Source Latex
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complexes, nombres complexes}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
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\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
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\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} #1
\hfill$\square$
}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Nombres complexes - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\bgex
Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respectif:
$z_A=-1-2i$, $z_B=4-i$ et $\dsp z_C=\sqrt{2}+\frac{3}{2}i$.
Déterminer les longueurs $OA$, $OB$ et $OC$ et $AB$.
\enex
\bgex
Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes:
\vspd
\noindent
$\bullet$\ $(2+3i)+(-1+6i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(5+i)-(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(1+i)(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(4+i)(-5+3i)$
\vspd\noindent
$\bullet$\ $(2-i)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)(x'+iy')$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(2-3i)(2+3i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(a+ib)(a-ib)$
\enex
\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective
$-2+i$, $3+3i$, $\dsp 1+\frac{11}{5}i$.
\bgit
\item[a)] Calculer les affixes des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$.
\item[b)] En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\item[c)] Placer les points $A$, $B$ et $C$.
\enit
\enex
\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective
$\dsp 1+\frac{1}{2}i$, $\dsp \frac{3}{2}+2i$ et
$\dsp -1-\frac{11}{2}i$.
Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés.
\enex
\bgex
On considère dans le plan complexe les points $A$, $B$, $C$ et $D$
d'affixe
$z_A=3+i$, $z_B=2-2i$, $z_C=2i$ et $z_D=1+5i$.
\bgit
\item[a)] Faire une figure
\item[b)] Montrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un
parallélogramme.
\enit
\enex
\bgex
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes:
\vspd
\noindent
$\bullet$\ $\dsp \frac{1}{\sqrt{3}+2i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \frac{1+4i}{1-\sqrt{2}i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \lp 2+i\sqrt{3}\rp\Big( 5-i\Big)+\lp\frac{1}{2}+3i\rp^2$
\vspd\noindent
$\bullet$\ $\dsp i^3$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \frac{1}{i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^4$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^5$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^6$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ Exprimer en fonction de $n\in\Z$,\ \ $\dsp z_n=i^n$
\enex
\bgex Soit $z_1=-1+2i$ et $z_2=1-i$.
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes:
\[
\bullet z_1^2-2z_2
\qquad
\bullet z_1z_2^2
\qquad
\bullet \dfrac{z_1}{z_2}
\qquad
\bullet \dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}
\qquad
\bullet \dfrac{1}{z_1^2}+\dfrac{1}{z_2^2}
\]
\enex
\bgex
\bgen
\item Donner la forme algébrique de:
$i^{12}$; $i^{2012}$; $i^{37}$; $i^{-13}$
\item Calculer la somme:
$S=1+i+i^2+\dots+i^{2014}$
\item On pose $j=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Calculer $1+j+j^2$.
\enen
\enex
\bgex
Soit les nombres complexes:
$\dsp z_1=\frac{3-i}{5+7i}$
et
$\dsp z_2=\frac{3+i}{5-7i}$ .
Vérifier que $z_1=\overline{z_2}$, et en déduire que $z_1+z_2$ est
réel et que $z_1-z_2$ est imaginaire pur.
\vsp
Calculer $z_1+z_2$ et $z_1-z_2$.
\enex
\bgex
Soit $P$ le polynôme défini sur $\C$ par :
$P(z)=z^3+z^2-4z+6$.
\vspd
\bgit
\item[a)] Montrer que pour tout complexe $z$,
\ $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$.
\item[b)] Vérifier que $1+i$ est une racine de $P$, et en déduire une
autre racine complexe de $P$.
\enit
\enex
\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe
tels que $Z=z^2+\overline{z}$ soit réel.
\enex
\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation:
a)\ \ $5\overline{z}=4-i$
\qquad
b)\ \ $(1+i)\overline{z}+1-i=0$
\qquad
c)\ \ $3\overline{z}-2iz=5-3i$
\enex
\bgex Montrer que l'équation
$z^2-3\overline{z}+2=0$ admet quatre solutions dans $\C$.
\enex
\bgex
Dans le plan complexe,
$A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes:
\[z_A=1+i\ ,\ z_B=4+5i\ ,\ z_C=5-2i\ .\]
\bgen
\item Montrer que $AB=AC$, puis que
$\lp\V{AB};\V{AC}\rp=-\dfrac{\pi}{2}$.
\item Déterminer l'affixe du point $K$ tel que le quadrilatère
$ABKC$ soit un rectangle.
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer l'affixe du point $G$ tel que le quadrilatère
$AGBC$ soit un parallélogramme.
\item Vérifier que $B$ est le milieu du segment $[GK]$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que:\\
$\bullet\ |z-6i|=3$
\quad
$\bullet\ |z+3-2i|<2$
\quad
$\bullet\ |z+2|=|z-3i+1|$
\quad
$\bullet\ |2-iz|=|z+5|$
\quad
$\bullet\ \dsp \left|\frac{z+2i}{z+1-2i}\right|>1$
\enex
\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique les
nombres complexes suivants:
\vsp
\begin{tabular}{*5{p{3cm}}}
$\bullet\ z_1=3$
&
$\bullet\ z_2=-4$
&
$\bullet\ z_3=2i$
&
$\bullet\ z_4=-1+i$
&
$\bullet\ z_5=-\sqrt{3}+i$
\\[0.4cm]
$\bullet\ z_6=-17$
&
$\bullet\ z_7=-6\sqrt{3}+6i$
&
$\bullet\ z_8=5i$
&
$\bullet\ z_9=\sqrt{6}+i\sqrt{2}$.
\end{tabular}
\enex
\bgex
Placer dans le plan complexe et écrire sous formes trigonométrique et
algébrique les nombres complexes:
\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ 3e^{-i\frac{\pi}{2}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \sqrt{2}e^{3i\frac{\pi}{4}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 6e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 5e^{i\frac{5\pi}{3}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 2e^{i\frac{\pi}{4}}\,e^{-i\frac{3\pi}{2}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac{3e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{2\pi}{3}}}$
\enex
\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique et exponentielle les nombres
complexes:
\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ 5$
\hspace{0.6cm}
$\dsp\bullet\ 4+4i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac32 i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac{2}{1-i}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \sqrt{3}-i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^2$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^3$
\enex
\bgex
On donne $\dsp z_1=e^{i\frac{\pi}{6}}$,
$\dsp z_2=3e^{-i\frac{\pi}{3}}$, et
$\dsp z_3=\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$.
\vsp
Donner sous la forme exponentielle puis algébrique les complexes:
$z_1 z_2 z_3$, $\dsp\frac{z_1}{z_2 z_3}$,
$z_2^2$, $z_3^6$.
\enex
\bgex
Simplifier l'expression, où $\theta\in\R$,
$\dsp \lp\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\rp^2
+\lp\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\rp^2$.
Etait-ce prévisible sans calcul ?
\enex
\bgex
Ecrire le nombre complexe $(\sqrt{3}-i)^{10}$ sous forme algébrique.
\enex
\bgex
Calculer le module et un argument des complexes suivants, puis les
écrire sous formes trigonométrique et exponentielle:
\hspace{3cm}
$\dsp z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2(1+i)}$
\hspace{3cm}
$\dsp z_2=\frac{5(-1+i)}{\sqrt{3}+i}$
\enex
\clearpage
\bgex
\bgit
\item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes
$\dsp z_1=\sqrt{3}-i$, $\dsp z_2=1-i$,
et $\dsp Z=\frac{z_1}{z_2}$.
\vsp
\item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$, et en déduire les
valeurs exactes de
$\dsp\cos\lp\frac{\pi}{12}\rp$ et
$\dsp\sin\lp\frac{\pi}{12}\rp$.
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes
$\dsp z_1=-1-i$, $\dsp z_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$,
et $\dsp Z=z_1 z_2$.
\vsp
\item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$.
En déduire les valeurs exactes de
$\dsp\cos\lp\frac{11\pi}{12}\rp$ et
$\dsp\sin\lp\frac{11\pi}{12}\rp$.
\enit
\enex
\bgex {\it (Formules trigonométriques)}
Soit $\theta$ et $\theta'$ deux réels quelconques.
En exprimant de deux manières différentes le complexe $e^{i\theta}e^{i\theta'}$,
exprimer $\cos(\theta+\theta')$ et $\sin(\theta+\theta')$ en fonction
des cosinus et sinus de $\theta$ et $\theta'$.
Exprimer de la même façon $\sin(2\theta)$ et $\cos(2\theta)$.
\enex
\bgex
En utilisant la notation exponentielle complexe, retrouver en
fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ les valeurs de :
\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ \cos\lp x+\frac{\pi}{2}\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp x+\frac{\pi}{2}\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \cos\lp \frac{\pi}{2}-x\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp \frac{\pi}{2}-x\rp$
\vspd\noindent
$\dsp\bullet\ \cos\lp x+\pi\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp x+\pi\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \cos\lp \pi-x\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp \pi-x\rp$
\enex
\bgex Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que :
\vsp\noindent
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}(z)=\frac{\pi}{6}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z-3|=|z+2i|$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1-2i|<\sqrt{5}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp
\psline(0,-0.3)(0,0.5)\,\overline{z}+\frac{i}{2}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)=4$
\vsp\noindent
$\bullet\ \mbox{arg}(z+i)=\pi$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}\lp\frac{1}{iz}\rp=\pi$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}\lp\frac{z+1}{z-2i}\rp=\frac{\pi}{2}$
\enex
\bgex
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes:
\vspd\noindent
$\bullet\ z^2+z+1=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ z^2-3z+18=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ z^2+9z-4=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ -z^2+(1+\sqrt{3})z-\sqrt{3}=0$
\enex
%%%AAAAAAAAA
\bgex
On considère l'équation $z^2-2\cos(\theta)z+1=0$,
où $\theta$ est un réel donné dans $[0;2\pi[$.
\bgen[a)]
\item Vérifier que le discriminant de cette équation
est $\Delta=-4\sin^2(\theta)$.
\vspd
\item Résoudre alors dans $\C$ l'équation proposée, en discutant
suivant les valeurs de $\theta$, en donnant les solutions sous formes
exponentielle.
\enen
\enex
\bgex
Ecrire sous forme exponentielle les solutions de :
$z^2-2z\sin^2\alpha+\sin^2\alpha=0$.
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Donner sous forme exponentielle les solutions de
l'équation : $z^2+z+1=0$.
\vsp
\item Soit $\alpha$ un réel donné.
Factoriser l'expression: $z^2-e^{2i\alpha}$.
\vsp
\item En déduire les solutions de l'équation :
$z^4+z^2+1=0$.
\enen
\enex
\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $z^4+4z^2-21=0$.
\enex
\bgex On considère l'équation du second degré
$(E): z^2+(1+i\sqrt3)z-1=0$.
\bgen
\item Déterminer le discriminant $\Delta$ de cette équation.
\'Ecrire $\Delta$ sous forme exponentielle.
\item Donner un nombre complexe $\delta$ tel que $\delta^2=\Delta$.
\'Ecrire $\delta$ sous forme algébrique.
\item Vérifier que les formules usuelles du second degré,
$z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a}$ et son conjugué $z_2=\overline{z_1}$
donnent bien deux solutions de $(E)$.
\enen
\enex
\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $\dsp z^2-\overline{z}+\frac{1}{4}=0$.
\enex
\vspace{-0.2cm}
\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $\dsp z^2-3\overline{z}+2=0$.
\enex
\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^4+4z^2-21=0$.
\enex
\vspace{-0.2cm}
\bgex
On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par
$P(z)=z^4-4z^3+4z^2-4z+3$.
\bgit
\item[a)] Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ à coefficients réels
tel que, pour tout nombre complexe $z$,
$P(z)=(z^2+1)Q(z)$.
\vspd
\item[b)] En déduire toutes les racines dans $\C$ du polynôme $P$.
\enit
\enex
\bgex
Soit $P$ le polynôme défini par: \quad
$P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$.
\bgen
\item Calculer $P(i)$.
\item Trouver deux nombres réels $p$ et $q$ tels que
$P(z)=(z-i)(z^2+pz+q)$.
\item Déterminer alors toutes les racines du polyn\^ome $P$.
\enen
\enex
\bgex
Soit le polynôme $P$ défini sur $\C$ par :
$P(z)=3z^3+(1+6i)z^2+2(8+i)z+32i$.
\vsp
\bgen[a)]
\item Vérifier que $z_0=-2i$ est une racine de $P$.
\vsp
\item En déduire une factorisation de $P$, et déterminer alors toutes
les racines de $P$.
\enen
\enex
\bgex\vspace{-0.5cm}
\bgen
\item $x$ est un nombre réel. Ecrire la forme algébrique et la
forme exponentielle de
$\dsp \lp \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\rp e^{ix}$.
\vspace{-0.2cm}
\item Utiliser la question précédente pour résoudre dans
$]-\pi;\pi[$ l'équation
$\dsp \sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=\sqrt{2}$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen[a)]
\item Déterminer l'équation du cercle de rayon $3$
et de centre $\Omega(3+2i)$.
\item Quel est l'ensemble des point $M(x;y)$ tels que
$x^2+y^2-6x+4y-12=0$.
\item Quel est l'ensemble des point $M(x;y)$ tels que
$x^2+y^2+4x-2y+11=0$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $p$ et $q$ deux nombres réels.
\bgit
\item[a)] Factoriser
$\dsp e^{i\frac{p+q}{2}}$ dans la somme $e^{ip}+e^{iq}$.
\item[b)] En déduire une factorisation de $\cos(p)+\cos(q)$
et de $\sin(p)+\sin(q)$.
\item[c)] Résoudre dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$ l'équation :
$\cos(x)+\cos(3x)=0$.
\enit
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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