Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de math�matiques TS: limites de fonctions},
pdftitle={Limites de fonction},
pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale S,
limite, limites, fonction, comportement asymptotique
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
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\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\epsi{\varepsilon}
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\def\vphi{\varphi}
\nwc{\tm}{\times}
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\limgd}[3]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
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\newcounter{nprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t� \arabic{nprop}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{nprop}
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\paragraph{Corollaire \arabic{ncorol}}
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\paragraph{D�finition \arabic{ndef}}\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Limites de fonctions - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - $T^{\text{ale}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\hspace{2.5cm}\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\hspace{2cm}
\hfill{\bf \LARGE{\TITLE}}\hfill{\bf\Large$T^{\text{ale}}S$}
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par \quad
$f(x)=\la\bgar{lll}
1 &\text{ si } &x\leqslant 3 \\
2 &\text{ si } &x> 3
\enar\right.
$
D�terminer les limites � gauche et � droite en $3$:
\limgd{x\to3}{x<3}{f(x)}, et
\limgd{x\to3}{x>3}{f(x)}.
La fonction $f$ est-elle continue en $3$ ?
Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par \quad
$f(x)=\la\bgar{lll}
x+2 &\text{ si } &x\leqslant -1 \\
-2x-1 &\text{ si } &x> -1
\enar\right.
$
D�terminer les limites � gauche et � droite en $-1$:
\limgd{x\to-1}{x<-1}{f(x)}, et
\limgd{x\to-1}{x>-1}{f(x)}.
La fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?
Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$.
\enex
\bgex D�terminer les limites suivantes:
\vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} x^3+3x^2-6$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x+2}$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} \dfrac{1-2x}{\lp x-3\rp^2}$
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x-3+\dfrac{1}{x^2+x+1}\rp$
\enex
\bgex {\sl Vrai ou faux} (Donner un contre exemple lorsque la
proposition est fausse)
\bgen[a.]
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
alors $\dsp\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.
\vspd
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
alors $\dsp\lim_{x\to +\infty} \lp f(x)g(x)\rp=+\infty$
\vspd
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
alors $\dsp\lim_{x\to +\infty} \lp f(x)-g(x)\rp=0$.
\enen
\enex
\vspace{-0.5cm}
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $D=\R\setminus\la2\ra$
par $f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2}$.
%\vspace{-0.2cm}
\bgen[a.]
\item Montrer que si $x\not=2$ et $1,9<x<2,1$, alors $f(x)>100$.
\item Soit un r�el $A>0$.
D�terminer un intervalle ouvert $I$ contenant $2$ tel que si
$x\in I$ alors $f(x)>A$.
\item Que peut-on d�duire en termes de limite pour la fonction $f$ ?
\enen
\enex
\bgex
D�duire de chacune des limites suivantes, si possible, l'�quation
d'une asymptote verticale ou horizontale � la courbe repr�sentative de
la fonction $f$. \vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= 3$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} f(x)= -\infty$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= -6$
\quad
d)\ \ \limgd{x\to1}{x>1}{f(x)}$=+\infty$
e)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= 0$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} f(x)= -\infty$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= -\infty$
\enex
\bgex
D�terminer les limites de la fonction $f$ aux valeurs demand�es:
\vspd\noindent
a)\ $f(x)=2x+1+\dfrac{1}{x^2}$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$
\quad
b)\ $f(x)=\lp 4-x^2\rp\lp 3x-2\rp$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$
\vspd\noindent
c)\ $f(x)=4x-1+\dfrac{1}{x-3}$ en $3$, en $+\infty$ et en $-\infty$
\quad
d)\ $f(x)=\dfrac{4x}{4-x}$ en $0$ et en $4$
\enex
\bgex
D�terminer les limites suivantes: \vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{5-\dfrac{4}{x^2}}$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 2-\dfrac{1}{x}\rp^4$
\quad
c)\ \ \limgd{x\to0}{x>0}{\sqrt{\dfrac{2-x}{x}}}
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x^2+9-\dfrac{16}{x^2+4}}$
\enex
\pagebreak
\bgex
Calculer la d�riv�e des fonctions suivantes:
\vspd
a)\ \ $f(x)=4x^5-\dfrac32x^2-27\pi^2$
\qquad
b)\ \ $f(x)=\dfrac{x+2}{x^2+4}$
\qquad
c)\ \ $f(x)=(2x+3)(x^2-2)$
\vspd
d)\ \ $f(x)=\sqrt{2x^3-3x+1}$
\qquad
e)\ \ $f(x)=\lp 2x+3\rp^5$
\qquad
d)\ \ $f(x)=\cos\lp 2x-3\rp$
\vspd
g)\ \ $f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{2x+1}}$
\qquad
h)\ \ $f(x)=\lp\dfrac{x+1}{2x+1}\rp^7$
\qquad
i)\ \ $f(x)=\dfrac{1}{\lp x^2+3\rp^6}$
\enex
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par
$f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$.
\bgen
\item D�terminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item
\bgen[a.]
\item A quelle forme ind�termin�e la limite de $f$ en $+\infty$
conduit-elle ?
\item D�montrer que, pour tout r�el $x$,
$f(x)=\dfrac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}$.
\item D�terminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Determiner les limites suivantes: \vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^5-6x^4+3x^2-12\rp$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp x^3+x+3\rp$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x+2}{3x-7}$
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x^2+2x}{3x^3-7}$
\vspd
e)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\quad
h)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\enex
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par
$f(x)=2x-\sqrt{x^2+1}$.
\bgen[a.]
\item A quelle forme ind�termin�e la limite de $f$ en $+\infty$
conduit-elle ?
\item D�montrer que, pour tout r�el $x$ positif,
$f(x)=x\lp2-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\rp$.
En d�duire la limite de $f$ en $+\infty$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction $x\mapsto \dfrac{ax+b}{2x-1}$ o� $a$ et $b$ sont
deux r�els.
$f$ est repr�sent�e par la courbe $\mathcal{C}$ dans un rep�re
orthogonal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
\bgen
\item D�terminer $a$ et $b$ tels que $f(0)=0$ et
$\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=2$.
\item D�terminer les asymptotes � $\mathcal{C}$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$,
et tracer l'allure de $\mathcal{C}$.
\enen
\enex
\bgex {\sl Vrai ou faux}
\bgen[a.]
\item Si pour tout r�el $x$, $f(x)\geqslant x^2$,
alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
\item Si pour tout r�el $x$ strictement positif,
$f(x)\leqslant \dfrac1x$,
alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$.
\item Si pour tout r�el $x$ strictement positif,
$1\leqslant f(x)\leqslant x$,
alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x^2}=0$.
\enen
\enex
\bgex
D�terminer la limite en $+\infty$ de $f(x)=\dfrac{1}{x}\sin(x)$.
\enex
\pagebreak
\bgex {\bf Asymptote oblique}
Soit la fonction $f$ d�finie sur $D=\R\setminus\la1\ra$ par
$\dsp f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$
et $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr�sentative.
\bgen[a.]
\item Montrer que pour tout $x\in D$,
$f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$
\item D�terminer la limite en $-\infty$ et $+\infty$ de
$f(x)-(x+1)$.
\item Quelle propri�t� peut-on en d�duire quant � $\mathcal{C}_f$ et
la droite $\Delta: y=x+1$ ?
Repr�senter ce r�sultat sur un graphique.
\enen
\enex
\bgex
Soit la fonction $f$ d�finie sur $\R\setminus\la-2\ra$ par
l'expression $\dsp f(x)=\frac{-x^2+x+3}{x+2}$.
\vspd\noindent
Montrer que la droite d'�quation $y=-x+3$ est asymptote
oblique � la courbe repr�sentative de~$f$.
\enex
\bgex
Soit $g$ la fonction d�finie sur $D=\R\setminus\la1\ra$
par l'expression $\dsp g(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe
repr�sentative dans un rep�re orthogonal du plan.
\bgen
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item D�terminer les limites de $f$ � gauche et � droite en
$1$.
\item D�terminer trois r�els $a$, $b$ et $c$ tels que,
pour tout $x\in D$,
$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.
\item D�terminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'�quation $y=x+2$ est asymptote
� $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$.
\enen
\enex
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R\setminus\la-2\ra$
par
$f(x)=\dfrac{2x^2+3x+3}{x+2}$, et on
note $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr�sentative dans un rep�re
orthogonal du plan.
\bgen
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'�quation
$y=2x-1$ est asymptote oblique � $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et
$+\infty$.
\item D�terminer la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$.
\item Repr�senter graphiquement ces r�sultats.
\enen
\enex
\bgex {\bf Exercice type Bac}
\noindent
\bgmp{6.8cm}
{\bf Partie A.}
Soit $\vphi$ la fonction d�finie sur $\R$ par
\quad$\vphi(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+1}$
dont la courbe repr�sentative $\mathcal{C}$ est donn�e ci-contre.
La droite d'�quation $y=3$ est asymptote � $\mathcal{C}$ en plus et
moins l'infini.
\vspd
Gr�ce aux renseignements donn�s par le graphique,
d�terminer les r�els $a$, $b$ et $c$.
\enmp\hspace{\fill}
\bgmp{11cm}
\psset{arrowsize=4pt,unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.5)(5.5,5.6)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(-5.2,0)(5.2,0)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(0,-0.5)(0,6.4)
\multido{\i=-5+1}{11}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,-0.4)(\i,6.4)
}
\multido{\i=1+1}{6}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-5.2,\i)(5.2,\i)
}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt](1,0)(1,5)(0,5)
\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(-0.15,0.8){$1$}\rput(0.9,-0.2){$1$}
\psplot[linewidth=1.4pt]{-5.2}{5.2}{3 4 x mul x x mul 1 add div add}
\rput(2.6,4.6){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\enmp
\noindent
{\bf Partie B.}
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}$.
\bgen
\item D�terminer les r�els $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout
r�el $x$, $f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}$.
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$.
\item D�terminer les positions relatives de la courbe repr�sentative
de $f$ et de son asymptote.
\item
\bgen[a.]
\item Montrer que pour tout r�el $x$,
$\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}=3$.
\item Que peut-on en d�duire pour la courbe repr�sentative de $f$ ?
{\sl (Indication: Consid�rer les points
$M(x;f(x))$, $M(-x,f(-x))$ et $I(0;3)$)}
\enen
\enen
\noindent
{\bf Partie C.}
On consid�re la fonction $g$ d�finie sur $\R$ par
$g(x)=f\lp|x|\rp=\dfrac{3x^2+4|x|+3}{x^2+1}$.
\bgen
\item D�terminer la limite de $g$ en moins l'infini.
\item Expliquer comment obtenir la courbe repr�sentative de $g$ �
partir de celle de $f$.
\enen
\enex
\bgex
D�terminer les limites:
\quad
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\rp$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp \sqrt{x^2+2x+3}+x\rp$
\enex
\end{document}
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