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Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercices de mathématiques (non corrigés): probabilités conditionnelles, indépendance
Niveau
Terminale S
Mots clé
Exercices de mathématiques, probabilités, probabilité conditionnelle, indépendance d'événements, TS, terminale S
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt]{article}
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours de mathmatiques: Probabilits},
    pdftitle={Probabilits conditionnelles - Indpendance},
    pdfkeywords={Mathmatiques, TS, terminale, S, exercices, 
      probabilit, probabilits, probabilits conditionnelles}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



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\newcounter{ntheo}
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  \settowidth{\ltheo}{Thorme \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Thorme}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Proprit}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Dfinition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Dfinition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilits conditionnelles - Indpendance}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\lfoot{Y. Morel \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$

\vspq
\ct{\LARGE\bf Exercices}
\vspace{0.4cm}


\bgex
Un essai de laboratoire porte sur 35 cobayes et 15 rats. 
Aprs 5 jours, $40\,\%$ des cobayes sont malades ainsi que $20\,\%$
des rats. 

\noindent
\bgmp{8cm}
\bgen
\item Complter le tableau ci-contre par des pourcentages. 

\item Quel est, arrondi au dixime, le pourcentage de rats parmi les
  animaux sains ?
\enen
\enmp\quad
\bgmp{8cm}
\[  \renewcommand{\arraystretch}{1.6}
  \begin{tabular}{l|c|c|c|}%\cline{2-4}
    & \quad Cobayes\quad\, & \quad Rats\quad\, & \quad Total\quad\, \\\hline
    Malade &&& \\\hline
    Sain &&&\\\hline
    Total &&& $100\,\%$ \\\hline
  \end{tabular}
\]
\enmp

\vspd
On choisit un animal au hasard. 
On note $M$ l'vnement "l'animal est malade", 
et $C$ "l'animal est un cobaye". 

\bgit
\item[3.] Quelle est la probabilit que ce soit un cobaye malade ?
\item[4.] On constate que l'animal choisi est un cobaye. 
  Quelle est la probabilit, note $P_C(M)$, qu'il soit malade ?
\item[5.] Imaginer une relation reliant les probabilits 
  $P(C\cap M)$, $P_C(M)$ et $P(C)$. 
\enit 
\enex


\bgex
A la sortie d'une usine de fabrication, certains apparareils sont
dfectueux. 

Ces appareils dfectueux peuvent avoir deux types de panne. 
$30\,\%$ de ces appareils ont une panne de type $A$, 
dans $40\,\%$ des cas, ils ont une panne de type $B$, et dans
seulement $3\,\%$ des cas, simultanment une panne de type $A$ et de
type $B$. 

Un appareil choisi au hasard parmi les appareils dfectueux prsente
une panne $A$. 
Quel est la probabilit qu'il prsente aussi une panne de type $B$ ?
\enex

\bgex
Dans une population, $60\,\%$ des familles ont une voiture, $65\,\%$
des familles ont un tlviseur, et $24\,\%$ n'ont ni voiture ni
tlviseur. 

On choisit une famille au hasard. 
On s'aperoit qu'elle possde un tlviseur. 
Calculer la probabilit qu'elle possde une voiture. 

{\sl (Indication: prsenter la situation dans un tableau).}
\enex

\bgex
La probabilit qu'un jeune russisse l'examen du permis de conduire
l'anne de ses 18 ans est de 0,625 et celle qu'il soit reu au
baccalaurat cette mme anne est de 0,82. 

De plus, la probabilit d'tre  la fois reu au baccalaurat et 
l'examen du permis de conduire la mme anne est de 0,56. 

\vsp
\bgen
\item Calculer la probabilit qu'un jeune soit reu  au moins un
  des deux examens. 
\item En dduire la probabilit qu'il ne soit reu  aucun des
  deux examens. 
\item Dterminer la probabilit qu'un jeune russisse au baccalaurat
  sachant qu'il a dj eu son permis la mme anne.
\enen
\enex




\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
Une exprience alatoire est reprsente par l'arbre pondr
ci-contre. 

On sait de plus que $P(B)=0,39$. 

\bgen
\item Calculer la probabilit de l'vnement $A\cap B$. 
\item En dduire la probabilit de $B$ sachant $A$.  
\enen
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2.5)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.7,1.5){$A$}
  \rput(0.65,1){$0,1$}
  \psline(2,1.5)(3.5,2)\rput(3.7,2){$B$}
  \psline(2,1.5)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\overline{B}$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.7,-1.5){$\overline{A}$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-1)\rput(3.7,-1){$B$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-2)\rput(3.7,-2){$\overline{B}$}
  \rput(2.7,-1){$0,4$}
\end{pspicture}
\enmp

\clearpage
\bgex
Tous les lves d'une promotion ont pass un test de certification en
anglais. 
\bgit
\item $80\,\%$ ont russi le test. 
\item Parmi ceux qui ont russi le test, $95\,\%$ le passaient pour la
  1re fois.
\item Parmi ceux qui ont chou au test, $2\,\%$ le passaient pour la
  1re fois. 
\enit

\noindent
On considre les vnements $R$: "l'lve a russi au test", 
et $F$: "l'lve a pass le test plusieurs~fois". 

\bgen
\item Traduire l'nonc en termes de probabilit.
\item Dresser un arbre pondr dcrivant la situation. 
\item Calculer la probabilit qu'un lve choisi au hasard ait pass
  le test pour la 1re fois et l'ait russi. 
\item Dterminer la probabilit qu'un lve choisi au hasard ait pass
  plusieurs fois le test. 
\item On choisit au hasard un lve ayant pass plusieurs fois le
  test. 
  Quelle est la probabilit qu'il ait russi ? 
\enen
\enex


\bgex
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. 

On note les vnements $C$ "la carte tire est un c\oe ur", 
$A$ "la carte tire est un as", et 
$F$ "la carte tire est une figure". 

\noindent
Calculer la probabilit de l'vnement $A$ 
ainsi que les probabilits conditionnelles $P_C(A)$ et $P_F(A)$.  
Interprter les rsultats. 
\enex


\bgex
On suppose que chacun des moteurs d'un avion bimoteur tombe en panne
avec une probabilit de $0,000\,1$ et ceci de faon indpendante de
l'autre moteur. 

Quelle est la probabilit que l'avion arrive  bon port, sachant qu'il
peut voler avec un seul moteur ?
\quad{\sl (Indication: quelle est la probabilit que l'avion n'arrive pas 
  bon port ?)}
\enex

\bgex
Un circuit lectronique est form de 10 lments identiques installs
en srie. 
Chaque lment a, indpendamment des autres, une probabilit de 0,2 de
tomber en panne. 

\vspd
Quelle est la probabilit pour que le circuit tombe en panne ?
\enex



\bgex
Un atelier utilise 3 machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$. La fabrication
est rpartie suivant les machines, mais, selon la vtust des
machines, les pices prsentent parfois des dfauts:\\ 
\[
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
  \hline
  Machine & $M_1$ & $M_2$ &$M_3$\\
  \hline
  Pices fabriques & 50\% & 35\% & 15\%\\
  \hline
  Dfauts & 1\% & 2\% & 6\%\\
  \hline
\end{tabular}
\]


On tire une pice au hasard dans le stock et on cherche la probabilit pour que
cette pice soit dfectueuse.\\ 
On appelle $D$ l'vnement "la pice est dfectueuse" et
$M_i$  l'vnement "la pice provient de la machine $M_i$" 
($i=1$, $2$, ou $3$).

Dcrire la situation par un arbre de probabilit (arbre pondr), 
et calculer la probabilit de l'vnement $D$. 
\enex

\definecolor{gray1}{gray}{0.85}
\definecolor{gray2}{gray}{0.67}
\definecolor{gray3}{gray}{0.55}


\bgex
Dans une population, une personne sur quatre triche. 
Lorsqu'on fait tirer une carte d'un jeu de 52 cartes  un tricheur, il
tire  tous les coups un as. 

\noindent 1. On demande  une personne au hasard de tirer une carte,
quelle est la probabilit qu'un as soit tir ? 

\noindent 2.  Un as a t tir. Quelle est la probabilit que j'ai eu
affaire  un tricheur ?
\enex

%\bgex
%Dans un pays, $2\,\%$ de la population est contamine par un virus. 
%On dispose d'un test de dpistage qui a les proprits suivantes:
%\bgit
%\item la probabilit qu'une personne contamine ait un test positif
%  est $0,99$; 
%\item la probabilit qu'une personne non contamine ait un test
%  ngatif est $0,97$. 
%\enit
%
%On fait passer le test  une personne choisie au hasard dans la
%population. 
%Quelle est la probabilit que le test soit positif ?
%\enex

%\clearpage
\bgex {\sl (Formule de Bayes)} 

\bgen
\item Soit $A$ et $B$ deux vnements de probabilit non nulle. 

  Dmontrer que: 
  $P_B(A)
  =\dfrac
  {P_A(B)\tm P(A)}
  {P_A(B)\tm P(A)+P_{\overline{A}}(B)\tm P(\overline{A})}$. 

\item {\bf Application} 

  On dispose de 100 pices de monnaie. 
  Une pice sur quatre est truque. 
  Une pice truque indique Pile avec une probabilit de $\dfrac45$. 

  On choisit au hasard une pice parmi les 100, on la lance et on
  obtient Pile. 
  Quelle est la probabilit qu'il s'agisse d'une pice truque ?
\enen
\enex

\bgex {\bf Test de dpistage} 

\noindent
On dfinit, pour un test de dpistage d'une maladie: 

\noindent\bgmp{\textwidth}
\bgit
\item sa {\sl sensibilit}: la probabilit qu'il soit positif
  si la personne est atteinte de la maladie (vrai positif).
\item sa {\sl spcificit}: la probabilit qu'il soit ngatif
  si la personne est indemne de la maladie (vrai~ngatif). 
\item sa valeur prdictive positive (ou valeur diagnostique): la probabilit que
  la personne soit rellement malade si son test est~positif. 
\item sa valeur prdictive ngative: la probabilit que
  la personne n'ait pas la maladie si son test est ngatif.
\enit\enmp\\[.3em]
Les deux premires sont des valeurs
caractrisant un test, du point de vue du concepteur (laboratoire). \\[.3em]
Les valeurs prdictives sont quant  elles des donnes intressantes
du point de vue de l'usager (patient). 

%\vspd
%On se propose d'tudier la valeur diagnostique d'un test de dpistage
%d'une maladie en fonction de la proportion $f$ de malades au sein
%d'une population. 

Le fabricant du test fournit les caractristiques suivantes: 
\bgit
\item la probabilit qu'un individu malade ait un test positif est
  $0,98$ (sensiblit du test); 
\item la probabilit qu'un individu non malade ait un test ngatif est
  $0,99$ (spcificit du test). 
\enit

On notera par la suite les vnements 
$M$:"l'individu est malade" et 
$T$:"le test est positif". 

\bgen
\item On utilise ce test pour dpister une maladie qui touche 30\% de
  la population. 
\bgen[a)]
  \item Dresser un arbre pondr dcrivant la situation. 
  \item Calculer la probabilit de l'vnement $T$. 
  \item Dterminer les valeurs prdictives positive et ngative du
    test. 
\enen

\item On suppose maintenant que la proportion de malade est $f$. 
\bgen[a)]
\item Dterminer de mme que prcdemment les valeurs prdictives positive
  et ngative que l'on notera respectivement $G(f)$ et $H(f)$.  
\item Etudier les fonctions $G$ et $H$ et tracer l'allure de leur
  courbe reprsentative.

\item Quel inconvnient majeur prsente, dans une population, le
    dpistage d'une maladie rare ?
    %Que peut-on dire du dpistage d'une maladie rare dans une population ?
\enen
\enen
\enex


\bgex {\sl Type Bac} 

Un joueur dbute un jeu vido et effectue plusieurs parties
successives. 
On admet que: 
\bgit
\item la probabilit qu'il gagne la premire partie est $0,1$; 
\item s'il gagne une partie, la probabilit de gagner la suivante est
  gale  $0,8$;
\item s'il perd une partie, la probabilit de gagner la suivante est
  gale  $0,6$.
\enit

\vspd
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul:
\bgit
\item $G_n$ l'vnement \og le joueur gagne la n-ime partie\fg;
\item $p_n$ la probabilit de l'vnement $G_n$. 
\enit

On a donc $p_1=0,1$. 

\bgen
\item Montrer que $p_2=0,62$. 
\item Le joueur a gagn la deuxime partie. 

  Calculer la probabilit qu'il ait perdu la premire. 
\item Calculer la probabilit que le joueur gagne au moins une partie
  sur les trois premires parties. 
\item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, 
  $p_n=\dfrac15 p_n+\dfrac35$.
\item Conjecturer  l'aide de la calculatrice la limite de la suite
  $(p_n)$. 
\item {\sl Dans cette question, toute trace de recherche, mme
  incomplte, ou d'initiative, mme non fructueuse, sera prise en
  compte dans l'valuation.} 

  Dmontrer que, pour tout $n\geqslant 1$, 
  $p_n=\dfrac34-\dfrac{13}{4}\lp\dfrac15\rp^n$.
\item En dduire la limite de la suite $(p_n)$. 
\item Pour quelles valeurs du nombre entier naturel $n$ a-t-on 
  $\dfrac34-p_n>10^{-7}$ ?
\enen
\enex

%\bgex {\bf Test de dpistage} 
%
%La valeur diagnostique d'un test de dpistage d'une maladie est la
%probabilit qu'un individu soit rellement malade si le test est
%positif. 
%
%\vsp
%On se propose d'tudier la valeur diagnostique d'un test de dpistage
%d'une maladie en fonction de la proportion $f$ de malades au sein
%d'une population. 
%
%Le fabricant du test fournit les caractristiques suivantes: 
%\bgit
%\item la probabilit qu'un individu malade ait un test positif est
%  $0,99$; 
%\item la probabilit qu'un individu non malade ait un test ngatif est
%  $0,99$. 
%\enit
%
%Pour un individu de cette population, on note $M$ l'vnement 
%\og l'individu est malade\fg et $T$ l'vnement 
%\og le test est positif\fg. 
%
%\bgen
%\item Dresser un arbre pondr dcrivant la situation. 
%\item 
%  \bgen[a)]
%  \item Calculer la probabilit de l'vnement $T$. 
%  \item Calculer la probabilit d'un \og faux positif\fg, 
%    c'est--dire la probabilit qu'un individu qui a un test positif
%    ne soit pas malade. 
%  \item Exprimer la valeur diagnostique du test en fonction de $f$. 
%    
%    On notera $G(f)$ l'expression trouve. 
%    Dresser le tableau de variation de la fonction $G$. 
%
%    \vspd
%    Quel inconvnient majeur prsente, dans une population, le
%    dpistage d'une maladie rare ?
%  \enen
%\enen
%\enex


\end{document}

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