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Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices (non corrigés) de mathématiques, terminale S: limites de fonctions
Niveau
Terminale S
Mots clé
Exercices de mathématiques, limites de fonctions, comportement asymptotique, asymptotes, limite, terminale S, TS
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathmatiques TS: limites de fonctions},
    pdftitle={Limites de fonction},
    pdfkeywords={Mathmatiques, TS, terminale S,
      limite, limites, fonction, comportement asymptotique 
    }
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\vphi{\varphi}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\limgd}[3]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }


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\newcounter{ntheo}
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  \settowidth{\ltheo}{Thorme \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Thorme \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Proprit \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Proprit \arabic{nprop}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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\newcounter{ncorol}
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  \paragraph{Corollaire \arabic{ncorol}}
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\newcounter{ndef}
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  \settowidth{\ldef}{Dfinition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Dfinition \arabic{ndef}}\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ndef}
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\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Limites de fonctions - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - $T^{\text{ale}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\hspace{2.5cm}\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{re}}}S$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}


%\hspace{2cm}
\hfill{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill{\bf\Large$T^{\text{ale}}S$}


\bgex
Soit $f$ la fonction dfinie sur $\R$ par \quad
$f(x)=\la\bgar{lll}
1 &\text{ si } &x\leqslant 3 \\
2 &\text{ si } &x> 3 
\enar\right.
$

Dterminer les limites  gauche et  droite en $3$: 
\limgd{x\to3}{x<3}{f(x)}, et 
\limgd{x\to3}{x>3}{f(x)}. 

La fonction $f$ est-elle continue en $3$ ? 
Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$. 
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction dfinie sur $\R$ par \quad
$f(x)=\la\bgar{lll}
x+2 &\text{ si } &x\leqslant -1 \\
-2x-1 &\text{ si } &x> -1
\enar\right.
$

Dterminer les limites  gauche et  droite en $-1$: 
\limgd{x\to-1}{x<-1}{f(x)}, et 
\limgd{x\to-1}{x>-1}{f(x)}. 

La fonction $f$ est-elle continue en $1$ ? 
Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$. 
\enex


\bgex Dterminer les limites suivantes: 

\vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} x^3+3x^2-6$ 
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x+2}$ 
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} \dfrac{1-2x}{\lp x-3\rp^2}$ 
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x-3+\dfrac{1}{x^2+x+1}\rp$ 
\enex

\bgex {\sl Vrai ou faux} (Donner un contre exemple lorsque la
proposition est fausse)

\bgen[a.] 
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$ 
  et  $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$ 
  alors  $\dsp\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1$. 
  \vspd
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$ 
  et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$ 
  alors $\dsp\lim_{x\to +\infty} \lp f(x)g(x)\rp=+\infty$ 
  \vspd
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$ 
  et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$ 
  alors $\dsp\lim_{x\to +\infty} \lp f(x)-g(x)\rp=0$. 
\enen
\enex

\vspace{-0.5cm}
\bgex
On considre la fonction $f$ dfinie sur $D=\R\setminus\la2\ra$ 
par $f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2}$. 

%\vspace{-0.2cm}
\bgen[a.]
\item Montrer que si $x\not=2$ et $1,9<x<2,1$, alors $f(x)>100$. 
\item Soit un rel $A>0$.
  Dterminer un intervalle ouvert $I$ contenant $2$ tel que si 
  $x\in I$ alors $f(x)>A$. 
\item Que peut-on dduire en termes de limite pour la fonction $f$ ?
\enen
\enex

\bgex
Dduire de chacune des limites suivantes, si possible, l'quation
d'une asymptote verticale ou horizontale  la courbe reprsentative de
la fonction $f$. \vspd

a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= 3$ 
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} f(x)= -\infty$ 
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= -6$ 
\quad
d)\ \ \limgd{x\to1}{x>1}{f(x)}$=+\infty$

e)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= 0$ 
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} f(x)= -\infty$ 
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= -\infty$ 
\enex


\bgex
Dterminer les limites de la fonction $f$ aux valeurs demandes: 

\vspd\noindent
a)\ $f(x)=2x+1+\dfrac{1}{x^2}$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$
\quad
b)\ $f(x)=\lp 4-x^2\rp\lp 3x-2\rp$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$

\vspd\noindent
c)\ $f(x)=4x-1+\dfrac{1}{x-3}$ en $3$, en $+\infty$ et en $-\infty$
\quad
d)\ $f(x)=\dfrac{4x}{4-x}$ en $0$ et en $4$
\enex


\bgex
Dterminer les limites suivantes: \vspd

a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{5-\dfrac{4}{x^2}}$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 2-\dfrac{1}{x}\rp^4$
\quad
c)\ \ \limgd{x\to0}{x>0}{\sqrt{\dfrac{2-x}{x}}}
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x^2+9-\dfrac{16}{x^2+4}}$
\enex

\pagebreak
\bgex
Calculer la drive des fonctions suivantes: 

\vspd
a)\ \ $f(x)=4x^5-\dfrac32x^2-27\pi^2$
\qquad
b)\ \ $f(x)=\dfrac{x+2}{x^2+4}$
\qquad
c)\ \ $f(x)=(2x+3)(x^2-2)$

\vspd
d)\ \ $f(x)=\sqrt{2x^3-3x+1}$ 
\qquad
e)\ \ $f(x)=\lp 2x+3\rp^5$
\qquad
d)\ \ $f(x)=\cos\lp 2x-3\rp$ 

\vspd
g)\ \ $f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{2x+1}}$
\qquad
h)\ \ $f(x)=\lp\dfrac{x+1}{2x+1}\rp^7$
\qquad
i)\ \ $f(x)=\dfrac{1}{\lp x^2+3\rp^6}$
\enex

\bgex
On considre la fonction $f$ dfinie sur $\R$ par 
$f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$. 

\bgen
\item Dterminer la limite de $f$ en $-\infty$. 
\item  
  \bgen[a.] 
  \item A quelle forme indtermine la limite de $f$ en $+\infty$ 
    conduit-elle ? 
  \item Dmontrer que, pour tout rel $x$, 
    $f(x)=\dfrac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}$. 
  \item Dterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
  \enen
\enen
\enex


\bgex
Determiner les limites suivantes: \vspd

a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^5-6x^4+3x^2-12\rp$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp x^3+x+3\rp$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x+2}{3x-7}$
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x^2+2x}{3x^3-7}$

\vspd
e)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\quad
h)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\enex

\bgex
On considre la fonction $f$ dfinie sur $\R$ par 
$f(x)=2x-\sqrt{x^2+1}$. 

\bgen[a.]
\item A quelle forme indtermine la limite de $f$ en $+\infty$
  conduit-elle ? 
\item Dmontrer que, pour tout rel $x$ positif, 
$f(x)=x\lp2-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\rp$.

En dduire la limite de $f$ en $+\infty$. 
\enen
\enex


\bgex
Soit $f$ la fonction $x\mapsto \dfrac{ax+b}{2x-1}$ o $a$ et $b$ sont
deux rels.
$f$ est reprsente par la courbe $\mathcal{C}$ dans un repre
orthogonal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

\bgen
\item Dterminer $a$ et $b$ tels que $f(0)=0$ et 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=2$. 

\item Dterminer les asymptotes  $\mathcal{C}$. 
\item Dresser le tableau de variation de $f$, 
  et tracer l'allure de $\mathcal{C}$.
\enen
\enex


\bgex {\sl Vrai ou faux}

\bgen[a.]
\item Si pour tout rel $x$, $f(x)\geqslant x^2$, 
  alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$. 
\item Si pour tout rel $x$ strictement positif, 
  $f(x)\leqslant \dfrac1x$, 
  alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$. 
\item Si pour tout rel $x$ strictement positif, 
  $1\leqslant f(x)\leqslant x$, 
  alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x^2}=0$. 
\enen
\enex

\bgex
Dterminer la limite en $+\infty$ de $f(x)=\dfrac{1}{x}\sin(x)$. 
\enex


\pagebreak
\bgex {\bf Asymptote oblique} 

Soit la fonction $f$ dfinie sur $D=\R\setminus\la1\ra$ par 
$\dsp f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$ 
et $\mathcal{C}_f$ sa courbe reprsentative. 

\bgen[a.]
\item Montrer que pour tout $x\in D$, 
  $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$ 
\item Dterminer la limite en $-\infty$ et $+\infty$ de 
  $f(x)-(x+1)$. 
\item Quelle proprit peut-on en dduire quant  $\mathcal{C}_f$ et
  la droite $\Delta: y=x+1$ ? 

  Reprsenter ce rsultat sur un graphique. 
\enen
\enex


\bgex
Soit la fonction $f$ dfinie sur $\R\setminus\la-2\ra$ par
l'expression  $\dsp f(x)=\frac{-x^2+x+3}{x+2}$. 

\vspd\noindent
Montrer que la droite d'quation $y=-x+3$ est asymptote
oblique  la courbe reprsentative de~$f$. 
\enex


\bgex
Soit $g$ la fonction dfinie sur $D=\R\setminus\la1\ra$ 
par l'expression $\dsp g(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}$. 
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe
reprsentative dans un repre orthogonal du plan. 

\bgen
\item Dresser le tableau de variation de $f$. 
\item Dterminer les limites de $f$  gauche et  droite en 
  $1$. 

\item Dterminer trois rels $a$, $b$ et $c$ tels que, 
  pour tout $x\in D$, 
  $f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$. 

\item Dterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 

\item Montrer que la droite $\Delta$ d'quation $y=x+2$ est asymptote
   $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$.   
\enen
\enex


\bgex
On considre la fonction $f$ dfinie sur $\R\setminus\la-2\ra$
par 
$f(x)=\dfrac{2x^2+3x+3}{x+2}$, et on
note $\mathcal{C}_f$ sa courbe reprsentative dans un repre
orthogonal du plan. 

\bgen
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'quation 
  $y=2x-1$ est asymptote oblique  $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et 
  $+\infty$. 

\item Dterminer la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$. 
\item Reprsenter graphiquement ces rsultats.
\enen
\enex


\bgex {\bf Exercice type Bac}

\noindent
\bgmp{6.8cm}
{\bf Partie A.} 
Soit $\vphi$ la fonction dfinie sur $\R$ par 
\quad$\vphi(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+1}$ 
dont la courbe reprsentative $\mathcal{C}$ est donne ci-contre. 

La droite d'quation $y=3$ est asymptote  $\mathcal{C}$ en plus et
moins l'infini. 

\vspd
Grce aux renseignements donns par le graphique, 
dterminer les rels $a$, $b$ et $c$.  
\enmp\hspace{\fill}
\bgmp{11cm}
\psset{arrowsize=4pt,unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.5)(5.5,5.6)
  \psline[linewidth=1.pt]{->}(-5.2,0)(5.2,0)
  \psline[linewidth=1.pt]{->}(0,-0.5)(0,6.4)
  \multido{\i=-5+1}{11}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,-0.4)(\i,6.4)
  }
  \multido{\i=1+1}{6}{
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-5.2,\i)(5.2,\i)
  }
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt](1,0)(1,5)(0,5)
  \rput(-0.2,-0.2){$0$}
  \rput(-0.15,0.8){$1$}\rput(0.9,-0.2){$1$}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-5.2}{5.2}{3 4 x mul x x mul 1 add div add}
  \rput(2.6,4.6){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\enmp

\noindent
{\bf Partie B.} 
Soit $f$ la fonction dfinie sur $\R$ par 
$f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}$. 

\bgen
\item Dterminer les rels $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout
  rel $x$, $f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}$. 
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$. 
\item Dterminer les positions relatives de la courbe reprsentative
  de $f$ et de son asymptote. 
\item 
  \bgen[a.]
  \item Montrer que pour tout rel $x$, 
    $\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}=3$. 
  \item Que peut-on en dduire pour la courbe reprsentative de $f$ ? 

    {\sl (Indication: Considrer les points 
      $M(x;f(x))$, $M(-x,f(-x))$ et $I(0;3)$)}
  \enen
\enen

\noindent
{\bf Partie C.} 
On considre la fonction $g$ dfinie sur $\R$ par 
$g(x)=f\lp|x|\rp=\dfrac{3x^2+4|x|+3}{x^2+1}$. 

\bgen
\item Dterminer la limite de $g$ en moins l'infini. 
\item Expliquer comment obtenir la courbe reprsentative de $g$ 
  partir de celle de $f$. 
\enen
\enex

\bgex
Dterminer les limites: 
\quad
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\rp$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp \sqrt{x^2+2x+3}+x\rp$
\enex

\end{document}


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