Source Latex: Cours de mathématiques en Terminale


Fichier
Type: Cours
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Exercice (non corrigé) de mathématiques: Calcul de l'aire sous une parabole par découpage en rectangle, et étude d'une suite et de sa limite
Niveau
Terminale
Mots clé
intégrale, calcul intégral, calcul d'aire, aire sous une courbe, suite, rectangles, limite, récurrence
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
lien vers la documentation Latex
Source LaTex icone

Source Latex du cours de mathématiques

\documentclass[12pt]{article}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}
\usepackage{enumerate}

\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques: Intégration},
    pdftitle={Exercices d'introduction: intégration},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S, 
      exerices, intégration}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt 
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}


\headheight=0cm
\textheight=26cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm


% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Exercice: Calcul de l'aire sous une courbe}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$


\bgmp{11cm}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par l'expression 
$f(x)=1-x^2$. 

On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 

\vspd
Le but de l'exercice est de calculer l'aire $\mathcal{A}$ comprise 
entre la courbe $\Cf$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées 
(aire hachurée ci-contre). 
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(1.5,1.5)
  \psline{->}(-0.2,0)(1.2,0)
  \psline{->}(0,-0.2)(0,1.2)
  \rput(-0.1,-0.1){$0$}\rput(1,-0.1){$1$}\rput(-0.1,1){$1$}
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=200]{0}{1}{1 x x mul sub}\gsave
  \psline(1,0)(0,0)
    \fill[fillstyle=hlines]
  \grestore}
  \rput(0.6,0.8){$\Cf$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgen[A.]
\item {\bf Question préliminaire:} 
  Montrer que, pour tout entier $n\geqslant 2$, 
  \[1^2+2^2+3^2+\dots+(n-1)^2=\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}\]

\item Pour calculer une valeur approchée de l'aire recherchée, 
  on subdivise l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de longueur
  $\dfrac{1}{n}$, et on approxime l'aire dans chacun de ces
  intervalles par celle d'un rectangle. 

  \bgen[1.]
  \item {\bf Un cas particulier: $n=4$} 

    \bgmp{10cm}
    Déterminer les coordonnées des points de $\Cf$, $A_0$, $A_1$, $A_2$ et
    $A_3$, et d'abscisses respectives 
    $0$, $\dfrac14$, $\dfrac24$ et $\dfrac34$. 
    
    \vspd
    En déduire l'aire hachurée $\mathcal{A}_4$, approximation de
    l'aire~$\mathcal{A}$. 
    \enmp
    \bgmp{5cm}
    \psset{unit=4cm}
    \begin{pspicture}(-0.5,0.6)(1.5,0.5)
      \psline{->}(-0.2,0)(1.2,0)
      \psline{->}(0,-0.1)(0,1.15)
      \rput(-0.1,-0.1){$0$}\rput(1,-0.1){$1$}\rput(-0.1,1){$1$}
      %
      \nwc\f[1]{1 #1 #1 mul sub}
      %
      \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=200]{0}{1}{\f{x}}
      %
      \psplot{0}{0.25}{\f{x}}
      \psline(0.25,0)(!0.25 \space \f{0})(!0 \space \f{0})
      \psline(0.5,0)(!0.5 \space \f{0.25})(!0.25 \space \f{0.25})
      \psline(0.75,0)(!0.75 \space \f{0.5})(!0.5 \space \f{0.5})
      \psline(1,0)(!1 \space \f{0.75})(!0.75 \space \f{0.75})
      \rput(0.25,-0.1){$\frac14$}
      \rput(0.5,-0.1){$\frac24$}
      \rput(0.75,-0.1){$\frac34$}
      \rput(0,1){$\bullet$}\rput(0.08,1.05){$A_0$}
      \rput(!0.25 \space \f{0.25}){$\bullet$}\rput(0.32,1.0){$A_1$}
      \rput(!0.5 \space \f{0.5}){$\bullet$}\rput(0.57,0.8){$A_2$}
      \rput(!0.75 \space \f{0.75}){$\bullet$}\rput(0.84,0.5){$A_3$}
      %
      \pscustom{
        \psline(!0 \space \f{0})(!0.25 \space \f{0})
        (!0.25 \space \f{0.25})(!0.5 \space \f{0.25})
        (!0.5 \space \f{0.5})(!0.75 \space \f{0.5})
        (!0.75 \space \f{0.75})(!1 \space \f{0.75})
        \gsave
        \psline(1,0)(0,0)
        \fill[fillstyle=hlines]
        \grestore}

    \end{pspicture}
    \enmp
    

    \vspace{1.1cm}
  \item {\bf Cas général: $n\in\N$, $n\geqslant 2$}

    \bgen[a.]
    \item Déterminer les coordonnées des points de $\Cf$,  
      $A_0$, $A_1$, \dots, $A_{n-1}$, et d'abscisses respectives 
      $0$, $\dfrac1n$,$\dfrac2n$, \dots, $\dfrac{n-1}{n}$. 
    \item En déduire une expression $\mathcal{A}_n$ de l'approximation
      correspondante de l'aire $\mathcal{A}$ (aire des $n$
      rectangles).  
      
      \vspd
      Montrer que 
      $\mathcal{A}_n=1-\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3}$. 
    \item Déterminer la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de
      $\mathcal{A}_n$. 

      \vspt
      Cette limite est l'aire $\mathcal{A}$ recherchée: 
      $\dsp\lim_{n\to+\infty} \mathcal{A}_n=\mathcal{A}$.
    \enen
  \enen

\enen



\end{document}

Télécharger le fichier source Latex