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Description
Cours de mathématiques: Nombres complexes
Niveau
Terminale S
Table des matières
  • Introduction - Résolution d'équations algébriques
  • Le plan complexe
  • Opérations sur les nombres complexes
  • Conjugué d'un nombre complexe
  • Module et argument d'un nombre complexe
  • Forme trigonométrique d'un nombre complexe
  • Forme exponentielle d'un nombre complexe
  • Equation du second degré
  • Exercices
Mots clé
Cours de mathématiques, complexes, nombres complexes, i, réels et imaginaires, plan complexe, module, argument
Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours mathématiques: Nombres complexes},
    pdftitle={Nombres complexes},
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      complexes, nombres complexes}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\No{\N_0}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }


\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
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\textwidth=18.8cm
\oddsidemargin=-1.3cm

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\newcounter{ndef}
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  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{ntheo}
}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{
  \vspd\noindent
  \ul{Démonstration:} #1 
  \hfill$\square$
}

\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Nombres complexes}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$


\section{Introduction - Résolution d'équations algébriques}

Soit le trinôme du second degré 
$\dsp P(x)=\frac{1}{2}x^2+3x+5$. \vspd

Le discriminant de $P$ est : $\Delta=9-10=-1<0$, donc 
$P$ n'a pas de racine \ul{réelle}.

\vspd
{\bf Imaginons} un instant que l'on puisse néanmoins écrire 
$\sqrt{\Delta}=\sqrt{-1}$, et donc les formules donnant les 
racines de $P$ (qui ne sont donc sûrement pas réelles !): 

\[ x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=-3+\sqrt{-1}\ ;\ \ 
x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-3-\sqrt{-1}
\]

Alors, 
$\bgar[t]{ll}
P(x_1)=P(-3+\sqrt{-1})
&\dsp=\frac{1}{2}\Big(-3+\sqrt{-1}\Big)^2+3\Big(-3+\sqrt{-1}\Big)+5 \vspd\\
&\dsp=\frac{1}{2}\Big( 9 -6\sqrt{-1}+\lp\sqrt{-1}\rp^2\Big)
  -9+3\sqrt{-1}+5 \vspd\\
&\dsp=\frac{1}{2}\Big(9-6\sqrt{-1}+(-1)\Big)-4+3\sqrt{-1} 
  \hspace{1cm} \mbox{ (car $\sqrt{-1}^2=-1$ !)} \vspd\\
&=0
\enar$

\smallskip\noindent
On vérifie de même que $P(x_2)=0$, et ainsi, ce trinôme du second
degré admet bien deux racines distinctes, 
mais celles-ci {\bf\ul{ne sont pas réelles}}.

\vspd
Le nombre \ul{$\sqrt{-1}$ n'existe pas}: ce n'est pas un nombre réel. 
Cardan, mathématicien du XVIème siècle appelait ce type de nombres des
nombres "impossible". 
Plus tard, Descartes leur donna le nom de nombre "imaginaire", qui
sont devenus aujourd'hui des \ul{nombres complexes}. 



\section{Le plan complexe}

\bgth{ {\it (admis)} 

  Il existe un ensemble noté $\C$, appelé 
  {\bf ensemble des nombres complexes}, qui possède les propriétés
  suivantes: 
  \bgit
  \item[$\bullet$] $\C$ contient l'ensemble des nombres réels: 
    $\R\subset\C$
  \item[$\bullet$] il existe un nombre complexe, noté $i$ tel que
    $i^2=-1$. 
  \item[$\bullet$] tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique 
    sous la forme $z=x+iy$, où $x$ et $y$ sont des nombres réels.
  \enit
}

\vspd\noindent
\ul{Ex:} $z=3+2i \in\C$\ ;\ \  
$z_2=-5\in\R$, donc $z_2\in\C$\ ;\ \ 
$z_3=\sqrt{7}-6i\in\C$\ ;\ \ \dots

\bgdef{L'écriture $z=x+iy$, où $x\in\R$ et $y\in\R$ s'appelle la 
  {\bf forme algébrique} du nombre complexe $z$. 

  $x$ est la partie réelle de $z$, notée $\Re(z)$, 
  et $y$ est la partie imaginaire de $z$, notée $\Im(z)$, 
}

\bigskip
D'après le premier théorème et l'unicité de l'écriture sous forme algébrique, on a donc:
\bgcorol{
  Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont la même
  partie réelle et la même partie imaginaire: 
  soit $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$, avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ quatre
  nombres réels, alors, 
  \[ z=z' \Longleftrightarrow \Big( a=a' \ \mbox{ et  }\  b=b' \Big)
  \]
}


\noindent
\bgmp{12cm}
\bgdef{ \textbf{Plan complexe}

  Le plan est rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{u},\vec{v})$
  direct. 

  A tout nombre complexe $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$, 
  on associe le point $M$ de coordonnées $M(x;y)$. 

  On dit que $z$ est l'affixe du point $M$, ou du vecteur $\V{OM}$; 
  et que le point $M$, ou le vecteur $\V{OM}$ est l'image de $z$. 
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.,-1)(4,4)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(3.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,3)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(2.5,1.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.5,0)(2.5,1.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(2.5,1.8)

  \put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}
  \put(2.3,2){$M(z=x+iy)$}
  \put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgdef{
  Les nombres réels sont les affixes des points de l'axe des
  abscisses, que l'on appelle donc {\bf axe réel}. 

  Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle, $z=0+iy=iy$ est
  appelé un nombre {\bf imaginaire pur}. 
  Les images de ces nombres sont les points de l'axe des ordonnées,
  que l'on appelle donc {\bf axe imaginaire (pur)}. 
}


\bgex
Placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixe respectif: 
$z_A=-1-2i$, $z_B=4-i$ et $\dsp z_C=\sqrt{2}+\frac{3}{2}i$. 

Déterminer les longueurs $OA$, $OB$ et $OC$ et $AB$.
\enex


\section{Opérations sur les nombres complexes}

Les règles de calcul sur les nombres réels s'étendent aux nombres
complexes. 

\bgex
Exprimer sous forme algébrique les nombres complexes: 

\vspd
\noindent
$\bullet$\ $(2+3i)+(-1+6i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(5+i)-(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(1+i)(3-2i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(4+i)(-5+3i)$

\vspd\noindent
$\bullet$\ $(2-i)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)(x'+iy')$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(x+iy)^2$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(2-3i)(2+3i)$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $(a+ib)(a-ib)$
\enex

\noindent
\bgmp{11cm}
\bgprop{Soit $z_1=a+ib$ et $z_2=a'+ib'$ deux nombres complexes, 
  avec $a$, $b$, $a'$ et $b'$ quatre réels, 
  et $M$ et $N$ leur image respective dans le plan complexe. 

  \smallskip
  Alors $z=z_1+z_2=(a+a')+i(b+b')$ a pour image le point $P$ tel que 
  $\V{OP}=\V{OM}+\V{ON}$.

  \bigskip
  De même, le vecteur $\V{MN}=\V{ON}-\V{OM}$ a pour affixe le complexe 
  $z_{\V{MN}}=z_2-z_1$.
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(4,3.6)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(4.9,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,3.3)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,0.5)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0.5,0)
  \put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.2,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.2){$\vec{v}$}

  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(1,1.8)\put(0.6,2){\footnotesize{$M(z_1)$}}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(1,0)(1,1.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(1,1.8)
  \put(0.9,-0.4){$a$}\put(-0.4,1.8){$b$}

  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(3,.8)\put(3.1,.8){\footnotesize{$N(z_2)$}}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(3,0)(3,.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,.8)(3,.8)
  \put(2.9,-0.4){$a'$}\put(-0.4,.8){$b'$}

  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2.6)
  \put(3.3,2.8){\footnotesize{$P(z_1+z_2)$}}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(1,1.8)(4,2.6)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(3,0.8)(4,2.6)
  \put(2.9,-0.4){$a'$}\put(-0.4,.8){$b'$}

  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2.6)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2.6)(4,2.6)
  \put(3.6,-0.4){$a\!+\!a'$}
  \put(-0.9,2.5){$b\!+\!b'$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgprop{
  Soit deux points $A$ et $B$ d'affixe $z_A$ et $z_B$, alors 
  l'affixe du vecteur $\V{AB}$ est $z_b-z_A$. 

  Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs d'affixe $z$ et $z'$, 
  alors le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour affixe 
  $z+z'$.

  De plus, si $k\in\R$, le vecteur $k\vec{u}$ a pour affixe $kz$. 
}

\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective 
$-2+i$, $3+3i$, $\dsp 1+\frac{11}{5}i$. 

\bgit
\item[a)] Calculer les affixes des vecteurs $\V{AB}$ et $\V{AC}$. 
\item[b)] En déduire que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. 
\item[c)] Placer les points $A$, $B$ et $C$.
\enit
\enex


\bgex
Les points $A$, $B$ et $C$ ont pour affixe respective 
$\dsp 1+\frac{1}{2}i$, $\dsp \frac{3}{2}+2i$ et 
$\dsp -1-\frac{11}{2}i$. 

Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont alignés. 
\enex

\bgex
On considère dans le plan complexe les points $A$, $B$, $C$ et $D$
d'affixe
$z_A=3+i$, $z_B=2-2i$, $z_C=2i$ et $z_D=1+5i$. 

\bgit
\item[a)] Faire une figure
\item[b)] Montrer de deux façons différentes que $ABCD$ est un
  parallélogramme. 
\enit
\enex


\bgprop{ (Inverse d'un nombre complexe)

  Tout nombre complexe non nul $z$ admet un inverse, noté
  $\dsp\frac{1}{z}$. 
}

\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} 
Soit $z=x+iy$ un nombre complexe non nul, c'est-à-dire $x\not=0$ et
$y\not=0$. 

Alors, 
$\dsp 
\frac{1}{z}=\frac{1}{x+iy}
=\frac{x-iy}{(x+iy)(x-iy)}
=\frac{x-iy}{x^2+y^2}
=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}
$
avec $x^2+y^2\not=0$


\vspd
\bgex
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes: 

\vspd
\noindent
$\bullet$\ $\dsp \frac{1}{\sqrt{3}+2i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \frac{1+4i}{1-\sqrt{2}i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \lp 2+i\sqrt{3}\rp\Big( 5-i\Big)+\lp\frac{1}{2}+3i\rp^2$

\vspd\noindent
$\bullet$\ $\dsp i^3$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp \frac{1}{i}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^4$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^5$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ $\dsp i^6$
\hspace{0.5cm}
$\bullet$\ Exprimer en fonction de $n\in\Z$,\ \ $\dsp z_n=i^n$
\enex


\bgex Soit $z_1=-1+2i$ et $z_2=1-i$. 
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes: 
\[
\bullet z_1^2-2z_2
\qquad
\bullet z_1z_2^2
\qquad
\bullet \dfrac{z_1}{z_2}
\qquad
\bullet \dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}
\qquad
\bullet \dfrac{1}{z_1^2}+\dfrac{1}{z_2^2}
\]
\enex

\vspace{-2em}
\bgex
\bgen
\item Donner la forme algébrique de: 
  $i^{12}$; $i^{2012}$; $i^{37}$; $i^{-13}$
\item Calculer la somme: 
  $S=1+i+i^2+\dots+i^{2014}$
\item On pose $j=-\dfrac12+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. 
  Calculer $1+j+j^2$. 
\enen
\enex

\section{Conjugué d'un nombre complexe}

\vspace{-1em}
\bgdef{Soit $z=x+iy$, $x\in\R$, $y\in\R$, un nombre complexe. 
  On appelle {\bf conjugué} de $z$, noté $\overline{z}$, le nombre complexe 
  $\overline{z}=x-iy$.
}

\bgprop{Dans le plan complexe, si le point $M$ a pour affixe $z$, 
  alors l'image $M'$ de $\overline{z}$ est le symétrique de $M$ par
  rapport à l'axe des abscisses. 
}

\vspd\noindent
\ul{Ex:}
$\bullet\ z=3+2i$, alors $\overline{z}=3-2i$. 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \overline{3-\frac{1}{2}i}=3+\frac{1}{2}i$
\hspace{1cm}
$\overline{-5}=-5$
\hspace{1cm}
$\overline{3i}=-3i$

\bgprop{
  \bgit
  \item[$\bullet$] $\overline{\overline{z}}=z$ 
  \qquad $\bullet$ $z\overline{z}=x^2+y^2$ 
  \qquad $\bullet$ $\overline{z z'}=\overline{z}\overline{z'}$ 
  \qquad $\bullet$ $\overline{z^n}=\overline{z}^n$ 
  \qquad $\bullet$ $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$ \vspd
  \item[$\bullet$] si $z\not=0$, \ 
    $\dsp\overline{\lp\frac{1}{z}\rp}=\frac{1}{\overline{z}}$ 
  \qquad $\bullet$ si $z'\not=0$, \ 
    $\dsp\overline{\lp\frac{z}{z'}\rp}=\frac{\overline{z}}{\overline{z'}}$ \vspt
  \item[$\bullet$] $z+\overline{z}=2\Re(z)$
    et donc, $z$ imaginaire pur $\Longleftrightarrow \Re(z)=0 
    \Longleftrightarrow  z=-\overline{z}$ \vspt
  \item[$\bullet$] $z-\overline{z}=2i\Im(z)$, 
    et donc, $z\in\R \Longleftrightarrow \Im(z)=0 
    \Longleftrightarrow  z=\overline{z}$
  \enit
}

\bgex
Soit les nombres complexes: 
$\dsp z_1=\frac{3-i}{5+7i}$ 
et 
$\dsp z_2=\frac{3+i}{5-7i}$ . 

Vérifier que $z_1=\overline{z_2}$, et en déduire que $z_1+z_2$ est
réel et que $z_1-z_2$ est imaginaire pur. 

\vsp
Calculer $z_1+z_2$ et $z_1-z_2$.
\enex

\bgex
Soit $P$ le polynôme défini sur $\C$ par : 
$P(z)=z^3+z^2-4z+6$. 

\vspd
\bgit
\item[a)] Montrer que pour tout complexe $z$,
  \ $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$. 
\item[b)] Vérifier que $1+i$ est une racine de $P$, et en déduire une
  autre racine complexe de $P$. 
\enit
\enex

\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ du plan complexe
tels que $Z=z^2+\overline{z}$ soit réel.
\enex


\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation: 

a)\ \ $5\overline{z}=4-i$ 
\qquad
b)\ \ $(1+i)\overline{z}+1-i=0$ 
\qquad
c)\ \ $3\overline{z}-2iz=5-3i$
\enex

\bgex Montrer que l'équation 
$z^2-3\overline{z}+2=0$ admet quatre solutions dans $\C$. 

\enex

\section{Module et argument d'un nombre complexe}

\noindent
\bgmp{11cm}
\bgdef{Soit dans le plan complexe un point $M$ d'affixe $z=x+iy$, 
  $x\in\R$, $y\in\R$. 

  \vspd
  Alors, $OM=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{z\overline{z}}$. 
  Ce nombre, {\bf réel et positif}, 
  s'appelle {\bf le module} du nombre complexe $z$, et est noté 
  $|z|=OM=\sqrt{x^2+y^2}$.

  On appelle {\bf argument} du nombre complexe non nul $z$, noté
  $\mbox{arg}(z)$, toute mesure 
  en radians de l'angle orienté: 
  $\lp\vec{u},\V{OM}\rp$.
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1.4cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(4,3.)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(3.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,2.5)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(2.5,1.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.5,0)(2.5,1.8)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,1.8)(2.5,1.8)

  \put(-0.4,-0.4){$O$}\put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}
  \put(2.3,2){$M(z=x+iy)$}
  \put(2.4,-0.4){$x$}\put(-0.4,1.8){$y$}
  %\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}}
  \rput{36}(1,1){$|z|$\scriptsize{$=\sqrt{x^2+y^2}$}}

  \psarc{->}(0.4,0.3){0.8}{-20}{34}
  \put(1.4,0.4){\scriptsize$\mbox{arg(z)}$}
\end{pspicture}
\enmp

\vspd\noindent
\ul{Remarque:} Un nombre complexe non nul $z$ a une infinité
d'arguments: 
si $\theta$ est un de ces arguments, alors tous les autres sont de la
forme $\theta+k2\pi$, $k\in\Z$. 

\vsp
On note $\mbox{arg}(z)=\theta$ (modulo $2\pi$), 
ou $\mbox{arg}(z)=\theta\ [2\pi]$, ou encore, pour simplifier 
(mais alors par abus de langage), $\mbox{arg}(z)=\theta$.

\vspd\noindent
\bgmp{10cm}
\bgprop{
  Soit $A(z_A)$ et $B(z_B)$, alors $\V{AB}(z_B-z_A)$ et donc, 

  \vspd
  \bgen[$\bullet$]
  \item $AB=\|\V{AB}\|=|z_B-z_a|$ 
    \vspd
  \item $\lp\vec{u},\V{AB}\rp=\mbox{arg}(z_{\V{AB}})=\mbox{arg}(z_B-z_A)$.
  \enen
}
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.,-0.2)(6,4.6)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-0.5,0)(5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-0.5)(0,5)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,1)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(1,0)
  \put(-0.4,-0.4){\footnotesize$O$}
  \put(0.3,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,0.3){$\vec{v}$}

  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2)
  \rput(5.5,1.8){$M(z_B\!-\!z_A)$}
  \psarc{->}(0,0){2}{0}{26}\rput(2.5,0.6){$\theta$}
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2)
  %\psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2)(4,2)

  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(1.5,2.5)(5.5,4.5)
  \rput(1.5,2.5){$\bullet$}\rput(1,3){$A(z_A)$}
  \rput(6,4.8){$B(z_B)$}
  \rput(3,4.5){\scriptsize$\V{AB}(z_{\V{AB}}\!=\!z_B\!-\!z_A)$}
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(1.5,2.5)(2.5,2.5)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.5,2.5)(4.5,2.5)
  \put(1.8,2){$\vec{u}$}
  \psarc{->}(1.5,2.5){2}{0}{26}
  \rput(5.5,3.3){\footnotesize$\theta=\mbox{arg}(|z_{\V{AB}}|$}
  \rput(6.,2.7){\footnotesize$=\mbox{arg}(z_B\!-\!z_A)$}
\end{pspicture}
\enmp



\bgex
Dans le plan complexe, 
$A$, $B$ et $C$ sont les points d'affixes: 
\[z_A=1+i\ ,\ z_B=4+5i\ ,\ z_C=5-2i\ .\]
\bgen
\item Montrer que $AB=AC$, puis que
  $\lp\V{AB};\V{AC}\rp=-\dfrac{\pi}{2}$. 
\item Déterminer l'affixe du point $K$ tel que le quadrilatère 
  $ABKC$ soit un rectangle. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Déterminer l'affixe du point $G$ tel que le quadrilatère 
    $AGBC$ soit un parallélogramme. 
  \item Vérifier que $B$ est le milieu du segment $[GK]$. 
  \enen
\enen
\enex


\bgprop{Pour tout nombres complexes $z$ et $z'$:
  \bgen[$\bullet$]
  \item si $z=x+iy$, $x\in\R$ et $y\in\R$, 
    $z\overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$
    \vsp
  \item $|-z|=|z|$
  \qquad $\bullet$ $|\overline{z}|=|z|$
  \vspd
  \item $|zz'|=|z|\, |z'|$
  \qquad $\bullet$ $|z^n|=|z|^n$
  \qquad $\bullet$ $\dsp\frac{|z|}{|z'|}
    =\psline(0,-0.3)(0,0.5)\frac{z}{z'}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)$
    \vspd
  \item $|z+z'|\leq |z|+|z'|$ (inégalité triangulaire)
  \enen
}

\smallskip
\bgex
Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que:\\
$\bullet\ |z-6i|=3$ 
\quad
$\bullet\ |z+3-2i|<2$
\quad
$\bullet\ |z+2|=|z-3i+1|$
\quad
$\bullet\ |2-iz|=|z+5|$
\quad
$\bullet\ \dsp \left|\frac{z+2i}{z+1-2i}\right|>1$
\enex


\section{Forme trigonométrique d'un nombre complexe}

\vspace{-1.2em}
\noindent
\bgmp{10cm}
\bgdef{
  Dans le plan complexe un point $M$ peut-être repéré par ses
  coordonnées cartésienne $(x;y)$, ou son affixe complexe $z=x+iy$, 
  ou par ses coordonnées polaires $(r;\theta)$, 
  avec $r=OM$ et $\theta=(\vec{u};\V{OM})$.

  \vspd
  On a les relations: 
  \[ 
  \la\bgar{ll}
  r=\sqrt{x^2+y^2} \\ 
  \dsp\cos\theta=\frac{x}{r}\ ,\ \sin\theta=\frac{y}{r}
  \enar\right.
  \Longleftrightarrow
  \la\bgar{ll}
  x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta
  \enar\right.
  \]
  \vsp
  L'affixe $z$ du point $M$ s'écrit alors, 
  \[ z= r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)
  \]
  \bgmp{18cm}
  Cette écriture est la {\bf forme trigonométrique} de $z$.
  \enmp
}
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2.5,-3)(3,2.8)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(-2.5,0)(4.5,0)
  \psline[linewidth=0.8pt]{->}(0,-2.5)(0,3.5)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(0,2)
  \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,0)(2,0)

  \rput(-0.2,-0.2){$O$}%\put(1,-0.4){$\vec{u}$}\put(-0.4,1){$\vec{v}$}

  \psline[linewidth=1.2pt]{->}(0,0)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(4,0)(4,2.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed]{->}(0,2.5)(4,2.5)
  \put(2.8,2.7){$M(z=x+iy)$}
  \rput(3.8,-0.2){\scriptsize$x\!=\!r\cos\theta$}
  \rput(-0.6,2.5){\scriptsize$y\!=\!r\sin\theta$}
  %\put(1,1){\rotatebox{45}{$az$}}
  \rput{35}(2.2,1.65){$r\!=\!|z|$\scriptsize{$\!=\!\sqrt{x^2+y^2}$}}

  \pscircle(0,0){2}

  \psarc{->}(0.4,0.3){0.5}{-25}{30}
  \rput(1.55,0.35){\scriptsize$\theta\!\!=\!\!\mbox{arg(z)}$}
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](1.7,0)(1.7,1.08)
  \psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,1.08)(1.7,1.08)
  \rput(-0.4,1.1){\scriptsize$\sin\theta$}
  \rput(1.6,-0.2){\scriptsize$\cos\theta$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique les
nombres complexes suivants: 

\vsp
\begin{tabular}{*5{p{3cm}}}
$\bullet\ z_1=3$
&$\bullet\ z_2=-4$
&$\bullet\ z_3=2i$
&$\bullet\ z_4=-1+i$
&$\bullet\ z_5=-\sqrt{3}+i$
\\[0.4cm]
$\bullet\ z_6=-17$
&$\bullet\ z_7=-6\sqrt{3}+6i$
&$\bullet\ z_8=5i$
&$\bullet\ z_9=\sqrt{6}+i\sqrt{2}$. 
\end{tabular}
\enex



\section{Exponentielle complexe}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$. 
Comme les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur $\R$, $f$
l'est aussi, et, 
\[f'(\theta)=-\sin(\theta)+i\cos\theta
=i(i\sin\theta+\cos\theta)
=if(\theta)\]
  
Comme de plus, $f(0)=\cos0+i\sin0=1$, 
on en déduit que $f$ est définie de manière unique par l'expression
$f(\theta)=e^{i\theta}$. 


\bgprop{Pour tout $\theta\in\R$, $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

  Ainsi, tout complexe $z$ s'écrit sous la forme exponentielle
  complexe: 
  \[ z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}
  \]
  où, $r=|z|$ et $\theta=\mbox{arg}(z)$. 
}

\bgmp{9.6cm}
\vspd\noindent
\ul{Exemples:}\\ 
$\dsp\bullet\ e^{i0}=e^{i2\pi}=1$ \quad
$\dsp\bullet\ e^{i\pi}=-1$\quad
$\dsp\bullet\ e^{i\frac{\pi}{2}}=i$\quad
$\dsp\bullet\ e^{i\frac{3\pi}{2}}=-i$\vsp\\
$\bgar{ll}
\dsp\bullet\ e^{i\frac{2\pi}{3}}
&\dsp=\cos\lp\frac{2\pi}{3}\rp+i\sin\lp\frac{2\pi}{3}\rp \\
&\dsp=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\enar$\vspd\\
$\bgar{ll}
\dsp\bullet\ \frac{3}{2}+\frac{3}{2}i 
&\dsp=\frac{3\sqrt{2}}{2}\Big(\cos\lp\frac{\pi}{4}\rp+i\sin\lp\frac{\pi}{4}\rp\Big)\\
&\dsp=\frac{3\sqrt{2}}{2}e^{i\frac{\pi}{4}}\enar$
\enmp
\bgmp{6cm}
\psset{unit=2cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-1.3,-1.3)(2,2)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(-1.5,0)(2,0)
  \psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-1.3)(0,1.9)
  \pscircle(0,0){1}
  
  \rput(-0.15,-0.15){$O$}
  \rput(1,0){$\bullet$}
  \rput(0.95,-0.15){$\dsp 1\!=\!e^{i0}$}
  \rput(1.07,-0.3){$\dsp=\!e^{i2\pi}$}

  \rput(0,1){$\bullet$}\rput(0.4,1.15){$\dsp i\!=\!e^{i\frac{\pi}{2}}$}

  \rput(0,-1){$\bullet$}\rput(0.4,-1.15){$\dsp -i\!\!=\!e^{i\frac{3\pi}{2}}$}

  \rput(-1,0){$\bullet$}\rput(-1.4,0.1){$\dsp -1\!=\!e^{i\pi}$}

  \rput(-0.5,0.866){$\bullet$}
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](-0.5,0)(-0.5,0.866)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,0.866)(-0.5,0.866)
  \rput(-0.75,0.95){$\dsp e^{i\frac{2\pi}{3}}$}
  \rput(-0.55,-0.15){$-\frac{1}{2}$}
  \rput(0.15,0.8){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}

  \rput(1.5,1.5){$\bullet$}\rput(1.65,1.65){$\dsp e^{i\frac{\pi}{4}}$}
  \psline[linewidth=0.5pt](0,0)(1.5,1.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](1.5,0)(1.5,1.5)
  \psline[linewidth=0.5pt,linestyle=dashed](0,1.5)(1.5,1.5)
  \rput(1.5,-0.15){$\frac{3}{2}$}
  \rput(-0.1,1.5){$\frac{3}{2}$}
  \psarc{->}(0,0){1.4}{0}{45}\rput(1.3,0.8){$\frac{\pi}{4}$}

\end{pspicture}
\enmp


\bgex
Placer dans le plan complexe et écrire sous formes trigonométrique et
algébrique les nombres complexes: 

\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ 3e^{-i\frac{\pi}{2}}$ 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \sqrt{2}e^{3i\frac{\pi}{4}}$ 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 6e^{-i\frac{2\pi}{3}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 5e^{i\frac{5\pi}{3}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ 2e^{i\frac{\pi}{4}}\,e^{-i\frac{3\pi}{2}}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac{3e^{i\frac{\pi}{6}}}{2e^{-i\frac{2\pi}{3}}}$
\enex


\bgex
Ecrire sous forme trigonométrique et exponentielle les nombres
complexes: 

\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ 5$ 
\hspace{0.6cm}
$\dsp\bullet\ 4+4i$ 
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac32 i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \dfrac{2}{1-i}$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \sqrt{3}-i$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^2$
\hspace{1cm}
$\dsp\bullet\ \lp\sqrt{3}-i\rp^3$
\enex


\bgprop{ Pour tous réels $\theta$ et $\theta'$, et tout entier naturel
  $n$, 

  \vsp
  \bgit
  \item[$\bullet$] $\dsp|e^{i\theta}|=1$, et
    $\dsp\mbox{arg}(e^{i\theta})=\theta$ 
    \vsp
  \item[$\bullet$]
    $\dsp e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}$\ ;\ \ 
    $\dsp\frac{e^{i\theta}}{e^{i\theta'}}=e^{i(\theta-\theta')}$\ ;\ \ 
    $\dsp\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}$
    \vsp
  \item[$\bullet$] $\lp e^{i\theta}\rp^n=e^{in\theta}$ 
    (Formule de Moivre), c'est-à-dire, 
    $\lp\cos\theta+i\sin\theta\rp^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$
    \vspace{-0.2cm}
  \item[$\bullet$] $e^{i\tht}=e^{i\tht'} \iff \tht=\tht'\ [2\pi]$
  \enit
}

\bgcorol{
  Pour tous nombres complexes $z$ et $z'$, 
  
  \vsp
  \bgit
  \item[$\bullet$] $\mbox{arg}(zz')=\mbox{arg}(z)+\mbox{arg}(z')$
    \vspd
  \item[$\bullet$] $\mbox{arg}(z^n)=n\mbox{arg}(z)$
    \vspd
  \item[$\bullet$]
    $\dsp\mbox{arg}\lp\frac{z}{z'}\rp=\mbox{arg}(z)-\mbox{arg}(z')$ 
  \enit
}

\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} 
Soit $z=re^{i\theta}$, $r=|z|$ et $\theta=\mbox{arg}(z)$, 
et $z'=r'e^{i\theta'}$, $r'=|z'|$ et $\theta'=\mbox{arg}(z')$, 
alors, 

$zz'=rr'e^{i(\theta+\theta')}$, et donc, 
$|zz'|=rr'=|z||z'|$, et 
$\mbox{arg}(zz')=\theta+\theta'=\mbox{arg}(z)+\mbox{arg}(z')$. 

\vspd
De même pour la puissance: 
$z^n=\lp re^{i\theta}\rp^n=r^n\lp e^{i\theta}\rp^n
=r^ne^{in\theta}$, et donc, 
$|z^n|=r^n=|z|^n$ et $\mbox{arg}(z^n)=n\theta=n\mbox{arg}(z)$


\bgex
On donne $\dsp z_1=e^{i\frac{\pi}{6}}$, 
$\dsp z_2=3e^{-i\frac{\pi}{3}}$, et 
$\dsp z_3=\sqrt{2}e^{-i\frac{5\pi}{6}}$. 

\vsp
Donner sous la forme exponentielle puis algébrique les complexes: 
$z_1 z_2 z_3$, $\dsp\frac{z_1}{z_2 z_3}$, 
$z_2^2$, $z_3^6$.
\enex

\bgex
Simplifier l'expression, où $\theta\in\R$, 
$\dsp \lp\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\rp^2
+\lp\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}\rp^2$. 

Etait-ce prévisible sans calcul ?

\enex


\bgex
Ecrire le nombre complexe $(\sqrt{3}-i)^{10}$ sous forme algébrique. 
\enex


\bgex
Calculer le module et un argument des complexes suivants, puis les
écrire sous formes trigonométrique et exponentielle: 

\hspace{3cm}
$\dsp z_1=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2(1+i)}$
\hspace{3cm}
$\dsp z_2=\frac{5(-1+i)}{\sqrt{3}+i}$
\enex


\bgex
\bgit
\item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes 
  $\dsp z_1=\sqrt{3}-i$, $\dsp z_2=1-i$, 
  et $\dsp Z=\frac{z_1}{z_2}$. 
\vsp
\item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$, et en déduire les
  valeurs exactes de  
  $\dsp\cos\lp\frac{\pi}{12}\rp$ et 
    $\dsp\sin\lp\frac{\pi}{12}\rp$.
\enit
\enex

\bgex
\bgit
\item[a)] Ecrire sous forme trigonométrique les complexes 
  $\dsp z_1=-1-i$, $\dsp z_2=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$, 
  et $\dsp Z=z_1 z_2$. 
\vsp
\item[b)] Déterminer la forme algébrique de $Z$. 
En déduire les valeurs exactes de 
  $\dsp\cos\lp\frac{11\pi}{12}\rp$ et 
    $\dsp\sin\lp\frac{11\pi}{12}\rp$.
\enit
\enex


\bgex {\it (Formules trigonométriques)} 
Soit $\theta$ et $\theta'$ deux réels quelconques. 

En exprimant de deux manières différentes le complexe $e^{i\theta}e^{i\theta'}$, 
exprimer $\cos(\theta+\theta')$ et $\sin(\theta+\theta')$ en fonction
des cosinus et sinus de $\theta$ et $\theta'$. 

Exprimer de la même façon $\sin(2\theta)$ et $\cos(2\theta)$.
\enex


\bgex
En utilisant la  notation exponentielle complexe, retrouver en
fonction de $\cos(x)$ et $\sin(x)$ les valeurs de : 

\vsp\noindent
$\dsp\bullet\ \cos\lp x+\frac{\pi}{2}\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp x+\frac{\pi}{2}\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \cos\lp \frac{\pi}{2}-x\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp \frac{\pi}{2}-x\rp$

\vspd\noindent
$\dsp\bullet\ \cos\lp x+\pi\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp x+\pi\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \cos\lp \pi-x\rp$
\hspace{0.5cm}
$\dsp\bullet\ \sin\lp \pi-x\rp$

\enex


\bgcorol{Soit $A\lp z_A\rp$, $B\lp z_B\rp$, $C\lp z_C\rp$ et $D\lp
  z_D\rp$ alors 
  $\lp\V{AB};\V{CD}\rp=\arg\lp\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\rp$
}

\bgproof{
  $\bgar[t]{ll}
  \lp\V{AB};\V{CD}\rp
  &=\lp\V{AB};\vec{u}\rp+\lp\vec{u};\V{CD}\rp
  =-\lp\vec{u};\V{AB}\rp+\lp\vec{u};\V{CD}\rp\\[0.3cm]
  &=-\arg\lp z_B-z_A\rp+\arg\lp z_D-z_C\rp
  =\arg\lp\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\rp
  \enar$

}


\bgex Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que : 

\vsp\noindent
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}(z)=\frac{\pi}{6}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z-3|=|z+2i|$ 
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ |z+1-2i|<\sqrt{5}$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp
\psline(0,-0.3)(0,0.5)\,\overline{z}+\frac{i}{2}\,\psline(0,-0.3)(0,0.5)=4$

\vsp\noindent
$\bullet\ \mbox{arg}(z+i)=\pi$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}\lp\frac{1}{iz}\rp=\pi$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ \dsp \mbox{arg}\lp\frac{z+1}{z-2i}\rp=\frac{\pi}{2}$
\enex


\section{\'Equations du second degré}

\vspace{-1em}
\bgprop{Soit $a$ un nombre réel. Les solutions de l'équation 
  $z^2=a$ sont appelées racines carrées de $a$ dans $\C$, 
  avec 
  \vsp

  \hspace{-1.5cm}
  \bgmp{17cm}
  \bgit
  \item[$\bullet$] si $a\geq 0$, alors $z=\sqrt{a}$ ou $z=-\sqrt{a}$ 
    \qquad(deux racines réelles)
    \vsp
  \item[$\bullet$] si $a<0$, alors $z=i\sqrt{-a}$ ou $z=-i\sqrt{-a}$ 
    \quad(deux racines complexes, imaginaires pures)
  \enit
  \enmp
}

\vspd\noindent
\ul{Démonstration:} 
$\bullet$ Si $a\geq 0$, alors $z^2=a \Longleftrightarrow
(z-\sqrt{a})(z+\sqrt{a})=0$, 
d'où les racines de l'équation. 

\vsp
$\bullet$ Si $a<0$, 
$z^2=a \Longleftrightarrow z^2-i^2(-a)=z^2-i^2(\sqrt{-a})^2=0
\Longleftrightarrow (z-i\sqrt{-a})(z+i\sqrt{-a})=0$, 
d'où les racines complexes. 

\vspd\noindent
\ul{Ex:} 
Les racines carrées de $2$ dans $\C$ sont $\sqrt{2}$ et $\sqrt{-2}$,
qui sont réelles; 
les racines carrées de $-4$ dans $\C$ sont 
$i\sqrt{4}=2i$ et $-i\sqrt{4}=-2i$. 


\bgprop{
  L'équation $az^2+bz+c=0$, où $a\not=0$, $b$ et $c$ sont trois réels, 
  de discriminant $\Delta=b^2-4ac$ admet:
  \bgit
  \item[$\bullet$] si $\Delta=0$, une solution réelle double 
    $\dsp z=-\frac{b}{2a}$
    \vspd
  \item[$\bullet$] si $\Delta>0$, deux solutions réelles distinctes 
    $\dsp z_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et 
    $\dsp z_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$. 
    \vspd
  \item[$\bullet$] si $\Delta<0$, deux solutions complexes conjuguées: 
    \[ z_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\  \mbox{ et ,} \ 
     z_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}\] 
  \enit

  Dans tous les cas, le trinôme du second degré se factorise selon 
  (avec éventuellement $z_1=z_2$): 
  $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$. 
}

\bgex
Résoudre dans $\C$ les équations suivantes: 

\vspd\noindent
$\bullet\ z^2+z+1=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ z^2-3z+18=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ z^2+9z-4=0$
\hspace{0.5cm}
$\bullet\ -z^2+(1+\sqrt{3})z-\sqrt{3}=0$
\enex

%%%AAAAAAAAAAA

\bgex
On considère l'équation $z^2-2\cos(\theta)z+1=0$, 
où $\theta$ est un réel donné dans $[0;2\pi[$. 

\bgen[a)]
\item Vérifier que le discriminant de cette équation 
  est $\Delta=-4\sin^2(\theta)$. 
  \vspd
\item Résoudre alors dans $\C$ l'équation proposée, en discutant
  suivant les valeurs de $\theta$, en donnant les solutions sous formes
  exponentielle. 
\enen
\enex

\bgex
Ecrire sous forme exponentielle les solutions de : 
$z^2-2z\sin^2\alpha+\sin^2\alpha=0$. 
\enex

\bgex
\bgen[a)]
\item Donner sous forme exponentielle les solutions de 
l'équation : $z^2+z+1=0$. 
\vsp
\item Soit $\alpha$ un réel donné. 
  Factoriser l'expression: $z^2-e^{2i\alpha}$. 
  \vsp
\item En déduire les solutions de l'équation : 
  $z^4+z^2+1=0$. 
\enen
\enex

\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $z^4+4z^2-21=0$.
\enex


\bgex On considère l'équation du second degré 
$(E): z^2+(1+i\sqrt3)z-1=0$. 

\bgen
\item Déterminer le discriminant $\Delta$ de cette équation. 
  \'Ecrire $\Delta$ sous forme exponentielle. 

\item Donner un nombre complexe $\delta$ tel que $\delta^2=\Delta$. 
  \'Ecrire $\delta$ sous forme algébrique. 
\item Vérifier que les formules usuelles du second degré, 
  $z_1=\dfrac{-b-\delta}{2a}$ et son conjugué $z_2=\overline{z_1}$ 
  donnent bien deux solutions de $(E)$. 
\enen
\enex


\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $\dsp z^2-\overline{z}+\frac{1}{4}=0$.
\enex

\vspace{-0.2cm}
\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation $\dsp z^2-3\overline{z}+2=0$.
\enex

\bgex
Résoudre dans $\C$ l'équation : $z^4+4z^2-21=0$. 
\enex


\vspace{-0.2cm}
\bgex
On considère le polynôme $P$ défini sur $\C$ par 
$P(z)=z^4-4z^3+4z^2-4z+3$. 

\bgit
\item[a)] Montrer qu'il existe un polynôme $Q$ à coefficients réels
  tel que, pour tout nombre complexe $z$, 
  $P(z)=(z^2+1)Q(z)$. 
  \vspd
\item[b)] En déduire toutes les racines dans $\C$ du polynôme $P$. 
\enit
\enex


\bgex
Soit $P$ le polynôme défini par: \quad
$P(z)=z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i$.

\bgen
\item Calculer $P(i)$. 
\item Trouver deux nombres réels $p$ et $q$ tels que 
  $P(z)=(z-i)(z^2+pz+q)$. 
\item Déterminer alors toutes les racines du polyn\^ome $P$.
\enen
\enex

\bgex
Soit le polynôme $P$ défini sur $\C$ par : 
$P(z)=3z^3+(1+6i)z^2+2(8+i)z+32i$. 

\vsp
\bgen[a)]
\item Vérifier que $z_0=-2i$ est une racine de $P$. 
  \vsp
\item En déduire une factorisation de $P$, et déterminer alors toutes
  les racines de $P$.  
\enen
\enex

\bgex\vspace{-0.5cm}

\bgen
\item $x$ est un nombre réel. Ecrire la forme algébrique et la
  forme exponentielle de 
  $\dsp \lp \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\rp e^{ix}$. 

\vspace{-0.2cm}
\item Utiliser la question précédente pour résoudre dans
  $]-\pi;\pi[$ l'équation  
  $\dsp \sqrt{3}\cos(x)+\sin(x)=\sqrt{2}$.
\enen
\enex


\bgprop{(Equations d'un cercle) 
  Soit $\mathcal{C}_0$ le cercle trigonométrique 
  et $\mathcal{C}_R$ le cercle de rayon $R$ centré à l'origine, 
  et $\mathcal{C}_{R,\Omega}$ le cercle de rayon $R$ centré en 
  $\Omega$ d'affixe $\omega$, alors: 

  \bgit
  \item[$\bullet$] $M(z)\in\mathcal{C}\iff OM=1 \iff |z|=1 \iff z=e^{i\tht}$
  \item[$\bullet$] $M(z)\in \mathcal{C}_R \iff OM=R \iff |z|=R \iff z=Re^{i\tht}$
  \item[$\bullet$] $M(z)\in \mathcal{C}_{R,\Omega} 
    \iff \Omega M=R \iff |z-\omega|=R 
    \iff z-\omega=Re^{i\tht}
    \iff z=\omega+Re^{i\tht}$
  \enit
}

\vspd\noindent
\ul{Remarque:} En écrivant $z=x+iy$ et $\omega=\omega_x+i\omega_y$, 
on retrouve l'équation cartésienne d'un cercle %$\mathcal{C}{R,\Omega}$: 

\vspd\noindent
$M(x;y)\in\mathcal{C}_{R,\Omega}
\iff |z-\omega|=R 
\iff |(x-\omega_x)+i(y-\omega_y)|^2=R^2
\iff \ul{(x-\omega_x)^2+(y-\omega_y)^2=R^2}
$

\bgex
\bgen[a)]
\item Déterminer l'équation du cercle de rayon $3$ 
  et de centre $\Omega(3+2i)$. 
\item Quel est l'ensemble des point $M(x;y)$ tels que 
  $x^2+y^2-6x+4y-12=0$.
\item Quel est l'ensemble des point $M(x;y)$ tels que 
  $x^2+y^2+4x-2y+11=0$.
\enen
\enex


\bgex
Soit $p$ et $q$ deux nombres réels. 

\bgit
\item[a)] Factoriser 
  $\dsp e^{i\frac{p+q}{2}}$ dans la somme $e^{ip}+e^{iq}$. 
\item[b)] En déduire une factorisation de $\cos(p)+\cos(q)$ 
  et de $\sin(p)+\sin(q)$. 
\item[c)] Résoudre dans l'intervalle $]-\pi;\pi]$ l'équation : 
$\cos(x)+\cos(3x)=0$. 
\enit
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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