(4.5,0.625)
%\rput(-0.9,.8){\textcolor{blue}{$P$}}
%\pspolygon[fillstyle=solid,opacity=0.5,fillcolor=red,linecolor=red]
%(0,-0.5)(-0.66,3.22)(4.2,1.6)(4.5,0.625)
%%\pspolygon[fillstyle=solid,opacity=0.5,fillcolor=red,linecolor=red]
%%(0,-0.5)(-0.66,3.22)(4.2,1.6)(4.5,0.625)
\rput(0.2,-0.2){\textcolor{red}{$R$}}
%
\pspolygon[linecolor=green]
(-1.5,1)(-0.66,3.22)(4.2,1.6)(4,1)
\rput(-1.1,1.3){\textcolor{green}{$Q$}}
\pspolygon[linecolor=blue]
(0,-0.5)(-1.5,1)(4,1)(4.5,0.625)
\rput(-0.9,.8){\textcolor{blue}{$P$}}
\pspolygon[linecolor=red]
(0,-0.5)(-0.66,3.22)(4.2,1.6)(4.5,0.625)
%
\rput(6,1.2){$I$}
\end{pspicture}
Soit $I=d_1\cap d_2$ le point d'intersection des deux droites
$d_1$ et $d_2$.
On a alors,
$I\in d_1$, donc $I\in P$, car $d_1\subset P$,
et de m�me,
$I\in d_2$, donc $I\in R$, car $d_2\subset R$.
Ainsi, $I$ est un point commun aux plans $P$ et $R$,
soit $I\in P\cap R$.
Par cons�quent, $I$ appartient aussi � la droite $d_3$ qui est
l'intersection des plans $P$ et $R$.
On en conclut donc que le point $I$ appartient � la fois aux trois
droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$, et donc que ces trois droites sont
bien concourantes en $I$.
\vspt
\item[\ul{2$^{\text{e}}$ Cas:}] Supposons $d_1$ et $d_2$ parall�les.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-0.5)(7,4)
\psline(-4,1)(7,1)\rput(-3.5,1.2){$d_1$}
\psline(-3,0)(8,0)\rput(-2.5,0.2){$d_3$}
\psline(-4,3)(7,3)\rput(-3.2,3.2){$d_2$}
\pspolygon[linecolor=green](-2,1)(4,1)(5,3)(-1,3)
\rput(-1.6,1.3){\textcolor{green}{$Q$}}
\pspolygon[linecolor=blue](0,0)(-2,1)(4,1)(6,0)
\rput(-1.2,0.8){\textcolor{blue}{$P$}}
\pspolygon[linecolor=red](0,0)(-1,3)(5,3)(6,0)
\rput(0.2,0.2){\textcolor{red}{$R$}}
\end{pspicture}
Raisonnons par l'absurde et supposons que les droites $d_1$ et
$d_3$ sont s�cantes en un point $J$.
On aurait alors, $J\in d_1$, donc $J\in Q$,
et de m�me,
$J\in d_3$, donc $J\in R$.
Ainsi, $J$ appartiendrait � la fois aux plans $Q$ et $R$, et donc � la
droite $d_2$, intersections de $Q$ et $R$.
Le point appartiendrait alors aux droites $d_1$ et $d_2$,
ce qui contredit notre hypoth�se:
$d_1$ et $d_2$ sont parall�les.
Les droites $d_1$ et $d_3$ ne peuvent donc pas �tre s�cantes et,
comme elles appartiennent au m�me plan $P$, elles sont donc
parall�les.
\vspd
Par cons�quent, on en conclut que les trois droites $d_1$,
$d_2$ et $d_3$ sont parall�les.
\enit
}
\vspd
Ce th�or�me s'utilise souvent sous la forme suivante, qui
correspond au deuxi�me cas de la d�monstration pr�c�dente.
\bgcorol{
Si deux plans s�cants contiennent deux droites parall�les, leur
intersection est une droite parall�le aux deux premi�res.
}
\section{Exercices}
\bgex {\it (D'apr�s Bac 2003)}
L'espace est rapport� � un rep�re orthonormal
$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$.
Les points $A$, $B$, $C$ et $D$ ont pour coordonn�es respectives
$A(3;-2;2)$,
$B(6;1;5)$,
$C(6;-2;-1)$ et
$D(0;4;-1)$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.
\vspd
\item[2.] Montrer que la droite $(AD)$ est perpendiculaire au plan
$(ABC)$.
\vspd
\item[3.] Calculer le volume du tr�tra�dre $ABCD$.
\vspd
\item[4.] Montrer que l'angle g�om�trique $\widehat{BDC}$ a pour
mesure $\dfrac{\pi}{4}$ en radians.
\vspd
%\item[5.]
% \bgit
% \item[a.] Calculer l'aire du triangle $BDC$.
% \vsp
% \item[b.] En d�duire la distance du point $A$ au plan $(BDC)$.
% \enit
\enit
\enex
\bgex {\bf ROC}\ {\it (D'apr�s Bac 2005)}
\vsp
\ul{\bf Partie A.} Soit $[KL]$ un segment de l'espace.
On note $I$ son milieu.
On appelle plan m�diateur de $[KL]$ le plan perpendiculaire en $I$ �
la droite $(KL)$.
\vsp
{\bf D�montrer} que le plan m�diateur de $[KL]$ est l'ensemble des
points de l'espace �quidistants des points $K$ et $L$.
%{\sl (Indication: on pourra s'int�resser � $KM^2-LI^2$)}
\vspd
\ul{\bf Partie B.} Dans un RON, on consid�re les points
$A(4;0;-3)$, $B(2;2;2)$.%, $C(3;-3;-1)$ et $D(0;0;-3)$.
%\bgit
%\item[1.]
D�montrer que le plan m�diateur de $[AB]$ a pour �quation
$4x-4y-10z-13=0$.
% On admet par la suite que les plans m�diateurs de $[BC]$ et $[CD]$
% ont respectivement pour �quations:
% \[ 2x-10y-6z-7=0\ \ \mbox{ et,} \ \
% 3x-3y+2z-5=0
% \]
%\item[2.] D�montrer, en r�solvant un syst�me d'�quations lin�aires,
% que ces trois plans ont un unique point commun $E$ dont on donnera
% les coordonn�es.
%
%\item[3.] En utilisant la partie A, d�montrer que les points $A$, $B$,
% $C$ et $D$ sont sur une sph�re $\mathcal{S}$ de centre~$E$.
%
% $\mathcal{S}$ est la sph�re circonscrite au t�tra�dre $ABCD$.
% Quel est le rayon de cette sph�re ?
%\enit
\enex
\bgex
$(O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ est un RON.
$\mathcal{S}$ est la sph�re de centre $J(0;1;0)$ et de rayon 1.
$u$ et $v$ sont deux r�els, $M$ et $N$ sont les points d�finis par
$\V{OM}=u\vec{k}$ et $\Vec{AN}=v\vec{i}$ o� $A(0;2;0)$.
\vsp
\bgit
\item[1.] Donner une �quation de la sph�re $\mathcal{S}$.
\item[2.]
\bgit
\item[a)] Quelles sont les coordonn�es des points $M$ et $N$ ?
\vsp
\item[b)] D�terminer une repr�sentation param�trique de la droite
$(MN)$.
\enit
\vsp
\item[3.]
% \bgit
% \item[a)]
Montrer que la droite $(MN)$ est tangente � la sph�re
$\mathcal{S}$ si, et seulement si, $u^2v^2=4$.
% \vsp
% \item[b)] Dans le cas o� la droite $(MN)$ est tangente �
% $\mathcal{S}$, calculer les coordonn�es du point de contact.
% \enit
\enit
\enex
\end{document}
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