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Description
Cours de mathématiques: probabilités conditionnelles, indépendance
Niveau
Terminale S
Table des matières
  • Probabilités conditionnelles - Indépendance
  • Conditionnement par un événement
  • Arbre pondéré
  • Indépendance
  • Partition de l'univers
    • Probabilités totalesFormule de Bayes
  • Exercices
Mots clé
Cours de mathématiques, probabilités, probabilité conditionnelle, indépendance d'événements, TS, terminale S
Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours de mathématiques: Probabilités},
    pdftitle={Probabilités conditionnelles - Indépendance},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S, probabilité, 
      probabilités, probabilités conditionnelles, indépendance}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
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\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18.5cm
\oddsidemargin=-1.2cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilités conditionnelles - Indépendance}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}

\pagestyle{fancyplain}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}


\bgex
Un essai de laboratoire porte sur 35 cobayes et 15 rats. 
Après 5 jours, $40\,\%$ des cobayes sont malades ainsi que $20\,\%$
des rats. 

\noindent
\bgmp{8cm}
\bgen
\item Compléter le tableau ci-contre par des pourcentages. 

\item Quel est, arrondi au dixième, le pourcentage de rats parmi les
  animaux sains ?
\enen
\enmp\quad
\bgmp{8cm}\vspace{-1cm}
\[\renewcommand{\arraystretch}{1.6}
  \begin{tabular}{l|c|c|c|}%\cline{2-4}
    & \quad Cobayes\quad\, & \quad Rats\quad\, & \quad Total\quad\, \\\hline
    Malade &&& \\\hline
    Sain &&&\\\hline
    Total &&& $100\,\%$ \\\hline
  \end{tabular}
\]
\enmp

\vspd\noindent
On choisit un animal au hasard. 
On note les événements $M$:"l'animal est malade", 
et $C$ "l'animal est un cobaye". 

\bgit
\item[3.] Quelle est la probabilité que ce soit un cobaye malade ?
\item[4.] On constate que l'animal choisi est un cobaye. 
  Quelle est la probabilité, notée $P_C(M)$, qu'il soit malade ?
\item[5.] Imaginer une relation reliant les probabilités 
  $P(C\cap M)$, $P_C(M)$ et $P(C)$. 
\enit 
\enex

\section{Conditionnement par un événement}

\bgdef{
  Soit $A$ et $B$ deux événements, avec $P(A)\not=0$. 

  La probabilité conditionnelle de de l'événement $B$ sachant $A$, 
  notée $P_A(B)$, est définie par 
  \[
  P_A(B)=\dfrac{P\lp A\cap B\rp}{P(A)}\ .
  \]
}

\bgcorol{
  Soit $A$ et $B$ deux événements, alors 
  $P\lp A\cap B\rp=P(A)\tm P_A(B)$.
}

\vspd\noindent
{\sl\ul{Remarque:} On a aussi de même, 
$P\lp A\cap B\rp=P(B)\tm P_B(A)$.}

\bgex
A la sortie d'une usine de fabrication, certains apparareils sont
défectueux. 

Ces appareils défectueux peuvent avoir deux types de panne. 
$30\,\%$ de ces appareils ont une panne de type $A$, 
dans $40\,\%$ des cas, ils ont une panne de type $B$, et dans
seulement $3\,\%$ des cas, simultanément une panne de type $A$ et de
type $B$. 

Un appareil choisi au hasard parmi les appareils défectueux présente
une panne $A$. 
Quel est la probabilité qu'il présente aussi une panne de type $B$ ?
\enex

\bgex
Dans une population, $60\,\%$ des familles ont une voiture, $65\,\%$
des familles ont un téléviseur, et $24\,\%$ n'ont ni voiture ni
téléviseur. 

On choisit une famille au hasard. 
On s'aperçoit qu'elle possède un téléviseur. 
Calculer la probabilité qu'elle possède une voiture. 
{\sl (Indication: présenter la situation dans un tableau).}
\enex

\bgex
La probabilité qu'un jeune réussisse l'examen du permis de conduire
l'année de ses 18 ans est de 0,625 et celle qu'il soit reçu au
baccalauréat cette même année est de 0,82. 

De plus, la probabilité d'être à la fois reçu au baccalauréat et à
l'examen du permis de conduire la même année est de 0,56. 

\vsp
\bgen
\item Calculer la probabilité qu'un jeune soit reçu à au moins un
  des deux examens. 
\item En déduire la probabilité qu'il ne soit reçu à aucun des
  deux examens. 
\item Déterminer la probabilité qu'un jeune réussisse au baccalauréat
  sachant qu'il a déjà eu son permis la même année.
\enen
\enex



\section{Arbre pondéré}

\bgmp{4.5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.4cm}
\begin{pspicture}(.5,-1.8)(5,1.8)
  \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.7,1){$A$}\rput(0.6,0.8){$\scriptstyle P(A)$}
  \psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.7,1.5){$B$}\rput(2.8,1.6){$\scriptstyle P_A(B)$}
  \psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.7,0.5){$\overline{B}$}
  \rput(2.8,0.4){$\scriptstyle P_A(\overline{B})$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.7,-1){$\overline{A}$}
  \rput(0.6,-0.8){$\scriptstyle P(\overline{A})$}
  \psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$B$}
  \rput(2.8,-.5){$\scriptstyle P_{\overline{A}}(B)$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1)\rput(3.8,-1){$C_1$}
  \psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$C_2$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{12.5cm}
\bgen[{\bf Règle 1.}]
\item La somme des probabilités issues d'un n\oe ud est égale à 1. 

\vspd
\item Sur chaque branche, on inscrit la probabilité conditionnelle: 
  probabilité de l'événement de droite sachant celui de gauche. 

\vspd
\item Un chemin correspond à l'intersection des événements. 
  
  Sa probabilité est le produit des probabilités. 

\item La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des
  chemins qui mènent à cet événement. 
\enen
\enmp

\noindent
\bgmp{12cm}
\bgex
Une expérience aléatoire est représentée par l'arbre pondéré
ci-contre. 
On sait de plus que $P(B)=0,39$. 

\bgen
\item Calculer la probabilité de l'événement $A\cap B$. 
\item En déduire la probabilité de $B$ sachant $A$.  
\enen
\enex
\enmp\qquad
\bgmp{4cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture}(0,-2)(4,2.8)
  \psline(0,0)(1.5,1.5)\rput(1.7,1.5){$A$}
  \rput(0.65,1){$0,1$}
  \psline(2,1.5)(3.5,2)\rput(3.7,2){$B$}
  \psline(2,1.5)(3.5,1)\rput(3.7,1){$\overline{B}$}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-1.5)\rput(1.7,-1.5){$\overline{A}$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-1)\rput(3.7,-1){$B$}
  \psline(2,-1.5)(3.5,-2)\rput(3.7,-2){$\overline{B}$}
  \rput(2.7,-1){$0,4$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgex
Tous les élèves d'une promotion ont passé un test de certification en
anglais. 
\bgit
\item $80\,\%$ ont réussi le test. 
\item Parmi ceux qui ont réussi le test, $95\,\%$ le passaient pour la
  1ère fois.
\item Parmi ceux qui ont échoué au test, $2\,\%$ le passaient pour la
  1ère fois. 
\enit
On considère les événements $R$:"l'élève a réussi au test", 
et $F$:"l'élève a passé le test plusieurs fois". 
\bgen
\item Traduire l'énoncé en termes de probabilité.
\item Dresser un arbre pondéré décrivant la situation. 
\item Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé
  le test pour la 1ère fois et l'ait réussi. 
\item Déterminer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait passé
  plusieurs fois le test. 
\item On choisit au hasard un élève ayant passé plusieurs fois le
  test. 
  Quelle est la probabilité qu'il ait réussi ? 
\enen
\enex

\section{Indépendance}

\vspace{-1.2em}

\bgex On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. 
On note les événements $C$ "la carte tirée est un c\oe ur", 
$A$ "la carte tirée est un as", et $F$ "la carte tirée est une figure". \\
Calculer la probabilité de l'événement $A$ 
ainsi que les probabilités conditionnelles $P_C(A)$ et $P_F(A)$.  
Interpréter les résultats. 
\enex

\bgdef{
  On dit que deux événements $A$ et $B$ sont indépendants lorsque 
  $P_A(B)=P(B)$.

  "Savoir que l'événement $A$ est arrivé ne change pas la
  probabilité de l'événement~$B$." 
}

\bigskip\noindent
\ul{Remarque:} - Si $A$ et $B$ sont indépendants, on a aussi $P_B(A)=P(A)$. \\
- Ne pas confondre indépendance et incompatibilité 
  {\sl ($A$ et $B$ sont incompatibles lorsque $A\cap B=\emptyset$)}

\bgprop{
  Les événements $A$ et $B$ sont indépendans si et seulement si 
  $P(A\cap B)=P(A)\tm P(B)$.
}

\bgex
On suppose que chacun des moteurs d'un avion bimoteur tombe en panne
avec une probabilité de $0,000\,1$ et ceci de façon indépendante de
l'autre moteur. \\
Quelle est la probabilité que l'avion arrive à bon port, sachant qu'il
peut voler avec un seul moteur ?\\
\quad{\sl (Indication: quelle est la probabilité que l'avion n'arrive pas à
  bon port ?)}
\enex

\bgex
Un circuit électronique est formé de 10 éléments identiques installés
en série. 
Chaque élément a, indépendamment des autres, une probabilité de 0,2 de
tomber en panne. 

Quelle est la probabilité pour que le circuit tombe en panne ?
\enex


\vspace{-.8em}
\section{Partition de l'univers}
\vspace{-1.2em}

\noindent\bgmp{11cm}\bgex
Un atelier utilise 3 machines $M_1$, $M_2$ et $M_3$. La fabrication
est répartie suivant les machines, mais, selon leur vétusté, les
pièces présentent parfois des défauts: 
\enex
\enmp\quad
\bgmp{6cm}
\[
\begin{tabular}{|l|c|c|c|}
  \hline
  Machine & $M_1$ & $M_2$ &$M_3$\\
  \hline
  Pièces fabriquées & 50\% & 35\% & 15\%\\
  \hline
  Défauts & 1\% & 2\% & 6\%\\
  \hline
\end{tabular}
\]\enmp

On tire une pièce au hasard dans le stock et on cherche la probabilité pour que
cette pièce soit défectueuse. 
On appelle $D$ l'événement "la pièce est défectueuse" et
$M_i$  l'événement "la pièce provient de la machine $M_i$" 
($i=1$, $2$, ou $3$).

Décrire la situation par un arbre de probabilité, 
et calculer la probabilité de l'événement $D$. 


\definecolor{gray1}{gray}{0.85}
\definecolor{gray2}{gray}{0.67}
\definecolor{gray3}{gray}{0.55}

\noindent
\bgmp{15.8cm}
\bgdef{
  Les événements $A_1$, $A_2$ et $A_3$ forment une {\bf partition} de
  l'univers~$\Omega$ si 

\vspace{.3em}
\hspace{-2.2cm}\bgmp{16cm}\bgit
  \item ils sont deux à deux disjoints (ou incompatibles): 
    $A_1\cap A_2=\emptyset$, $A_1\cap A_3=\emptyset$, $A_2\cap A_3=\emptyset$; 
  \item leur réunion est l'univers: 
    $A_1\cup A_2\cup A_3=\Omega$.
  \enit\enmp
}

\noindent
\ul{Remarque:} 
\bgit
\item Cette définition se généralise à $n$ événement 
  $A_i$, $i=1\dots n$,
  tels que: 

  $A_i\cap A_j=\emptyset$, $i\not=j$, 
  et $A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=\Omega$.

  \vspd
\item On obtient une partition de l'univers $\Omega$ en considérant un
  événement $A$ et son contraire $\overline{A}$, 
  car alors $A\cup \overline{A}=\Omega$ et
  $A\cap\overline{A}=\emptyset$. 
\enit
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=.6cm,yunit=.7cm}
\begin{pspicture}(-3,-3.5)(3,3.5)
  \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray2](0,0)(2,3)
  %
  \begin{psclip}{\psellipse(0,0)(2,3)}
    \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray1](0,3)(3,2.3)
    \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray3](0,-3)(3,2.3) 
  \end{psclip}
  % On retrace par dessus l'ellipse principale pour les contours 
  \psellipse(0,0)(2,3)
  % puis le texte...
  \rput(-1.3,2.8){\large$\Omega$}
  \rput(-1.3,1.4){$A_1$}
  \rput(-1.5,0){$A_2$}
  \rput(-1.3,-1.4){$A_3$}
\end{pspicture}
\enmp

\vspace{-3.cm}
\noindent
\bgmp{10.5cm}
On peut alors calculer la probabilité d'un événement connaissant ses
probabilités conditionnelles relatives à une partition de l'univers: 

\bgprop{{\bf Probabilités totales}

\hspace{-2cm}Si $A_1$, $A_2$ et $A_3$ forment une partition de l'univers~$\Omega$,
  alors 
%  \[\hspace{-2cm}\bgar{ll}
%  P(D)
%  &=P\lp D\cap A_1\rp+P\lp D\cap A_2\rp + P(D\cap A_3) \\[0.4cm]
%  &=P(A_1)\,P_{A_1}(D)+P(A_2)\,P_{A_2}(D)+P(A_3)\,P_{A_3}(D)
%  \enar\]
}
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{6.5cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.2cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(6.5,5.4)
  \psline(0,0)(1.5,2)\rput(1.75,2){$A_1$}
  \rput(0.6,1.2){\rotatebox{58}{$\scriptstyle P\lp A_1\rp$}}
  \psline(2,2)(3.5,2.5)\rput(3.7,2.5){$D$}
  \rput(2.7,2.45){\rotatebox{15}{$\scriptstyle P_{A_1}\lp D\rp$}}
  \psline(2,2)(3.5,1.5)\rput(3.7,1.5){$\overline{D}$}
  \rput(2.7,1.45){\rotatebox{-15}{$\scriptstyle P_{A_1}\lp \overline{D}\rp$}}
  %
  \psline(0,0)(1.5,0)\rput(1.75,0){$A_2$}
  \rput(0.8,0.2){$\scriptstyle P\lp A_2\rp$}
  \psline(2,0)(3.5,0.5)\rput(3.7,0.5){$D$}
  \rput(2.7,.45){\rotatebox{15}{$\scriptstyle P_{A_2}\lp D\rp$}}
  \psline(2,0)(3.5,-0.5)\rput(3.7,-0.5){$\overline{D}$}
  \rput(2.7,-.55){\rotatebox{-15}{$\scriptstyle P_{A_2}\lp \overline{D}\rp$}}
  %
  \psline(0,0)(1.5,-2)\rput(1.75,-2){$A_3$}
  \rput(0.6,-1.2){\rotatebox{-55}{$\scriptstyle P\lp A_3\rp$}}
  \psline(2,-2)(3.5,-1.5)\rput(3.7,-1.5){$D$}
  \rput(2.7,-1.45){\rotatebox{15}{$\scriptstyle P_{A_3}\lp D\rp$}}
  \psline(2,-2)(3.5,-2.5)\rput(3.7,-2.5){$\overline{D}$}
  \rput(2.7,-2.55){\rotatebox{-15}{$\scriptstyle P_{A_3}\lp \overline{D}\rp$}}
  %%
  %%
  \psline[arrowsize=7pt,linestyle=dashed]{<->}(4.,2.5)(6.2,2.5)(6.2,0.5)(4.,0.5)
  \psline[arrowsize=7pt,linestyle=dashed]{->}(6.4,0.5)(6.2,0.5)(6.2,-1.5)(4.,-1.5)
  \rput(5.2,2.7){$P(A\cap A_1)$}
  \rput(5.2,0.7){$P(A\cap A_2)$}
  \rput(5.2,-1.3){$P(A\cap A_3)$}
  \rput[l](6.4,0.5){$P(D)$}
\end{pspicture}
\enmp


\psset{arrowsize=7pt,xunit=.8cm,yunit=.7cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-3)(14,-1)
  \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray2](0,0)(2,3)
  %
  \begin{psclip}{\psellipse(0,0)(2,3)}
    \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray1](0,3)(3,2.3)
    \psellipse[fillstyle=solid,fillcolor=gray3](0,-3)(3,2.3) 
  \end{psclip}
  % On retrace par dessus l'ellipse principale pour les contours 
  \psellipse(0,0)(2,3)
  % puis la patate pour D
  \psellipse[fillstyle=vlines](0.5,0.2)(1,1.8)
  % puis le texte...
  \rput(-1.3,2.7){\large$\Omega$}
  \rput(-1.45,1.4){$A_1$}
  \rput(-1.65,0){$A_2$}
  \rput(-1.45,-1.4){$A_3$}
  %
  \psline{<-}(1.3,1.3)(2.,2.6)\rput(2.2,2.7){$D$}
  %
  \rput[l](2.6,-1.6)
       {$\bgar{ll}
         P(D)
         &=P\lp D\cap A_1\rp+P\lp D\cap A_2\rp + P(D\cap A_3) \\[0.4cm]
         &=P(A_1)\,P_{A_1}(D)+P(A_2)\,P_{A_2}(D)+P(A_3)\,P_{A_3}(D)
         \enar$}
\end{pspicture}

\bgex
Dans une population, une personne sur quatre triche. 
Lorsqu'on fait tirer une carte d'un jeu de 52 cartes à un tricheur, il
tire à tous les coups un as. 

\noindent 1. On demande à une personne au hasard de tirer une carte,
quelle est la probabilité qu'un as soit tiré ? 

\noindent 2.  Un as a été tiré. Quelle est la probabilité que j'ai eu
affaire à un tricheur ?
\enex


\bgex 1. {\bf ROC: Formule de Bayes.}
Soit $A$ et $B$ deux événements de probabilité non nulle. 

  Démontrer que: 
  $P_B(A)
  =\dfrac
  {P_A(B)\tm P(A)}
  {P_A(B)\tm P(A)+P_{\overline{A}}(B)\tm P(\overline{A})}$. 

\medskip
2. {\bf Application.} 
  On dispose de 100 pièces de monnaie. 
  Une pièce sur quatre est truquée. 
  Une pièce truquée indique Pile avec une probabilité de $\dfrac45$. 

  \noindent
  On choisit au hasard une pièce parmi les 100, on la lance et on
  obtient Pile. 
  Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'une pièce truquée ?
\enex


%\bgex
%Dans un pays, $2\,\%$ de la population est contaminée par un virus. 
%On dispose d'un test de dépistage qui a les propriétés suivantes:
%\bgit
%\item la probabilité qu'une personne contaminée ait un test positif
%  est $0,99$; 
%\item la probabilité qu'une personne non contaminée ait un test
%  négatif est $0,97$. 
%\enit
%On fait passer le test à une personne choisie au hasard dans la
%population. 
%Quelle est la probabilité que le test soit positif ?
%\enex


\bgex {\bf Test de dépistage} 

\noindent
On définit, pour un test de dépistage d'une maladie: 

\noindent\bgmp{\textwidth}
\bgit
\item sa {\sl sensibilité}: la probabilité qu'il soit positif
  si la personne est atteinte de la maladie (vrai positif).
\item sa {\sl spécificité}: la probabilité qu'il soit négatif
  si la personne est indemne de la maladie (vrai~négatif). 
\item sa valeur prédictive positive (ou valeur diagnostique): la probabilité que
  la personne soit réellement malade si son test est~positif. 
\item sa valeur prédictive négative: la probabilité que
  la personne n'ait pas la maladie si son test est négatif.
\enit\enmp\\[.3em]
Les deux premières sont des valeurs
caractérisant un test, du point de vue du concepteur (laboratoire). \\[.3em]
Les valeurs prédictives sont quant à elles des données intéressantes
du point de vue de l'usager (patient). 

%\vspd
%On se propose d'étudier la valeur diagnostique d'un test de dépistage
%d'une maladie en fonction de la proportion $f$ de malades au sein
%d'une population. 

Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes: 
\bgit
\item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est
  $0,98$ (sensiblité du test); 
\item la probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est
  $0,99$ (spécificité du test). 
\enit

On notera par la suite les événements 
$M$:"l'individu est malade" et 
$T$:"le test est positif". 

\bgen
\item On utilise ce test pour dépister une maladie qui touche 30\% de
  la population. 
\bgen[a)]
  \item Dresser un arbre pondéré décrivant la situation. 
  \item Calculer la probabilité de l'événement $T$. 
  \item Déterminer les valeurs prédictives positive et négative du
    test. 
\enen

\item On suppose maintenant que la proportion de malade est $f$. 
\bgen[a)]
\item Déterminer de même que précédemment les valeurs prédictives positive
  et négative que l'on notera respectivement $G(f)$ et $H(f)$.  
\item Etudier les fonctions $G$ et $H$ et tracer l'allure de leur
  courbe représentative.

\item Quel inconvénient majeur présente, dans une population, le
    dépistage d'une maladie rare ?
    %Que peut-on dire du dépistage d'une maladie rare dans une population ?
\enen
\enen
\enex


%\bgex {\bf Test de dépistage} 
%
%La valeur diagnostique d'un test de dépistage d'une maladie est la
%probabilité qu'un individu soit réellement malade si le test est
%positif. 
%
%\vsp
%On se propose d'étudier la valeur diagnostique d'un test de dépistage
%d'une maladie en fonction de la proportion $f$ de malades au sein
%d'une population. 
%
%Le fabricant du test fournit les caractéristiques suivantes: 
%\bgit
%\item la probabilité qu'un individu malade ait un test positif est
%  $0,99$; 
%\item la probabilité qu'un individu non malade ait un test négatif est
%  $0,99$. 
%\enit
%
%Pour un individu de cette population, on note $M$ l'événement 
%\og l'individu est malade\fg et $T$ l'événement 
%\og le test est positif\fg. 
%
%\bgen
%\item Dresser un arbre pondéré décrivant la situation. 
%\item 
%  \bgen[a)]
%  \item Calculer la probabilité de l'événement $T$. 
%  \item Calculer la probabilité d'un \og faux positif\fg, 
%    c'est-à-dire la probabilité qu'un individu qui a un test positif
%    ne soit pas malade. 
%  \item Exprimer la valeur diagnostique du test en fonction de $f$. 
%    
%    On notera $G(f)$ l'expression trouvée. 
%
%    Dresser le tableau de variation de la fonction $G$. 
%
%    \vsp
%    Quel inconvénient majeur présente, dans une population, le
%    dépistage d'une maladie rare ?
%  \enen
%\enen
%\enex


\bgex {\sl Type Bac} 

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties
successives. 
On admet que: 
\bgit
\item la probabilité qu'il gagne la première partie est $0,1$; 
\item s'il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est
  égale à $0,8$;
\item s'il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est
  égale à $0,6$.
\enit

On note, pour tout entier naturel $n$ non nul:
\bgit
\item $G_n$ l'événement \og le joueur gagne la n-ième partie\fg;
\item $p_n$ la probabilité de l'événement $G_n$. 
\enit

On a donc $p_1=0,1$. 

\bgen
\item Montrer que $p_2=0,62$. 
\item Le joueur a gagné la deuxième partie. 

  Calculer la probabilité qu'il ait perdu la première. 
\item Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie
  sur les trois premières parties. 
\item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$ non nul, 
  $p_n=\dfrac15 p_n+\dfrac35$.
\item Conjecturer à l'aide de la calculatrice la limite de la suite
  $(p_n)$. 
\item {\sl Dans cette question, toute trace de recherche, même
  incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en
  compte dans l'évaluation.} 

  Démontrer que, pour tout $n\geqslant 1$, 
  $p_n=\dfrac34-\dfrac{13}{4}\lp\dfrac15\rp^n$.
\item En déduire la limite de la suite $(p_n)$. 
\item Ecrire un algorithme permettant de déterminer la valeur du plus
  petit entier $n$ à partir duquel on a 
  $\dfrac34-p_n>10^{-7}$ ?
  \quad Déterminer aussi cet entier naturel $n$ par le calcul. 
\enen
\enex


\end{document}

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