Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques: Logarithme},
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logarithme, logarithme népérien, ln,
logarithme décimal}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\epsi{\varepsilon}
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\def\Cf{\mathcal{C}_f}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\newcounter{ntheo}
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\noindent
\paragraph{\ul{Théorème}}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{nprop}
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\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\paragraph{\ul{Corollaire}}% \arabic{ntheo}}
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\noindent
\paragraph{\ul{Définition}}% \arabic{ndef}}
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\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions logarithmes - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
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%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\bgex
\bgen
\item Résoudre les équations:
$\bullet\ e^x=1$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ e^x=e$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp e^x=\frac{1}{e}$
\item
\bgit
\item[a)] Montrer que pour tout réel $\lbd>0$,
l'équation $e^x=\lbd$ admet une unique solution.
\item[b)] Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la
solution de l'équation $e^x=2$.
\enit
\enen
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Résoudre les équations\!:
$(E_1)\!: e^x\!=\!5$
\hspace{0.1cm}
$(E_2)\!: \ln(x)\!=\!-5$
\hspace{0.1cm}
$(E_3)\!: \ln(2x-1)\!=\!-2$
\hspace{0.1cm}
$(E_4)\!: \ln(1+x)\!=\!100$
\item Résoudre le systèmes: \quad
$\mathcal{S}_1:\
\la\bgar{rcrcr}
-\ln x &+&2\ln y &=& 1 \\[0.3cm]
3\ln x &-& 5 \ln y &=& -1
\enar\right.
$\ ;
\quad
$\mathcal{S}_2:\
\la\bgar{rcrcr}
-2\ln x &+&3\ln y &=& -1 \\[0.3cm]
-7\ln x &-& 8 \ln y &=& 1
\enar\right.
$
\enen
\enex
%\bgex
%Une variable aléatoire $X$ a une loi de probabilité exponentielle de
%paramètre $\lbd$ sur $[\,0;+\infty[$.
%Calculer la valeur de $\lbd$ sachant que la probabilité que $X$ soit
%inférieure à 70 est égale à 0,05.
%\enex
%
%\bgex
%$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de
%paramètre $\lbd=10$.
%\newline
%Déterminer le réel $a$ tel que
%\[
%P(X>a)=P(X\leqslant a)
%\]
%\enex
\bgex
Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par les expressions
\[ f(x)=\ln(x+3)+\ln(x-2)\ \mbox{ et, } \ \
g(x)=\ln(x^2+x-6)
\]
Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et de $g$.
Que peut-on dire de ces deux fonctions ?
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie par l'expression
$\dsp f(x)=\ln\lp\frac{1+x}{1-x}\rp$.
\vsp
Déterminer l'ensemble de définition de $f$, et montrer que sa courbe
représentative admet l'orignie du repère comme centre de symétrie.
\enex
%\bgex
%Une variable aléatoire $X$ a une loi de probabilité exponentielle de
%paramètre $\lbd$ sur $[\,0;+\infty[$.
%Donner un encadrement de l'espérance de $X$ sachant que
%l'on a estimé que $X$ est inférieure à 4 dans moins de 85\,\% des
%cas et est supérieure à 5 dans moins de 10\,\% des
%cas.
%\enex
\bgex
Déterminer l'ensemble de définition puis le signe de la fonction sur
cet ensemble:
\vspd\noindent
a) $f(x)= \ln\lp\dfrac{x}{e}\rp$
\quad
b) $g(x)= \lp \ln x -1\rp\,\lp 3 - \ln x\rp$
\quad
c) $h(x)= \dfrac{\ln(2x-1)}{1-\ln x}$
\quad
d) $l(x)= \ln\lp x^2-7x+12\rp$
\enex
\bgex
Résoudre les équations et inéquations:
$\bullet\quad \ln(x+1)+\ln(x+3)=\ln(x+7)$
\qquad
$\bullet\quad \ln(x^2-3)\leq \ln(x)+\ln(2)$
\medskip
$\bullet\quad 2(\ln(x))^2+5\ln(x)-3=0$
\hspace{4.65em}
$\bullet\quad 2(\ln(x))^2+5\ln(x)-3>0$
\enex
\bgex
Calculer la dérivée des fonctions suivantes:
\vspd\noindent
a)\ \ $f:x\mapsto 2\ln(x)$
\qquad
b)\ \ $g:x\mapsto \ln(2x)$
\qquad
c)\ \ $h:x\mapsto \ln(x^2-7x+12)$
\enex
%\bgex
%Calculer les intégrales:
%
%\vspd\noindent
%a) $\dsp I=\int_0^2 \dfrac{1}{x+2}\,dx$
%\quad
%b) $\dsp J=\int_0^1 \dfrac{x}{2x^2+3}\,dx$
%\quad
%c) $\dsp K=\int_0^1 \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+3}\,dx$
%\enex
%
%\bgex
%On considère la fonction $f$ définie sur $I=[\,0;1]$ par
%$f(x)=\dfrac{x+5}{(x+2)(2x+1)}$.
%On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère
%$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
%\bgen
%\item Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que,
% pour tout $x\in I$,
% $f(x)=\dfrac{\alpha}{x+2}+\dfrac{\beta}{2x+1}$.
%\item Calculer l'aire du plan comprise entre l'axe des abscisses,
% l'axe des ordonnées, la
% courbe $\Cf$ et la droite d'équation $y=1$.
%\enen
%\enex
\bgex
Calculer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes:
\vspd
\noindent
a) $\dsp f(x)=\ln(x)-x$ \hspace{0.4cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$ \hspace{0.4cm}
c) $\dsp h(x)=\frac{\ln(x)}{x^2+5x+7}$ \hspace{0.4cm}
d) $\dsp k(x)=e^{2x}-(x+1)e^x$
\enex
\bgex
Calculer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes:
\vspd
\noindent
a) $\dsp f(x)=\frac{\ln(1+3x)}{x}$ \hspace{0.4cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{\ln(x)-3x}{3x^3}$ \hspace{0.4cm}
c) $\dsp h(x)=\frac{\ln(x^2+1)}{x}$ \hspace{0.4cm}
d) $\dsp k(x)=(2x^3+3x^2-5)e^{-x}$
\enex
\bgex Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+^*$ par
$\dsp f(x)=\frac{2x^2+9x+9+\ln(x)}{x+3}$.
Montrer que la droite d'équation $y=2x+3$ est asymptote oblique en
$+\infty$ à $\Cf$.
\enex
\bgex
Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$
représentative de la fonction $\ln$ aux points d'abscisse $1$ et $e$.
Tracer dans un repère la courbe $\mathcal{C}$ et ses deux tangentes.
\enex
\bgex
Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition de
%la fonction
\ $\dsp f:x\mapsto \frac{\ln(x)+2}{\ln(x)-1}$
\enex
\bgex
Etudier la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par
$\dsp f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)$.
\enex
\bgex
Etudier la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par
$f(x)=\Big(\ln(x)\Big)^2$.
\enex
\bgex
Etudier la fonction $f$ définie par l'expression
$f(x)=\ln\lp\ln(x)\rp$.
\enex
\bgex
Etudier la fonction définie sur
$\dsp \Big]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\Big[$ par
$f(x)=-\ln\Big(\cos(x)\Big)$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $]\,0;+\infty[$ par:
$ f(x)=x+\ln\lp\dfrac{x}{2x+1}\rp
$.
On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$.
\bgit
\item[1.] Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\vsp
\item[2.] Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de
variation.
\vsp
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-\ln(2)$ est
asymptote à $\Cf$ en $+\infty$.
\vsp
\item[b)] Etudier la position de $\Cf$ par rapport à $\Delta$.
\enit
\vsp
\item[4)] Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique
$\alpha$ et justifier que $\dsp\alpha\in\Big[1;\frac{5}{4}\Big[$.
\item[5.] Tracer $\Delta$ et $\Cf$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $u$ la suite définie pour tout entier $n>0$ par
\quad$u_n=\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\dots+\dfrac{1}{2n}
$
\bgit
\item[I.] {\it Calcul des premiers termes de la suite}
\bgit
\item[a)] Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$,
$u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{2(n+1)(2n+1)}
$
\item[b)] Calculer les premiers termes
$u_1$, $u_2$ et $u_3$ de cette suite.
\enit
\vspq
\item[II.] {\it Etude de la convergence de la suite $u$}
\bgit
\item[1)]
\bgit
\item[a)] Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif,
$\dsp 1-\frac{1}{x}\leq \ln(x)\leq x-1$
\item[b)] En déduire que pour tout entier naturel non nul $p$,
$\dsp \frac{1}{p+1}\leq \ln\lp\frac{p+1}{p}\rp\leq \frac{1}{p}$
\enit
\item[2)] Soit $n$ un entier naturel non nul.
\bgit
\item[a)] Ecrire l'encadrement précédent pour les valeurs
$n$, $n+1$, \dots, $2n-1$ de $p$.
\item[b)] En effectuant les sommes membre à membre des inégalités
obtenues, démontrer que
\[ u_n\leq \ln(2)\leq u_n+\frac{1}{2n}\]
\enit
\item[3)] Prouver alors que la suite $u$ converge vers $\ln(2)$.
\enit
\enit
\enex
\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $]\,0;+\infty[$ par
$\dsp f(x)=\frac{x-1}{x}\ln(x)$
et on note $\Cf$ sa courbe représentative.
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] Etudier le sens de variation de la fonction $g$ définie
sur $]\,0;+\infty[$ par $g(x)=x-1+\ln(x)$.
\item[b)] Vérifier que $g(1)=0$.
En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $g(x)$.
\enit
\vspt
\item[2.]
\bgit
\item[a)] Montrer que pour tout réel $x$ de $]\,0;+\infty[$,
$\dsp f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}$
\item[b)] En déduire les variations de $f$.
\item[c)] Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$.
\item[d)] Dresser le tableau de variation de $f$.
\enit
\vspt
\item[3.] Tracer la courbe $\Cf$.
\enit
\enex
\bgex
Soit le nombre $a=2^{13\,345}$.
Vérifier que $4\,017\leqslant \log(a) < 4\,018$.
Indiquer alors le nombre de chiffre de la partie entière de l'écriture
décimale de $a$.
\enex
\bgex {\it (Echelle de Richter)}
La magnitude d'un séisme, sur l'échelle de Richter, est évaluée à
partir de l'amplitude $A$ des ondes sismiques enregistrées sur un
sismographe par la formule $M=\log(A)-\log(A_0)$,
où $A_0$ désigne l'amplitude d'un séisme de référence.
\bgit
\item[1.] On a mesuré l'amplitude d'un séisme et on a obtenu
$A=3,98\,10^7\,A_0$.
Calculer la magnitude de ce séisme sur l'échelle de Richter.
\item[2.] La magnitude d'un séisme est $5$.
Déterminer le rapport $\dsp\frac{A}{A_0}$ de son amplitude à
l'amplitude de référence.
\item[3.] A quelle variation d'amplitude correspond une variation de
magnitude de $1$ sur l'échelle de~Richter.
\enit
\enex
\bgex {\it (pH d'une solution)}
La molarité en ions $H^+$ d'une solution est le nombre,
noté $[H^+]$ de moles par litre d'ions $H^+$.
$[H^+]$ s'exprime généralement par un nombre comportant une puissance
négative de $10$ ($10^{-5}$ mol.L$^{-1}$ par exemple).
On lui préfère donc le pH défini par
pH$=-\log([H^+])$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Quel est le pH d'un solution contenant $3.10^{-7}$ moles
d'ions $H^+$ par litre ?
\vspd
\item[2.] Quelle est la molarité en ions $H^+$ d'une solution neutre
(pH$=7$) ?
\enit
\enex
\bgex
Soit $n\in\N^*$, et un réel $a\geqslant 0$.
Montrer que l'équation $x^n=a$ admet une unique solution sur $\R^+$.
Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la solution de
l'équation $x^3=2$.
\enex
\bgex
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes:
a)\ \ $\dsp f(x)=\frac{2}{\sqrt[4]{X}}$ \quad
b)\ \ $\dsp g(x)=\sqrt[3]{x^2+1}$
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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