Source Latex
du cours de mathématiques
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\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de math�matiques TS: limites de fonctions},
pdftitle={Limites de fonction},
pdfkeywords={Math�matiques, TS, terminale S,
limite, limites, fonction, comportement asymptotique
}
}
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\voffset=-1.cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\vphi{\varphi}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\limgd}[3]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t� \arabic{nprop}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\newcounter{ncorol}
\setcounter{ncorol}{1}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ncorol}}
\noindent
\paragraph{Corollaire \arabic{ncorol}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition \arabic{ndef}}\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ndef}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Comportement asymptotique des fonctions}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - $T^{\text{ale}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\hspace{2.5cm}\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{�re}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
%\hspace{2cm}
\ct{\bf \LARGE{\TITLE}}
\vspace{0.3cm}\noindent
\bgmp{10cm}\paragraph{\ul{$1^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ exemple.}}
Soit la fonction $f$ d�finie et d�rivable sur $\R\setminus\la-1\ra$
par
$\dsp f(x)=\frac{2x}{x+1}$. \vsp
Pour tout $x\in \R\setminus\la-1\ra$, $\dsp f'(x)=\frac{2}{(x+1)^2}$.\
\enmp\hspace{\fill}
\bgmp{7cm}
\begin{tabular}[t]{|c|lcccr|}\hline
$x$&$-\infty$&&$-1$&&$+\infty$\\\hline
$(x+1)^2$&&$+$&\zb&$+$&\\\hline
$f'(x)$&&$+$&\db&$+$&\\\hline
&&&&&\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$}
&
\psset{xunit=1cm}
\begin{pspicture}(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.4pt](0,-.7)(0,.9)
\psline[linewidth=0.4pt](0.1,-.7)(0.1,.9)
\end{pspicture}
&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vspd\noindent
\textsl{Que se passe-t-il lorsque $x$ se rapproche de $-1$ ? Comment se
comporte $f(x)$ ?
\\
Et lorsque $x$ devient de plus en plus grand, c'est-�-dire se
rappproche de $+\infty$ ou $-\infty$ ?
}
\paragraph{\ul{En $+\infty$ et $-\infty$:}} Lorsque $x$ prend des valeurs de plus
en plus grande, positivement ou n�gativement, $x$ et $x+1$ sont ``tr�s
proches'', et ainsi, $\dsp f(x)=\frac{2x}{x+1}$ devient proche de
$\dsp \frac{2x}{x}=2$.
On �crit alors, $\dsp \lim_{x\to-\infty} f(x)=2$ et
$\dsp \lim_{x\to+\infty} f(x)=2$.
\vspace{-0.2cm}
\paragraph{\ul{En $-1$:}} lorsque $x$ se rapproche de $-1$, $2x$ se
rapproche de $-2$, et $x+1$ se rapproche de $0$.
\noindent
Si $x$ se rapproche de $-1$, avec $x>-1$, alors $x+1>0$ et
$\dsp\frac{2x}{x+1}$ se rapproche de $\dsp\frac{-2}{x+1}$ donc de
$-\infty$.
\\
Si $x$ se rapproche de $-1$, avec $x<-1$, alors $x+1<0 $ et
$\dsp\frac{2x}{x+1}$ se rapproche de $+\infty$.
\\
On �crit:
\limcdt{x\to-1}{x>-1}{f(x)}{-\infty}, et
\limcdt{x\to-1}{x<-1}{f(x)}{+\infty}.
\\
On peut alors compl�ter le tableau de variations, et tracer l'allure
de la courbe repr�sentative:
\bgmp{11cm}
\begin{tabular}[t]{|c|cccrlcc|}\hline
$x$&$-\infty$&&&$-1$&&&$+\infty$\\\hline
$(x+1)^2$&&$+$&&\zb&&$+$&\\\hline
$f'(x)$&&$+$&&\db&&$+$&\\\hline
&&&$+\infty$&&&&$2$\\
$f(x)$&&\Large{$\nearrow$}
&&
\psset{xunit=1cm}
\begin{pspicture}(0.1,0.1)
\psline[linewidth=0.4pt](0,-.7)(0,.9)
\psline[linewidth=0.4pt](0.1,-.7)(0.1,.9)
\end{pspicture}
&&\Large{$\nearrow$}&\\
&$2$&&&&$-\infty$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{6.5cm} %\vspace*{-1.cm}
\psset{arrowsize=6pt,xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-6,-1.5)(7,7)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-3)(0,7)
\pcline[linewidth=0.5pt](-1,-4)(-1,7)\rput{90}(-1.5,-2.5){$x=-1$}
\psline[linewidth=0.5pt](-5.9,2)(6,2)\rput(6.,2.4){$y=2$}
\rput(0.6,-0.5){$O$}
\psplot[linewidth=1.5pt]{-5.8}{-1.4}{
2 x mul
x 1 add
div
}
\psplot[linewidth=1.5pt]{-0.68}{5.8}{
2 x mul
x 1 add
div
}
\rput(4,1){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\section{Limite d'une fonction � l'infini}
\subsection[Limite en +infini]{Limite en $+\infty$}
Soit $f$ une fonction d�finie sur un intervalle du type $[a;+\infty[$,
$a\in\R$.
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus grandes, on dit lorsque
$x$ tend vers $+\infty$, quatre cas peuvent se pr�senter:
\vspd
\bgit
\item[a)] les nombres $f(x)$ deviennent eux aussi ``infiniment
grands'':
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1.)(6.5,7)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,7)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,3)(3.6,3)\rput(-0.6,3){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.6,3)(3.6,-0.3)\rput(3.6,-0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
\rput(-1,4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{6}{
x 2 add x 2 add mul 0.08 mul
0.5 add
}
\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{\textwidth-6cm}
Tout intervalle ouvert de la forme $]A;+\infty[$ contient $f(x)$ pour
$x$ assez grand
%Pour tout nombre $M$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)>M$, d�s
%que on choisit $x$ assez grand.
%\[\forall M>0\ ,\ \exists A>0 \tq \forall x\geq A, f(x)\geq M
%\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
\vspd
Autrement dit, pour tout r�el $A$, il existe un r�el $x_0$ tel que
pour tout $x> x_0$ alors $f(x)>A$:
les nombres $f(x)$ peuvent plus grands que n'importe quel nombre $A$,
d�s qu'on choisit $x$ assez grand.
\enmp
\vspd\noindent
{\bf\ul{Exemple:}} Soit $f(x)=x^2$ la fonction carr�.
Pour tout $A>0$, d�s que $x> x_0= \sqrt{A}$, $f(x)=x^2> A$,
donc, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.
\item[b)] Les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand n�gativement
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-7)(6.4,1.)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,1)(0,-7)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,-3)(3.6,-3)\rput(-0.6,-3){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt](3.6,-3)(3.6,0.3)\rput(3.6,0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(4.61,-4)
\rput(-1,-4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,-4)(4.61,0.3)
\rput(4.6,0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{6}{
x 2 add x 2 add mul -0.08 mul
-0.5 add
}
\rput(6.2,-5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{\textwidth-6cm}
Pour tout nombre $A<0$, aussi grand soit-il (n�gativement),
on peut avoir $f(x)<M$, d�s
que on choisit $x$ assez grand.
%\[\forall M<0\ ,\ \exists A>0 \tq \forall x\geq A, f(x)\leq M
%\]
On �crit $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty$.
\enmp
\item[c)] Les nombres $f(x)$ s'accumulent autour d'une valeur $l$:
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2.,-1.)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,2.5)(6,2.5)
%\rput(-1.2,2.8){$l+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](-2.5,2)(6,2)\rput(-2,2.3){$y=l$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,1.5)(6,1.5)
%\rput(-1.2,1.4){$l-\epsi$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](0,1.5)(0,2.5)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,1.3)(-0.2,1.5)(0.2,1.5)(0.2,1.3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,2.7)(-0.2,2.5)(0.2,2.5)(0.2,2.7)
\rput(-0.5,2.4){\textcolor{red}{\bf $I$}}
\psline[linewidth=0.5pt](1.2,2.5)(1.2,-0.3)\rput(1.2,-0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
%\rput(-1,4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-0.7}{6}{
5 x 2 add x 2 add mul div
2 add
}
\rput(-1.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{\textwidth-6cm}
Tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs
$f(x)$ pour $x$ assez grand.
%Pour tout nombre $\epsi>0$, aussi petit soit-il, $f(x)$ est dans
%l'intervalle $]l-\epsi;l+\epsi[$ d�s que $x$ est assez grand.
%\[\forall \epsi>0\ ,\ \exists A>0 \tq \forall x\geq A,
%l-\epsi\leq f(x)\leq l+\epsi
%\]
Autrement dit, pour tout intervalle $I$ contenant $l$, il existe un
r�el $x_0$ tel que pour si $x>x_0$ alors $f(x)\in I$.
On �crit $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=l$.
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,2.5)(6,2.5)
%\rput(-1.2,2.8){$l+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](-2.5,2)(6,2)\rput(-2,2.3){$y=l$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,1.5)(6,1.5)
%\rput(-1.2,1.4){$l-\epsi$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](0,1.5)(0,2.5)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,1.3)(-0.2,1.5)(0.2,1.5)(0.2,1.3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,2.7)(-0.2,2.5)(0.2,2.5)(0.2,2.7)
\rput(-0.5,2.4){\textcolor{red}{\bf $I$}}
\psline[linewidth=0.5pt](1.4,2.5)(1.4,-0.3)\rput(1.4,-0.6){$x_0$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(4.61,4)
%\rput(-1,4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1pt]{0.25}{6}{
x 180 mul 3.14 div 5 mul sin
x div
2 add
}
\rput(1,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{\textwidth-6cm}
On dit que la droite d'�quation $y=l$ est asymptote � $\mathcal{C}_f$
en $+\infty$.
\vspd
On peut aussi �crire, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp f(x)-l\rp=0$ :
lorsque $x$ tend vers $+\infty$, la distance entre $\mathcal{C}_f$ et
l'asymptote $y=l$ tend vers $0$.
\enmp
\item[d)]
\bgmp{11cm}
Les nombres $f(x)$ n'ont aucun comportement particulier.
\enmp
\bgmp{5cm}
Par exemple, $f(x)=\sin x$
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-0.2)(16,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(16,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,2)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{-1}{15}{
x 180 mul 3.14 div 2 mul sin
}
\rput(1,1.4){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\enit
\subsection[Limite en -infini]{Limite en $-\infty$}
De m�me que pour la limite en $+\infty$, quatre cas sont possibles:
\bgmp{8cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\ct{\begin{pspicture}(-6,-.8)(2,6.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(2,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6.5)
\psline[linewidth=0.5pt](0.3,3)(-3.6,3)\rput(0.6,3){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt](-3.6,3)(-3.6,-0.3)\rput(-3.6,-0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,4)(-4.61,4)
\rput(1,4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-4.61,4)(-4.61,-0.3)
\rput(-4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-6}{1}{
-1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul 0.08 mul
0.5 add
}
\rput(-6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}
%Pour tout nombre $M$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)>M$, d�s
%que on choisit $x$ assez grand n�gativement.
%\[\forall M>0\ ,\ \exists A<0 \tq \forall x\leq A, f(x)\geq M
%\]
Tout intervalle ouvert de la forme $]A;+\infty[$ contient $f(x)$ pour
$x$ suffisament grand n�gativement.
On �crit $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty$.
\enmp
\hspace{0.3cm}
\rule[-2.5cm]{0.5pt}{4.8cm}
\hspace{0.3cm}
\bgmp{8cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\ct{\begin{pspicture}(-6,-5.4)(2,1.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(2,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,1)(0,-6.5)
\psline[linewidth=0.5pt](0.3,-3)(-3.6,-3)\rput(0.6,-3){$A$}
\psline[linewidth=0.5pt](-3.6,-3)(-3.6,0.3)\rput(-3.6,0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,-4)(-4.61,-4)
\rput(1,-4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-4.61,-4)(-4.61,0.3)
\rput(-4.6,0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-6}{1}{
-1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul -0.08 mul
-0.5 add
}
\rput(-6.2,-5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}}
%Pour tout nombre $M<0$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)<M$, d�s
%que on choisit $x$ assez grand n�gativement.
%\[\forall M<0\ ,\ \exists A<0 \tq \forall x\leq A, f(x)\leq M
%\]
Tout intervalle ouvert de la forme \mbox{$]-\infty;A[$} contient $f(x)$ pour
$x$ suffisament grand n�gativement.
On �crit $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty$.
\enmp
\vspd
\ct{\rule[0pt]{8cm}{0.5pt}}
\vspd
\bgmp{8cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-10,-0.3)(3,5.)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-6,0)(2,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,5.2)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0.3,2.5)(-6,2.5)
%\rput(1.2,2.8){$l+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](1.3,2)(-6,2)\rput(2.2,2.3){$y=l$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0.3,1.5)(-6,1.5)
%\rput(1.2,1.4){$l-\epsi$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](0,1.5)(0,2.5)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,1.3)(-0.2,1.5)(0.2,1.5)(0.2,1.3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](-0.2,2.7)(-0.2,2.5)(0.2,2.5)(0.2,2.7)
\rput(0.5,2.4){\textcolor{red}{\bf $I$}}
\psline[linewidth=0.5pt](-1.2,2.5)(-1.2,-0.3)\rput(-1.2,-0.6){$x_0$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](0.3,4)(-4.61,4)
%\rput(-1,4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](4.61,4)(4.61,-0.3)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-6}{0.7}{
5
-1 x mul 2 add -1 x mul 2 add mul
div
2 add
}
\rput(1.4,4.8){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
%Pour tout nombre $\epsi>0$, aussi petit soit-il, $f(x)$ est dans
%l'intervalle $]l-\epsi;l+\epsi[$ d�s que $x$ est assez grand
%n�gativement.
%\[\forall \epsi>0\ ,\ \exists A<0 \tq \forall x\leq A,
%l-\epsi\leq f(x)\leq l+\epsi
%\]
Tout intervalle ouvert contenant $l$ contient $f(x)$ pour
$x$ suffisament grand n�gativement.
On �crit $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=l$.
\enmp
\hspace{0.3cm}
\rule[-2.cm]{0.5pt}{4.6cm}
\hspace{0.3cm}
\bgmp{8cm}
Les nombres $f(x)$ n'ont aucun comportement particulier.
Par exemple, $f(x)=\sin x$
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-15,-1.7)(2,1.8)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-15.5,0)(2,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,2)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt]{-15}{1}{
x 180 mul 3.14 div 2 mul cos
}
\rput(-1,1.4){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\subsection{Limites en l'infini des fonctions de r�f�rence}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$f(x)$
&$\sqrt{x}$
&$x^2$
&$x^n$, $n\in\N^*$
&$\dsp\frac{1}{x}$
&$\dsp\frac{1}{\sqrt{x}}$
&$\dsp\frac{1}{x^2}$
&$\dsp\frac{1}{x^n}$, $n\in\N^*$
&\bgmp{1.2cm}$\cos x$\\ $\sin x$\enmp
\\\hline
Limite en $+\infty$
&$+\infty$&$+\infty$&$+\infty$&$0$&$0$&$0$&$0$
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
\\\hline
Limite en $-\infty$
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
&$+\infty$
&\bgmp{2.8cm}$+\infty$ si $n$ pair\\$-\infty$ si $n$ impair\enmp
&$0$&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}&$0$&$0$
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\section{Limite en un point}
Soit $a\in\R$.
Lorsque $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de $a$, trois
cas peuvent se pr�senter:
\vspd
\bgit
\item[a)] les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand:
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,6.5)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1)(0,6.5)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,2.45)(3.6,2.45)\rput(-0.6,2.5){$A$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](2.4,6)(2.4,-0.6)
%\rput(2.,-1.1){$a-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](3,6)(3,-1.5)\rput(4,-1.5){$x=a$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](3.6,6)(3.6,-0.6)
%\rput(4,-1.1){$a+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,4)(2.6,4)
\rput(-1,4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,4)(2.6,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](2.4,0)(3.6,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](2.2,-.2)(2.4,-.2)(2.4,.2)(2.2,.2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](3.8,-.2)(3.6,-.2)(3.6,.2)(3.8,.2)
\rput(2.7,-.5){\textcolor{red}{\bf $I$}}
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{2.7}{
-2 x -3 add div -1 add
}
%\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
%Pour tout nombre $M$, aussi grand soit-il, on peut avoir $f(x)>M$, d�s
%que on choisit $x$ suffisament proche de $a$.
%\[\forall M>0\ ,\ \exists\ \epsi>0 \tq
%\forall x\in\R, a-\epsi\leq x\leq a+\epsi, f(x)\geq M
%\]
Tout intervalle ouvert de la forme $]A;+\infty[$ contient $f(x)$ pour
$x$ suffisament proche de $a$.
On �crit $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$.
\vspd
On dit que la droite d'�quation $x=a$ est asymptote �
$\mathcal{C}_f$.
\enmp
\item[b)] les nombres $f(x)$ deviennent infiniment grand n�gativement:
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-7.2)(6,2)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-7)(0,2)
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,-2.45)(3.6,-2.45)\rput(-0.6,-3){$A$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](2.4,-7)(2.4,0.6)
%\rput(2.,1.1){$a-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](3,-7)(3,1.3)\rput(4,1.4){$x=a$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](3.6,-7)(3.6,0.6)
%\rput(4,1.1){$a+\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(2.6,-4)
\rput(-1,-4){$f(x)$}
\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,-4)(2.6,0)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](2.4,0)(3.6,0)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](2.2,-.2)(2.4,-.2)(2.4,.2)(2.2,.2)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.4pt](3.8,-.2)(3.6,-.2)(3.6,.2)(3.8,.2)
\rput(2.7,-.5){\textcolor{red}{\bf $I$}}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{2.65}{
2 x -3 add div -1 add
}
%\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
%Pour tout nombre $M$, aussi grand n�gativement soit-il, on peut avoir
%$f(x)<M$, d�s que on choisit $x$ suffisament proche de $a$.
%\[\forall M<0\ ,\ \exists\ \epsi>0 \tq
%\forall x\in\R, a-\epsi\leq x\leq a+\epsi, f(x)\leq M
%\]
Tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty;A[$ contient $f(x)$ pour
$x$ suffisament proche de $a$.
On �crit $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$.
\vspd
On dit que la droite d'�quation $x=a$ est asymptote �
$\mathcal{C}_f$.
\enmp
\item[c)] les nombres $f(x)$ se rapprochent du (s'accumulent autour du)
nombre $l$
\bgmp{5cm}
\psset{arrowsize=6pt,unit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.8)(6,7.6)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(-1,0)(6,0)
\psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-1.4)(0,7)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,3.2)(3.6,3.2)
%\rput(-1,3.2){$l-\epsi$}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.3,4)(3.6,4)\rput(-0.6,4){$l$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](-0.3,4.8)(3.6,4.8)
%\rput(-1,4.8){$l+\epsi$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](1.9,7)(1.9,-0.6)
%\rput(1.4,-1.1){$a-\alpha$}
\psline[linewidth=0.5pt](2.5,-0.3)(2.5,7)\rput(2.5,-0.6){$a$}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](3.1,7)(3.1,-0.6)
%\rput(3.7,-1.1){$a+\alpha$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](-0.3,-4)(2.6,-4)
%\rput(-1,-4){$f(x)$}
%\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dotted](2.6,-4)(2.6,0)
%\rput(4.6,-0.5){$x$}
\psplot[linewidth=1pt]{-1}{5}{
-0.2 x x mul x mul mul
1.3 x x mul mul add
-1 add
}
%\rput(6.2,5){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12cm}
%Pour tout nombre $\epsi>0$ aussi petit soit-i, les nombres $f(x)$
%sont dans l'intervalle $]l-\epsi;l+\epsi[$, d�s que on choisit $x$
%assez proche de $a$.
%\[\forall \epsi>0\ ,\ \exists\ \alpha>0 \tq
%\forall x\in\R, a-\alpha\leq x\leq a+\alpha, l-\epsi\leq f(x)\leq a+\epsi
%\]
$f(x)$ se rapproche aussi proche de $l$ que voulu pourvu que $x$ soit
suffisament proche de $a$.
On �crit $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=l$.
\vspd
Si $f$ est d�finie en $a$ et que $f(a)=l$, on donc
$\dsp\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$, et la fonction est {\bf\ul{ continue en $a$}}.
\enmp
\enit
\bgdef{
Si $f$ est une fonction telle que
$\dsp \lim_{x\to a}f(x)=f(a)$, on dit que $f$ est \ul{continue} en
$a$.
Une fonction $f$ est continue sur un intervalle $I$ si elle est
continue en tout point de $I$.
}
\vspace{-.4cm}
\bgprop{\textbf{Continuit� des fonctions usuelles}
Les fonctions usuelles: les fonctions puissances
$x\mapsto x^n$, $n\in\N$, la fonction racine carr�e,
la fonction inverse, les fonctions polyn�mes et les fonctions
rationelles, les fonctions cosinus et sinus,
sont continues sur leur ensemble de d�finition.
}
\noindent
\ul{Remarque:}
Une fonction rationnelle est une fonction dont l'expression peut
s'�crire sous la forme $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ o�
$P$ et $Q$ sont deux polyn�mes.
Par exemple, la fonction
$f(x)=\dfrac{8x^5-3x^3+2x^2-27x+127}{x^2-7x+12}$ est une
fonction rationnelle d�finie sur $\R\setminus\la 3;4\ra$,
donc aussi continues en tout r�el $a\not=3$ et $a\not=4$:
pour tout r�el $a\in\R\setminus\la 3;4\ra$,
$\dsp\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
Par exemple, $\dsp\lim_{x\to1}f(x)=f(1)=\dfrac{107}{6}$.
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par \quad
$f(x)=\la\bgar{lll}
1 &\text{ si } &x\leqslant 3 \\
2 &\text{ si } &x> 3
\enar\right.
$
D�terminer les limites � gauche et � droite en $3$:
\limgd{x\to3}{x<3}{f(x)}, et
\limgd{x\to3}{x>3}{f(x)}.
La fonction $f$ est-elle continue en $3$ ?
Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par \quad
$f(x)=\la\bgar{lll}
x+2 &\text{ si } &x\leqslant -1 \\
-2x-1 &\text{ si } &x> -1
\enar\right.
$
D�terminer les limites � gauche et � droite en $-1$:
\limgd{x\to-1}{x<-1}{f(x)}, et
\limgd{x\to-1}{x>-1}{f(x)}.
La fonction $f$ est-elle continue en $1$ ?
Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$.
\enex
\vspace{-0.3cm}
\section{Op�rations sur les limites}
Les r�sultats concernant les op�rations sur les limites des suites
sont applicables aux limites de fonctions.
\vspace{-0.5cm}
\subsection{Limite d'une somme}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Limite de $f$ & $l$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
\\\hline
Limite de $g$ & $l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$
& $-\infty$ \\\hline
Limite de $f+g$& $l+l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
&$-\infty$ &\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\subsection{Limite d'un produit}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Limite de $f$ & $l$ & $l>0$ & $l<0$ & $l>0$ & $l<0$ & $+\infty$ &
$+\infty$ & $-\infty$ &$0$
\\\hline
Limite de $g$ & $l'$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$
& $+\infty$ & $-\infty$ &$-\infty$ & $+\infty$ ou $-\infty$\\\hline
Limite de $f g$& $l l'$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
&$+\infty$ &$+\infty$ & $-\infty$ & $+\infty$
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\subsection{Limite d'un quotient}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
Limite de $f$ & $l$ & $l$ & $+\infty$ & $+\infty$ & $-\infty$ & $-\infty$ &
$0$&$+\infty$ ou $-\infty$
\\\hline
Limite de $g$ & $l'\not=0$ & $+\infty$ ou $-\infty$ & $l'>0$ &
$l'<0$ & $l'>0$ & $l'<0$ &$0$& $+\infty$ ou $-\infty$\\\hline
Limite de $\dsp\frac{f}{g}$& $\dsp\frac{l}{l'}$ & $0$ & $+\infty$ & $-\infty$
&$-\infty$ &$+\infty$
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
&\textcolor{red}{\Large{$\tm$}}
\\\hline
\end{tabular}
\subsection{Formes indetermin�es}
Les formes ind�termin�es n�cessitent une �tude particuli�re.
Elles sont au nombre de quatre:
\[
`` +\infty - \infty `` \hspace{1cm}
`` 0 \tm \infty `` \hspace{1cm}
`` \frac{\infty}{\infty} `` \hspace{1cm}
`` \frac{0}{0} ``
\]
\vspace{-0.2cm}
\bgex D�terminer les limites suivantes:
\vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} x^3+3x^2-6$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x+2}$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} \dfrac{1-2x}{\lp x-3\rp^2}$
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x-3+\dfrac{1}{x^2+x+1}\rp$
\enex
\bgex {\sl Vrai ou faux} (Donner un contre exemple lorsque la
proposition est fausse)
\bgen[a.]
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
alors $\dsp\lim_{x\to +\infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}=1$.
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty$
et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=-\infty$
alors $\dsp\lim_{x\to +\infty} \lp f(x)g(x)\rp=+\infty$
\item Si $\dsp\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$
et $\dsp\lim_{x\to +\infty} g(x)=+\infty$
alors $\dsp\lim_{x\to +\infty} \lp f(x)-g(x)\rp=0$.
\enen
\enex
\vspace{-0.5cm}
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $D=\R\setminus\la2\ra$
par $f(x)=\dfrac{1}{(x-2)^2}$.
%\vspace{-0.2cm}
\bgen[a.]
\item Montrer que si $x\not=2$ et $1,9<x<2,1$, alors $f(x)>100$.
\item Soit $A$ un r�el strictement positif.
D�terminer un intervalle ouvert $I$ contenant $2$ tel que si
$x\in I$ alors $f(x)>A$.
\item Que peut-on d�duire en termes de limite pour la fonction $f$ ?
\enen
\enex
\bgex
D�duire de chacune des limites suivantes, si possible, l'�quation
d'une asymptote verticale ou horizontale � la courbe repr�sentative de
la fonction $f$.
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= 3$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to3} f(x)= -\infty$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= -6$
\quad
d)\ \ \limgd{x\to1}{x>1}{f(x)}$=+\infty$
e)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)= 0$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} f(x)= -\infty$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)= -\infty$
\enex
\bgex
D�terminer les limites de la fonction $f$ aux valeurs demand�es:
\noindent
a)\ $f(x)=2x+1+\dfrac{1}{x^2}$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$
\quad
b)\ $f(x)=\lp 4-x^2\rp\lp 3x-2\rp$ en $0$, en $+\infty$ et en
$-\infty$
\vspd\noindent
c)\ $f(x)=4x-1+\dfrac{1}{x-3}$ en $3$, en $+\infty$ et en $-\infty$
\quad
d)\ $f(x)=\dfrac{4x}{4-x}$ en $0$ et en $4$
\enex
\subsection{Composition de fonctions}
\vspace{-0.5cm}
\bgdef{
Soit $f$ et $g$ deux fonctions.
On appelle fonction compos�e de $g$ par $f$ la fonction
$x\mapsto f\lp g(x)\rp$.
}
\vspace{-0.3cm}
\bgprop{
$a$, $b$ et $c$ d�signent soit des r�els, soit $+\infty$, soit
$-\infty$.
Si $\dsp\lim_{x\to a} g(x)=b$
et $\dsp\lim_{x\to b} f(x)=c$
alors
$\dsp\lim_{x\to a} f(g(x))=c$.
}
\vspd\noindent
\ul{Exemple:}
Soit $f(x)=\sqrt{-3x^2+2}$.
\noindent
$\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp -3x^2+2\rp=+\infty$ et
$\dsp\lim_{X\to+\infty} \sqrt{X}=+\infty$.
Ainsi, par composition des limites,
$\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=+\infty$.
\bgex
D�terminer les limites suivantes: \vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{5-\dfrac{4}{x^2}}$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 2-\dfrac{1}{x}\rp^4$
\quad
c)\ \ \limgd{x\to0}{x>0}{\sqrt{\dfrac{2-x}{x}}}
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty}\sqrt{4x^2+9-\dfrac{16}{x^2+4}}$
\enex
\noindent
\ul{Rappel:} La d�riv�e de la fonction compos�e $h(x)=f\lp g(x)\rp$
est \ \ $h'(x)=g'(x)\tm f'\lp g(x)\rp$.
\vsp
Par exemple, soit $h(x)=\sqrt{x^2+3}$.
Alors $h$ est la compos�e de $g:x\mapsto x^2+3$ par
$f:x\mapsto \sqrt{x}$,
c'est-�-dire que
$h(x)=\sqrt{g(x)}=f(g(x))$.
On a $g'(x)=2x$ et $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$, et donc,
$h'(x)=g'(x)\tm f'\lp g(x)\rp
=2x\tm \dfrac{1}{2\sqrt{x^2+3}}
=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}
$
\bgex
Calculer la d�riv�e des fonctions suivantes:
\vspd
a)\ \ $f(x)=\sqrt{2x^3-3x+1}$
\qquad
b)\ \ $f(x)=\lp 2x+3\rp^5$
\qquad
c)\ \ $f(x)=\cos\lp 2x-3\rp$
\vspd
d)\ \ $f(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{2x+1}}$
\qquad
e)\ \ $f(x)=\lp\dfrac{x+1}{2x+1}\rp^7$
\qquad
f)\ \ $f(x)=\dfrac{1}{\lp x^2+3\rp^6}$
\enex
\section{Formes ind�termin�es}
\vspace{-0.5cm}
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par
$f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$.
\bgen
\item D�terminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item
\bgen[a.]
\item A quelle forme ind�termin�e la limite de $f$ en $+\infty$
conduit-elle ?
\item D�montrer que, pour tout r�el $x$,
$f(x)=\dfrac{-1}{x+\sqrt{x^2+1}}$.
\item D�terminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\enen
\enen
\enex
\vspd\noindent
\ul{\bf M�thode en cas de forme ind�termin�e:}
On essaie dans ce cas de lever l'ind�termination en transformant
l'expression (factorisation, d�veloppement, \dots)
\vspd\noindent
{\bf \ul{Exemple 1:} limite en $+\infty$ d'un polyn�me.}
Par exemple, la limite en $+\infty$ de
$f(x)=x^3-2x^2+3$.
En $+\infty$,
$\dsp\lim_{x\to+\infty} x^3=+\infty$ et
$\dsp\lim_{x\to+\infty} -2x^2=-\infty$,
et on ne peut donc pas directement appliquer la r�gle de calcul sur la limite
de la somme (forme ind�termin�e $"+\infty-\infty"$).
N�anmoins, en $+\infty$, $x^3$ cro�t plus rapidement que $2x^2$:
$x^3$ est pr�pond�rant devant~$2x^2$.
On factorise alors par ce terme pr�pond�rant:
$f(x)=x^3\lp 1-\dfrac{2x}{x^3}+\dfrac{3}{x^3}\rp
=x^3\lp 1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}\rp$,
\vspace{-0.5cm}
et on a:
\bgmp{10cm}
\[\left.\bgar{l}
\dsp\lim_{x\to+\infty} x^3=+\infty \\
\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}\rp=1
\enar\ra
\Rightarrow
\text{par produit des limites, }
\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty
\]
\enmp
\vspd\noindent
{\bf\ul{Exemple 2:} Limite en $+\infty$ d'une fraction rationnelle.}
Par exemple, $f(x)=\dfrac{x^3-2x^2+3}{2x^3+4}$.
Une fonction rationnelle est le quotient de deux polyn�mes.
On peut donc appliquer au num�rateur et au d�nominateur la d�marche
pr�c�dente:
\[f(x)=\dfrac{x^3\lp1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}\rp}{2x^3\lp1+\dfrac{}{x^3}\rp}
=\dfrac{1}{2}\ \dfrac{1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}}{1+\dfrac{}{x^3}}
\]
et on a:
$\left.\bgar{l}
\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac12=\dfrac12 \\
\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 1-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{x^3}\rp=1\\
\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp 1+\dfrac{4}{x^3}+\dfrac{3}{x^3}\rp=1
\enar\ra
\Rightarrow
\text{par produit et quotient des limites, }
\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=\dfrac12
$
\bgex
Determiner les limites suivantes: \vspd
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^5-6x^4+3x^2-12\rp$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp x^3+x+3\rp$
\quad
c)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x+2}{3x-7}$
\quad
d)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{9x^2+2x}{3x^3-7}$
\vspd
e)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
f)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \sqrt{\dfrac{9x+2}{x-3}}$
\quad
g)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\quad
h)\ \ $\dsp\lim_{x\to0} \lp x^2-x+\dfrac{1}{x^2}\rp$
\enex
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R$ par
$f(x)=2x-\sqrt{x^2+1}$.
\bgen[a.]
\item A quelle forme ind�termin�e la limite de $f$ en $+\infty$
conduit-elle ?
\item D�montrer que, pour tout r�el $x$ positif,
$f(x)=x\lp2-\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}\rp$.
En d�duire la limite de $f$ en $+\infty$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction $x\mapsto \dfrac{ax+b}{2x-1}$ o� $a$ et $b$ sont
deux r�els.
$f$ est repr�sent�e par la courbe $\mathcal{C}$ dans un rep�re
orthogonal $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
\bgen
\item D�terminer $a$ et $b$ tels que $f(0)=0$ et
$\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=2$.
\item D�terminer les asymptotes � $\mathcal{C}$.
\item Dresser le tableau de variation de $f$,
et tracer l'allure de $\mathcal{C}$.
\enen
\enex
\section{Th�or�me de comparaison}
\bgth{{\bf Th�or�me des gendarmes pour les fonctions}
Soit $f$, $g$ et $h$ trois fonctions d�finies sur un intervalle $I$
telles que, pour tout $x$ de $I$,
$h(x)\leqslant f(x)\leqslant g(x)$.
Si de plus $a\!\in\! I$ (�ventuellement $a\!=\!+\infty$)
et
$\dsp\lim_{x\to a} h(x)=\lim_{x\to a} g(x)=l$,
alors, \mbox{$\dsp\lim_{x\to a} f(x)=l$}.
}
\vspd\noindent
\bgmp{7cm}
\ul{Exemple:} Soit une fonction $f$ telle que, pour tout $x>0$,
$-\dfrac{1}{x}\leqslant f(x)\leqslant \dfrac{1}{x}$.
\vspt
Alors,
\vspt
comme
$\dsp\lim_{x\to+\infty} -\dfrac{1}{x}
=\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{1}{x}
=0$,
\vspq\vspt
on a
$\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$.
\enmp\hspace{\fill}
\bgmp{10cm}
\psset{arrowsize=6pt,xunit=1cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-3.)(8,3.2)
\psline{->}(-1.5,0)(8.2,0)
\psline{->}(0,-3.5)(0,3.4)
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.01}{7.7}{
x 180 mul 3.14 div 2 mul sin
x div
}
\psplot[plotpoints=300,linewidth=1pt,linecolor=blue]{-1}{-0.01}{
x 180 mul 3.14 div 2 mul sin
x div
}
\rput(-1,0.7){\textcolor{blue}{$y=f(x)$}}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0.3}{7.7}{1 x div}
\rput(1.7,3){\textcolor{red}{$y=g(x)=\dfrac{1}{x}$}}
\psplot[linewidth=1.2pt,linecolor=red]{0.3}{7.7}{1 x div -1 mul}
\rput(1.8,-3){\textcolor{red}{$y=h(x)=-\dfrac{1}{x}$}}
\end{pspicture}
\enmp
\bgcorol{
Soit $f$ et $g$ deux fonctions telles que pour tout $x$ de $I$,
$f(x)\geqslant g(x)$, et $a\in I$,
\vspd
\bgit
\item[$\bullet$] si $\dsp\lim_{x\to a} g(x)=+\infty$,
alors $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=+\infty$,
\vspd
\item[$\bullet$] si $\dsp\lim_{x\to a} f(x)=-\infty$,
alors $\dsp\lim_{x\to a} g(x)=-\infty$,
\enit
}
\bgex {\sl Vrai ou faux}
\bgen[a.]
\item Si pour tout r�el $x$, $f(x)\geqslant x^2$,
alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$.
\item Si pour tout r�el $x$ strictement positif,
$f(x)\leqslant \dfrac1x$,
alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=0$.
\item Si pour tout r�el $x$ strictement positif,
$1\leqslant f(x)\leqslant x$,
alors $\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{f(x)}{x^2}=0$.
\enen
\enex
\vspace{-.3cm}
\bgex
D�terminer la limite en $+\infty$ de $f(x)=\dfrac{1}{x}\sin(x)$.
\enex
%\section{Asymptote oblique}
\vspace{-.3cm}
\bgex {\bf Asymptote oblique}
Soit la fonction $f$ d�finie sur $D=\R\setminus\la1\ra$ par
$\dsp f(x)=\frac{x^2+1}{x-1}$
et $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr�sentative.
\vspace{-.3cm}
\bgen[a.]
\item Montrer que pour tout $x\in D$,
$f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$
\item D�terminer la limite en $-\infty$ et $+\infty$ de
$f(x)-(x+1)$.
\item Quelle propri�t� peut-on en d�duire quant � $\mathcal{C}_f$ et
la droite $\Delta: y=x+1$ ?
Repr�senter ce r�sultat sur un graphique.
\enen
\enex
%\bgex
%D�composer les fonctions suivantes:
%$\dsp\bullet g(x)=\frac{x^2+2x-5}{2x-1}$
%\hspace{1cm}
%$\dsp\bullet h(x)=\frac{6x^3-4x^2+3}{x^2+x+1}$
%\enex
%\bgmp{10cm}
%Soit, pour $x\in\R\setminus\la1\ra$, $M$ le point de $\mathcal{C}_f$
%d'abscisse $x$ et $N$ le point de $\Delta$ d'abscisse $x$.
%
%\vspace{0.6cm}
%Alors, $MN=\big|f(x)-(ax+b)\big|$,
%
%\vspace{0.6cm}
%et, $\dsp \lim_{x\to+\infty} MN = \lim_{x\to-\infty} MN=0$
%
%\vspace{0.6cm}
%La droite $\Delta$ d'�quation $y=ax+b$ est asymptote oblique �
%$\mathcal{C}_f$ en $+\infty$ et $-\infty$.
%
%\enmp
%\bgmp{10cm}
%\psset{arrowsize=6pt,unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(-4.,-5)(7,9)
%\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-6,0)(6,0)
%\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-5.2)(0,9)
%
%\psplot[linewidth=0.8pt]{-6}{6}{x 1 add}
%\psplot[linewidth=0.8pt]{1.3}{5.8}{
% x x mul 1 add
% x -1 add
% div
%}
%
%\psplot[linewidth=0.8pt]{-5.8}{0.7}{
% x x mul 1 add
% x -1 add
% div
%}
%\rput(1.7,8.5){$\mathcal{C}_f$}
%
%\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](5,-0.3)(5,6.5)
%\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.4,6)(5,6)
%\psline[linewidth=0.6pt,linestyle=dotted](-0.8,6.5)(5,6.5)
%
%\rput(5,-0.5){$x$}
%\rput(-1.5,6){$y=ax+b$}
%\rput(-1.5,6.5){$f(x)$}
%
%\psline[linewidth=1pt](4.85,5.85)(5.15,6.15)
%\psline[linewidth=1pt](4.85,6.15)(5.15,5.85)
%
%\psline[linewidth=1pt](4.85,6.35)(5.15,6.65)
%\psline[linewidth=1pt](4.85,6.65)(5.15,6.35)
%
%\rput(5.1,7){$M$}
%\rput(5.4,6.){$N$}
%\end{pspicture}
%\enmp
\bgex
Soit la fonction $f$ d�finie sur $\R\setminus\la-2\ra$ par
l'expression $\dsp f(x)=\frac{-x^2+x+3}{x+2}$.
\vspd\noindent
Montrer que la droite d'�quation $y=-x+3$ est asymptote
oblique � la courbe repr�sentative de~$f$.
\enex
\bgex
Soit $g$ la fonction d�finie sur $D=\R\setminus\la1\ra$
par l'expression $\dsp g(x)=\frac{x^2+x-1}{x-1}$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe
repr�sentative dans un rep�re orthogonal du plan.
\bgen
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item D�terminer les limites de $f$ � gauche et � droite en
$1$.
\item D�terminer trois r�els $a$, $b$ et $c$ tels que,
pour tout $x\in D$,
$f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-1}$.
\item D�terminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'�quation $y=x+2$ est asymptote
� $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
\item Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$.
\enen
\enex
\vspace{-0.3cm}
\bgex
On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $\R\setminus\la-2\ra$
par
$f(x)=\dfrac{2x^2+3x+3}{x+2}$, et on
note $\mathcal{C}_f$ sa courbe repr�sentative dans un rep�re
orthogonal du plan.
\bgen
\item Montrer que la droite $\Delta$ d'�quation
$y=2x-1$ est asymptote oblique � $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et
$+\infty$.
\item D�terminer la position relative de $\mathcal{C}_f$ et $\Delta$.
\item Repr�senter graphiquement ces r�sultats.
\enen
\enex
%\bgex
%$\bullet$ Soit $h$ la fonction d�finie par l'expression
%$\dsp h(x)=\frac{2x^3+3x^2-7x+3}{x^2+2x-3}$. Etudier $h$.
%\enex
\bgex {\bf Exercice type Bac}
\noindent
\bgmp{7.1cm}
{\bf Partie A.}
Soit $\vphi$ la fonction d�finie sur $\R$ par
\quad$\vphi(x)=\dfrac{ax^2+bx+c}{x^2+1}$
dont la courbe repr�sentative $\mathcal{C}$ est donn�e ci-contre.
La droite d'�quation $y=3$ est asymptote � $\mathcal{C}$ en plus et
moins l'infini.
\vspd
Gr�ce aux renseignements donn�s par le graphique,
d�terminer les r�els $a$, $b$ et $c$.
\enmp\hspace{\fill}
\bgmp{11cm}
\psset{arrowsize=4pt,xunit=1cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.5)(5.5,5.6)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(-5.2,0)(5.2,0)
\psline[linewidth=1.pt]{->}(0,-0.5)(0,6.4)
\multido{\i=-5+1}{11}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,-0.4)(\i,6.4)
}
\multido{\i=1+1}{6}{
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](-5.2,\i)(5.2,\i)
}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1pt](1,0)(1,5)(0,5)
\rput(-0.2,-0.2){$0$}
\rput(-0.15,0.8){$1$}\rput(0.9,-0.2){$1$}
\psplot[linewidth=1.4pt]{-5.2}{5.2}{3 4 x mul x x mul 1 add div add}
\rput(2.6,4.6){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\enmp
\noindent
{\bf Partie B.}
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par
$f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}$.
\vspace{-0.3cm}
\bgen
\item D�terminer les r�els $\alpha$ et $\beta$ tels que, pour tout
r�el $x$, $f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}$.
\item Dresser le tableau de variation complet de $f$.
\item D�terminer les positions relatives de la courbe repr�sentative
de $f$ et de son asymptote.
\item
\bgen[a.]
\item Montrer que pour tout r�el $x$,
$\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}=3$.
\item Que peut-on en d�duire pour la courbe repr�sentative de $f$ ?
{\sl (Indication: Consid�rer les points
$M(x;f(x))$, $M(-x,f(-x))$ et $I(0;3)$)}
\enen
\enen
\noindent
{\bf Partie C.}
On consid�re la fonction $g$ d�finie sur $\R$ par
$g(x)=f\lp|x|\rp=\dfrac{3x^2+4|x|+3}{x^2+1}$.
\bgen
\item D�terminer la limite de $g$ en moins l'infini.
\item expliquer comment obtenir la courbe repr�sentative de $g$ �
partir de celle de $f$.
\enen
\enex
\bgex
D�terminer les limites:
\quad
a)\ \ $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp \sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x}\rp$
\quad
b)\ \ $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp \sqrt{x^2+2x+3}+x\rp$
\enex
\end{document}
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