Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Cours de math�matiques: Probabilit�s},
pdftitle={Probabilit�s conditionnelles - Ind�pendance},
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probabilit�, probabilit�s, probabilit�s conditionnelles}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
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\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\epsi{\varepsilon}
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\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilit�s conditionnelles - Ind�pendance}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$
\vspq
\ct{\LARGE\bf Exercices}
\vspace{0.4cm}
\bgex
Un essai de laboratoire porte sur 35 cobayes et 15 rats.
Apr�s 5 jours, $40\,\%$ des cobayes sont malades ainsi que $20\,\%$
des rats.
\noindent
\bgmp{8cm}
\bgen
\item Compl�ter le tableau ci-contre par des pourcentages.
\item Quel est, arrondi au dixi�me, le pourcentage de rats parmi les
animaux sains ?
\enen
\enmp\quad
\bgmp{8cm}
\[ \renewcommand{\arraystretch}{1.6}
\begin{tabular}{l|c|c|c|}%\cline{2-4}
& \quad Cobayes\quad\, & \quad Rats\quad\, & \quad Total\quad\, \\\hline
Malade &&& \\\hline
Sain &&&\\\hline
Total &&& $100\,\%$ \\\hline
\end{tabular}
\]
\enmp
\vspd
On choisit un animal au hasard.
On note $M$ l'�v�nement "l'animal est malade",
et $C$ "l'animal est un cobaye".
\bgit
\item[3.] Quelle est la probabilit� que ce soit un cobaye malade ?
\item[4.] On constate que l'animal choisi est un cobaye.
Quelle est la probabilit�, not�e $P_C(M)$, qu'il soit malade ?
\item[5.] Imaginer une relation reliant les probabilit�s
$P(C\cap M)$, $P_C(M)$ et $P(C)$.
\enit
\enex
\bgex
A la sortie d'une usine de fabrication, certains apparareils sont
d�fectueux.
Ces appareils d�fectueux peuvent avoir deux types de panne.
$30\,\%$ de ces appareils ont une panne de type $A$,
dans $40\,\%$ des cas, ils ont une panne de type $B$, et dans
seulement $3\,\%$ des cas, simultan�ment une panne de type $A$ et de
type $B$.
Un appareil choisi au hasard parmi les appareils d�fectueux pr�sente
une panne $A$.
Quel est la probabilit� qu'il pr�sente aussi une panne de type $B$ ?
\enex
\bgex
Dans une population, $60\,\%$ des familles ont une voiture, $65\,\%$
des familles ont un t�l�viseur, et $24\,\%$ n'ont ni voiture ni
t�l�viseur.
On choisit une famille au hasard.
On s'aper�oit qu'elle poss�de un t�l�viseur.
Calculer la probabilit� qu'elle poss�de une voiture.
{\sl (Indication: pr�senter la situation dans un tableau).}
\enex
\bgex
La probabilit� qu'un jeune r�ussisse l'examen du permis de conduire
l'ann�e de ses 18 ans est de 0,625 et celle qu'il soit re�u au
baccalaur�at cette m�me ann�e est de 0,82.
De plus, la probabilit� d'�tre � la fois re�u au baccalaur�at et �
l'examen du permis de conduire la m�me ann�e est de 0,56.
\vsp
\bgen
\item Calculer la probabilit� qu'un jeune soit re�u � au moins un
des deux examens.
\item En d�duire la probabilit� qu'il ne soit re�u � aucun des
deux examens.
\item D�terminer la probabilit� qu'un jeune r�ussisse au baccalaur�at
sachant qu'il a d�j� eu son permis la m�me ann�e.
\enen
\enex
\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
Une exp�rience al�atoire est repr�sent�e par l'arbre pond�r�
ci-contre.
On sait de plus que $P(B)=0,39$.
\bgen
\item Calculer la probabilit� de l'�v�nement $A\cap B$.
\item En d�duire la probabilit� de $B$ sachant $A$.
\enen
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2.5)
\psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.7,1.5){$A$}
\rput(0.65,1){$0,1$}
\psline(2,1.5)(3.5,2)\rput(3.7,2){$B$}
\psline(2,1.5)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\overline{B}$}
%
\psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.7,-1.5){$\overline{A}$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-1)\rput(3.7,-1){$B$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-2)\rput(3.7,-2){$\overline{B}$}
\rput(2.7,-1){$0,4$}
\end{pspicture}
\enmp
\clearpage
\bgex
Tous les �l�ves d'une promotion ont pass� un test de certification en
anglais.
\bgit
\item $80\,\%$ ont r�ussi le test.
\item Parmi ceux qui ont r�ussi le test, $95\,\%$ le passaient pour la
1�re fois.
\item Parmi ceux qui ont �chou� au test, $2\,\%$ le passaient pour la
1�re fois.
\enit
\noindent
On consid�re les �v�nements $R$: "l'�l�ve a r�ussi au test",
et $F$: "l'�l�ve a pass� le test plusieurs~fois".
\bgen
\item Traduire l'�nonc� en termes de probabilit�.
\item Dresser un arbre pond�r� d�crivant la situation.
\item Calculer la probabilit� qu'un �l�ve choisi au hasard ait pass�
le test pour la 1�re fois et l'ait r�ussi.
\item D�terminer la probabilit� qu'un �l�ve choisi au hasard ait pass�
plusieurs fois le test.
\item On choisit au hasard un �l�ve ayant pass� plusieurs fois le
test.
Quelle est la probabilit� qu'il ait r�ussi ?
\enen
\enex
\bgex
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes.
On note les �v�nements $C$ "la carte tir�e est un c\oe ur",
$A$ "la carte tir�e est un as", et
$F$ "la carte tir�e est une figure".
\noindent
Calculer la probabilit� de l'�v�nement $A$
ainsi que les probabilit�s conditionnelles $P_C(A)$ et $P_F(A)$.
Interpr�ter les r�sultats.
\enex
\bgex
On suppose que chacun des moteurs d'un avion bimoteur tombe en panne
avec une probabilit� de $0,000\,1$ et ceci de fa�on ind�pendante de
l'autre moteur.
Quelle est la probabilit� que l'avion arrive � bon port, sachant qu'il
peut voler avec un seul moteur ?
\quad{\sl (Indication: quelle est la probabilit� que l'avion n'arrive pas �
bon port ?)}
\enex
\bgex
Un circuit �lectronique est form� de 10 �l�ments identiques install�s
en s�rie.
Chaque �l�ment a, ind�pendamment des autres, une probabilit� de 0,2 de
tomber en panne.
\vspd
Quelle est la probabilit� pour que le circuit tombe en panne ?
\enex
\bgex
Un atelier utilise 3 machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$. La fabrication
est r�partie suivant les machines, mais, selon la v�tust� des
machines, les pi�ces pr�sentent parfois des d�fauts:\\
\[
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
\hline
Machine & $M_1$ & $M_2$ &$M_3$\\
\hline
Pi�ces fabriqu�es & 50\% & 35\% & 15\%\\
\hline
D�fauts & 1\% & 2\% & 6\%\\
\hline
\end{tabular}
\]
On tire une pi�ce au hasard dans le stock et on cherche la probabilit� pour que
cette pi�ce soit d�fectueuse.\\
On appelle $D$ l'�v�nement "la pi�ce est d�fectueuse" et
$M_i$ l'�v�nement "la pi�ce provient de la machine $M_i$"
($i=1$, $2$, ou $3$).
D�crire la situation par un arbre de probabilit� (arbre pond�r�),
et calculer la probabilit� de l'�v�nement $D$.
\enex
\definecolor{gray1}{gray}{0.85}
\definecolor{gray2}{gray}{0.67}
\definecolor{gray3}{gray}{0.55}
\bgex
Dans une population, une personne sur quatre triche.
Lorsqu'on fait tirer une carte d'un jeu de 52 cartes � un tricheur, il
tire � tous les coups un as.
\noindent 1. On demande � une personne au hasard de tirer une carte,
quelle est la probabilit� qu'un as soit tir� ?
\noindent 2. Un as a �t� tir�. Quelle est la probabilit� que j'ai eu
affaire � un tricheur ?
\enex
%\bgex
%Dans un pays, $2\,\%$ de la population est contamin�e par un virus.
%On dispose d'un test de d�pistage qui a les propri�t�s suivantes:
%\bgit
%\item la probabilit� qu'une personne contamin�e ait un test positif
% est $0,99$;
%\item la probabilit� qu'une personne non contamin�e ait un test
% n�gatif est $0,97$.
%\enit
%
%On fait passer le test � une personne choisie au hasard dans la
%population.
%Quelle est la probabilit� que le test soit positif ?
%\enex
%\clearpage
\bgex {\sl (Formule de Bayes)}
\bgen
\item Soit $A$ et $B$ deux �v�nements de probabilit� non nulle.
D�montrer que:
$P_B(A)
=\dfrac
{P_A(B)\tm P(A)}
{P_A(B)\tm P(A)+P_{\overline{A}}(B)\tm P(\overline{A})}$.
\item {\bf Application}
On dispose de 100 pi�ces de monnaie.
Une pi�ce sur quatre est truqu�e.
Une pi�ce truqu�e indique Pile avec une probabilit� de $\dfrac45$.
On choisit au hasard une pi�ce parmi les 100, on la lance et on
obtient Pile.
Quelle est la probabilit� qu'il s'agisse d'une pi�ce truqu�e ?
\enen
\enex
\bgex {\bf Test de d�pistage}
\noindent
On d�finit, pour un test de d�pistage d'une maladie:
\noindent\bgmp{\textwidth}
\bgit
\item sa {\sl sensibilit�}: la probabilit� qu'il soit positif
si la personne est atteinte de la maladie (vrai positif).
\item sa {\sl sp�cificit�}: la probabilit� qu'il soit n�gatif
si la personne est indemne de la maladie (vrai~n�gatif).
\item sa valeur pr�dictive positive (ou valeur diagnostique): la probabilit� que
la personne soit r�ellement malade si son test est~positif.
\item sa valeur pr�dictive n�gative: la probabilit� que
la personne n'ait pas la maladie si son test est n�gatif.
\enit\enmp\\[.3em]
Les deux premi�res sont des valeurs
caract�risant un test, du point de vue du concepteur (laboratoire). \\[.3em]
Les valeurs pr�dictives sont quant � elles des donn�es int�ressantes
du point de vue de l'usager (patient).
%\vspd
%On se propose d'�tudier la valeur diagnostique d'un test de d�pistage
%d'une maladie en fonction de la proportion $f$ de malades au sein
%d'une population.
Le fabricant du test fournit les caract�ristiques suivantes:
\bgit
\item la probabilit� qu'un individu malade ait un test positif est
$0,98$ (sensiblit� du test);
\item la probabilit� qu'un individu non malade ait un test n�gatif est
$0,99$ (sp�cificit� du test).
\enit
On notera par la suite les �v�nements
$M$:"l'individu est malade" et
$T$:"le test est positif".
\bgen
\item On utilise ce test pour d�pister une maladie qui touche 30\% de
la population.
\bgen[a)]
\item Dresser un arbre pond�r� d�crivant la situation.
\item Calculer la probabilit� de l'�v�nement $T$.
\item D�terminer les valeurs pr�dictives positive et n�gative du
test.
\enen
\item On suppose maintenant que la proportion de malade est $f$.
\bgen[a)]
\item D�terminer de m�me que pr�c�demment les valeurs pr�dictives positive
et n�gative que l'on notera respectivement $G(f)$ et $H(f)$.
\item Etudier les fonctions $G$ et $H$ et tracer l'allure de leur
courbe repr�sentative.
\item Quel inconv�nient majeur pr�sente, dans une population, le
d�pistage d'une maladie rare ?
%Que peut-on dire du d�pistage d'une maladie rare dans une population ?
\enen
\enen
\enex
\bgex {\sl Type Bac}
Un joueur d�bute un jeu vid�o et effectue plusieurs parties
successives.
On admet que:
\bgit
\item la probabilit� qu'il gagne la premi�re partie est $0,1$;
\item s'il gagne une partie, la probabilit� de gagner la suivante est
�gale � $0,8$;
\item s'il perd une partie, la probabilit� de gagner la suivante est
�gale � $0,6$.
\enit
\vspd
On note, pour tout entier naturel $n$ non nul:
\bgit
\item $G_n$ l'�v�nement \og le joueur gagne la n-i�me partie\fg;
\item $p_n$ la probabilit� de l'�v�nement $G_n$.
\enit
On a donc $p_1=0,1$.
\bgen
\item Montrer que $p_2=0,62$.
\item Le joueur a gagn� la deuxi�me partie.
Calculer la probabilit� qu'il ait perdu la premi�re.
\item Calculer la probabilit� que le joueur gagne au moins une partie
sur les trois premi�res parties.
\item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$ non nul,
$p_n=\dfrac15 p_n+\dfrac35$.
\item Conjecturer � l'aide de la calculatrice la limite de la suite
$(p_n)$.
\item {\sl Dans cette question, toute trace de recherche, m�me
incompl�te, ou d'initiative, m�me non fructueuse, sera prise en
compte dans l'�valuation.}
D�montrer que, pour tout $n\geqslant 1$,
$p_n=\dfrac34-\dfrac{13}{4}\lp\dfrac15\rp^n$.
\item En d�duire la limite de la suite $(p_n)$.
\item Pour quelles valeurs du nombre entier naturel $n$ a-t-on
$\dfrac34-p_n>10^{-7}$ ?
\enen
\enex
%\bgex {\bf Test de d�pistage}
%
%La valeur diagnostique d'un test de d�pistage d'une maladie est la
%probabilit� qu'un individu soit r�ellement malade si le test est
%positif.
%
%\vsp
%On se propose d'�tudier la valeur diagnostique d'un test de d�pistage
%d'une maladie en fonction de la proportion $f$ de malades au sein
%d'une population.
%
%Le fabricant du test fournit les caract�ristiques suivantes:
%\bgit
%\item la probabilit� qu'un individu malade ait un test positif est
% $0,99$;
%\item la probabilit� qu'un individu non malade ait un test n�gatif est
% $0,99$.
%\enit
%
%Pour un individu de cette population, on note $M$ l'�v�nement
%\og l'individu est malade\fg et $T$ l'�v�nement
%\og le test est positif\fg.
%
%\bgen
%\item Dresser un arbre pond�r� d�crivant la situation.
%\item
% \bgen[a)]
% \item Calculer la probabilit� de l'�v�nement $T$.
% \item Calculer la probabilit� d'un \og faux positif\fg,
% c'est-�-dire la probabilit� qu'un individu qui a un test positif
% ne soit pas malade.
% \item Exprimer la valeur diagnostique du test en fonction de $f$.
%
% On notera $G(f)$ l'expression trouv�e.
% Dresser le tableau de variation de la fonction $G$.
%
% \vspd
% Quel inconv�nient majeur pr�sente, dans une population, le
% d�pistage d'une maladie rare ?
% \enen
%\enen
%\enex
\end{document}
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