Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S,
exerices, intégration}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
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\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\newcounter{ntheo}
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\newcounter{ndef}
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\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
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\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Intégration - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}
\bgex
Calculer les intégrales suivantes:
$\dsp I=\int_0^1 x\,dx$,\
$\dsp J=\int_1^3 (2t+1)\,dt$,
et $\dsp K=\int_{-2}^3 |x|\,dx$.
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
Calculer l'intégrale $\dsp I=\int_0^4 E(x)\,dx$, où $E(x)$ désigne la
partie entière de $x$.
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=4x-3$.
\vspace{-0.1cm}\qquad
Déterminer de façon explicite, pour tout réel $t\geq 1$, la fonction
$\dsp F(t)=\int_1^t f(x)\,dx$.
\enex
\bgex
\bgit
\item[a)] Démontrer que pour tout réel $t$ de $[0;1]$,
on a $\dsp\frac{t}{1+t^2}\leq t$.
\item[b)] En déduire que
$\dsp\int_0^1\frac{t}{1+t^2}\,dt\leq\frac{1}{2}$.
\enit
\enex
\bgex
$f$ est la fonction définie sur $[1;2]$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{x^2}$.
\bgen[a)]
\item Etudier les variations de $f$ sur $[1;2]$.
\item Démontrer que pour tout $x$ de $[1;2]$, \quad
$\dfrac{e^2}{4}\leqslant \dfrac{e^x}{x^2}\leqslant e$.
\item En déduire un encadrement de $\dsp\int_1^2 \dfrac{e^x}{x^2}\,dx$.
\enen
\enex
\vspace{-0.2cm}
\bgex
Soit $f$ définie sur $[-3;3]$ par
$f(x)=E(x^2)$ où $E$ désigne la fonction partie entière.
\bgit
\item[1.] Montrer que $f$ est une fonction paire, et tracer sa
représentation graphique sur l'intervalle~$[0;3]$.
\item[2.] Calculer $\dsp\int_0^3 f(x)\,dx$.
En déduire $\dsp\int_{-3}^3 f(x)\,dx$.
\enit
\enex
\bgex
Déterminer une primitive des fonctions suivantes:
$\bullet$\ \ $f(x)=3x^2+x-6$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ \ $\dsp g(x)=\frac{1}{x^2}$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ \ $\dsp h(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ \ $\dsp k(x)=2x+\sin(x)$
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $I=[0;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{3x^2+6x+4}{(x+1)^2}$.
\bgen
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $I$ par
$F(x)=\dfrac{3x^2+4x}{x+1}$ est une primitive de $f$ sur $I$.
\item La fonction $G$ définie sur $I$ par
$G(x)=\dfrac{3x^2-x-5}{x+1}$ est-elle une autre primitive de $f$ sur
$I$ ?
\enen
\enex
\bgex
Déterminer la primitive $F$ de $f:x\mapsto x^2-4x+2$ telle que $F(1)=0$.
\enex
\bgex
Déterminer la primitive $G$ de $g:x\mapsto 12x^5-9x^2+6x-3$ telle que $G(0)=4$.
\enex
\bgex
Déterminer la primitive $H$ de $\dsp h:x\mapsto \frac{4}{(2x+1)^2}$
telle que $\dsp H\lp\frac{1}{2}\rp=2$.
\enex
\bgex Soit $F$ la fonction définie par
$\dsp F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,dt$.
Déterminer le sens de variation de $F$.
\enex
\bgex Déterminer les primitives des fonctions suivantes:
\medskip
a)\ $\dsp f(x)=x^4-4x^3-5x^2+\frac{7}{3}x+2$
\hspace{0.3cm}
b)\ $\dsp f(x)=-\sin(x)+2\cos(x)$
\hspace{0.3cm}
c)\ $\dsp f(x)=2x-4+\frac{3}{x^2}$
\enex
\bgex Déterminer les intégrales suivantes: \ \
a)\ $\dsp I=\int_0^1x^2(x^3-1)^5\,dx$
\medskip\noindent
b)\ $\dsp J=\int_0^1\frac{x}{(x^2-4)^2}\,dx$
\qquad
c)\ $\dsp K=\int_0^{\frac12}\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}$
\qquad
d)\ $\dsp L_n=\int_1^n\frac{1}{x^2}\,e^{\frac{1}{x}}\,dx$
\ \ puis $\dsp\lim_{n\to+\infty}L_n$
\enex
\bgex\nopagebreak
\bgmp{12cm}
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$
compris entre les courbes d'équations $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$.
\vspd
Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
\vspt
{\sl (On pourra se rappeler que $\sqrt{x}=x^{1/2}$)}
\enmp
\bgmp{4cm}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,0.1)(1.2,1.)
\nwc\f[1]{#1 0.5 exp}
\renewcommand\g[1]{#1 #1 mul}
%
\pscustom{
\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]
\grestore}
%
\pscustom{
\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=white]
\grestore}
%
\psline{->}(-0.2,0)(1.2,0)
\psline{->}(0,-0.2)(0,1.2)
\psline(0,1)(1,1)(1,0)
\rput(-0.08,-0.08){$O$}
\rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\vspq
\bgex
Calculer la valeur moyenne de chaque fonction sur l'intervalle donné:
a)\ \ $f(x)=(2-x)(x-1)$ sur $I=[-1;0]$
\qquad
b)\ \ $g(x)=e^{-3x+1}$ sur $I=[-1;1]$.
\enex
\bgex {\bf Vrai-Faux}\quad
Pour chaque affirmation proposée, dire si elle est vraie ou
fausse. Justifier.
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0;+\infty[$,
et soit $F$ et $G$ les fonctions définies $[0;+\infty[$ par
$\dsp F(x)=\int_1^x f(t)\,dt$
et $\dsp G(x)=x\int_1^x f(t)\,dt$.
Soit de plus $\Ga$ la courbe représentative de $f$ dans un
repère.
\bgen
\item $G(0)=G(1)$
\item $G$ est dérivable sur $[0;+\infty[$, et pour tout
$x\in[0;+\infty[$, $G'(x)=F(x)+xf(x)$.
\item On ne peut pas prévoir le sens de variation de $G$ avec les
seules informations de l'énoncé.
\item L'aire de la surface délimitée par les droites d'équations
$x=0$, $x=2$, $y=0$ et la courbe $\Ga$ se calcule par $F(2)+F(0)$.
\enen
\enex
\bgex {\bf D'après Bac}
\noindent{\bf Partie A - ROC}
\quad On supposera connus les résultats suivants:
$u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$
avec $a<b$.
\bgit
\item Si $u\geqslant 0$ sur $[a;b]$, alors $\dsp\int_a^b u(x)\,dx\geqslant 0$.
\item Pour tous nombres $\alpha$ et $\beta$,\quad
$\dsp\int_a^b \lp \alpha u(x)+\beta v(x)\rp\,dx
=\alpha\int_a^b u(x)\,dx+\beta\int_a^b v(x)\,dx
$.
\enit
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un
intervalle $[a;b]$ avec $a<b$ et si, pour tout nombre réel
$x\in[a;b]$, $f(x)\leqslant g(x)$,
alors $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\leqslant \int_a^b g(x) dx$.
\vspd\noindent{\bf Partie B - Etude d'une suite}
\quad
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par
$f(x)=e^{-x^2}$ et on définit la suite $(u_n)$ par:
\[
u_0=\int_0^1 f(x)\,dx
\quad\text{ et, pour tout entier }n\geqslant 1,\quad
u_n=\int_0^1 x^n\,f(x)\,dx
\]
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;1]$,
\quad$\dfrac{1}{e}\leqslant f(x)\leqslant 1$.
\item En déduire que \quad$\dfrac{1}{e}\leqslant u_0\leqslant 1$.
\enen
\item Calculer $u_1$.
\item
\bgen[a)]
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
\quad $0\leqslant u_n$.
\item Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
\quad$u_n\leqslant \dfrac{1}{n+1}$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\enen
\enen
\enex
\bgex {\bf D'après Bac}
\noindent
On considère la suite numérique $(J_n)$ définie, pour tout entier
naturel $n$ non nul, par:
\[ J_n=\int_1^n e^{-t}\,\sqrt{1+t}\,dt\,.\]
\bgen
\item Démontrer que la suite $(J_n)$ est croissante.
\item Dans cette question,
{\sl toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative,
même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
On définit la suite $(I_n)$, pour tout entier naturel $n$ non nul,
par: \quad$I_n=\dsp\int_1^n (t+1)\,e^{-t}\,dt$.
\bgen[a)]
\item Justifier que, pour tout $t\geqslant 1$, on a
$\sqrt{t+1}\leqslant t+1$.
\item En déduire que $J_n\leqslant I_n$.
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que
la fonction $t\mapsto (at+b)e^{-t}$ soit une primitive de la
fonction $t\mapsto (t+1)e^{-t}$.
Exprimer alors $I_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que la suite $(J_n)$ est majorée par un nombre réel.
\item Que peut-on en conclure pour la suite $(J_n)$ ?
\enen
\enen
\enex
\end{document}
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