Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdftitle={Exercices d'introduction: intégration},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S,
exerices, intégration}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\epsi{\varepsilon}
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\def\tht{\theta}
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\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Exercice: Calcul de l'aire sous une courbe}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
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\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\bgmp{11cm}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par l'expression
$f(x)=1-x^2$.
On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
\vspd
Le but de l'exercice est de calculer l'aire $\mathcal{A}$ comprise
entre la courbe $\Cf$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées
(aire hachurée ci-contre).
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(1.5,1.5)
\psline{->}(-0.2,0)(1.2,0)
\psline{->}(0,-0.2)(0,1.2)
\rput(-0.1,-0.1){$0$}\rput(1,-0.1){$1$}\rput(-0.1,1){$1$}
\pscustom{
\psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=200]{0}{1}{1 x x mul sub}\gsave
\psline(1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=hlines]
\grestore}
\rput(0.6,0.8){$\Cf$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgen[A.]
\item {\bf Question préliminaire:}
Montrer que, pour tout entier $n\geqslant 2$,
\[1^2+2^2+3^2+\dots+(n-1)^2=\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}\]
\item Pour calculer une valeur approchée de l'aire recherchée,
on subdivise l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de longueur
$\dfrac{1}{n}$, et on approxime l'aire dans chacun de ces
intervalles par celle d'un rectangle.
\bgen[1.]
\item {\bf Un cas particulier: $n=4$}
\bgmp{10cm}
Déterminer les coordonnées des points de $\Cf$, $A_0$, $A_1$, $A_2$ et
$A_3$, et d'abscisses respectives
$0$, $\dfrac14$, $\dfrac24$ et $\dfrac34$.
\vspd
En déduire l'aire hachurée $\mathcal{A}_4$, approximation de
l'aire~$\mathcal{A}$.
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0.6)(1.5,0.5)
\psline{->}(-0.2,0)(1.2,0)
\psline{->}(0,-0.1)(0,1.15)
\rput(-0.1,-0.1){$0$}\rput(1,-0.1){$1$}\rput(-0.1,1){$1$}
%
\nwc\f[1]{1 #1 #1 mul sub}
%
\psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=200]{0}{1}{\f{x}}
%
\psplot{0}{0.25}{\f{x}}
\psline(0.25,0)(!0.25 \space \f{0})(!0 \space \f{0})
\psline(0.5,0)(!0.5 \space \f{0.25})(!0.25 \space \f{0.25})
\psline(0.75,0)(!0.75 \space \f{0.5})(!0.5 \space \f{0.5})
\psline(1,0)(!1 \space \f{0.75})(!0.75 \space \f{0.75})
\rput(0.25,-0.1){$\frac14$}
\rput(0.5,-0.1){$\frac24$}
\rput(0.75,-0.1){$\frac34$}
\rput(0,1){$\bullet$}\rput(0.08,1.05){$A_0$}
\rput(!0.25 \space \f{0.25}){$\bullet$}\rput(0.32,1.0){$A_1$}
\rput(!0.5 \space \f{0.5}){$\bullet$}\rput(0.57,0.8){$A_2$}
\rput(!0.75 \space \f{0.75}){$\bullet$}\rput(0.84,0.5){$A_3$}
%
\pscustom{
\psline(!0 \space \f{0})(!0.25 \space \f{0})
(!0.25 \space \f{0.25})(!0.5 \space \f{0.25})
(!0.5 \space \f{0.5})(!0.75 \space \f{0.5})
(!0.75 \space \f{0.75})(!1 \space \f{0.75})
\gsave
\psline(1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=hlines]
\grestore}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{1.1cm}
\item {\bf Cas général: $n\in\N$, $n\geqslant 2$}
\bgen[a.]
\item Déterminer les coordonnées des points de $\Cf$,
$A_0$, $A_1$, \dots, $A_{n-1}$, et d'abscisses respectives
$0$, $\dfrac1n$,$\dfrac2n$, \dots, $\dfrac{n-1}{n}$.
\item En déduire une expression $\mathcal{A}_n$ de l'approximation
correspondante de l'aire $\mathcal{A}$ (aire des $n$
rectangles).
\vspd
Montrer que
$\mathcal{A}_n=1-\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3}$.
\item Déterminer la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de
$\mathcal{A}_n$.
\vspt
Cette limite est l'aire $\mathcal{A}$ recherchée:
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \mathcal{A}_n=\mathcal{A}$.
\enen
\enen
\enen
\end{document}
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