Source Latex: Exercices de mathématiques en Terminale S


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Type: Exercices (non corrigés)
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Description
Exercices de mathématiques: fonctions logarithmes népérien et décimal
Niveau
Terminale S
Mots clé
Exercices de mathématiques, logarithme, logarithme népérien, fonction logarithme, logarithme décimale, TS, terminale S
Voir aussi:

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Source Latex

\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques: Logarithme},
    pdftitle={Fonctions logarithmes - Exercices},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S, 
      logarithme, logarithme népérien, ln, 
      logarithme décimal}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
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\textwidth=18cm
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\parindent=0.2cm

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\newcounter{ntheo}
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  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Théorème}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Propriété}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Corollaire}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Définition}}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions logarithmes - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.4cm}

%\tableofcontents



\bgex
\bgen
\item Résoudre les équations: 
  $\bullet\ e^x=1$
  \hspace{0.5cm}
  $\bullet\ e^x=e$
  \hspace{0.5cm}
  $\bullet\ \dsp e^x=\frac{1}{e}$
\item 
  \bgit
  \item[a)] Montrer que pour tout réel  $\lbd>0$, 
    l'équation $e^x=\lbd$ admet une unique solution. 
  \item[b)] Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la
    solution de l'équation $e^x=2$. 
  \enit
\enen
\enex


\bgex
\bgen[a)] 
\item Résoudre les équations\!: 
  $(E_1)\!: e^x\!=\!5$
  \hspace{0.1cm}
  $(E_2)\!: \ln(x)\!=\!-5$
  \hspace{0.1cm}
  $(E_3)\!: \ln(2x-1)\!=\!-2$
  \hspace{0.1cm}
  $(E_4)\!: \ln(1+x)\!=\!100$

\item Résoudre le systèmes: \quad 
  $\mathcal{S}_1:\ 
  \la\bgar{rcrcr}
  -\ln x &+&2\ln y &=& 1 \\[0.3cm]
  3\ln x &-& 5 \ln y &=& -1
  \enar\right.
  $\ ; 
  \quad
  $\mathcal{S}_2:\ 
  \la\bgar{rcrcr}
  -2\ln x &+&3\ln y &=& -1 \\[0.3cm]
  -7\ln x &-& 8 \ln y &=& 1
  \enar\right.
  $

\enen
\enex


%\bgex
%Une variable aléatoire $X$ a une loi de probabilité exponentielle de
%paramètre $\lbd$ sur $[\,0;+\infty[$. 
%Calculer la valeur de $\lbd$ sachant que la probabilité que $X$ soit
%inférieure à 70 est égale à 0,05.
%\enex
%
%\bgex
%$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de
%paramètre $\lbd=10$. 
%\newline
%Déterminer le réel $a$ tel que 
%\[
%P(X>a)=P(X\leqslant a)
%\]
%\enex


\bgex
Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par les expressions 
\[ f(x)=\ln(x+3)+\ln(x-2)\ \mbox{ et, } \ \ 
g(x)=\ln(x^2+x-6)
\]

Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et de $g$. 
Que peut-on dire de ces deux fonctions ?
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie par l'expression 
$\dsp f(x)=\ln\lp\frac{1+x}{1-x}\rp$. 

\vsp
Déterminer l'ensemble de définition de $f$, et montrer que sa courbe
représentative admet l'orignie du repère comme centre de symétrie. 
\enex


%\bgex
%Une variable aléatoire $X$ a une loi de probabilité exponentielle de
%paramètre $\lbd$ sur $[\,0;+\infty[$. 
%Donner un encadrement de l'espérance de $X$ sachant que 
%l'on a estimé que $X$ est inférieure à 4 dans moins de 85\,\% des
%cas et est supérieure à 5 dans moins de 10\,\% des
%cas.
%\enex


\bgex
Déterminer l'ensemble de définition puis le signe de la fonction sur
cet ensemble: 

\vspd\noindent
a) $f(x)= \ln\lp\dfrac{x}{e}\rp$ 
\quad
b) $g(x)= \lp \ln x -1\rp\,\lp 3 - \ln x\rp$
\quad
c) $h(x)= \dfrac{\ln(2x-1)}{1-\ln x}$
\quad
d) $l(x)= \ln\lp x^2-7x+12\rp$
\enex

\bgex
Résoudre les équations et inéquations: 

$\bullet\quad \ln(x+1)+\ln(x+3)=\ln(x+7)$
\qquad
$\bullet\quad \ln(x^2-3)\leq \ln(x)+\ln(2)$

\medskip
$\bullet\quad 2(\ln(x))^2+5\ln(x)-3=0$
\hspace{4.65em}
$\bullet\quad 2(\ln(x))^2+5\ln(x)-3>0$
\enex


\bgex
Calculer la dérivée des fonctions suivantes: 

\vspd\noindent
a)\ \ $f:x\mapsto 2\ln(x)$ 
\qquad
b)\ \ $g:x\mapsto \ln(2x)$
\qquad
c)\ \ $h:x\mapsto \ln(x^2-7x+12)$
\enex


%\bgex
%Calculer les intégrales: 
%
%\vspd\noindent
%a) $\dsp I=\int_0^2 \dfrac{1}{x+2}\,dx$ 
%\quad
%b) $\dsp J=\int_0^1 \dfrac{x}{2x^2+3}\,dx$
%\quad
%c) $\dsp K=\int_0^1 \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+3}\,dx$
%\enex
%
%\bgex
%On considère la fonction $f$ définie sur $I=[\,0;1]$ par 
%$f(x)=\dfrac{x+5}{(x+2)(2x+1)}$. 
%On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère 
%$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 
%\bgen
%\item Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, 
%  pour tout $x\in I$, 
%  $f(x)=\dfrac{\alpha}{x+2}+\dfrac{\beta}{2x+1}$.
%\item Calculer l'aire du plan comprise entre l'axe des abscisses,
%  l'axe des ordonnées, la
%  courbe $\Cf$ et la droite d'équation $y=1$. 
%\enen
%\enex


\bgex
Calculer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes: 
\vspd

\noindent
a) $\dsp f(x)=\ln(x)-x$ \hspace{0.4cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$ \hspace{0.4cm}
c) $\dsp h(x)=\frac{\ln(x)}{x^2+5x+7}$ \hspace{0.4cm}
d) $\dsp k(x)=e^{2x}-(x+1)e^x$
\enex


\bgex
Calculer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes: 
\vspd

\noindent
a) $\dsp f(x)=\frac{\ln(1+3x)}{x}$ \hspace{0.4cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{\ln(x)-3x}{3x^3}$ \hspace{0.4cm}
c) $\dsp h(x)=\frac{\ln(x^2+1)}{x}$ \hspace{0.4cm}
d) $\dsp k(x)=(2x^3+3x^2-5)e^{-x}$ 
\enex

\bgex Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+^*$ par 
$\dsp f(x)=\frac{2x^2+9x+9+\ln(x)}{x+3}$. 

Montrer que la droite d'équation $y=2x+3$ est asymptote oblique en
$+\infty$ à $\Cf$.

\enex



\bgex
Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ 
représentative de la fonction $\ln$ aux points d'abscisse $1$ et $e$. 
Tracer dans un repère la courbe $\mathcal{C}$ et ses deux tangentes.
\enex

\bgex
Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition de 
%la fonction 
\ $\dsp f:x\mapsto \frac{\ln(x)+2}{\ln(x)-1}$
\enex

\bgex
Etudier la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par 
$\dsp f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)$.
\enex

\bgex
Etudier la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par
$f(x)=\Big(\ln(x)\Big)^2$. 
\enex

\bgex
Etudier la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=\ln\lp\ln(x)\rp$.
\enex

\bgex
Etudier la fonction définie sur 
$\dsp \Big]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\Big[$ par 
$f(x)=-\ln\Big(\cos(x)\Big)$.
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $]\,0;+\infty[$ par: 
$ f(x)=x+\ln\lp\dfrac{x}{2x+1}\rp
$.

On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère 
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

\bgit
\item[1.] Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
  \vsp
\item[2.] Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de
  variation. 
  \vsp
\item[3.] 
  \bgit
  \item[a)] Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-\ln(2)$ est
    asymptote à $\Cf$ en $+\infty$. 
  \vsp
  \item[b)] Etudier la position de $\Cf$ par rapport à $\Delta$. 
  \enit
  \vsp
\item[4)] Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique
  $\alpha$ et justifier que $\dsp\alpha\in\Big[1;\frac{5}{4}\Big[$. 
\item[5.] Tracer $\Delta$ et $\Cf$.
\enit
\enex

\bgex
Soit $u$ la suite définie pour tout entier $n>0$ par 
\quad$u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots+\dfrac{1}{2n}
$

\bgit
\item[I.] {\it Calcul des premiers termes de la suite}
  \bgit
  \item[a)] Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$, 
    $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2(n+1)(2n+1)}
    $
  \item[b)] Calculer les premiers termes 
    $u_1$, $u_2$ et $u_3$ de cette suite. 
  \enit
  \vspq
\item[II.] {\it Etude de la convergence de la suite $u$}
  \bgit
  \item[1)] 
    \bgit
    \item[a)] Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif, 
      $\dsp 1-\frac{1}{x}\leq \ln(x)\leq x-1$
    \item[b)] En déduire que pour tout entier naturel non nul $p$, 
      $\dsp \frac{1}{p+1}\leq \ln\lp\frac{p+1}{p}\rp\leq \frac{1}{p}$
    \enit
  \item[2)] Soit $n$ un entier naturel non nul. 
    \bgit
    \item[a)] Ecrire l'encadrement précédent pour les valeurs 
      $n$, $n+1$, \dots, $2n-1$ de $p$. 
    \item[b)] En effectuant les sommes membre à membre des inégalités
      obtenues, démontrer que 
      \[ u_n\leq \ln(2)\leq u_n+\frac{1}{2n}\]
    \enit
  \item[3)] Prouver alors que la suite $u$ converge vers $\ln(2)$.
  \enit
\enit
\enex

\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $]\,0;+\infty[$ par 
    $\dsp f(x)=\frac{x-1}{x}\ln(x)$
et on note $\Cf$ sa courbe représentative. 

\bgit
\item[1.]
  \bgit
  \item[a)] Etudier le sens de variation de la fonction $g$ définie
    sur $]\,0;+\infty[$ par $g(x)=x-1+\ln(x)$. 
  \item[b)] Vérifier que $g(1)=0$. 
    En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $g(x)$. 
  \enit
  \vspt
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] Montrer que pour tout réel $x$ de $]\,0;+\infty[$, 
    $\dsp f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}$
  \item[b)] En déduire les variations de $f$. 
  \item[c)] Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
  \item[d)] Dresser le tableau de variation de $f$. 
  \enit
  \vspt
\item[3.] Tracer la courbe $\Cf$.
\enit
\enex


\bgex
Soit le nombre $a=2^{13\,345}$. 
Vérifier que $4\,017\leqslant \log(a) < 4\,018$. 

Indiquer alors le nombre de chiffre de la partie entière de l'écriture
décimale de $a$. 
\enex


\bgex {\it (Echelle de Richter)} 

La magnitude d'un séisme, sur l'échelle de Richter, est évaluée à
partir de l'amplitude $A$ des ondes sismiques enregistrées sur un
sismographe par la formule $M=\log(A)-\log(A_0)$, 
où $A_0$ désigne l'amplitude d'un séisme de référence. 

\bgit
\item[1.] On a mesuré l'amplitude d'un séisme et on a obtenu 
  $A=3,98\,10^7\,A_0$. 

  Calculer la magnitude de ce séisme sur l'échelle de Richter. 


\item[2.] La magnitude d'un séisme est $5$. 

  Déterminer le rapport $\dsp\frac{A}{A_0}$ de son amplitude à
  l'amplitude de référence. 

\item[3.] A quelle variation d'amplitude correspond une variation de
  magnitude de $1$ sur l'échelle de~Richter. 
\enit
\enex

\bgex {\it (pH d'une solution)} 

La molarité en ions $H^+$ d'une solution est le nombre, 
noté $[H^+]$ de moles par litre d'ions $H^+$. 

$[H^+]$ s'exprime généralement par un nombre comportant une puissance
négative de $10$ ($10^{-5}$ mol.L$^{-1}$ par exemple). 
On lui préfère donc le pH défini par 
pH$=-\log([H^+])$. 

\vspd
\bgit
\item[1.] Quel est le pH d'un solution contenant $3.10^{-7}$ moles
  d'ions $H^+$ par litre ? 
  \vspd
\item[2.] Quelle est la molarité en ions $H^+$ d'une solution neutre 
  (pH$=7$) ?
\enit
\enex




\bgex
Soit $n\in\N^*$, et un réel $a\geqslant 0$. 

Montrer que l'équation $x^n=a$ admet une unique solution sur $\R^+$. 

Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solution de 
l'équation $x^3=2$. 
\enex


\bgex
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes: 
a)\ \ $\dsp f(x)=\frac{2}{\sqrt[4]{X}}$ \quad
b)\ \ $\dsp g(x)=\sqrt[3]{x^2+1}$
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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