Source Latex
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pdfauthor={Yoann Morel},
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probabilité, probabilités, loi binomiale,
loi à densité, loi continue, loi normale,
loi uniforme
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% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
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\vspt\noindent%
\ul{Démonstration:} #1%
\hfill$\square$%
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\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilités - Lois continues - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
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\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$
\bgex
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $I=[0;1]$ dont la loi
de probabilité a pour densité la fonction $f$ définie par
$f(x)=4x^3$.
\bgen
\item Vérifier que la fonction $f$ définie bien une loi de
probabilité.
\item Calculer la probabilité $P\lp 0,3\leqslant X\leqslant 0,6\rp$.
\enen
\enex
\bgex
$Y$ est une variable aléatoire à valeurs dans $[0;+\infty[$
dont la loi de probabilité a pour densité la fonction définie par
$f(x)=2e^{-2x}$.
\bgen
\item Vérifier que la fonction $f$ définie bien une loi de
probabilité.
\item Soit $n\in\N$, calculer $P\lp n\leqslant Y\leqslant n+1\rp$.
\item Soit $m\in\N$, déterminer la probabilité que $Y$ soit inférieure
à $m$.
\item Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels, $p\leqslant q$,
déterminer la probabilité
$P_{\lp Y\leqslant q\rp}\lp Y\leqslant p\rp$.
\enen
\enex
\bgex
Soit $Z$ la variable aléatoire à valeurs dans $[-10;10]$ dont la loi
de probabilité a pour densité la fonction définie par
$f(x)=\dfrac{3}{2000}x^2$.
\bgen
\item Vérifier que la fonction $f$ définie bien une loi de
probabilité.
\item Calculer l'espérance de la variale aléatoire $Z$.
\item Déterminer le nombre réel $a$ tel que
$P\lp -a\leqslant Z\leqslant a\rp=0,95$.
\enen
\enex
\bgex
$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
l'intervalle $I=[-2;2]$.
\bgen
\item Déterminer la fonction de densité de probabilité de $X$.
\item Calculer $P\lp X<1\rp$ et $P\lp X\geqslant 1,5\rp$.
\item Calculer $P_{\lp X>0\rp}\lp X<1\rp$.
\item Donner l'espérance de $X$.
\enen
\enex
\bgex
1. Résoudre dans $\R$ l'inéquation $9x^2-33x+10>0$.
\bgen[2.]
\item On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle $[0;2]$.
\bgen[a)]
\item Quelle est la probabilité que ce nombre soit solution de
l'inéquation $9x^2-33x+10>0$ ?
\item Quelle est la probabilité que ce nombre soit solution de
l'équation $9x^2-33x+10=0$.
\enen
\enen
\enex
\bgex
Je n'ai pas de monnaie pour payer le parking où ma voiture est
stationnée.
Les agents municipaux passent aléatoirement une fois par jour durant
les heures de stationnement payant de 9h à 19h.
Je compte laisser ma voiture là pendant 2h.
Quelle est la probabilité que je sois verbalisé ?
\enex
\bgex
$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
l'intervalle $[0;1]$.
\noindent\bgmp{9cm}
\bgen
\item Déterminer $E(X)$, et interpréter cette valeur par une phrase.
\item Quel est le rôle de l'algorithme ci-contre ?
\medskip
Quel résultat, approximativement, s'affichera en sortie de cet
algorithme ?
\medskip
Traduire cet algorithme dans un langage (calculatrice par exemple)
et le faire fonctionner.
\item Modifier cet algorithme pour qu'il calcule une valeur approchée
de la moyenne d'une fonction $f$ sur l'intervalle $[0;1]$.
\enen
% \vspace{2.2cm}
\enmp\hfill
\fbox{\bgmp{8.2cm}
{\bf Initialisation}\\
\hspace*{0.4cm} $S$ prend la valeur $0$ \\
\hspace*{0.4cm} $i$ prend la valeur $0$\\
{\bf Traitement}\\
\hspace*{0.4cm} Tant que $i<1000$ \\
\hspace*{1cm} $x$ prend une valeur aléatoire dans $[0;1[$\\
\hspace*{1cm} $S$ prend la valeur $S+x$\\
\hspace*{1cm} $i$ prend la valeur $i+1$\\
\hspace*{0.4cm} Fin Tant que \\
{\bf Sortie}\\
\hspace*{0.4cm} Afficher $S/1000$
\enmp
}
\enex
\bgex
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de
paramètre $\lbd=10$.
\bgen
\item Déterminer la probabilité $P\lp 0\leqslant X\leqslant 10\rp$.
\item Soit $a$ et $b$ deux réels, $a\leqslant b$, déterminer la
probabilité $P\lp a\leqslant X\leqslant b\rp$.
\item Déterminer la probabilité $P\lp X\geqslant 10\rp$.
\item
\bgen[a)]
\item Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que
la fonction $G$ définie par $G(x)=\lp \alpha x+\beta\rp e^{-10x}$ soit
une primitive de $g(x)=10xe^{-10x}$.
\item En déduire l'espérance de $X$.
\enen
\enen
\enex
\bgex {\sl Loi de durée de vie sans viellissement}
La durée de vie d'un produit est une variable aléatoire $T$ à valeurs
dans $[0;+\infty[$.
L'événement $\lp T\geqslant t\rp$ désigne l'événement:
"L'élément est encore en vie à l'instant $t$".
On suppose que $T$ suit une loi de probabilité exponentielle de
paramètre $\lbd$.
\vsp
On dit que $T$ suit une loi de durée de vie sans viellissement si la
probabilité que l'élément soit encore en vie à l'instant $t+h$ sachant
qu'il est en vie à l'instant $t$ ne dépend que de la durée $h$
(et donc pas de l'instant $t$).
\vspd
Montrer que $T$ suit une loi de durée de vie sans viellissement.
\vspd\noindent
{\sl \ul{Remarque:} Par exemple, lors de la désintégration radioactive, le
durée de vie d'un noyau est une loi sans viellissement.}
\enex
\bgex
La durée de vie de certaines ampoules peut-être modélisée par une loi
exponentielle.
Ces ampoules ont une durée de vie de 800 heures.
\bgen
\item Déterminer le paramètre de cette loi et donner la densité de
probabilité associée.
\item Calculer la probabilité qu'une ampoule choisie au hasard ait une
durée de vie supérieure à 1000 heures.
\item Sachant que l'ampoule à mon plafond fonctionne depuis déjà 1000
heures, quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore au moins
100 heures ?
\item Une ampoule provenant du même stock brille depuis déjà 10\,000
heures.
Quelle est la probabilité qu'elle continue de briller pendant encore
100 heures de plus ?
\enen
\enex
\bgex
Le temps d'attente à une caisse a été estimé statistiquement dans un
grand magasin.
En notant $Y$ la variable aléatoire, à valeurs dans $[0;+\infty[$,
égale au temps d'attente en minutes, d'un client à cette caisse, on
modélise la loi de probabilité
de $Y$ par une loi exponentielle.
\bgen
\item On a estimé que la probabilité qu'un client attende plus de 10
minutes à cette caisse est de~$0,13$.
Déterminer le paramètre de la loi exponentielle.
\item Déterminer la probabilité qu'un client attende moins de 10
minutes à cette caisse.
\item Déterminer le temps moyen d'attente à cette caisse.
\item J'attend déjà depuis 5 minutes à cette caisse.
Quelle est la probabilité que je passe à la caisse dans plus de 5
minutes ?
La caisse d'à côté m'a l'air bien plus rapide.
Quelle est la probabilité pour que je passe à la caisse d'à côté
dans plus de 5 minutes.
Ai-je intérêt à changer de file d'attente ?
(On suppose que les temps d'attente à toutes les caisses de ce
magasin sont modélisés par la même loi).
\enen
\enex
\bgex {\sl D'après Bac}
Dans un magasin, des composants, en apparence tous identiques, peuvent
présenter certains défauts.
On estime que la probabilité qu'un composant vendu dans ce magasin
soit défectueux est égale à 0,02.
\vsp
{\sl Les parties A et B sont indépendantes.}
\vspace{-0.4cm}
\paragraph{Partie A}
On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est
suffisamment important pour que l'achat de 50 composants soit assimilé
à 50 tirages indépendants avec remise.
On appelle $X$ le nombre de composants défectueux achetés.
J'achète 50 composants.
\bgen
\item Quelle est la probabilité qu'exactement deux des composants
achetés soient défectueux ?
Arrondir au dix-millième.
\item Quelle est la probabilité qu'au moins un des composants achetés
soit défectueux ?
Arrondir au dix-millième.
\item Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de
composants défectueux ?
\enen
\vspace{-0.2cm}
\paragraph{Partie B}
On suppose que la durée de vie $T_1$ (en heures) de chaque composant
défectueux suit la loi exponentielle de paramètre $\lbd_1=5.10^{-4}$.
On suppose aussi que la durée de vie $T_2$ (en heures) de chaque
composant non défectueux suit la loi exponentielle de paramètre
$\lbd_2=10^{-4}$.
\bgen
\item Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit
supérieur à 1000 heures
(on donnera la valeur exacte et arrondie au centième):
\bgen[a)]
\item si ce composant est défectueux;
\item si ce composant n'est pas défectueux.
\enen
\item Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant non
défectueux soit supérieure à 2000 heures sachant qu'il fonctionne
encore parfaitement après 1500 heures d'utilisation.
\item Soit $T$ la durée de vie (en heures) d'un composant acheté au
hasard.
Démontrer que la probabilité que ce composant soit en état de marche
après $t$ heures de fonctionnement est:
$P(T>t)=0,02 e^{-5.10^{-4}t}+0,98 e^{-10^{-4}t}$.
\item Sachant que le composant acheté est encore en état de
fonctionner 1000 heures après son installation,
quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ?
\enen
\enex
\bgex
On lance 10 fois de suite un dé bien équilibré à six faces.
On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où les
chiffres 2 ou 3 sont apparus.
\bgen
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ?
Préciser son espérance et son écart-type.
\item Compléter le tableau donnant la loi de probabilité de $X$ et
l'histogramme suivant:
\renewcommand{\arraystretch}{2.}
\begin{tabular}{|c|*{11}{p{0.9cm}|}}\hline
$k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline
$P\lp X=k\rp$ &&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
\psset{xunit=1cm,yunit=21cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-2,-0.01)(10,0.35)
%\psaxes[Dx=4,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(10,0.33)
\psline[linewidth=1.2pt,arrowsize=7pt]{->}(0,-0.02)(0,0.34)
\psline[linewidth=1.2pt,arrowsize=7pt]{->}(-0.2,0)(12,0)
%\psBinomial[linewidth=1.2pt]{10}{0.333}
\rput(-1.2,0.335){$P\lp X=k\rp$}
\rput(12,-0.02){$k$}
\psline(-0.1,0.1)(0.1,0.1)\rput(-0.5,0.1){$0,1$}
\psline(-0.1,0.2)(0.1,0.2)\rput(-0.5,0.2){$0,2$}
\psline(-0.1,0.3)(0.1,0.3)\rput(-0.5,0.3){$0,3$}
%
\multido{\i=0+1}{12}{
\psline(\i,0.01)(\i,-0.01)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,0.34)
}
\multido{\i=0+1}{11}{
\rput(\i,-0.02){\hspace*{1cm}$\i$}
}
\end{pspicture}
\enen
\enex
\end{document}
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