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Description
Cours de mathématiques: fonctions logarithmes népérien et décimal
Niveau
Terminale S
Table des matières
  • La fonction logarithme népérien
  • Propriétés algébriques de la fonction ln
  • Etude de la fonction ln
  • Logarithme décimal
  • Racine n-ième
Mots clé
Cours de mathématiques, logarithme, logarithme népérien, fonction logarithme, logarithme décimale, TS, terminale S
Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: Logarithme},
    pdftitle={Logarithme},
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      logarithme, logarithme népérien, ln, 
      logarithme décimal}
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\voffset=-1cm

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}

\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.8cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\parindent=0.2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Théorème}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Propriété}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Corollaire}}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{\ul{Définition}}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Fonctions logarithmes}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{http://xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

\psset{arrowsize=7pt}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}

%\tableofcontents



\bgex 
1. Résoudre les équations: 
  $\bullet\ e^x=1$
  \hspace{0.5cm}
  $\bullet\ e^x=e$
  \hspace{0.5cm}
  $\bullet\ \dsp e^x=\frac{1}{e}$

2. a) Montrer que pour tout réel  $\lbd>0$, 
    l'équation $e^x=\lbd$ admet une unique solution. 

\medskip
\quad b) Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la
    solution de l'équation $e^x=2$. 
\enex


\vspace{-1em}
\section{La fonction logarithme népérien}

\vspace{-1em}
\bgdef{
  La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction
  définie sur $\R^*_+=]\,0;+\infty[$ qui à tout réel $x>0$ associe le
  réel $x$, noté $\ln(x)$, dont l'exponentielle est $x$. 
}

\bgprop{
  \bgit
  \item[$\bullet$] Pour tout réel $x>0$ et tout réel $y$, $x=e^y$
    équivaut à $y=\ln(x)$. 
  \item[$\bullet$] Pour tout réel $x>0$, $e^{\ln(x)}=x$.
  \item[$\bullet$] Pour tout réel $x$, $\ln(e^x)=x$.    
  \enit
  
  \vspd
  {\bf La fonction logarithme est la fonction réciproque de
  l'exponentielle.} 
}

\bgcorol{
  \bgit
  \item[$\bullet$]   $\ln(1)$ est le nombre dont l'exponentielle vaut $1$, 
    donc \ul{$\ln(1)=0$}. 
    \vsp
  \item[$\bullet$] $\ln(e)$ est le nombre dont l'exponentielle vaut
    $e$, donc \ul{$\ln(e)=1$}. 
    \vsp
  \item[$\bullet$] Pour tout réel $\lbd$, l'équation 
    $\ln(x)=\lbd$ admet pour unique solution $x=e^{\lbd}$. 
  \enit
}


\bgex
\bgen[a)] 
\item Résoudre les équations\!: 
  $(E_1)\!: e^x\!=\!5$
  \hspace{0.1cm}
  $(E_2)\!: \ln(x)\!=\!-5$
  \hspace{0.1cm}
  $(E_3)\!: \ln(2x-1)\!=\!-2$
  \hspace{0.1cm}
  $(E_4)\!: \ln(1+x)\!=\!100$

\item Résoudre le systèmes: \quad 
  $\mathcal{S}_1:\ 
  \la\bgar{rcrcr}
  -\ln x &+&2\ln y &=& 1 \\[0.3cm]
  3\ln x &-& 5 \ln y &=& -1
  \enar\right.
  $\ ; 
  \quad
  $\mathcal{S}_2:\ 
  \la\bgar{rcrcr}
  -2\ln x &+&3\ln y &=& -1 \\[0.3cm]
  -7\ln x &-& 8 \ln y &=& 1
  \enar\right.
  $

\enen
\enex


%\bgex
%Une variable aléatoire $X$ a une loi de probabilité exponentielle de
%paramètre $\lbd$ sur $[\,0;+\infty[$. 
%Calculer la valeur de $\lbd$ sachant que la probabilité que $X$ soit
%inférieure à 70 est égale à 0,05.
%\enex

%\bgex
%$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de
%paramètre $\lbd=10$. 
%\newline
%Déterminer le réel $a$ tel que 
%\[
%P(X>a)=P(X\leqslant a)
%\]
%\enex



\noindent
\bgmp{10.5cm}
\bgprop{
  Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives 
  des fonctions exponentielle et logarithme sont symétriques 
  par rapport à la droite d'équation $y=x$ (première bissectrice). 
}

\medskip
\bgproof{
Soit $\mathcal{C}$ et $\mathcal{C}'$ les courbes représentatives des
fonctions exponentielle et logartihme. 

Si $M(x;y)$ appartient à $\mathcal{C}$, c'est-à-dire $y=e^x$, 
alors, on a aussi $x=\ln(y)$, c'est-à-dire que le point $M'(y;x)$
appartient à $\mathcal{C}'$. 
}
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-3,-2.5)(3,3.4)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-3,0)(3,0)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-3)(0,3)
  \psplot{-3}{1.2}{2.718 x exp}\rput(-2.2,0.4){$\mathcal{C}$}
  \psplot{0.05}{3}{x ln}\rput(0.4,-2.2){$\mathcal{C}'$}
  \psplot{-2.5}{2.5}{x}\rput(3,2.2){$y=x$}

  \rput(1,0){$\bullet$}\rput(0,1){$\bullet$}
  \rput(0.2,-0.2){\footnotesize$O$}
  \rput(1.1,-0.2){$1$}\rput(-0.2,1.1){$1$}

  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](2,0)(2,0.693)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,0.693)(2,0.693)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,2)(0.693,2)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0.693,0)(0.693,2)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](2,0.693)(0.693,2)
  \rput(2,-0.2){$x$}\rput(-0.15,0.6){$y$}
  \rput(0.7,-0.2){$x$}\rput(-0.15,2){$y$}
\end{pspicture}
\enmp


\section{Propriétés algébriques de la fonction $\ln$}

\vspace*{-0.5cm}
\bgth{ (Relation fondamentale du logarithme) 

  Pour tous réel $a$ et $b$ de $\R_+^*$
 $\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b)$. 
}

\bgproof{
Soit $a>0$ et $b>0$, 
alors 
$e^{\ln(a)+\ln(b)}=e^{\ln(a)} e^{\ln(b)}=ab$ 
et $e^{\ln(ab)}=ab$. 

On en déduit que $e^{\ln(a)+\ln(b)}=e^{\ln(ab)}$, et donc, la fonction
exponentielle étant strictement croissante sur $\R$, que 
$\ln(a)+\ln(b)=\ln(ab)$. 
}

\bgprop{Pour tous réels $a>0$ et $b>0$,
  $\ln\lp\dfrac{1}{a}\rp=-\ln(a)$,
  et,  
  $\dsp \ln\lp\frac{a}{b}\rp=\ln(a)-\ln(b)$. 
}

\bgproof{
Pour $a>0$, 
$\dsp \ln\lp a \frac{1}{a}\rp=\ln(a)+\ln\lp\frac{1}{a}\rp=\ln(1)=0$, 
d'où, $\dsp \ln\lp\frac{1}{a}\rp=-\ln(a)$. 

\vspd
Pour $a>0$ et $b>0$, 
$\dsp \ln\lp\frac{a}{b}\rp
=\ln\lp a\dfrac{1}{b}\rp=\ln(a)+\ln\lp\frac{1}{b}\rp
=\ln(a)-\ln(b)$.
}

\bgcorol{
  \bgit
  \item[$\bullet$] Pour tous réels strictement positifs 
    $a_1$, $a_2$, \dots, $a_n$, 

    \[\ln(a_1 a_2 \dots a_n)=\ln(a_1)+\ln(a_2)+\dots\ln(a_n)\]
    
  \item[$\bullet$] Pour tout réel $a>0$ et tout entier relatif $n$, 
    $\ln(a^n)=n\ln(a)$
  \enit
}

\bgproof{
La première propriété se déduit par récurrence de la
relation fondamentale du logarithme: 

\vsp\noindent
\ul{Pour $n=2$:} C'est la relation fondamentale du logarithme: 
pour tous réels $a_1>0$ et $a_2>0$, 
$\ln(a_1 a_2)=\ln(a_1)+\ln(a_2)$, 
et donc la relation est vraie pour $n=2$. 

\vsp\noindent
\ul{Hérédité:} supposons que pour tous réels strictement positifs, 
$a_1$, $a_2$, \dots , $a_n$, on ait 

$\ln(a_1 a_2 \dots a_n)=\ln(a_1)+\ln(a_2)+\dots+\ln(a_n)$.

\vspd
Soit alors $n+1$ réels  strictement positifs, 

\vspace{-0.6cm}
\[\bgar{ll}
\ln(a_1 a_2 \dots a_n a_{n+1})
&=\ln\Big( (a_1 a_2 a_n)a_{n+1}\Big)\vspd\\
&=\underbrace{\ln(a_1 a_2 a_n)}+\ln(a_{n+1}) \ ,\ 
\mbox{ d'après la relation fondamentale} \vspd\\
&=\Big(\ln(a_1)+\ln(a_2)+\dots+\ln(a_n)\Big)+\ln(a_{n+1})   \ ,\ \mbox{d'après l'hypothèse de récurrence}
\enar\]

D'après le principe de récurrence, la propriété est donc vraie pour
tout entier naturel $n$.

\vspq
Soit $a>0$ et $n$ un entier naturel, alors 
$\ln(a^n)=\ln(\underbrace{a\, a\, a \dots a}_{n \mbox{fois}})
=\underbrace{\ln(a)+\ln(a)+\dots\ln(a)}_{n \mbox{fois}} 
=n\ln(a)
$

\vsp
Si $n$ est un entier relatif négatif, 
$\dsp \ln(a^n)=\ln\lp\frac{1}{a^{-n}}\rp
=-\ln(a^{-n})=-\Big(-n\ln(a)\Big)=n\ln(a)
$
}

\bgprop{
  Pour tout réel $a>0$, $\dsp\ln(\sqrt{a})=\frac{1}{2}\ln(a)$. 
}

\bgproof{
Pour $a>0$, 
$\ln\lb \sqrt{a}^2\rb=2\ln(\sqrt{a})
=\ln(a)$, d'où la propriété.
}

\vspd\noindent
{\it \ul{Remarque:} On a donc, pour tout réel $a>0$, 
$\ln(\sqrt{a})=\ln(a^{\frac{1}{2}})$, d'où la notation 
$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$.
}

\bgex
Soit $f$ et $g$ les fonctions définies par les expressions 
\[ f(x)=\ln(x+3)+\ln(x-2)\ \mbox{ et, } \ \ 
g(x)=\ln(x^2+x-6)
\]

Déterminer l'ensemble de définition de $f$ et de $g$. 
Que peut-on dire de ces deux fonctions ?
\enex

\noindent
\parbox[t]{\linewidth}{
\bgex
Soit $f$ la fonction définie par l'expression 
$\dsp f(x)=\ln\lp\frac{1+x}{1-x}\rp$. 

Déterminer l'ensemble de définition $\mathcal{D}_f$ de $f$, et montrer
que sa courbe représentative admet l'orignie du repère comme centre de
symétrie.  

\medskip
\textsl{Rappel: une telle fonction est dite "impaire" et vérifie, 
pour tout $x\in\mathcal{D}_f$, $f(-x)=-f(x)$.} 
\enex
}

%\bgex
%Une variable aléatoire $X$ a une loi de probabilité exponentielle de
%paramètre $\lbd$ sur $[\,0;+\infty[$. 
%Donner un encadrement de l'espérance de $X$ sachant que 
%l'on a estimé que $X$ est inférieure à 4 dans moins de 85\,\% des
%cas et est supérieure à 5 dans moins de 10\,\% des
%cas.
%\enex


\section{Etude de la fonction $\ln$}

\vspace{-0.7cm}
\bgprop{
  La fonction $\ln$ est continue et dérivable sur $]\,0;+\infty[$, et 
  pour tout $x>0$, $\dsp \ln'(x)=\frac{1}{x}$.
}

\bgproof{
On admet que la fonction $\ln$ est dérivable (et donc aussi continue)
sur $\R_+^*$. 

\vspd
Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+^*$ par $f(x)=e^{\ln(x)}$. 
Alors, par définition du logarithme, pour tout $x>0$, $f(x)=x$, et en
particulier, $f'(x)=1$. 

\vsp
Par ailleurs, en dérivant la fonction composée $f$, on obtient: 
$f'(x)=\ln'(x) e^{\ln(x)}=\ln'(x)\,x$. 

On en déduit que $\ln'(x)\,x=1$, soit, $\dsp \ln'(x)=\frac{1}{x}$. 
}


\bgcorol{\vspace{-.8em}
  \bgen[$\bullet$] 
  \item
    $0<a<b \iff \ln a < \ln b$, car $\ln$ est strictement croissante sur
    $\R_+^*$. 

  \item Comme $\ln(1)=0$, on a donc, 
    $\ln x<0\iff 0<x<1$ et 
    $\ln x>0 \iff x>1$

  \item Pour tout fonction $u$ dérivable sur un intervalle
    $I$ telle que $u>0$ on a: 
    $\Bigl( \ln(u)\Bigr)'=\dfrac{u'}{u}$
  \enen
}

\vsp
\bgex
Déterminer l'ensemble de définition puis le signe de la fonction sur
cet ensemble: 

\vspd\noindent
a) $f(x)= \ln\lp\dfrac{x}{e}\rp$ 
\quad
b) $g(x)= \lp \ln x -1\rp\,\lp 3 - \ln x\rp$
\quad
c) $h(x)= \dfrac{\ln(2x-1)}{1-\ln x}$
\quad
d) $l(x)= \ln\lp x^2-7x+12\rp$
\enex

\bgex
Résoudre les équations et inéquations: 

$\bullet\quad \ln(x+1)+\ln(x+3)=\ln(x+7)$
\qquad
$\bullet\quad \ln(x^2-3)\leq \ln(x)+\ln(2)$

\medskip
$\bullet\quad 2(\ln(x))^2+5\ln(x)-3=0$
\hspace{4.65em}
$\bullet\quad 2(\ln(x))^2+5\ln(x)-3>0$
\enex


\bgex
Calculer la dérivée des fonctions suivantes: 

\vspd\noindent
a)\ \ $f:x\mapsto 2\ln(x)$ 
\qquad
b)\ \ $g:x\mapsto \ln(2x)$
\qquad
c)\ \ $h:x\mapsto \ln(x^2-7x+12)$
\enex


%\bgex
%Calculer les intégrales: 
%
%\vspd\noindent
%a) $\dsp I=\int_0^2 \dfrac{1}{x+2}\,dx$ 
%\quad
%b) $\dsp J=\int_0^1 \dfrac{x}{2x^2+3}\,dx$
%\quad
%c) $\dsp K=\int_0^1 \dfrac{e^{-x}}{e^{-x}+3}\,dx$
%\enex

%\bgex
%On considère la fonction $f$ définie sur $I=[\,0;1]$ par 
%$f(x)=\dfrac{x+5}{(x+2)(2x+1)}$. 
%On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère 
%$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 
%\bgen
%\item Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que, 
%  pour tout $x\in I$, 
%  $f(x)=\dfrac{\alpha}{x+2}+\dfrac{\beta}{2x+1}$.
%\item Calculer l'aire du plan comprise entre l'axe des abscisses,
%  l'axe des ordonnées, la
%  courbe $\Cf$ et la droite d'équation $y=1$. 
%\enen
%\enex


\bgprop{
  \hspace{1cm}
  $\dsp \bullet\ \lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$
  \hspace{2cm}
  $\dsp \bullet\ \lim_{x\to0}\ln(x)=-\infty$
}

\bgproof{
\ul{En $+\infty$.} Comme pour $x>0$, $\dsp\ln'(x)=\frac{1}{x}>0$, 
la fonction $\ln$ est croissante. 

\vsp
Pour $A$ un nombre réel quelconque, aussi grand que l'on veut, 
il suffit donc de choisir $x>e^A$ pour avoir $\ln(x)>A$. 

\noindent
Ceci signifie exactement que, pour tout nombre réel $A$, 
tous les nombres $\ln(x)$ sont dans $]A;+\infty[$ dès que 
$x>e^A$, c'est-à-dire que 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$. 

\vspd
\ul{En $0$.} 
Pour $x>0$, on pose $\dsp X=\frac{1}{x}$. 
Alors, $\dsp\ln(x)=\ln\lp\frac{1}{X}\rp=-\ln(X)$. 

Ainsi, $\dsp \lim_{x\to0^+}
\ln(x)=\lim_{X\to+\infty}\Big(-\ln(X)\Big)=-\infty$. 
}

\noindent
\bgmp{13.2cm}
\bgcorol{
  La fonction $\ln$ est continue et strictement croissante sur
  $\R_+^*$. 

  \vsp
  La courbe représentative de la fonction $\ln$ admet l'axe des
  ordonnées comme asymptote en $0^+$.

  \vspd
  \begin{tabular}{|c|ccp{1cm}c|}\hline
    $x$ &$0$ &&& $+\infty$ \\\hline
    $\ln'(x)$ & &&$+$ & \\\hline
    &&&&$+\infty$\\
    $\ln$ & 
    \psline(0,-0.6)(0,1.4) \psline(0.05,-0.6)(0.05,1.4)
    &&\psline{->}(-0.4,-0.3)(1.6,0.4)& \\
    &&$-\infty$&&\\\hline
  \end{tabular}
}
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2.5)(3,2)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-1,0)(3,0)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-3)(0,2)

  \psplot{0.05}{3}{x ln}\rput(0.4,-2.2){$\mathcal{C}$}

  \rput(0.2,-0.2){\footnotesize$O$}
  \rput(1.1,-0.2){$1$}\rput(-0.2,1.1){$1$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](2.718,0)(2.718,1)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,1)(2.718,1)
  \rput(2.7,-0.2){$e$}
\end{pspicture}
\enmp


\bgprop{
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x}=0$\ ,\ \ 
et plus généralement, pour tout entier $n$, \ \ 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln(x)}{x^n}=0$. 
}

\bgproof{
  Pour $x>0$, on pose, $X=\ln(x) \iff x=e^{X}$, 
  alors, $\dfrac{\ln(x)}{x}=\dfrac{X}{e^X}$, 
  et donc, 
  comme par croissances comparées, 
  $\dsp\lim_{X\to+\infty}\dfrac{e^x}{X}=+\infty$, 
  on a 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x)}{x}
  =\lim_{X\to+\infty}\dfrac{X}{e^X}
  =\lim_{X\to+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{X}{e^X}}
  =0$.

  De même, pour tout entier $n\geq 2$, 
  $\dfrac{\ln(x)}{x^n}=\dfrac{1}{x^{n-1}}\tm\dfrac{\ln(x)}{x}$, 
  d'où la limite en $x\to+\infty$.
}

\bgcorol{
  $\dsp\lim_{x\to0}x\ln(x)=0$
}

\bgproof{
  A démontrer, en posant $X=\dfrac{1}{x}$.
}

\bgprop{\hspace{1cm}
  $\dsp \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$
}

\vspd
\bgproof{
$\dsp \tau(h)=\frac{\ln(1+h)-\ln(1)}{h}=\frac{\ln(1+h)}{h}$ est le
taux de variation de la fonction $\ln$ en $1$. 

On a donc, 
$\dsp\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+h)}{h}=\lim_{h\to0}\tau(h)=\ln'(1)=\frac{1}{1}=1$. 
}

\bgex
Calculer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes: 
\vspd

\noindent
a) $\dsp f(x)=\ln(x)-x$ \hspace{0.4cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{e^x}{x^2+1}$ \hspace{0.4cm}
c) $\dsp h(x)=\frac{\ln(x)}{x^2+5x+7}$ \hspace{0.4cm}
d) $\dsp k(x)=e^{2x}-(x+1)e^x$
\enex


\bgex
Calculer la limite en $+\infty$ des fonctions suivantes: 
\vspd

\noindent
a) $\dsp f(x)=\frac{\ln(1+3x)}{x}$ \hspace{0.4cm}
b) $\dsp g(x)=\frac{\ln(x)-3x}{3x^3}$ \hspace{0.4cm}
c) $\dsp h(x)=\frac{\ln(x^2+1)}{x}$ \hspace{0.4cm}
d) $\dsp k(x)=(2x^3+3x^2-5)e^{-x}$ 
\enex

\bgex Soit $f$ la fonction définie sur $\R_+^*$ par 
$\dsp f(x)=\frac{2x^2+9x+9+\ln(x)}{x+3}$. 

Montrer que la droite d'équation $y=2x+3$ est asymptote oblique en
$+\infty$ à $\Cf$.

\enex



\bgex
Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ 
représentative de la fonction $\ln$ aux points d'abscisse $1$ et $e$. 

Tracer dans un repère la courbe $\mathcal{C}$ et ses deux tangentes.
\enex

\bgex
Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition de la
fonction \[\dsp f:x\mapsto \frac{\ln(x)+2}{\ln(x)-1}\ .\]
\enex

\bgex
Etudier la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par 
$\dsp f(x)=\frac{1}{x}-\ln(x)$.
\enex

\bgex
Etudier la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par
$f(x)=\Big(\ln(x)\Big)^2$. 
\enex

\bgex
Etudier la fonction $f$ définie par l'expression 
$f(x)=\ln\lp\ln(x)\rp$.
\enex

\bgex
Etudier la fonction définie sur 
$\dsp \Big]-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\Big[$ par 
$f(x)=-\ln\Big(\cos(x)\Big)$.
\enex

\bgex
Soit $f$ la fonction définie sur $]\,0;+\infty[$ par: 
$ f(x)=x+\ln\lp\dfrac{x}{2x+1}\rp
$.

On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère 
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$. 

\bgit
\item[1.] Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
  \vsp
\item[2.] Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de
  variation. 
  \vsp
\item[3.] 
  \bgit
  \item[a)] Montrer que la droite $\Delta$ d'équation $y=x-\ln(2)$ est
    asymptote à $\Cf$ en $+\infty$. 
  \vsp
  \item[b)] Etudier la position de $\Cf$ par rapport à $\Delta$. 
  \enit
  \vsp
\item[4)] Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique
  $\alpha$ et justifier que $\dsp\alpha\in\Big[1;\frac{5}{4}\Big[$. 
\item[5.] Tracer $\Delta$ et $\Cf$.
\enit
\enex

\bgex
Soit $u$ la suite définie pour tout entier $n>0$ par 
\[ u_n=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\dots+\frac{1}{2n}
\]

\bgit
\item[I.] {\it Calcul des premiers termes de la suite}
  \bgit
  \item[a)] Démontrer que pour tout entier naturel non nul $n$, 
    \[ u_{n+1}-u_n=\frac{1}{2(n+1)(2n+1)}
    \]
  \item[b)] Calculer les premiers termes 
    $u_1$, $u_2$ et $u_3$ de cette suite. 
  \enit
  \vspq
\item[II.] {\it Etude de la convergence de la suite $u$}
  \bgit
  \item[1)] 
    \bgit
    \item[a)] Démontrer que pour tout réel $x$ strictement positif, 
      $\dsp 1-\frac{1}{x}\leq \ln(x)\leq x-1$
    \item[b)] En déduire que pour tout entier naturel non nul $p$, 
      $\dsp \frac{1}{p+1}\leq \ln\lp\frac{p+1}{p}\rp\leq \frac{1}{p}$
    \enit
  \item[2)] Soit $n$ un entier naturel non nul. 
    \bgit
    \item[a)] Ecrire l'encadrement précédent pour les valeurs 
      $n$, $n+1$, \dots, $2n-1$ de $p$. 
    \item[b)] En effectuant les sommes membre à membre des inégalités
      obtenues, démontrer que 
      \[ u_n\leq \ln(2)\leq u_n+\frac{1}{2n}\]
    \enit
  \item[3)] Prouver alors que la suite $u$ converge vers $\ln(2)$.
  \enit
\enit
\enex

\bgex
On considère la fonction $f$ définie sur $]\,0;+\infty[$ par 
    $\dsp f(x)=\frac{x-1}{x}\ln(x)$
et on note $\Cf$ sa courbe représentative. 

\bgit
\item[1.]
  \bgit
  \item[a)] Etudier le sens de variation de la fonction $g$ définie
    sur $]\,0;+\infty[$ par $g(x)=x-1+\ln(x)$. 
  \item[b)] Vérifier que $g(1)=0$. 
    En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $g(x)$. 
  \enit
  \vspt
\item[2.] 
  \bgit
  \item[a)] Montrer que pour tout réel $x$ de $]\,0;+\infty[$, 
    $\dsp f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}$
  \item[b)] En déduire les variations de $f$. 
  \item[c)] Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
  \item[d)] Dresser le tableau de variation de $f$. 
  \enit
  \vspt
\item[3.] Tracer la courbe $\Cf$.
\enit
\enex


\section{Logarithme décimal}

\bgdef{
  La fonction logarithme décimal est la fonction, notée $\log$,
  définie sur $]\,0;+\infty[$ par 
  \[\log(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(10)}\ .\]
}

\bgprop{
  \bgit
  \item[$\bullet$] $\log(1)=0$,
    $\dsp\log(10)=\frac{\ln(10)}{\ln(10)}=1$
    \vspd
  \item[$\bullet$] Pour tous réels $a>0$ et $b>0$, 
    $\log(ab)=\log(a)+\log(b)$. 
    \vspd
  \item[$\bullet$] Pour tout réel $a>0$, $\log(a^n)=n\log(a)$. 

    \vsp
    En particulier, lorsque $a=10$, $\log(10^n)=n\log(10)=n$. 

    $n=\log{a}$ équivaut à $a=10^n$: le logarithme décimal "compte
    les puissances de $10$". 

    \vsp
    {\bf Le logarithme décimale est la fonction réciproque de la
      fonction $x\mapsto 10^x$: 
      $\log(10^x)=x$ et, \ $10^{\log(x)}=x$
    }
  \enit
}

\vspd\noindent
{\it\ul{Remarque:}
  Le logarithme népérien est parfois notée (dans la littérature
  anglo-saxone notamment) $\log$ au lieu de $\ln$, tandis 
  que le logarithme décimal est noté $\log_{10}$, ou encore $\mbox{Log}$.
}

\bgex
Soit le nombre $a=2^{13\,345}$. 
Vérifier que $4\,017\leqslant \log(a) < 4\,018$. 

Indiquer alors le nombre de chiffre de la partie entière de l'écriture
décimale de $a$. 
\enex


\bgex {\it (Echelle de Richter)} 

La magnitude d'un séisme, sur l'échelle de Richter, est évaluée à
partir de l'amplitude $A$ des ondes sismiques enregistrées sur un
sismographe par la formule $M=\log(A)-\log(A_0)$, 
où $A_0$ désigne l'amplitude d'un séisme de référence. 

\bgit
\item[1.] On a mesuré l'amplitude d'un séisme et on a obtenu 
  $A=3,98\,10^7\,A_0$. 

  Calculer la magnitude de ce séisme sur l'échelle de Richter. 

  \vspd
\item[2.] La magnitude d'un séisme est $5$. 

  Déterminer le rapport $\dsp\frac{A}{A_0}$ de son amplitude à
  l'amplitude de référence. 
  \vspd
\item[3.] A quelle variation d'amplitude correspond une variation de
  magnitude de $1$ sur l'échelle de Richter. 
\enit
\enex

\bgex {\it (pH d'une solution)} 

La molarité en ions $H^+$ d'une solution est le nombre, 
noté $[H^+]$ de moles par litre d'ions $H^+$. 

$[H^+]$ s'exprime généralement par un nombre comportant une puissance
négative de $10$ ($10^{-5}$ mol.L$^{-1}$ par exemple). 
On lui préfère donc le pH défini par 
pH$=-\log([H^+])$. 

\vspd
\bgit
\item[1.] Quel est le pH d'un solution contenant $3.10^{-7}$ moles
  d'ions $H^+$ par litre ? 
  \vspd
\item[2.] Quelle est la molarité en ions $H^+$ d'une solution neutre 
  (pH$=7$) ?
\enit
\enex







\section{Racine n-ième}

\bgex
Soit $n\in\N^*$, et un réel $a\geqslant 0$. 

Montrer que l'équation $x^n=a$ admet une unique solution sur $\R^+$. 
\enex


\bgdef{
  Soit un réel $a\geqslant 0$. 

  L'unique réel positif $x$ tel que $x^n=a$ est appelé racine n-ième
  de $a$, et est notée $\sqrt[n]{a}$.
}

\vspd\noindent
\ul{Ex:}\ \ 
$\bullet$\ $\sqrt[3]{8}=2$, car $2^3=8$ \hspace{0.4cm}
$\bullet$\ $\sqrt[4]{81}=3$, car $3^4=81$  \hspace{0.4cm}
$\bullet$\ $\sqrt[4]{25}=\sqrt{5}$ \hspace{0.4cm}
$\bullet$\ $\sqrt[n]{0}=0$ \hspace{0.4cm}
$\bullet$\ $\sqrt[n]{1}=1$

\bgprop{
  Pour tout $a>0$, $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$. 
}

\bgproof{
  $\lp a^{\frac{1}{n}}\rp^n=a$, 
  d'où $a^{\frac{1}{n}}$ est l'unique solution de l'équation 
  $x^n=a$, et donc 
  $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$
}


\bgex
Déterminer la dérivée des fonctions suivantes: 
a)\ \ $\dsp f(x)=\frac{2}{\sqrt[4]{X}}$ \quad
b)\ \ $\dsp g(x)=\sqrt[3]{x^2+1}$
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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