Source Latex
\documentclass[12pt]{article}
%\usepackage{french}
\usepackage{amsfonts}\usepackage{amssymb}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{pst-all}
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Exercices de mathématiques: Lois normales},
pdftitle={Lois normales - Exercices },
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S,
probabilité, probabilités, loi binomiale,
loi à densité, loi continue, loi normale,
loi uniforme, exercices
}
}
\hypersetup{
colorlinks = true,
linkcolor = red,
anchorcolor = red,
citecolor = blue,
filecolor = red,
urlcolor = red
}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
%\newenvironment{proof}{
% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{%
\vspt\noindent%
\ul{Démonstration:} #1%
\hfill$\square$%
}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=19cm
\oddsidemargin=-1.5cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Lois normales - Exercices}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\text{\scriptsize{ale}}}S$
\bgex
Soit $X$ une v.a. suivant la loi $\mathcal{N}(0;1)$.
Calculer, à l'aide de la table des valeurs de $\Pi$ et de la
calculatrice, les probabilités:
\vspd
\begin{tabular}{p{4.8cm}*2{p{5.8cm}}}
a)\ $p_1=P\lp X\leqslant 0,43\rp$
&
b)\ $p_2=P\lp X\leqslant 1,38\rp$
&
c)\ $p_3=P\lp 0,43\leqslant X\leqslant 1,38\rp$
\\[0.3cm]
d)\ $p_4=P\lp X\leqslant -0,96\rp$
&
e)\ $p_5=P\lp -1,1 \leqslant X\leqslant 2,57\rp$
&
f)\ $p_6=P\lp -1,5 \leqslant X\leqslant 1,5\rp$
\\[0.3cm]
g)\ $p_7=P\lp -1\leqslant X\leqslant 1\rp$
&
h)\ $p_8=P\lp -1,96\leqslant X\leqslant 1,96\rp$
&
i)\ $p_89P\lp 0\leqslant X\leqslant 1,96\rp$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Soit $\alpha=0,05$ et $X$ une v.a. suivant la loi $\mathcal{N}(0;1)$.
Déterminer le nombre $v_\alpha$ telle que:
$P\lp X\leqslant v_\alpha\rp=1-\alpha$.
\enex
\bgex
Soit $X$ une v.a. qui suit la loi $\mathcal{N}(0;1)$.
\noindent
Déterminer, à l'aide de la table de valeurs de $\Pi$ et de la
calculatrice, les valeurs de $u$ et $v$ telles que:
\vspd
\qquad
a)\ $P\lp -u\leqslant X\leqslant u\rp=0,95$
\qquad\qquad
b)\ $P\lp -u\leqslant X\leqslant u\rp=0,99$
\enex
\bgex
On lance 3600 fois un dé équilibré.
On souhaite évaluer la probabilité que le nombre d'apparition du 6
soit compris strictement entre 575 et 650.
On note $X$ la v.a. égale au nombre d'apparitions du 6 lors de ces
3600 lancers.
\bgen
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$ ? Justifier.
\item Appliquer, en justifiant son utilisation, le théorème de
Moivre-Laplace à la v.a. $X$.
\item En déduire une valeur approchée de la probabilité recherchée.
\enen
\enex
\bgex
Soit $X$ une v.a. suivant la loi $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$
avec $\mu=80$ et $\sigma=5$.
Calculer les porbabilités
$P\lp X\leqslant 84\rp$,
$P\lp X\leqslant 76\rp$
et
$P\lp 75\leqslant X\leqslant 85\rp$
à l'aide de la calculatrice,
puis à l'aide de la table des valeurs de $\Pi(x)$.
\enex
\bgex
Une usine de composants électroniques fabrique des résistances.
En mesurant un grand échantillon de ces composants, on constate que la
résistance nominale, exprimée en ohms, de chaque composant tiré au
hasard est une variable aléatoire $X$ de loi normale
$\mathcal{N}(1000;100)$.
Pour cet exercice, on utilisera uniquement les trois résultats
suivants pour une variable $U$ suivant la loi $\mathcal{N}(0;1)$:
$P\lp -1,96\leqslant U\leqslant 1,96\rp=0,95$,
$P\lp -1,64\leqslant U\leqslant 1,64\rp=0,9$,
$P\lp U\leqslant 1\rp=0,84$.
\vspd
{\bf Vrai ou Faux ?}
\bgen
\item La probabilité que la résistance d'un composant tiré au hasard
soit comprise entre 980\,$\Omega$ et 1020\,$\Omega$ est supérieure à
0,95.
\item La probabilité que la résistance d'un composant soit comprise
entre 991\,$\Omega$ et 1009\,$\Omega$ est supérieure à~0,9.
\item La probabilité que la résistance d'un composant soit supérieure
à 983,6\,$\Omega$ est supérieure à~0,97.
\item La probabilité que la résistance d'un composant soit comprise
entre 990\,$\Omega$ et 1010\,$\Omega$ est égale à~0,84.
\item La probabilité que la résistance d'un composant soit comprise
entre 983,6\,$\Omega$ et 1019,6\,$\Omega$ est égale à~0,925.
\enen
\enex
\bgex
Soit $X$ une v.a. suivant la loi $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$.
On sait de plus que l'écart-type de $X$ vaut $0,1$
et que $P\lp X\leqslant 0\rp=0,5478$.
Quelle est l'espérance de $X$ ?
\enex
\bgex
La durée de vie d'une clé USB, exprimée en mois, est modélisée par une
variable aléatoire suivant une loi normale de moyenne et d'écart-type
inconnus.
Selon le fabricant, 75\,\% des clés produites ont une durée de vie
comprise entre 15 et 25 mois.
La garantie s'applique sur cette période en considérant que 5\,\% des
clés de la production ont une durée de vie inférieure à 15 mois.
\bgen
\item Déterminer la moyenne et l'écart-type de la loi.
\item Quelle est la probabilité d'avoir un appareil dont la durée de
vie soit comprise entre 25 et 30 mois ?
\enen
\enex
%\section{Exercices}
\end{document}
Télécharger le fichier source 
