Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours de mathématiques: Intégration},
pdftitle={Intégration},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S,
exerices, intégration, intégrale, aire sous une courbe
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
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\textwidth=18.6cm
\oddsidemargin=-1.3cm
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
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\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
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\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
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\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Intégration}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\usepackage{lastpage}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\section{Aire sous une courbe:\\Intégrale d'une fonction continue positive}
\bgmp{11cm}
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a;b]$.
On note $\Cf$ sa représentation graphique dans un repère orthonormal
$(O;\vec{i},\vec{j})$.
\vspd
On cherche à déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$ situé sous la
courbe représentative $\Cf$ de $f$.
\vspd
L'unité d'aire est donnée par le repère $(O;\vec{i},\vec{j})$:
l'unité d'aire est l'aire du rectangle $OIKJ$.
\vspd
Plus précisément, le domaine $\mathcal{D}$ est l'ensemble des points
$M(x;y)$ tels que $a\leq x\leq b$, et $0\leq y\leq f(x)$.
\enmp\hspace{1.5cm}
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(5,5)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\psline{->}(-1.2,0)(3,0)
\psline{->}(0,-0.8)(0,4)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add}
\pscustom{
\psplot{-0.6}{2.2}{\f{x}} \gsave
\psline(2.2,0)(-.6,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.5}{\f{x}}
\psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6} 0.4 add)
\psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
%\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
\put(-1.,-0.4){$a$}\put(3.2,-0.4){$b$}
\put(3.9,3.5){$\Cf$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}\put(1.5,1){$K$}
\put(1.4,-0.4){$I$}\put(-0.4,1){$J$}
\end{pspicture}
\enmp
Cette aire s'appelle {\bf l'intégrale de la fonction $f$ de $a$ à $b$};
on la note $\dsp\int_a^b f(x)dx$.
\vspd
Les graphiques suivants donnent la courbe représentative d'une
fonction $f$.
Déterminer dans chacun des cas un encadrement de l'intégrale
$\dsp \int_2^6 f(x)dx$.
\vspq
\hspace{-1cm}
\bgmp{10cm}
\psset{unit=1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,8.5)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 -4 add 3 exp
#1 -4 add 2 exp add
#1 -4 add add
0.18 mul
4 add}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(2,0)(2,2)(4,2)(4,4)(6,4)(6,0)(2,0)
\pscustom{
\psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
\psline(6,0)(2,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\multido{\i=2+2}{4}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-0.2)(\i,8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(8.1,\i)
\put(\i,-0.5){\i}
\put(-0.5,\i){\i}
}
%\psline[linestyle=dashed](2,-0.2)(!-0.6 \space \f{2} 0.4 add)
%\psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
%\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
%\put(2,-0.4){$a$}\put(6,-0.4){$b$}
\put(6.5,7.5){$\Cf$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}
\psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,8.5)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 -4 add 3 exp
#1 -4 add 2 exp add
#1 -4 add add
0.18 mul
4 add}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(2,0)(2,4)(4,4)(4,8)(6,8)(6,0)(2,0)
\pscustom{
\psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
\psline(6,0)(2,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\multido{\i=2+2}{4}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-0.2)(\i,8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(8.1,\i)
\put(\i,-0.5){\i}
\put(-0.5,\i){\i}
}
%\psline[linestyle=dashed](2,-0.2)(!-0.6 \space \f{2} 0.4 add)
%\psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2} 0.4 add)
%\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
%\put(2,-0.4){$a$}\put(6,-0.4){$b$}
\put(6.5,7.5){$\Cf$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}
\psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp
\vspace{1cm}
\[
\dots \leq \int_2^6 f(x) dx \leq \dots
\]
\vspq
\ct{\rule{10cm}{0.1pt}}
\hspace{-1cm}
\bgmp{10cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,9.2)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 -4 add 3 exp
#1 -4 add 2 exp add
#1 -4 add add
0.18 mul
4 add}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(2,0)(2,3)(4,3)(4,4)(6,4)(6,0)(2,0)
\pscustom{
\psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
\psline(6,0)(2,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\multido{\i=1+1}{8}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-0.2)(\i,8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(8.1,\i)
\put(\i,-0.5){\i}
\put(-0.5,\i){\i}
}
\put(6.5,7.5){$\Cf$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}
\psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{unit=1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,9.2)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 -4 add 3 exp
#1 -4 add 2 exp add
#1 -4 add add
0.18 mul
4 add}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(2,0)(2,4)(4,4)(4,5)(5,5)(5,7)(6,7)(6,0)(2,0)
\pscustom{
\psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
\psline(6,0)(2,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\multido{\i=1+1}{8}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](\i,-0.2)(\i,8)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.2,\i)(8.1,\i)
\put(\i,-0.5){\i}
\put(-0.5,\i){\i}
}
\put(6.5,7.5){$\Cf$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}
\psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp
\vspace{1.2cm}
\[
\dots \leq \int_2^6 f(x) dx \leq \dots
\]
\vspq\vspq
\ct{\rule{10cm}{0.1pt}}
\vspq\vspq\vspq
\hspace{-1cm}
\bgmp{10cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,8.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 -4 add 3 exp
#1 -4 add 2 exp add
#1 -4 add add
0.18 mul
4 add}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(2,0)(2,3)(2.5,3)(2.5,3.5)(4,3.5)(4,4)(5,4)(5,4.5)
(5.5,4.5)(5.5,5)(6,5)
(6,0)(2,0)
\pscustom{
\psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
\psline(6,0)(2,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\renewcommand{\g}[1]{#1 2 div}
\multido{\i=0+1}{17}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!\g{\i} \space -0.2)(!\g{\i} \space 8.1)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!-0.2 \space \g{\i})(! 8.1 \space \g{\i})
}
\multido{\i=2+2}{4}{
\put(\i,-0.5){\i}
\put(-0.5,\i){\i}
}
\put(6.6,7.6){$\Cf$}
\psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}
\psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{unit=1cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(8.2,8.5)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 -4 add 3 exp
#1 -4 add 2 exp add
#1 -4 add add
0.18 mul
4 add}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(2,0)(2,4)(4,4)(4,4.5)(4.5,4.5)(4.5,5)(5,5)
(5,5.5)(5.5,5.5)(5.5,6.5)(6,6.5)
(6,0)(2,0)
\pscustom{
\psplot{2}{6}{\f{x}} \gsave
\psline(6,0)(2,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\renewcommand{\g}[1]{#1 2 div}
\multido{\i=0+1}{17}{
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!\g{\i} \space -0.2)(!\g{\i} \space 8.1)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!-0.2 \space \g{\i})(! 8.1 \space \g{\i})
}
\multido{\i=2+2}{4}{
\put(\i,-0.5){\i}
\put(-0.5,\i){\i}
}
\put(6.6,7.6){$\Cf$}
\psline{->}(-1.2,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,8.2)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}
\psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.5}{\f{x}}
\end{pspicture*}
\enmp
\vspace{1.2cm}
\[
\dots \leq \int_2^6 f(x) dx \leq \dots
\]
\ct{\rule{10cm}{0.1pt}}
\pagebreak
La situation précédente est généralisable:
soit $f$ une fonction continue et positive sur $[a;b]$.
\vspd
On découpe l'intervalle $[a;b]$ en $n$ intervalles de longueurs
$\dsp \Delta x=\frac{b-a}{n}$:
\[ [x_0;x_1]\ ; \ \ [x_1;x_2]\ ;\ \ [x_2;x_3]\ ; \ \ \dots\ ;
[x_{n-1};x_n]
\]
avec $x_0=a$, $x_1=a+\Delta x$, $x_2=x_1+\Delta x$, \dots
La suite $(x_p)$ des abscisses est une suite arithmétique de raison
$\Delta x$.
En particulier, pour tout entier $k$,
la $k^{\mbox{\scriptsize{ème}}}$ abscisse est $x_k=x_0+k\Delta x$.
\hspace{-1cm}
\bgmp{10cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(8.2,7.4)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
%(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 -4 add 3 exp
#1 -4 add 2 exp add
#1 -4 add add
0.18 mul
4 add}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(1.5,0)
(!1.5 \space \f{1.5})(! 2.25 \space \f{1.5})
(!2.25 \space \f{2.25})
(!3 \space \f{2.25})
(!3 \space \f{3})
(!3.75 \space \f{3})
(!3.75 \space \f{3.75})
(3.75,0)(1.5,0)
\psline[linewidth=0.5pt](2.25,0)(!2.25 \space \f{2.25})
\psline[linewidth=0.5pt](3,0)(!3 \space \f{3})
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(5.25,0)
(!5.25 \space \f{5.25})(!6 \space \f{5.25})
(6,0)(5.25,0)
\psline[linewidth=0.5pt](2.25,0)(!2.25 \space \f{2.25})
\psline[linewidth=0.5pt](3,0)(!3 \space \f{3})
\pscustom{
\psplot{1.5}{6}{\f{x}} \gsave
\psline(6,0)(1.5,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\put(7.5,7.){$\Cf$}
\psline{->}(0.2,0)(6.5,0)
\psline{->}(0.5,-0.5)(0.5,7.3)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0)(1,0)\put(1,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0)(0.5,0.75)\put(0.3,0.3){$\vec{j}$}
\put(0.3,-0.4){$O$}
\psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.2}{\f{x}}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!0.5 \space \f{1.5})(!1.5 \space \f{1.5})
\put(-0.4,1.8){$f(x_0)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!0.5 \space \f{2.25})(!2.25 \space \f{2.25})
\put(-0.4,3){$f(x_1)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!0.5 \space \f{3})(!3 \space \f{3})
\put(-0.4,3.8){$f(x_2)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!0.5 \space \f{5.25})(!5.25 \space \f{5.25})
\put(-0.8,4.8){$f(x_{n-1})$}
\put(1.6,-0.4){$x_0\!$\scriptsize$=\!a$}
\put(2.8,-0.4){$x_1$}\put(3.8,-0.4){$x_2$}\put(4.8,-0.4){$x_3$}
\put(6.4,-0.4){$x_{n-1}$}\put(7.4,-0.4){$x_n\!$\scriptsize$=\!b$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.5,-0.8)(2.25,-0.8)
\put(2.2,-1.2){$\Delta x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.25,-0.8)(3,-0.8)
\put(3.2,-1.2){$\Delta x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3,-0.8)(3.75,-0.8)
\put(4.2,-1.2){$\Delta x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.25,-0.8)(6,-0.8)
\put(7,-1.2){$\Delta x$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{10cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(8.2,7.4)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
%(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 -4 add 3 exp
#1 -4 add 2 exp add
#1 -4 add add
0.18 mul
4 add}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(1.5,0)
(!1.5 \space \f{2.25})(! 2.25 \space \f{2.25})
(!2.25 \space \f{3})
(!3 \space \f{3})
(!3 \space \f{3.75})
(!3.75 \space \f{3.75})
(!3.75 \space \f{3.75})
(3.75,0)(1.5,0)
\psline[linewidth=0.5pt](2.25,0)(!2.25 \space \f{2.25})
\psline[linewidth=0.5pt](3,0)(!3 \space \f{3})
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(5.25,0)
(!5.25 \space \f{6})(!6 \space \f{6})
(6,0)(5.25,0)
\psline[linewidth=0.5pt](2.25,0)(!2.25 \space \f{2.25})
\psline[linewidth=0.5pt](3,0)(!3 \space \f{3})
\pscustom{
\psplot{1.5}{6}{\f{x}} \gsave
\psline(6,0)(1.5,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\put(7.5,7.){$\Cf$}
\psline{->}(0.2,0)(6.5,0)
\psline{->}(0.5,-0.5)(0.5,7.3)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0)(1,0)\put(1,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0.5,0)(0.5,0.75)\put(0.3,0.3){$\vec{j}$}
\put(0.3,-0.4){$O$}
\psplot[linewidth=1pt]{1.5}{6.2}{\f{x}}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!0.5 \space \f{2.25})(!2.25 \space \f{2.25})
\put(-0.4,3){$f(x_1)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!0.5 \space \f{3})(!3 \space \f{3})
\put(-0.4,3.6){$f(x_2)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!0.5 \space \f{3.75})(!3.75 \space \f{3.75})
\put(-0.4,4.){$f(x_3)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!0.5 \space \f{5.25})(!5.25 \space \f{5.25})
\put(-0.8,4.8){$f(x_{n-1})$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!0.5 \space \f{6})(!6 \space \f{6})
\put(-0.4,6.4){$f(x_n)$}
\put(1.6,-0.4){$x_0\!$\scriptsize$=\!a$}
\put(2.8,-0.4){$x_1$}\put(3.8,-0.4){$x_2$}\put(4.8,-0.4){$x_3$}
\put(6.4,-0.4){$x_{n-1}$}\put(7.4,-0.4){$x_n\!$\scriptsize$=\!b$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.5,-0.8)(2.25,-0.8)
\put(2.2,-1.2){$\Delta x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(2.25,-0.8)(3,-0.8)
\put(3.2,-1.2){$\Delta x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(3,-0.8)(3.75,-0.8)
\put(4.2,-1.2){$\Delta x$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(5.25,-0.8)(6,-0.8)
\put(7,-1.2){$\Delta x$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspace{1cm}
Dans les deux cas, l'aire grisée est la somme des aires de chaque
rectangle qui la compose:
\hspace{-1.5cm}
\bgmp{10.5cm}
\[ \bgar{ll}
s_n&\dsp=f(x_0)\Delta x + f(x_1)\Delta x
+\ \dots \ +f(x_{n-1}) \Delta x \vspd\\
&\dsp= \sum_{k=0}^{n-1} f(x_k)\Delta x
\enar
\]
\enmp
\bgmp{8cm}
\[ \bgar{ll}
S_n&\dsp=f(x_1)\Delta x + f(x_2)\Delta x
+\ \dots \ +f(x_n) \Delta x \vspd\\
&\dsp= \sum_{k=1}^{n} f(x_k)\Delta x
\enar
\]
\enmp
L'aire hachurée est comprise entre ces deux aires grisées:
$\dsp
s_n\leq \int_a^b f(x)\,dx \leq S_n
$
Ces deux suites $(s_n)$ et $(S_n)$ sont adjacentes et convergent donc
vers une limite commune qui est l'aire recherchée: l'intégrale de $f$
de $a$ à $b$.
\vspd\noindent
{\it\ul{Remarque 1:} La notation $\dsp\int_a^b f(x)\,dx$
(introduite par Leibniz, et/ou Newton, au XVII$^e$ siècle)
s'explique à
partir des calculs d'aire précédents, à la limite où
$\Delta x\to 0$, et donc $n\to+\infty$,
notée finalement $dx$
(largeur infinitésimale),
et le symbole $\dsp\sum$ se transformant en $\dsp\int$:
\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{\Delta x\to 0} \sum_{k=1}^n f(x_k)\,\Delta x
\]
}
\vspace{-0.3cm}
\noindent
{\it\ul{Remarque 2:} La variable $x$ est dite muette. La lettre qui la
désigne n'a pas d'importance:
\vspace{-0.2cm}
\[ \int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^b f(u)\,du
=\int_a^b f(\alpha)\,d\alpha= \ \dots
\]
}
\vspace{-0.5cm}
\bgex
Calculer les intégrales suivantes:
$\dsp I=\int_0^1 x\,dx$,\
$\dsp J=\int_1^3 (2t+1)\,dt$,
et $\dsp K=\int_{-2}^3 |x|\,dx$.
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
Calculer l'intégrale $\dsp I=\int_0^4 E(x)\,dx$, où $E(x)$ désigne la
partie entière de $x$.
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression
$f(x)=4x-3$.
\vspace{-0.1cm}\qquad
Déterminer de façon explicite, pour tout réel $t\geq 1$, la fonction
$\dsp F(t)=\int_1^t f(x)\,dx$.
\enex
\section{Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque}
D'une manière plus générale, l'intégrale d'une fonction $f$ continue
sur un intervalle $[a;b]$ est l'aire {\bf algébrique} du domaine
compris entre la courbe représentative de $f$ et l'axe des abscisses.
\subsection{Intégrale d'une fonction continue négative}
\bgmp{11cm}
Soit $f$ une fonction {\bf continue et négative} sur un intervalle
$[a;b]$, et $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal
$(O;\vec{i},\vec{j})$.
\vspd
Dans ce cas, l'intégrale de $f$ de $a$ à $b$ est l'opposé de l'aire du
domaine $\mathcal{D}$ compris entre l'axe des abscisses et $\Cf$:
\[ \int_a^b f(x)dx = -\mbox{aire}\lp\mathcal{D}\rp
\]
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(5,1.5)
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}%,algebraic=true}
\psline{->}(-1.2,0)(3,0)
\psline{->}(0,1.2)(0,-4)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{#1 3 exp 0.5 mul -1 #1 2 exp mul add 2 add -1 mul}
\pscustom{
\psplot{-0.6}{2.2}{\f{x}} \gsave
\psline(2.2,0)(-.6,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-1.}{2.5}{\f{x}}
\psline[linestyle=dashed](-0.6,-0.2)(!-0.6 \space \f{-0.6})
\psline[linestyle=dashed](2.2,-0.2)(!2.2 \space \f{2.2})
%\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
\put(-1.,0.2){$a$}\put(3.2,0.2){$b$}
\put(3.9,-3.5){$\Cf$}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,0)\put(0.5,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}\put(1.5,1){$K$}
\put(1.4,-0.4){$I$}\put(-0.4,1){$J$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsection{Intégrale d'une fonction de signe quelconque}
\bgmp{9.5cm}
Pour une fonction $f$ continue de signe quelconque sur un intervalle
$[a;b]$, l'intégrale de $f$ est la somme des aires algébriques des
domaines sur lesquels $f$ garde un signe constant.
\[ \int_a^b f(x)dx =
\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_1\rp
-\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_2\rp
+\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_3\rp
-\mbox{aire}\lp\mathcal{D}_4\rp
\]
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.4,-2)(6,2)
\psline{->}(-2,0)(3,0)
\psline{->}(0,-2)(0,2.5)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 1.2 div 2 exp 180 mul 3.14 div sin #1 3 div 3 exp add
2.8 mul -1 add
}
\pscustom{
\psplot{-1.6}{2.8}{\f{x}} \gsave
\psline(2.8,0)(-1.6,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-1.6}{2.8}{\f{x}}
\psline[linestyle=dashed](-1.6,-0.2)(!-1.6 \space \f{-1.6})
\psline[linestyle=dashed](2.8,0.2)(!2.8 \space \f{2.8})
%\put(5,2){\psPrintValue{\f{-0.6}}}
\put(-2.5,-0.4){$a$}\put(4,0.2){$b$}
\put(1.8,2.3){$\Cf$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0.5,0)\put(0.4,0.1){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,1)\put(-0.3,0.4){$\vec{j}$}
\put(-0.4,-0.4){$O$}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](-1.3,0.6){0.25}
\put(-2.05,0.5){\bf 1}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](.1,-0.5){0.25}
\put(0.05,-0.6){\bf 2}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](1.4,0.8){0.25}
\put(2.,0.65){\bf 3}
\pscircle[fillstyle=solid,fillcolor=white](2.5,-0.8){0.25}
\put(3.6,-0.9){\bf 4}
\end{pspicture}
\enmp
\vspq
On convient de plus que :
\ul{$\dsp\int_b^a f(x)dx=-\int_a^b f(x)dx$}.
\vspq
\bgdef{{\bf\ul{Valeur moyenne d'une fonction}}
Soit $f$ continue sur $[a;b]$, avec $a<b$,
alors la valeur moyenne de $f$ sur $[a;b]$ est le nombre réel :
\[ \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx
\]
}
%\clearpage
\section{Propriétés de l'intégrale}
\bgprop{{\bf\ul{Linéarité}}
Pour toutes fonctions $f$ et $g$ continues sur $[a;b]$ et tout réel
$\lbd$,
\vspt
\bgit
\item[$\bullet$]
$\dsp\int_a^b\Big( f(x)+g(x)\Big)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_a^b g(x)\,dx$
\vspt
\item[$\bullet$]
$\dsp \int_a^b \lbd f(x)\,dx=\lbd\int_a^b f(x)\,dx$
\enit
}
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgprop{{\bf\ul{Relation de Chasles}}
Soit $f$ une fonction continue sur $[a;c]$, et soit $b$ un réel de
$[a;c]$, alors
\[ \int_a^c f(x)\,dx=\int_a^b f(x)\,dx+\int_b^c f(x)\,dx
\]
}
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,0)(5,3)
\nwc{\f}[1]{
#1 1.6 mul 180 mul 3.14 div sin
#1 div #1 add 1 add 0.8 mul}
\pscustom{
\psplot{-1.}{3}{\f{x}} \gsave
\psline(3,0)(-1,0)
%\fill[fillstyle=solid, fillcolor=lightgray]
\fill[fillstyle=vlines]
\grestore }
\psplot[linewidth=1pt]{-1.2}{3.2}{\f{x}}
\put(2.2,2.8){$\Cf$}
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-0.4)(0,3)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-2,0)(3,0)
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(-1,-0.2)(!-1 \space \f{-1} 0.4 add)\put(-1,-0.5){$a$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(1.5,-0.2)(!1.5 \space \f{1.5} 0.4 add)\put(1.4,-0.5){$b$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(3,-0.2)(!3 \space \f{3} 0.4 add)\put(2.9,-0.5){$c$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgprop{{\bf\ul{Positivité}}
\bgit
\item[$\bullet$] Si $f(x)\geq 0$ pour tout $x\in[a;b]$,
alors $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\geq 0$
\vsp
\item[$\bullet$] Si $f(x)\leq 0$ pour tout $x\in[a;b]$,
alors $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\leq 0$
\enit
}
\bgprop{{\bf\ul{Ordre et intégrale}}
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $[a;b]$ telles que,
pour tout $x$ de $[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$,
alors $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\leq \int_a^b g(x)\,dx$
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Pour tout $x\in[a;b]$, $f(x)\leq g(x)$, et donc,
$g(x)-f(x)\geq 0$.
D'après la positivité de l'intégrale,
$\dsp\int_a^b \Big( g(x)-f(x)\Big)\,dx\geq 0$,
et donc,
d'après la linérarité de l'intégrale,
$\dsp\int_a^b \Big( g(x)-f(x)\Big)\,dx
=\int_a^b g(x)-\int_a^b f(x)\,dx \geq 0$,
d'où l'inégalité de la propriété.
\bgmp{12cm}
\bgprop{{\bf\ul{Inégalités de la moyenne}}
Soit $f$ une fonction continue sur $[a;b]$, avec $a<b$, telle que,
pour tout $x\in[a;b]$, $m\leq f(x)\leq M$, alors
\[ \hspace*{-3.4cm}
m\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\leq M
\]
ou, de manière équivalente,
\[ \hspace*{-3.2cm}
m(b-a)\leq \int_a^b f(x)\,dx\leq M(b-a)
\]
}
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(1.8,-0.4)(5,7)
\psline{->}(-0.5,0)(4,0)
\psline{->}(0,-0.5)(0,4.3)
%\def\f{0.5*x^3-x^2+2}
\nwc{\f}[1]{
#1 -1.5 add 3 exp 0.5 mul
-0.8 #1 -1.5 add 2 exp mul add 2 add}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
(0.6,0)(!0.6 \space \f{3.8})(!3.8 \space \f{3.8})
(3.8,0)(0.6,0)
\pspolygon[fillstyle=crosshatch]
(0.6,0)(!0.6 \space \f{0.6})(!3.8 \space \f{0.6})
(3.8,0)(0.6,0)
\put(0.6,-0.4){$a$}\put(4.8,-0.4){$b$}
\put(5.2,4){$\Cf$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0.4,0)\put(0.3,-0.5){$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0.5)\put(-0.4,0.3){$\vec{j}$}
\psplot[linewidth=1pt]{0.4}{4}{\f{x}}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!-0.1 \space \f{0.6})(!0.6 \space \f{0.6})
\put(-0.6,0.9){$m$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]
(!-0.1 \space \f{3.8})(!0.6 \space \f{3.8})
\put(-0.6,3.7){$M$}
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(4.5,0.5)(3.9,0.5)
\put(6,0.5){$\mathcal{A}\!=\!m(b\!-\!a)$}
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(4.5,2.5)(3.9,2.2)
\put(6,2.5){$\mathcal{A}\!=\!M(b\!-\!a)$}
\end{pspicture}
\enmp
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Pour tout $x\in[a;b]$, $m\leq f(x)\leq M$, et donc, d'après la
propriété de l'ordre des intégrales:
\[ \int_a^b m\,dx \leq \int_a^b f(x)\,dx\leq \int_a^b M\,dx
\]
Or,
$\dsp \int_a^b m\,dx=m(b-a)$
et,
$\dsp \int_a^b M\,dx=M(b-a)$,
d'où l'encadrement de la moyenne.
\bgex
\bgit
\item[a)] Démontrer que pour tout réel $t$ de $[0;1]$,
on a $\dsp\frac{t}{1+t^2}\leq t$.
\item[b)] En déduire que
$\dsp\int_0^1\frac{t}{1+t^2}\,dt\leq\frac{1}{2}$.
\enit
\enex
\bgex
$f$ est la fonction définie sur $[1;2]$ par $f(x)=\dfrac{e^x}{x^2}$.
\bgen[a)]
\item Etudier les variations de $f$ sur $[1;2]$.
\item Démontrer que pour tout $x$ de $[1;2]$, \quad
$\dfrac{e^2}{4}\leqslant \dfrac{e^x}{x^2}\leqslant e$.
\item En déduire un encadrement de $\dsp\int_1^2 \dfrac{e^x}{x^2}\,dx$.
\enen
\enex
\vspace{-0.2cm}
\bgex
Soit $f$ définie sur $[-3;3]$ par
$f(x)=E(x^2)$ où $E$ désigne la fonction partie entière.
\bgit
\item[1.] Montrer que $f$ est une fonction paire, et tracer sa
représentation graphique sur l'intervalle~$[0;3]$.
\item[2.] Calculer $\dsp\int_0^3 f(x)\,dx$.
En déduire $\dsp\int_{-3}^3 f(x)\,dx$.
\enit
\enex
\section{Primitive d'une fonction}
\vspace{-0.6cm}
\bgdef{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On appelle {\bf primitive de $f$ sur $I$} toute fonction $F$
dérivable sur $I$ dont la dérivée $F'$ est égale à $f$.
}
\vspd\noindent
\ul{Ex:} Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=5x+2$.
Les fonctions définies sur $\R$ par
$\dsp F(x)=\frac{5}{2}x^2+2x+k$, où $k$
est un nombre réel, sont des primitives de $f$ sur $\R$:
pour tout $x\in\R$, $F'(x)=f(x)$.
\bgex
Déterminer une primitive des fonctions suivantes:
$\bullet$\ \ $f(x)=3x^2+x-6$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ \ $\dsp g(x)=\frac{1}{x^2}$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ \ $\dsp h(x)=\frac{2x}{(x^2+1)^2}$
\hspace{1cm}
$\bullet$\ \ $\dsp k(x)=2x+\sin(x)$
\enex
\vspace{-.8em}
\bgprop{
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On suppose qu'il existe une primitive $F$ de $f$ sur $I$.
Alors, l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est l'ensemble des
fonctions $G$ définies sur $I$ par $G(x)=F(x)+k$, où $k$ est un
réel.
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
$\bullet$\ Si $G(x)=F(x)+k$, alors pour tout $x\in I$,
$G'(x)=F'(x)+0=f(x)$, donc pour tout réel $k$, $G$ est une primitive
de $f$.
\vspd
$\bullet$\ Réciproquement, soit $G$ une primitive de $f$, et soit
la fonction $K$ définie par $D(x)=G(x)-F(x)$.
Alors, pour tout $x\in I$, $D'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0$, car $G$
et $F$ sont des primitives de $f$.
Ainsi, $D=G-F$ est constante, soit $D(x)=G(x)-F(x)=k \in \R$,
c'est-à-dire, $G(x)=F(x)+k$.
\bgprop{Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.
On suppose que $f$ admet une primitive sur $I$ (donc une
infinité d'après le théorème précédent).
Soit $x_0\in I$ et $y_0\in\R$,
alors il existe une {\bf unique} primitive $F$ de $f$ sur $I$ telle
que $F(x_0)=y_0$.
}
\vspd\noindent
\ul{Démonstration:}
Si $G$ est une primitive sur $I$ de $f$, alors toutes les primitives
$F$ de $f$ sont de la forme $F(x)=G(x)+k$, $k\in\R$.
\vspd
La condition $F(x_0)=y_0$ s'écrit alors
$F(x_0)=G(x_0)+k=y_0$, soit $k=y_0-F(x_0)$.
La constante $k$ est donc définie de manière unique, et
il existe donc une unique primitive de $f$ sur $I$ telle que
$F(x_0)=y_0$, qui est définie par
$F(x)=G(x)+k=G(x)+y_0-F(x_0)$.
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $I=[0;+\infty[$ par
$f(x)=\dfrac{3x^2+6x+4}{(x+1)^2}$.
\bgen
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $I$ par
$F(x)=\dfrac{3x^2+4x}{x+1}$ est une primitive de $f$ sur $I$.
\item La fonction $G$ définie sur $I$ par
$G(x)=\dfrac{3x^2-x-5}{x+1}$ est-elle une autre primitive de $f$ sur
$I$ ?
\enen
\enex
\bgex
Déterminer la primitive $F$ de $f:x\mapsto x^2-4x+2$ telle que $F(1)=0$.
\enex
\bgex
Déterminer la primitive $G$ de $g:x\mapsto 12x^5-9x^2+6x-3$ telle que $G(0)=4$.
\enex
\bgex
Déterminer la primitive $H$ de $\dsp h:x\mapsto \frac{4}{(2x+1)^2}$
telle que $\dsp H\lp\frac{1}{2}\rp=2$.
\enex
\section{Intégrales et primitives}
\vspace{-1em}
\bgth{Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et $a\in I$.
Alors la fonction $F$ définie sur $I$ par
$\dsp F(x)=\int_a^x f(t)dt$
est {\bf l'unique primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $a$}.
}
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:}
Soit $x_0$ un réel de $I$, et $h$ un réel tel que $x_0+h\in I$.
D'après la relation de Chasles:
\[ F(x_0+h)-F(x_0) = \int_a^{x_0+h} f(t)dt - \int_a^{x_0} f(t)dt
=\int_a^{x_0+h} f(t)dt + \int_{x_0}^a f(t)dt
=\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)dt
\]
Comme $f$ est continue sur $I$, $f$ est en particulieer continue sur
$[x_0;x_0+h]$, et donc
\[ \text{pour tout } t\in[x_0;x_0+h], \quad
\underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Min}} f(x)
\leq f(t) \leq
\underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Max}} f(x)
\]
Comme l'intégral conserve l'ordre des intégrales
(ou d'après les inégalités de la moyenne),
\[ \int_{x_0}^{x_0+h}\underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Min}} f(x) dt
\leq \int_{x_0}^{x_0+h} f(t) dt \leq
\int_{x_0}^{x_0+h}\underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Max}} f(x) dt
\]
soit\qquad
$\lp x_0+h -x_0\rp \underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Min}} f(x)
\leq F(x_0+h)-F(x_0) \leq
\lp x_0+h -x_0\rp \underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Max}} f(x)
$\\[.8em]
c'est-à-dire, \qquad
$h \underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Min}} f(x)
\leq F(x_0+h)-F(x_0) \leq
h \underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Max}} f(x)
$\\[.8em]
ou encore, \quad
$\underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Min}} f(x)
\leq \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \leq
\underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Max}} f(x)
$.\\[1em]
Quand $h$ tend vers $0$, l'intervalle $[x_0;x_0+h]$ se réduit à $\la
x_0\ra$, et donc, comme $f$ est continue en $x_0\in I$,
\[ \lim_{h\to 0}\lp
\underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Min}} f(x) \rp
=\lim_{h\to 0} \lp
\underset{\scriptstyle x\in[x_0;x_0+h]}{\mbox{Max}} f(x) \rp
=f(x_0)
\]\\[.3em]
Ainsi, d'après le théorème des gendarmes,
$\dsp\lim_{h\to 0} \frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}
=f(x_0)$
ce qui signifie exactement que la fonction $F$ est dérivable en $x_0$,
et que $F'(x_0)=f(x_0)$. \\[.3em]
Ce raisonnement est valable pour tout $x_0\in I$, et donc on a bien
$F'=f$: $F$ est {\bf une primitive} de~$f$.
\vspd
On a de plus, $\dsp F(a)=\int_a^a f(t)dt=0$, et donc, $F$ est
{\bf la primitive}
de $f$ s'annulant en $a$.
\bgex Soit $F$ la fonction définie par
$\dsp F(x)=\int_0^x \frac{1}{1+t^2}\,dt$.
Déterminer le sens de variation de $F$.
\enex
\vspd
\bgprop{
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$,
$a$ et $b$ deux réels de $I$,
et $F$ une primitive de $f$ sur $I$.
Alors,
\[ \int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)
\]
\hspace{-4em} La quantité $F(b)-F(a)$ se note souvent
$\lb F(x)\rb_a^b$, et ainsi \quad
\fbox{\fbox{$\dsp\int_a^b f(x)\,dx=\Bigl[ F(x)\Bigr]_a^b=F(b)-F(a)$}}
}
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:} Soit $\alpha\in I$,
et $\dsp F(x)=\int_\alpha^x f(t)\,dt$ la primitive de
$f$ qui s'annule en $\alpha$.
\vsp
On a alors,
$\dsp\int_a^b f(t)\,dt=\int_a^\alpha f(t)\,dt+\int_\alpha^b f(t)\,dt
=-\int_\alpha^a f(t)\,dt +\int_\alpha^b f(t)\,dt
=-F(a)+F(b)$.
\section{Calcul d'intégrale}
\subsection{Recherche de primitive}
\renewcommand{\arraystretch}{2.2}
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|}
\multicolumn{3}{c}{\bf Primitives des fonctions usuelles}
\\\hline
$f(x)=$ & $F(x)=$ & Intervalle \\\hline
$k\in\R$ & $kx+C$ & $\R$ \\\hline
$x^n$, $n\in\N^*$& $\dsp\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$ & $\R$ \\\hline
$\dsp\frac{1}{x^2}$ & $\dsp-\frac{1}{x}+C$& $\R^*$ \\\hline
$\dsp\frac{1}{x^n}$, $(n\in\N,n\geq 2)$ &
$\dsp\frac{1}{n-1}\frac{1}{x^{n-1}}+C$ & $\R^*$ \\\hline
$\dsp\frac{1}{\sqrt{x}}$ & $2\sqrt{x}+C$ & $R_+^*$ \\\hline
$e^x$ & $e^x+C$ & $\R$ \\\hline
$\sin(x)$ & $-\cos(x)$ & $\R$ \\\hline
$\cos(x)$ & $\sin(x)$ & $\R$ \\\hline
\end{tabular}
\hspace{0.4cm}
\begin{tabular}[t]{|c|c|}
\multicolumn{2}{c}{\bf Primitives et opérations}
\\\hline
$f$ & $F$ \\\hline
$u'u^n$ & $\dsp\frac{1}{n+1}\frac{1}{u^n}+C$ \\\hline
$\dsp\frac{u'}{u^2}$ & $\dsp-\frac{1}{u}+C$\\\hline
$\dsp\frac{u'}{u^n}$, ($n\in\N$, $n\geq2$)
& $\dsp-\frac{1}{n-1}\frac{1}{u^{n-1}}+C$\\\hline
$\dsp\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}+C$ \\\hline
$u'e^u$ & $e^u$ \\\hline
\end{tabular}
\bgex Déterminer les primitives des fonctions suivantes:
\vspd
a)\ $\dsp f(x)=x^4-4x^3-5x^2+\frac{7}{3}x+2$
\hspace{0.3cm}
b)\ $\dsp f(x)=-\sin(x)+2\cos(x)$
\hspace{0.3cm}
c)\ $\dsp f(x)=2x-4+\frac{3}{x^2}$
\enex
\vspace{-.5em}
\bgex Déterminer les intégrales suivantes: \ \
a)\ $\dsp I=\int_0^1x^2(x^3-1)^5\,dx$
\medskip\noindent
b)\ $\dsp J=\int_0^1\frac{x}{(x^2-4)^2}\,dx$
\qquad
c)\ $\dsp K=\int_0^{\frac12}\frac{3x}{\sqrt{1-x^2}}$
\qquad
d)\ $\dsp L_n=\int_1^n\frac{1}{x^2}\,e^{\frac{1}{x}}\,dx$
\ \ puis $\dsp\lim_{n\to+\infty}L_n$
\enex
\bgex\nopagebreak
\bgmp{12cm}
Dans un repère orthonormé, on considère le domaine $\mathcal{D}$
compris entre les courbes d'équations $y=\sqrt{x}$ et $y=x^2$.
\vspd
Déterminer l'aire du domaine $\mathcal{D}$.
\vspt
{\sl (On pourra se rappeler que $\sqrt{x}=x^{1/2}$)}
\enmp
\bgmp{4cm}
\psset{unit=3cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-0.5,0.1)(1.2,1.)
\nwc\f[1]{#1 0.5 exp}
\renewcommand\g[1]{#1 #1 mul}
%
\pscustom{
\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\f{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=gray]
\grestore}
%
\pscustom{
\psplot[plotpoints=100]{0}{1}{\g{x}}\gsave
\psline(1,0)(0,0)
\fill[fillstyle=solid,fillcolor=white]
\grestore}
%
\psline{->}(-0.1,0)(1.15,0)
\psline{->}(0,-0.1)(0,1.1)
\psline(0,1)(1,1)(1,0)
\rput(-0.08,-0.08){$O$}
\rput(1,-0.08){$1$}\rput(-0.08,1){$1$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\vspq
\bgex
Calculer la valeur moyenne de chaque fonction sur l'intervalle donné:
a)\ \ $f(x)=(2-x)(x-1)$ sur $I=[-1;0]$
\qquad
b)\ \ $g(x)=e^{-3x+1}$ sur $I=[-1;1]$.
\enex
\bgex {\bf Vrai-Faux}\quad
Pour chaque affirmation proposée, dire si elle est vraie ou
fausse. Justifier.
Soit $f$ une fonction continue et positive sur $[0;+\infty[$,
et soit $F$ et $G$ les fonctions définies $[0;+\infty[$ par
$\dsp F(x)=\int_1^x f(t)\,dt$
et $\dsp G(x)=x\int_1^x f(t)\,dt$.
Soit de plus $\Ga$ la courbe représentative de $f$ dans un
repère.
\bgen
\item $G(0)=G(1)$
\item $G$ est dérivable sur $[0;+\infty[$, et pour tout
$x\in[0;+\infty[$, $G'(x)=F(x)+xf(x)$.
\item On ne peut pas prévoir le sens de variation de $G$ avec les
seules informations de l'énoncé.
\item L'aire de la surface délimitée par les droites d'équations
$x=0$, $x=2$, $y=0$ et la courbe $\Ga$ se calcule par $F(2)+F(0)$.
\enen
\enex
\bgex {\bf D'après Bac}
\noindent{\bf Partie A - ROC}
\quad On supposera connus les résultats suivants:
$u$ et $v$ sont deux fonctions continues sur un intervalle $[a;b]$
avec $a<b$.
\bgit
\item Si $u\geqslant 0$ sur $[a;b]$, alors $\dsp\int_a^b u(x)\,dx\geqslant 0$.
\item Pour tous nombres $\alpha$ et $\beta$,\quad
$\dsp\int_a^b \lp \alpha u(x)+\beta v(x)\rp\,dx
=\alpha\int_a^b u(x)\,dx+\beta\int_a^b v(x)\,dx
$.
\enit
Démontrer que si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues sur un
intervalle $[a;b]$ avec $a<b$ et si, pour tout nombre réel
$x\in[a;b]$, $f(x)\leqslant g(x)$,
alors $\dsp\int_a^b f(x)\,dx\leqslant \int_a^b g(x) dx$.
\vspd\noindent{\bf Partie B - Etude d'une suite}
\quad
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par
$f(x)=e^{-x^2}$ et on définit la suite $(u_n)$ par:
\[
u_0=\int_0^1 f(x)\,dx
\quad\text{ et, pour tout entier }n\geqslant 1,\quad
u_n=\int_0^1 x^n\,f(x)\,dx
\]
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;1]$,
\quad$\dfrac{1}{e}\leqslant f(x)\leqslant 1$.
\item En déduire que \quad$\dfrac{1}{e}\leqslant u_0\leqslant 1$.
\enen
\item Calculer $u_1$.
\item
\bgen[a)]
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
\quad $0\leqslant u_n$.
\item Etudier les variations de la suite $(u_n)$.
En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$,
\quad$u_n\leqslant \dfrac{1}{n+1}$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\enen
\enen
\enex
\bgex {\bf D'après Bac}
\noindent
On considère la suite numérique $(J_n)$ définie, pour tout entier
naturel $n$ non nul, par:
\[ J_n=\int_1^n e^{-t}\,\sqrt{1+t}\,dt\,.\]
\bgen
\item Démontrer que la suite $(J_n)$ est croissante.
\item Dans cette question,
{\sl toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative,
même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
On définit la suite $(I_n)$, pour tout entier naturel $n$ non nul,
par: \quad$I_n=\dsp\int_1^n (t+1)\,e^{-t}\,dt$.
\bgen[a)]
\item Justifier que, pour tout $t\geqslant 1$, on a
$\sqrt{t+1}\leqslant t+1$.
\item En déduire que $J_n\leqslant I_n$.
\item Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que
la fonction $t\mapsto (at+b)e^{-t}$ soit une primitive de la
fonction $t\mapsto (t+1)e^{-t}$.
Exprimer alors $I_n$ en fonction de $n$.
\item En déduire que la suite $(J_n)$ est majorée par un nombre réel.
\item Que peut-on en conclure pour la suite $(J_n)$ ?
\enen
\enen
\enex
\clearpage
\subsection{Intégration par parties \textsl(Hors programme terminale S depuis 2011)}
\vspace{-1em}
\bgth{\ul{Intégration par parties}
Soit $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un
intervalle $I$, et $a$ et $b$ deux réels de $I$.
On suppose de plus que les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur
$I$.
Alors,
\[\int_a^b u(x)v'(x)dx = \lb u(x)v(x)\rb_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)dx
\]
}
\vspq\noindent
\ul{Démonstration:}
Les fonctions $u$ et $v$ étant dérivables, le produit $u v$ est
dérivable et $(uv)'=u'v+uv'$.
De plus, les fonctions $u$, $v$, $u'$ et $v'$ étant continues,
la dérivée du produit $(uv)'=u'v+uv'$ est aussi continue, et
\[\int_a^b \lp u(x) v(x)\rp'dx
=\int_a^b \lp u'(x)v(x)+ u(x)v'(x) \rp dx
=\int_a^b u'(x)v(x)dx +\int_a^b u(x)v'(x)dx
\]
et donc, comme la fonction $uv$ est une primitive de $(uv)'$,
on obtient:
\[ \lb u(x) v(x)\rb_a^b
=\int_a^b \lp u'(x)v(x)+ u(x)v'(x) \rp dx
=\int_a^b u'(x)v(x)dx +\int_a^b u(x)v'(x)dx
\]
\bgex
Calculer les intégrales suivantes:
\hspace{-0.5cm}
$\bullet$\ \ $I=\dsp\int_0^\pi x\sin(x)dx$
\hspace{0.2cm}
%$\bullet$\ \ $\dsp J=\int_3^3 \frac{x}{\sqrt{2x-3}} dx$
$\bullet$\ \ $\dsp J=\int_0^3 xe^x\,dx$
\hspace{0.2cm}
$\bullet$\ \ $\dsp K=\int_0^{\frac{\pi}{2}} x\cos(2x) dx$
\hspace{0.2cm}
$\bullet$\ \ $\dsp L=\int_0^\pi \lp 2-2x)\sin(x)\rp dx$
\enex
\bgex
$I$ et $J$ sont les intégrales définies par
$\dsp I=\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \sin(x)\,dx$ et
$\dsp J=\int_0^{\frac{\pi}{2}} e^x \cos(x)\,dx$.
\vspd
\bgit
\item[a)] En appliquant de deux façons différentes à l'intégrale $I$
la méthode d'intégration par parties, trouver deux relation entre
$I$ et $J$.
\vsp
\item[b)] Calculer alors les intégrales $I$ et $J$.
\enit
\enex
\bgex Pour tout entier naturel $n$, on pose
$\dsp I_n=\int_0^\pi x^2\cos(nx)\,dx$.
A l'aide d'une double intégration par parties, calculer $I_n$ en
fonction de $n$.
\enex
\bgex
Soit $I$ la suite définie pour tout entier $n\geq 1$ par
$\dsp I_n=\int_0^1 t^n\,e^{-t}\,dt$.
\bgit
\item[1.] Calcul des premiers termes de la suite
\bgit
\item[a)] Calculer $\dsp I_1=\int_0^1 te^{-t}dt$ à l'aide d'une
intégration par parties.
\item[b)] Avec la méthode d'intégration par parties,
exprimer $I_2$ en fonction de $I_1$.
En déduire $I_2$.
\item[c)] Exprimer $I_3$ en fonction de $I_2$, puis calculer $I_3$.
\enit
\vspd
\item[2.] Etude de la suite
\bgit
\item[a)] Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $I_n\geq 0$.
\item[b)] Etudier le sens de variation de la suite $I$.
\item[c)] Démontrer que la suite $I$ est convergente.
\enit
\vspd
\item[3.] Calcul de la limite de la suite
\bgit
\item[a)] A l'aide d'une intégration par parties, exprimer $I_{n+1}$
en fonction de $I_n$.
\item[b)] Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$,
$\dsp I_n\leq \frac{1}{ne}$.
\item[c)] En déduire la limite de la suite $I$.
\enit
\enit
\enex
\end{document}
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