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Type: Cours
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Description
Cours de mathématiques: Probabilités continues
Niveau
Terminale
Table des matières
  • Loi à densité
  • Loi uniforme
  • Lois exponentielles
  • Lois normales
    • Loi normale centrée réduite
    • Lois normales
Mots clé
Probabilités, lois continues, probabilités continues, loi à densité, densité de probabilité, loi uniforme, loi exponentielle, loi normale, loi normale centrée réduite
Voir aussi:

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\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pst-func}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Cours de mathématiques: Probabilités continues},
    pdftitle={Probabilités - Lois continues },
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S, 
      probabilité, probabilités, loi binomiale, 
      loi à densité, loi continue, loi normale, 
      loi uniforme
    }
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1.cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

%\newenvironment{proof}{
%  \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak} 
\nwc{\bgproof}[1]{%
  \vspt\noindent%
  \ul{Démonstration:} #1%
  \hfill$\square$%
}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }


\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{nprop}
}

\nwc{\bgcorol}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}

\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilités - Lois continues}
\author{Y. Morel}
\date{}

\usepackage{fancyhdr}

\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
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\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE{} - $T^{\text{ale}}S$ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}


%% Environnement Prog...
\definecolor{grayp}{gray}{0.8}
\definecolor{graypc}{gray}{0.65}
\newlength{\hgn}\newlength{\hgnp}
\newlength{\hgng}
\newlength{\lgn}\newlength{\lgng}
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\newlength{\lgtq}\newlength{\lgtqg}
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\newlength{\phgn}\newlength{\phgnp}
\newlength{\phgng}
\newlength{\plgn}\newlength{\plgng}
\newlength{\phgtq}\newlength{\phgtqg}
\newlength{\plgtq}\newlength{\plgtqg}
\newlength{\plgcoin}\setlength{\plgcoin}{3ex}
\newlength{\plgshadow}\setlength{\plgshadow}{0.5ex}
\makeatletter
\def\Prog{\@ifnextchar[{\@with}{\@without}}
  % avec un argument optionnel: le titre: 
  \def\@with[#1]#2#3{%
  \par%\vspd%
  \bgmp{\linewidth}
  \hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
  \psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
    \emph{\textcolor{white}{\!\! #1}}} \\
  \vspace*{-0.5ex}\\
  \bgmp{#2}
  %\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
  \settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#2}#3\enmp}}
  \setlength{\plgn}{\linewidth}
  \setlength{\phgtq}{-\phgn}%\addtolength{\hgtq}{-3ex}
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  \setlength{\plgng}{\plgn}\addtolength{\plgng}{\lgshadow}
  \setlength{\plgtq}{\plgn}\addtolength{\plgtq}{-\lgcoin}
  \setlength{\plgtqg}{\plgtq}\addtolength{\plgtqg}{\lgshadow}
  \setlength{\phgnp}{\phgn}\addtolength{\phgnp}{\lgcoin}
  \setlength{\phgng}{\phgnp}\addtolength{\phgng}{\lgshadow}
  \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
  (\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
  \pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \par
  \bgmp{\linewidth}#3\enmp
  \enmp
  \enmp
  \vspd
  }
  % sans argument optionnel: le titre est alors "Programme Python"
  \def\@without#1#2{%
  \par%\vspd%
  \bgmp{\linewidth}
  \hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
  \psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
    \emph{\textcolor{white}{\!\!Programme Python}}} \\
  \vspace*{-0.5ex}\\
  \bgmp{#1}
  %\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
  \settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#1}#2\enmp}}
  \setlength{\plgn}{\linewidth}
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  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
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  \par
  \bgmp{\linewidth}#2\enmp
  \enmp
  \enmp
  \vspd
  }
\makeatother

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.5cm}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$

\section{Loi à densité}

\bgdef{
  Une variable aléatoire {\bf continue} $X$ est une fonction qui à
  chaque issue de l'univers $\Omega$ associe un nombre réel d'un
  intervalle $I$ de $\R$.
}

\vspq\noindent
\ul{Exemple: Loi de viellissement.}  
Pour une équipement produit en grande série, on peut définir la
variable aléatoire $X$ égale à la durée de vie (ou de bon
fonctionnement) d'un appareil pris au hasard. 

$X$ est une variable aléatoire {\bf continue}. 

\bgdef{
  Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle 
  $I=[a;b]$ telle que: 
  $\dsp\int_a^b f(t)\,dt=1$. 

  Dire que la variable aléatoire continue $X$ suit 
  {\bf la loi de probabilité $P$ de densité $f$} signifie que, 
  pour tout intervalle $J\subset I$, 
  la probabilité $P\lp X\in J\rp$ est égale à l'aire 
  du domaine 
  $\Bigl\{ M(x;y)\,; x\in J \text{ et } 0\leqslant y\leqslant f(x)\Bigr\}$.
}

\ct{\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(3,2.6)
  \psline{->}(-0.2,0)(3.2,0)
  \psline{->}(0,-0.1)(0,2.2)\rput(-0.15,-0.15){$O$}
  \pscustom{
    \psplot{1}{2}{1 x div}\gsave
    \psline(2,0)(1,0)
    \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
    \grestore }
  \psplot{0.6}{2.6}{1 x div}\rput(2.5,0.7){$\Cf$}
  \rput(0.6,-0.2){$a$}\psline[linestyle=dashed](0.6,1.666)(0.6,-0.05)
  \rput(2.6,-0.2){$b$}\psline[linestyle=dashed](2.6,0.4)(2.6,-0.05)
  \rput(1,-0.2){$c$}\psline[linestyle=dashed](1,1)(1,-0.05)
  \rput(2.,-0.2){$d$}\psline[linestyle=dashed](2,0.5)(2,-0.05)
  \rput(1.5,-0.6){$P\lp c\leqslant X\leqslant d\rp$}
\end{pspicture}\hspace{3cm}
\begin{pspicture}(-0.3,-0.3)(3,2.6)
  \psline{->}(-0.2,0)(3.2,0)
  \psline{->}(0,-0.1)(0,2.2)\rput(-0.15,-0.15){$O$}
  \pscustom{
    \psplot{0.6}{2.6}{1 x div}\gsave
    \psline(2.6,0)(0.6,0)
    \fill[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
    \grestore }
  \psplot{0.6}{2.6}{1 x div}\rput(2.5,0.7){$\Cf$}
  \rput(0.6,-0.2){$a$}\psline[linestyle=dashed](0.6,1.666)(0.6,-0.05)
  \rput(2.6,-0.2){$b$}\psline[linestyle=dashed](2.6,0.4)(2.6,-0.05)
  \rput(1.5,-0.6){$P\lp a\leqslant X\leqslant b\rp=1$}
\end{pspicture}
}

\vspt
\bgprop{
  \bgit
  \item[$\bullet$] Pour tout nombre réel $c\in I$, 
    $P\lp X=c\rp=0$
    \vspd
  \item[$\bullet$] D'après ce qui précède, 
    \[P\lp c\leqslant X\leqslant d\rp
    =P\lp c< X\leqslant d\rp
    =P\lp c\leqslant X< d\rp
    =P\lp c< X< d\rp
    \]
  \item[$\bullet$] D'après la définition de l'intégrale d'une fonction
    continue, on a donc 
    \[
    P\lp c\leqslant X\leqslant d\rp=\int_c^d f(t)\,dt
    \]
  \enit
}

\vspd\noindent
\ul{Remarques:} 

\bgen
\item Dans le cas où l'intervalle $I$ n'est pas borné, 
  par exemple $I=[a;+\infty[$, on adapte ce qui précède en utilisant 
  \[
  P\lp X\in I\rp
  =\int_a^{+\infty} f(t)\,dt
  =\lim_{x\to+\infty} \int_a^{x} f(t)\,dt
  \]

\item Les propriétés des probabilités discrètes s'étendent au cas continu: 

  \vspd
  \bgit
  \item[$\bullet$] Probabilité du complémentaire: 
    $P(X\notin J)=1-P(X\in J)$
    \vspd
  \item[$\bullet$] Probabilité conditionnelle: 
    $P_{\lp X\in J\rp}\lp X\in J'\rp
    =\dfrac{P\lp X\in J'\cap J\rp}{P\lp X\in J\rp}$
  \enit
\enen


\bgex
Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $I=[0;1]$ dont la loi
de probabilité a pour densité la fonction $f$ définie par 
$f(x)=4x^3$. 

\bgen
\item Vérifier que la fonction $f$ définie bien une loi de
  probabilité. 
\item Calculer la probabilité $P\lp 0,3\leqslant X\leqslant 0,6\rp$. 
\enen
\enex

\bgex
$Y$ est une variable aléatoire à valeurs dans $[0;+\infty[$ 
dont la loi de probabilité a pour densité la fonction définie par 
$f(x)=2e^{-2x}$. 

\bgen
\item Vérifier que la fonction $f$ définie bien une loi de
  probabilité. 
\item Soit $n\in\N$, calculer $P\lp n\leqslant Y\leqslant n+1\rp$. 
\item Soit $m\in\N$, déterminer la probabilité que $Y$ soit inférieure
  à $m$. 
\item Soit $p$ et $q$ deux entiers naturels, $p\leqslant q$, 
  déterminer la probabilité 
  $P_{\lp Y\leqslant q\rp}\lp Y\leqslant p\rp$.
\enen
\enex

\bgdef{
  L'espérance d'une variale aléatoire $X$ de densité $f$ sur $[a;b]$
  est le nombre réel 
  \[
  E(X)=\int_a^b t\,f(t)\,dt
  \]
}

\bgex
Soit $Z$ la variable aléatoire à valeurs dans $[-10;10]$ dont la loi
de probabilité a pour densité la fonction définie par 
$f(x)=\dfrac{3}{2000}x^2$. 

\bgen
\item Vérifier que la fonction $f$ définie bien une loi de
  probabilité. 
\item Calculer l'espérance de la variale aléatoire $Z$. 
\item Déterminer le nombre réel $a$ tel que 
  $P\lp -a\leqslant Z\leqslant a\rp=0,95$.
\enen
\enex


\section{Loi uniforme}

La loi uniforme est la loi de probabilité qui généralise la loi
équiprobable dans le cas discret. 

\bgdef{
  La loi {\bf uniforme} sur l'intervalle $[a;b]$, avec $a<b$, est la
  loi de probabilité dont la densité est une fonction constante sur
  $[a;b]$. 
}

\bgprop{
  La densité de probabilité de la loi uniforme sur $[a;b]$ est la
  fonction $f$ définie sur $[a;b]$ par 
  $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$. 
}

\bgproof{
  $f$ est une fonction constante sur $[a;b]$, donc définie par 
  $f(x)=\lbd$, $\lbd\in\R$. 

  Pour que $f$ définisse une loi de probabilité sur $[a;b]$, 
  on doit avoir 
  \[
  \int_a^b f(t)\,dt = 1 
  \iff
  \int_a^b \lbd\,dt = 1 
  \iff
  \lbd(b-a)=1
  \iff
  \lbd=\dfrac{1}{b-a}
  \]
}

\bgprop{
  L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme
  sur $[a;b]$ est 
  \[
  E(X)=\dfrac{a+b}{2}\ .
  \]
}

\bgproof{
  La densité de probabilité est définie par $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$, 
  et alors 
  \[\bgar{ll}
  E(X)
  &\dsp=\int_a^b t\,f(t)\,dt
  =\int_a^b t\,\dfrac{1}{b-a}\,dt
  =\dfrac{1}{b-a}\int_a^b t\,dt
  =\dfrac{1}{b-a}\Bigl[\, \dfrac12 t^2\,\Bigr]_a^b \\[0.5cm]
  &\dsp=\dfrac{1}{b-a}\lp \dfrac12 b^2-\dfrac12 a^2\rp
  =\dfrac12\dfrac{1}{b-a}\lp b-a)(b+a\rp
  =\dfrac{b+a}{2}
  \enar
  \]
}

\bgex
$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
l'intervalle $I=[-2;2]$. 

\bgen
\item Déterminer la fonction de densité de probabilité de $X$. 
\item Calculer $P\lp X<1\rp$ et $P\lp X\geqslant 1,5\rp$. 
\item Calculer $P_{\lp X>0\rp}\lp X<1\rp$.
\item Donner l'espérance de $X$.
\enen
\enex

\bgex
\bgen
\item Résoudre dans $\R$ l'inéquation 
  $9x^2-33x+10>0$. 
\item On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle $[0;2]$. 
  \bgen[a)]
  \item Quelle est la probabilité que ce nombre soit solution de
    l'inéquation $9x^2-33x+10>0$ ? 
  \item Quelle est la probabilité que ce nombre soit solution de
    l'équation $9x^2-33x+10=0$. 
  \enen
\enen
\enex

\bgex
Je n'ai pas de monnaie pour payer le parking où ma voiture est
stationnée. 

Les agents municipaux passent aléatoirement une fois par jour durant
les heures de stationnement payant de 9h à 19h. 

Je compte laisser ma voiture là pendant 2h. 
Quelle est la probabilité que je sois verbalisé ?

\vspt\noindent
\sl{\ul{Remarque:}}
\bgmp[t]{15.5cm}
On pourrait utiliser d'autres "profils" (plus précisément "densités") de
probabilités plus \sl{réalistes} 
(prenant en compte une éventuelle pause repas\dots): 

\psset{xunit=0.6cm,yunit=3.5cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(20,1.2)
  \psline{->}(-0.5,0)(22,0)
  \psline{->}(0,-0.2)(0,1.1)
  %
  \psline(9,-0.05)(9,0.05)
  \rput(9,-0.1){9h}
  \psline(10,-0.05)(10,0.05)
  \rput(10.2,-0.1){10h}
  \psline(12,-0.05)(12,0.05)
  \rput(12.2,-0.1){12h}
  \psline(14,-0.05)(14,0.05)
  \rput(14.2,-0.1){14h}
  \psline(18,-0.05)(18,0.05)
  \rput(17.7,-0.1){18h}
  \psline(19,-0.05)(19,0.05)
  \rput(19,-0.1){19h}
  % Loi uniforme
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](9,0)(9,0.5)
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.4pt](19,0)(19,0.5)
  \psline(9,0.5)(19,0.5)
  \rput(20,0.55){Densité uniforme}
  % Autre loi plus "réaliste"
  %\pscurve[showpoints=true](9,0)(9.1,0)(9.5,1)(9.7,0.8)
  \nwc\g[1]{2.718 
    #1 10.5 sub 2 exp 
    -0.3 div
    exp 0.03 add}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{9}{12}{\g{x}}
  \nwc\h[1]{2.718 
    #1 16 sub 2 exp 
    -0.8 div
    exp 
    0.8 mul 0.03 add}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{12}{19}{\h{x}}
\end{pspicture}
\enmp


\enex


\bgex
\bgen
\item $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur
  l'intervalle $[0;1]$. 
  
  Déterminer $E(X)$, et interpréter cette valeur par une phrase. 
\item Quel est le rôle de l'algorithme suivant ?

  \fbox{\bgmp[t]{10cm}
    {\bf Initialisation}\\
    \hspace*{0.4cm} $S$ prend la valeur $0$ \\
    \hspace*{0.4cm} $i$ prend la valeur $0$\\
    {\bf Traitement}\\
    \hspace*{0.4cm} Tant que $i<1000$ \\
    \hspace*{1cm} $x$ prend une valeur aléatoire dans $[0;1[$\\
    \hspace*{1cm} $S$ prend la valeur $S+x$\\
    \hspace*{1cm} $i$ prend la valeur $i+1$\\
    \hspace*{0.4cm} Fin Tant que \\
    {\bf Sortie}\\
    \hspace*{0.4cm} Afficher $S/1000$
    \enmp
  }

      \vspd
  Quel résultat, approximativement, s'affichera en sortie de cet
  algorithme ? 

  \vsp
  Traduire cet algorithme dans un langage (calculatrice par exemple)
  et le faire fonctionner. 
\enen
\enex


\section{Lois exponentielles}

\vspace{-0.7cm}

\bgdef{
  Soit un réel $\lbd>0$. 
  La loi exponentielle de paramètre $\lbd$ sur $[0;+\infty[$ est la
  loi de probabilité de densité définie par \mbox{$f(x)=\lbd e^{-\lbd x}$}. 
}

\bgex
Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de
paramètre $\lbd=10$. 

\bgen
\item Déterminer la probabilité $P\lp 0\leqslant X\leqslant 10\rp$. 
\item Soit $a$ et $b$ deux réels, $a\leqslant b$, déterminer la
  probabilité $P\lp a\leqslant X\leqslant b\rp$. 
\item Déterminer la probabilité $P\lp X\geqslant 10\rp$. 
\item 
  \bgen[a)]
  \item Déterminer deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que 
    la fonction $G$ définie par $G(x)=\lp \alpha x+\beta\rp e^{-10x}$ soit
    une primitive de $g(x)=10x\,e^{-10x}$. 
  \item En déduire l'espérance de $X$. 
  \enen
\enen
\enex

\vspace{-0.5cm}
\bgprop{
  L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi
  exponentielle de paramètre $\lbd$ est: 

  \vspace{-0.3cm}
  \[
  E(X)=\dfrac{1}{\lbd}\ .
  \]
}

\vspace{-0.6cm}
\bgproof{
  \[
  E(X)
  =\int_0^{+\infty} t\,f(t)\,dt
  =\lim_{x\to+\infty}\int_0^{x} t\,f(t)\,dt
  =\lim_{x\to+\infty}\int_0^{x} t\,\lbd e^{-\lbd t}\,dt
  \]
  Pour calculer l'intégrale, on cherche une primitive $G$ de 
  $g(t)=\lbd t e^{-\lbd t}$ sous la forme 
  $G(t)=\lp\alpha t+\beta\rp e^{-\lbd t}$. 

  \vsp\noindent
  $G$ est dérivable sur $[0;+\infty[$, avec 
  $\dsp 
  G'(t)
  =\alpha e^{-\lbd t}-\lbd\lp\alpha t+\beta\rp e^{-\lbd t}
  =\Bigl( -\lbd\alpha t + \lp \alpha-\lbd\beta\rp\Bigr) e^{-\lbd t}
  $. 

  \noindent
  \[\text{Ainsi, } \forall t\in[0;+\infty[, 
  \dsp
  G'(t)=g(t) 
  \iff \!\!
  \la\bgar{ll}
  -\lbd\alpha=\lbd \\
  \alpha-\lbd\beta=0
  \enar\right.
  \!\!\iff\!\!
  \la\bgar{ll}
  \alpha=-1 \\
  \beta=-\dfrac{1}{\lbd}
  \enar\right.
  \!\!\iff \!\!
  G(t)=\lp -t-\dfrac{1}{\lbd}\rp e^{-\lbd t}
  \]

  \noindent
  On a alors, 
  $\dsp
  E(X)
  =\int_0^{+\infty} g(t)\,dt
  =\lim_{x\to+\infty}\int_0^{x} g(t)\,dt
  =\lim_{x\to+\infty} \Bigl[\, G(t)\,\Bigr]_0^x
  =\lim_{x\to+\infty} \lp G(x)-G(0)\rp
  $.

  \noindent
  Or, $\dsp\lim_{x\to+\infty} -xe^{-\lbd x}=0$, 
  et 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty} e^{-\lbd x}=0$, 
  d'où, 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty} G(x)=0$, et donc, 
  $E(X)=-G(0)=\dfrac{1}{\lbd}$ .
}

\vspq\noindent
\ul{Exemple:} 
On admet que les phénomènes d'attente peuvent se modéliser par une loi
exponentielle. 

Un magasin annonce que le temps d'attente moyen en caisse est de 5
min. 

\bgen
\item Que vaut le paramètre de la loi exponentielle ?
\item Quelle est la probabilité, dans ce magasin, que j'attende à la
  caisse: 
  \bgen[a)] 
  \item moins de 5 min ? 
  \item entre 5 et 10 min ? 
  \item plus de 15 min ?
  \enen
\enen

\bgex {\sl Loi de durée de vie sans vieillissement}

La durée de vie d'un produit est une variable aléatoire $T$ à valeurs
dans $[0;+\infty[$. 

L'événement $\lp T\geqslant t\rp$ désigne l'événement: 
"L'élément est encore en vie à l'instant $t$". 

On suppose que $T$ suit une loi de probabilité exponentielle de
paramètre $\lbd$. 

\vsp
On dit que $T$ suit une loi de durée de vie sans viellissement si la
probabilité que l'élément soit encore en vie à l'instant $t+h$ sachant
qu'il est en vie à l'instant $t$ ne dépend que de la durée $h$ 
(et donc pas de l'instant $t$). 

\vspd
Montrer que $T$ suit  une loi de durée de vie sans viellissement.

\vspd\noindent
{\sl \ul{Remarque:} Par exemple, lors de la désintégration radioactive, le
  durée de vie d'un noyau est une loi sans viellissement.}
\enex


\bgex
La durée de vie de certaines ampoules peut-être modélisée par une loi
exponentielle. 
Ces ampoules ont une durée de vie de 800 heures. 

\bgen
\item Déterminer le paramètre de cette loi et donner la densité de
  probabilité associée. 
\item Calculer la probabilité qu'une ampoule choisie au hasard ait une
  durée de vie supérieure à 1000 heures. 
\item Sachant que l'ampoule à mon plafond fonctionne depuis déjà 1000
  heures, quelle est la probabilité qu'elle fonctionne encore au moins
  100 heures ? 
\item Une ampoule provenant du même stock brille depuis déjà 10\,000
  heures. 
  Quelle est la probabilité qu'elle continue de briller pendant encore
  100 heures de plus ? 
\enen
\enex


\bgex
Le temps d'attente à une caisse a été estimé statistiquement dans un
grand magasin. 

En notant $Y$ la variable aléatoire, à valeurs dans $[0;+\infty[$, 
égale au temps d'attente en minutes, d'un client à cette caisse, on
modélise la loi de probabilité 
de $Y$ par une loi exponentielle. 

\bgen
\item On a estimé que la probabilité qu'un client attende plus de 10
  minutes à cette caisse est de~$0,13$. 

  Déterminer le paramètre de la loi exponentielle. 

\item Déterminer la probabilité qu'un client attende moins de 10
  minutes à cette caisse. 

\item Déterminer le temps moyen d'attente à cette caisse. 

\item J'attend déjà depuis 5 minutes à cette caisse. 
  Quelle est la probabilité que je passe à la caisse dans plus de 5
  minutes ? 

  La caisse d'à côté m'a l'air bien plus rapide. 

  Quelle est la probabilité pour que je passe à la caisse d'à côté
  dans plus de 5 minutes. 
  Ai-je intérêt à changer de file d'attente ?
  
  (On suppose que les temps d'attente à toutes les caisses de ce
  magasin sont modélisés par la même loi). 
\enen
\enex



\bgex {\sl D'après Bac} 

Dans un magasin, des composants, en apparence tous identiques, peuvent
présenter certains défauts. 
On estime que la probabilité qu'un composant vendu dans ce magasin
soit défectueux est égale à 0,02. 

\vsp
{\sl Les parties A et B sont indépendantes.} 

\vspace{-0.2cm}
\paragraph{Partie A} 
On admet que le nombre de composants présentés dans le magasin est
suffisamment important pour que l'achat de 50 composants soit assimilé
à 50 tirages indépendants avec remise. 

On appelle $X$ le nombre de composants défectueux achetés. 

J'achète 50 composants. 
\bgen
\item Quelle est la probabilité qu'exactement deux des composants
  achetés soient défectueux ? 
  Arrondir au dix-millième. 
\item Quelle est la probabilité qu'au moins un des composants achetés
  soit défectueux ? 
  Arrondir au dix-millième. 
\item Quel est, par lot de 50 composants achetés, le nombre moyen de
  composants défectueux ?
\enen

\vspace{-0.2cm}
\paragraph{Partie B} 
On suppose que la durée de vie $T_1$ (en heures) de chaque composant
défectueux suit la loi exponentielle de paramètre $\lbd_1=5.10^{-4}$. 

On suppose aussi que la durée de vie $T_2$ (en heures) de chaque
composant non défectueux suit la loi exponentielle de paramètre 
$\lbd_2=10^{-4}$. 

\bgen
\item Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant soit
  supérieur à 1000 heures 
  (on donnera la valeur exacte et arrondie au centième): 
  \bgen[a)]
  \item si ce composant est défectueux; 
  \item si ce composant n'est pas défectueux. 
  \enen

\item Calculer la probabilité que la durée de vie d'un composant non
  défectueux soit supérieure à 2000 heures sachant qu'il fonctionne
  encore parfaitement après 1500 heures d'utilisation. 
\item Soit $T$ la durée de vie (en heures) d'un composant acheté au
  hasard. 

  Démontrer que la probabilité que ce composant soit en état de marche
  après $t$ heures de fonctionnement est: 
  $P(T>t)=0,02 e^{-5.10^{-4}t}+0,98 e^{-10^{-4}t}$.

\item Sachant que le composant acheté est encore en état de
  fonctionner 1000 heures après son installation, 
  quelle est la probabilité que ce composant soit défectueux ?
\enen
\enex



%\vspace{-0.4cm}

%\clearpage

\bgex
On lance 10 fois de suite un dé bien équilibré à six faces. 

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois où les
chiffres 2 ou 3 sont apparus. 

\bgen
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? 
  Déterminer son espérance et son écart-type. 
\item Compléter le tableau donnant la loi de probabilité de $X$ et
  l'histogramme suivant: 

  \renewcommand{\arraystretch}{2.}
  \begin{tabular}{|c|*{11}{p{0.9cm}|}}\hline
    $k$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\\hline
    $P\lp X=k\rp$ &&&&&&&&&&&\\\hline
  \end{tabular}

\psset{xunit=1cm,yunit=22cm,arrowsize=5pt}
\begin{pspicture}(-2,-0.03)(10,0.38)
  %\psaxes[Dx=4,Dy=0.05,dy=0.05\psyunit]{->}(0,0)(-1,0)(10,0.33)
  \psline[linewidth=1.2pt,arrowsize=7pt]{->}(0,-0.02)(0,0.34)
  \psline[linewidth=1.2pt,arrowsize=7pt]{->}(-0.2,0)(12,0)
  %\psBinomial[linewidth=1.5pt]{10}{0.333}
  \rput(-1,0.35){$P\lp X=k\rp$}
  \rput(12,-0.02){$k$}
  \psline(-0.1,0.1)(0.1,0.1)\rput(-0.5,0.1){$0,1$}
  \psline(-0.1,0.2)(0.1,0.2)\rput(-0.5,0.2){$0,2$}
  \psline(-0.1,0.3)(0.1,0.3)\rput(-0.5,0.3){$0,3$}
  %
  \multido{\i=0+1}{12}{
    \psline(\i,0.01)(\i,-0.01)
    \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](\i,0)(\i,0.34)
  }
  \multido{\i=0+1}{11}{
    \rput(\i,-0.02){\hspace*{1cm}$\i$}
  }
\end{pspicture}
\enen
\enex




\clearpage
\section{Lois normales}
\setcounter{nex}{0}

{\sl 
La loi normale 
(ou loi de Gauss, ou de Laplace, ou encore de Laplace-Gauss) 
 est une loi théorique: c'est une  idéalisation
mathématique qui ne se rencontre jamais exactement dans la nature 
(pas plus qu'un cercle...). 
Néanmoins, de nombreuses distributions réellement observées s'en
rapprochent de manière assez flagrante en présentant cette forme type
en "cloche". 

Un théorème très important en statistique et probabilité, le théorème
central limite (largement hors programme en terminale S), montre la
place prépondérante que cette loi occupe dans la modélisation de
phénomènes naturels.
}

\subsection{Loi normale centrée réduite}

\bgdef{
  Une variable aléatoire $X$ est dite 
  \bgit
  \item[$\bullet$] {\bf centrée} lorsque son espérance est nulle:
    $E(X)=0$.  
  \item[$\bullet$] {\bf réduite} lorsque son écart type est 1: 
    $\sigma(X)=1$.
  \enit
}

\bgdef{
  La loi normale centrée réduite, notée $\mathcal{N}(0;1)$, 
  est la loi de probabilité dont la densité est la fonction $f$ définie
  sur $\R$ par 
  \[
  f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{^{-\frac{x^2}{2}}}\ .
  \]
}

\bgprop{
  $f$ est continue et paire: sa courbe représentative est
  symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. 

  \bgmp{8cm}
  \psset{xunit=1.5cm,yunit=6cm,arrowsize=7pt}
  \begin{pspicture}(-3.5,-0.1)(3.5,0.5)
    \psline{->}(-3.3,0)(3.3,0)
    \psline{->}(0,-.05)(0,.52)
    %
    \nwc\f[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul exp 1 2 3.1415 mul 0.5 exp div mul}
    \psplot[linewidth=1.4pt]{-3}{3}{\f{x}}
    \rput(-0.9,0.35){$\Cf$}
  \end{pspicture}
  \enmp\hfill
  \bgmp{7.6cm}
  La courbe représentative de $f$ est dite 
  "courbe en cloche", ou "courbe gaussienne". 
  \enmp
}

\vspq\noindent
Si $X$ suit la loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$, 
sa fonction de répartition est définie par 

\noindent
\bgmp{11.5cm}
\[
\Pi(x)=P\lp X\leqslant x\rp=\int_{-\infty}^x f(t)\,dt
=\lim_{t\to-\infty} \int_t^x f(t)\,dt
\]

\noindent

On ne connaît pas de primitive de $f$, et donc on ne sait pas calculer
explicitiment l'intégrale de $f$. 

Les valeurs des probabilités $\Pi(x)$ sont calculées
par les calculatrices, tableurs, \dots \ et sont tabulées. 
\enmp\hfill
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-3.,-0.1)(3.5,0.6)
  \psline{->}(-3.3,0)(3.3,0)
  \psline{->}(0,-.1)(0,.55)
  %
  \nwc\f[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul exp 1 2 3.1415 mul 0.5 exp div mul}
  \pscustom{
    \psplot[linewidth=1.4pt]{-3}{0.5}{\f{x}}\gsave
    \psline(0.5,0)(-3,0)
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  \psline[linestyle=dashed](0.5,-0.02)(! 0.5 \space \f{0.5})
  \rput(0.5,-0.05){$x$}
  %
  \rput(1.35,0.15){$\Cf$}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3}{3}{\f{x}}
  %
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none]%
  (-0.74,0.12)(0.18,0.12)(0.18,0.2)(-0.74,0.2)
  \rput(-0.3,0.15){$\Pi(x)$}
\end{pspicture}
\enmp

\noindent
\bgmp{9.5cm}
Les valeurs de $\Pi(x)$ sont tabulées en général pour $x\geqslant 0$. 
Pour $x\leqslant 0$, on peut alors utiliser la relation: 
\[\Pi(-x)=1-\Pi(x)\ .\]
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=5cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.1)(3.5,0.6)
  \psline{->}(-3.3,0)(3.3,0)
  \psline{->}(0,-.1)(0,.55)
  %
  \nwc\f[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul exp 1 2 3.1415 mul 0.5 exp div mul}
  \pscustom{
    \psplot[linewidth=1.4pt]{-3}{-0.5}{\f{x}}\gsave
    \psline(-0.5,0)(-3,0)
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  \psline[linestyle=dashed](-0.5,-0.02)(! -0.5 \space \f{-0.5})
  \rput(-0.5,-0.05){$-x$}
  %
  \pscustom{
    \psplot[linewidth=1.4pt]{3}{0.5}{\f{x}}\gsave
    \psline(0.5,0)(3,0)
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }
  \psline[linestyle=dashed](0.5,-0.02)(! 0.5 \space \f{0.5})
  \rput(0.5,-0.05){$x$}
  %
  \rput(1.35,0.15){$\Cf$}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3}{3}{\f{x}}
  %
  %\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none]%
  %(-0.74,0.12)(0.18,0.12)(0.18,0.2)(-0.74,0.2)
  \psline{->}(-0.8,0.15)(-1,0.35)
  \psline{->}(0.8,0.15)(-0.9,0.35)
  \rput(-1.1,0.4){$\Pi(-x)$}
  \psline{->}(0.8,0.15)(1,0.3)
  \rput[l](0.8,0.35){$1-\Pi(x)$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgprop{
  Si $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée
  réduite $\mathcal{N}(0;1)$, on a donc, 
  \[
  P\lp X\leqslant 0\rp=P\lp X\geqslant 0\rp=0,5
  \]
  %Ainsi, pour $x\geqslant 0$, 
  %$\bgar[t]{llcl}
  %\dsp P\lp X\leqslant x\rp = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt 
  %&=&\dsp\int_{-\infty}^0 f(t)\,dt&\dsp+\int_0^x f(t)\,dt
  %\\[0.5cm]
  %&=&\dsp 0,5 &\dsp+\int_0^x f(t)\,dt
  %\enar
  %$.

  Pour tous $a\leqslant b$, \ \ 
  $P\lp a\leqslant X\leqslant b\rp=\Pi(b)-\Pi(a)$.
}

\vspt\noindent
\Prog[\!\!Casio: Graph 35$+$ et modèles supérieurs]{0.95\textwidth}{
  Menu \texttt{STAT}, puis \texttt{DIST}, 
  et enfin \texttt{NORM}\\
  \newline
  $\bullet$ Calcul de $P(a\leqslant X\leqslant b)$ $\to$ 
  \texttt{Ncd} {\sl (Normal, cumulative distribution)} \\
  avec pour valeurs: 
  \begin{tabular}[t]{ll}
  \texttt{Lower} &: a \\
  \texttt{Upper} &: b \\
  \texttt{$\sigma$} &: 1 \\
  \texttt{$\mu$} &: 0
  \end{tabular}\\
  puis \texttt{Calc (F1)} \dots\\
  \newline
  $\bullet$ Calcul de $P(X\leqslant b)$: \\
  on peut procéder de même, en entrant la borne inférieure 
  \texttt{Lower} : $-1${\scriptsize E}$+99$
}

\vspq
\vspt\noindent
\Prog[\!\!TI82 Stats et modèles supérieurs]{0.95\textwidth}{
  \texttt{2nd}$\to$\texttt{DISTR} \ (ou \texttt{distrib}) \\
  $\bullet$ Calcul de $P(a\leqslant X\leqslant b)$ $\to$ 
  \texttt{normalcdf} \ (ou \texttt{normalFrep})\\
  puis: 
  \texttt{normalcdf(a,b,0,1)}\\
  \newline
  $\bullet$ Calcul de $P(X\leqslant b)$ $\to$ 
  on procède de même en entrant la borne inférieure 
  $a=-1${\scriptsize E}$+99$: \\
  \texttt{normalcdf(a,b,0,1)}
}

\vspq
\bgex
Soit $X$ une v.a. suivant la loi $\mathcal{N}(0;1)$. 

Calculer, à l'aide de la table des valeurs de $\Pi$ et de la
calculatrice, les probabilités: 

\vspd  
\begin{tabular}{p{4.8cm}*2{p{5.8cm}}}
a)\ $p_1=P\lp X\leqslant 0,43\rp$ 
&
b)\ $p_2=P\lp X\leqslant 1,38\rp$ 
&
c)\ $p_3=P\lp 0,43\leqslant X\leqslant 1,38\rp$ 
\\[0.3cm]
d)\ $p_4=P\lp X\leqslant -0,96\rp$ 
&
e)\ $p_5=P\lp -1,1 \leqslant X\leqslant 2,57\rp$ 
&
f)\ $p_6=P\lp -1,5 \leqslant X\leqslant 1,5\rp$ 
\\[0.3cm]
g)\ $p_7=P\lp -1\leqslant X\leqslant 1\rp$
&
h)\ $p_8=P\lp -1,96\leqslant X\leqslant 1,96\rp$
&
i)\ $p_9=P\lp 0\leqslant X\leqslant 1,96\rp$
\end{tabular}
\enex


\vspt\noindent
\Prog[\!\!Casio: Graph 35$+$ et modèles supérieurs]{0.95\textwidth}{
  Menu \texttt{STAT}, puis \texttt{DIST}, 
  et enfin \texttt{NORM}\\
  \newline
  $\bullet$ Calcul de $a$ tel que $P(X\leqslant a)=p$ 
  $\to$ \texttt{InvN} \ {\sl (Inverse Normal)}\\
  avec pour valeurs: 
  \begin{tabular}[t]{ll}
  \texttt{Tail} &: Left \\
  \texttt{Area} &: p \\
  \texttt{$\sigma$} &: 1 \\
  \texttt{$\mu$} &: 0
  \end{tabular}\\
  puis \texttt{Calc (F1)} \dots
}

\vspq
\vspt\noindent
\Prog[\!\!TI82 Stats et modèles supérieurs]{0.95\textwidth}{
  \texttt{2nd}$\to$\texttt{DISTR} \ (ou \texttt{distrib}) \\
  $\bullet$ Calcul de $a$ tel que $P(X\leqslant a)=p$ 
  $\to$ \texttt{InvNorm} \ (ou \texttt{FracNormale})\\
  puis: 
  \texttt{invNorm(p,1,0)}
}

\vspd
\bgex
Soit $\alpha=0,05$ et $X$ une v.a. suivant la loi $\mathcal{N}(0;1)$. 

Déterminer le nombre $v_\alpha$ tel que: 
$P\lp X\leqslant v_\alpha\rp=1-\alpha$.
\enex


\bgth{
  \bgit
\item[$\bullet$] L'espérance d'une variable aléatoire $X$ suivant la
  loi normale centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$ est: 
  $E(X)=0$. 

  \item[$\bullet$] Sa variance est: $V(X)=1$ et donc son écart-type
    est: $\sigma(X)=\sqrt{V}=1$ (admis). 
  \enit
}

\bgproof{
  Pour tout $x$ réel, on a $f'(x)=-x\,f(x)$, et donc, 
  \[
  E(X)
  =\int_{-\infty}^{+\infty} t\,f(t)\,dt
  =\int_{-\infty}^{0} t\,f(t)\,dt+\int_{0}^{+\infty} t\,f(t)\,dt
  \]
  avec, 
  \[
  \int_{-\infty}^{0} t\,f(t)\,dt
  =\lim_{x\to-\infty} \int_x^0 t\,f(t)\,dt
  =\lim_{x\to-\infty} \int_x^0 -f'(t)\,dt
  =\lim_{x\to-\infty} \Bigl[ -f(t) \Bigr]_x^0
  =\lim_{x\to-\infty} \Bigl( -f(0)+f(x)\Bigr) 
  \]
  or, 
  $\dsp \lim_{x\to-\infty} f(x)=0$, 
  et donc, 
  $\dsp \int_{-\infty}^{0} t\,f(t)\,dt= -f(0)$. 

  \noindent
  De même, 
  $\dsp\int_0^{+\infty} t\,f(t)\,dt
  =f(0)$, 
  et donc, 
  $\dsp 
  E(X)=
  \int_{-\infty}^{0} t\,f(t)\,dt+\int_{0}^{+\infty} t\,f(t)\,dt
  =-f(0)+f(0)=0
  $.
}

\bgprop{
  Soit $T$ une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée
  réduite $\mathcal{N}(0;1)$, 
  alors, pour tout nombre réel $0<\alpha<1$, 
  il existe un unique nombre réel $u_\alpha>0$ tel que 
  \[
  P\lp -u_\alpha\leqslant T\leqslant u_\alpha\rp=1-\alpha\ .
  \]
}

\vspace{-1.6cm}
\bgproof{
  \bgmp[t]{10cm}
  Par symétrie de la densité de probabilité $f$ de la loi normale
  centrée réduite, 
  on a 
  \[\hspace{-1.8cm}\bgar{ll}
  P\lp-u\leqslant X\leqslant u\rp
  &\dsp=2\,P\lp 0\leqslant X\leqslant u\rp \\[0.4cm]
  &\dsp=2\int_0^u f(x)\,dx=2F(u)\ , 
  \enar\]
  \enmp\hfill
  \bgmp{5.5cm}
  \psset{xunit=1cm,yunit=5cm,arrowsize=7pt}
  \begin{pspicture}(-1.5,0.1)(3.5,0.9)
    \psline{->}(-3.3,0)(3.3,0)
    \psline{->}(0,-.1)(0,.55)
    %
    \nwc\f[1]{2.718 -1 #1 2 exp mul exp 1 2 3.1415 mul 0.5 exp div mul}
    \pscustom{
      \psplot[linewidth=1.4pt]{-0.7}{0.7}{\f{x}}\gsave
      \psline(0.7,0)(-0.7,0)
      \fill[fillstyle=vlines]
      \grestore }
    \psline[linestyle=dashed](-0.7,-0.02)(! -0.7 \space \f{-0.7})
    \rput(-0.7,-0.05){$-u$}
    \psline[linestyle=dashed](0.7,-0.02)(! 0.7 \space \f{0.7})
    \rput(0.7,-0.05){$-u$}
    %
    \rput(1.35,0.15){$\Cf$}
    \psplot[linewidth=1.4pt]{-3}{3}{\f{x}}
    %
    \rput[l](.3,0.5){$P\lp -u\leqslant X\leqslant u\rp$}
    \psline{->}(0.3,0.3)(.6,0.45)
  \end{pspicture}
  \enmp
  
  \noindent
  où $F$ est la primitive de $f$ sur $\R$ qui s'annule en $0$. 


  \vspd
  $F$ est continue (et même dérivable) et strictement croissante sur
  $[0;+\infty[$ 
  car $F'=f$ et $f>0$. 

  De plus, $\dsp\lim_{u\to+\infty} F(u)=\dfrac12$: il s'agit de la
  moitié de l'aire
  sous la courbe de $f$ qui est symétrique par rapport à l'axe des
  ordonnées et dont l'aire totale (de $-\infty$ à $+\infty$) vaut
  $1$. 

  On a donc le tableau de variation de la fonction $2F$: 
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
    $x$ & $0$ &\hspace*{1cm}& $+\infty$ \\\hline
    &&&1\\
    $2F$ && \psline{->}(-0.8,-0.3)(1,0.5)&\\
    &0&& \\\hline
  \end{tabular}
  \]

  \noindent
  \bgmp{12.5cm}
  Comme pour tout nombre $\alpha\in]0;1[$, le nombre
  $1-\alpha\in]0;1[$, 
  d'après le théorème des valeurs intermédiaires, 
  il existe un unique $u_\alpha\in]0;+\infty[$ tel que 
  $2F\lp u_\alpha\rp=1-\alpha$, 
  c'est-à-dire tel que \linebreak
  \mbox{$P\lp -u_\alpha\leqslant X\leqslant u_\alpha\rp=1-\alpha$}.
  \enmp\hfill
  \bgmp{6cm}
  \[
  \begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
    $x$ & $0$ &\hspace*{0.4cm}$u_\alpha$\hspace*{0.4cm}& $+\infty$ \\\hline
    &&&1\\
    $2F$ &&
    \psline{->}(-0.8,-0.3)(1,0.5)\rput(0.2,0.){$1\!-\!\alpha$}
    \psline[linestyle=dashed](0.,0.2)(0.,0.8)&\\
    &0&& \\\hline
  \end{tabular}
  \]
  \enmp
}

\bgex
Soit $X$ une v.a. qui suit la loi $\mathcal{N}(0;1)$. 

\noindent
Déterminer, à l'aide de la table de valeurs de $\Pi$ et de la
calculatrice, les valeurs de $u$ et $v$ telles que: 

\vspd
\qquad
a)\ $P\lp -u\leqslant X\leqslant u\rp=0,95$ 
\qquad\qquad
b)\ $P\lp -v\leqslant X\leqslant v\rp=0,99$ 
\enex


\bgprop{Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale
  centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$, alors: \vspd

  \bgit
  \item[$\bullet$] $u_{0,05}\simeq 1,96$: 
    $P\lp -1,96\leqslant X\leqslant 1,96\rp \simeq 1-5\%=95\%=0,95$

    \vspd
  \item[$\bullet$] $u_{0,01}\simeq 2,56$: 
    $P\lp -2,56\leqslant X\leqslant 2,56\rp \simeq 1-1\%=99\%=0,99$
  \enit
}

\vspace{0.8cm}\noindent
\ul{Rappel:} Soit $X$ une variable aléatoire discrète qui suit la loi
binomiale $\mathcal{B}(n;p)$, 
alors l'espérance de $X$ est $\mu=E(X)=np$ 
et son écart type $\sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{np(1-p)}$. 

La variable aléatoire $Y=X-\mu$ est alors centrée 
et $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ est centrée réduite. 


\bgth{{\bf Moivre-Laplace} 

  Soit, pour tout entier $n$, 
  $X_n$ une variable aléatoire qui suit la loi binomiale
  $\mathcal{B}(n;p)$.  

  Alors, $Y_n=\dfrac{X_n-\mu}{\sigma}=\dfrac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}$
  est une variable aléatoire centrée réduite et, lorsque $n$ tend vers
  $+\infty$,  
  \[
  P\lp a\leqslant Y_n\leqslant b\rp 
  \text{ tend vers } 
  \int_a^b \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{^{-\frac{x^2}{2}}}\,dx\ .
  \]
}

En pratique, on approche les probabilités de la loi binomiale par
celles de la loi normale lorsque $n\geqslant 30$ et 
$np\geqslant 5$ et $n(1-p)\geqslant 5$. 

\bgex
On lance 3600 fois un dé équilibré. 
On souhaite évaluer la probabilité que le nombre d'apparition du 6
soit compris strictement entre 575 et 650. 

On note $X$ la v.a. égale au nombre d'apparitions du 6 lors de ces
3600 lancers. 

\bgen
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier. 
\item Appliquer, en justifiant son utilisation, le théorème de
  Moivre-Laplace à la v.a. $X$. 
\item En déduire une valeur approchée de la probabilité recherchée.
\enen
\enex

\subsection{Lois normales}

\bgdef{
  Une variale aléatoire $X$ suit la loi normale
  $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$ si et seulement si 
  la variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ suit la loi normale
  centrée réduite $\mathcal{N}(0;1)$.
}

\bgprop{
  Si $X$ suit une loi normale $\mathcal{N}(m;\sigma^2)$ alors
  \[
  E(X)=m \qquad V(X)=\sigma^2 \qquad \sigma(X)=\sigma 
  \] 
}

%\hspace{-1cm}
\bgmp[b]{9cm}
\bgit
\item[$\bullet$] $\sim 68\%$ des valeurs sont dans 
  $[m-\sigma\,;\,m+\sigma]$ 
  
  \medskip
  soit aussi $P(m-\sigma\leqslant X\leqslant m+\sigma)\simeq 0,68$ 
  \vspd
\item[$\bullet$] $\sim 95\%$ des valeurs sont dans 
  $[m-2\sigma\,;\,m+2\sigma]$ 

  \medskip
  soit aussi $P(m-2\sigma\leqslant X\leqslant m+2\sigma)\simeq 0,95$ 
  \vspd
\item[$\bullet$] $\sim 99,7\%$ des valeurs sont dans 
  $[m-3\sigma\,;\,m+3\sigma]$ 

  \medskip
  soit aussi $P(m-3\sigma\leqslant X\leqslant m+3\sigma)\simeq 0,997$ 
\enit
\enmp
\bgmp[m]{10cm}
\psset{xunit=1.3cm,yunit=10cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.2)(5,0.4)
  \pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!40]
  {
  \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-1}{1}
  \psline(1,0)(-1,0)
  }
  \rput(1,-0.04){$\sigma$}\psline(1,-0.01)(1,0.01)
  \rput(2,-0.04){$2\sigma$}\psline(2,-0.01)(2,0.01)
  \rput(3,-0.04){$3\sigma$}\psline(3,-0.01)(3,0.01)
  \rput(-1,-0.04){$-\sigma$}\psline(-1,-0.01)(-1,0.01)
  \rput(-2,-0.04){$-2\sigma$}\psline(-2,-0.01)(-2,0.01)
  \rput(-3,-0.04){$-3\sigma$}\psline(-3,-0.01)(-3,0.01)

  %\uput{0}[0]{90}(0.5,0.2){$P(0<X<\sigma)\simeq 34,1\%$}
  \rput(0.5,0.15){$34,1\%$}\rput(-0.5,0.15){$34,1\%$}

  \pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
  {
  \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-2}{-1}
  \psline(-1,0)(-2,0)
  }
  \pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!30]
  {
  \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{2}{1}
  \psline(1,0)(2,0)
  }
  \rput(-1.45,0.04){$14\%$}\rput(1.45,0.04){$14\%$}

  \pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!20]
  {
  \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-3}{-2}
  \psline(-2,0)(-3,0)
  }
  \pscustom[linestyle=none,fillstyle=solid,fillcolor=red!20]
  {
  \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{3}{2}
  \psline(2,0)(3,0)
  }
  \rput(-2.22,0.012){\scriptsize$2\%$}\rput(2.22,0.012){\scriptsize$2\%$}

  \rput(-3.8,0.011){\scriptsize$0,1\%$}\rput(3.8,0.011){\scriptsize$0,1\%$}
  
  \psaxes[Dx=10,Dy=10.5,dy=10.5](0,0)(-5,0)(5,0.45)
  \rput(0,-0.04){$m$}
  \psGauss[linecolor=red,linewidth=1.5pt,mue=0,sigma=1]{-5}{5}
\end{pspicture}
\enmp

\vspace{-2em}

\noindent
{\sl\ul{Remarque:} cela signifie aussi que la probabilité d'obtenir
  une valeur de $X$ distante de plus de $\sigma$ de la moyenne $\mu$
  est d'environ 32\%, soit environ $1/3$, la probabilité d'obtenir
  une valeur de $X$ distante de plus de $2\sigma$ de la moyenne $\mu$
  est d'environ 5\%, et celle d'obtenir
  une valeur de $X$ distante de plus de $3\sigma$ de la moyenne $\mu$
  est presque nulle (inférieure à $0,3\%$).
}

\vspt\noindent
\ul{Exemple:} Les machines d'une usine produisent des éléments dont la
masse affichée est de 200g. 

En réalité, ces machines ne produisent pas exactement des éléments
pesant 200g, mais avec une certaine imprécision (ou incertitude). 

Une étude statistique (ou physique sur la précision des machines)
montre que, 
si $X$ désigne la variable aléatoire (continue) égale à la masse d'un
élément à la sortie de l'usine, 
alors $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(200;16)$. 

\vsp
La masse moyenne des objets produits est de $\mu=200$g, mais avec un écart
type $\sigma=\sqrt{16}=4$g.

Cela signifie, entre autre, que 
\bgit
\item[$\bullet$] $\sim 68\%$ des éléments pèsent entre 
  $\mu-\sigma=196$g et  $\mu+\sigma=204$g;  

  {\sl (et il y a donc une probabilité d'environ 32\%, soit environ 1
    chance sur 3, pour qu'un élément pris au hasard 
    pèse moins de 196g ou plus de 204g \dots)}
  \vspd
\item[$\bullet$] $\sim 95\%$ des éléments pèsent entre 
  $\mu-2\sigma=192$g et  $\mu+2\sigma=208$g;  

  \vspd
\item[$\bullet$] $\sim 99,7\%$ des éléments pèsent entre 
  $\mu-3\sigma=188$g et  $\mu+3\sigma=212$g. 
\enit

\vspd
La valeur moyenne est la valeur affiché (sur l'emballage du produit
par exemple, l'écart-type est bien souvent très difficile à trouver\dots)

\bgex
Soit $X$ une v.a. suivant la loi $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$ 
avec $\mu=80$ et $\sigma=5$. 

Calculer les porbabilités 
$P\lp X\leqslant 84\rp$,  
$P\lp X\leqslant 76\rp$ 
et 
$P\lp 75\leqslant X\leqslant 85\rp$ 
à l'aide de la calculatrice, 
puis à l'aide de la table des valeurs de $\Pi(x)$. 
\enex

\bgex
Une usine de composants électroniques fabrique des résistances. 
En mesurant un grand échantillon de ces composants, on constate que la
résistance nominale, exprimée en ohms, de chaque composant tiré au
hasard est une variable aléatoire $X$ de loi normale 
$\mathcal{N}(1000;100)$. 

Pour cet exercice, on utilisera uniquement les trois résultats
suivants pour une variable $U$ suivant la loi $\mathcal{N}(0;1)$: 
$P\lp -1,96\leqslant U\leqslant 1,96\rp=0,95$, 
$P\lp -1,64\leqslant U\leqslant 1,64\rp=0,9$, 
$P\lp U\leqslant 1\rp=0,84$. 

\vspd
{\bf Vrai ou Faux ?} 
\bgen
\item La probabilité que la résistance d'un composant tiré au hasard
  soit comprise entre 980\,$\Omega$ et 1020\,$\Omega$ est supérieure à
  0,95. 
\item La probabilité que la résistance d'un composant soit comprise
  entre 991\,$\Omega$ et 1009\,$\Omega$ est supérieure à 0,9. 
\item La probabilité que la résistance d'un composant soit supérieure
  à 983,6\,$\Omega$ est supérieure à 0,97.
\item La probabilité que la résistance d'un composant soit comprise
  entre 990\,$\Omega$ et 1010\,$\Omega$ est égale à 0,84. 
\item La probabilité que la résistance d'un composant soit comprise
  entre 983,6\,$\Omega$ et 1019,6\,$\Omega$ est égale à 0,925. 
\enen
\enex

\bgex
Soit $X$ une v.a. suivant la loi $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$. 
On sait de plus que l'écart-type de $X$ vaut $0,1$ 
et que $P\lp X\leqslant 0\rp=0,5478$. 
Quelle est l'espérance de $X$ ?
\enex

\bgex
La durée de vie d'une clé USB, exprimée en mois, est modélisée par une
variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et d'écart-type
inconnus. 
Selon le fabricant, 75\,\% des clés produites ont une durée de vie
comprise entre 15 et 25 mois. 
La garantie s'applique sur cette période en considérant que 5\,\% des
clés de la production ont une durée de vie inférieure à 15 mois. 

\bgen
\item Déterminer la moyenne et l'écart-type de la loi. 
\item Quelle est la probabilité d'avoir un appareil dont la durée de
  vie soit comprise entre 25 et 30 mois ?
\enen
\enex

%\section{Exercices} 




\label{LastPage}
\end{document}

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