Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
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probabilit�s}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it=}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\newcommand{\Cnp}[2]{\mbox{$\left(\begin{array}{c} #1\\ #2\end{array}\right)$}}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\nwc{\scp}[1]{\scriptstyle#1}
\nwc{\scpp}[1]{\scriptscriptstyle#1}
\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=27.cm
\topmargin=-1.8cm
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\oddsidemargin=-1.6cm
\voffset=-2.6cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
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\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
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\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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\stepcounter{ntheo}
}
\nwc{\defstitle}{D�finitions}
\newlength{\ldefs}\settowidth{\ldefs}{\defstitle:}
\nwc{\bgdefs}[1]{\paragraph{\ul{\defstitle:}}
\begin{minipage}[t]{\textwidth-\ldefs-2em}{\it #1}
\end{minipage}
}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilit�s}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage}%/\pageref{LastPage}}
\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{0.2cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.4cm}
\vsp
\emph{"Les questions les plus importantes de la vie ne sont pour la
plupart que des probl�mes de probabilit�."}
\hspace*{\fill}{\small{Pierre Simon de Laplace (1749-1827)}}
%\tableofcontents
\vspace{-0.5cm}
\section{Vocabulaire des probabilit�s}
\bgdefs{
\bgit
\item[$\bullet$] Une {\bf exp�rience} est dite {\bf al�atoire}
lorsqu'elle a plusieurs issues (ou r�sultats) possibles et que
l'on ne peut ni pr�voir, ni calculer laquelle de ces issues sera
r�alis�e.
\item[$\bullet$] On appelle univers, not� en g�n�ral $\Omega$,
l'ensemble des issues ou r�sultats possibles d'une exp�rience
al�atoire.
\item[$\bullet$] Un {\bf �v�nement} est une partie de l'univers,
c'est-�-dire un ensemble de r�sultats possibles.
\item[$\bullet$] Un {\bf �v�nement �l�mentaire} est un �v�nement qui ne
contient qu'un seul �l�ment.
\enit
}
\vspq
\noindent
\bgmp[t]{11cm}
\bgex On lance un d� � six faces et on s'int�resse au
nombre obtenu sur la face sup�rieure.
Les r�sultats possibles sont les nombres 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
L'univers est l'ensemble des six r�sultats:
$\Omega=\la 1, 2, 3, 4, 5, 6\ra$.
``Obtenir un 6'', ``Obtenir un nombre pair'', et ``Obtenir un nombre
sup�rieur ou �gal � 4'' sont des �v�nements qui peuvent s'�crire
$E_1=\{6\}$, $E_2=\{2,4,6\}$ et $E_3=\{4,5,6\}$.
$E_1$ est de plus un �v�nement �l�mentaire.
\enex
\enmp\hspace{0.15cm}\psline(0,0)(0,-4.5)\hspace{0.15cm}
\bgmp[t]{\textwidth-11.3cm}
\bgex On tire une carte ``au hasard'' dans un jeu de 32
cartes.
L'univers est constitu� de 32 �v�nements �l�mentaires.
\vspd
L'�v�nement: E=``Tirer un roi'' est-il un �v�nement �l�mentaire ?
\enex
\enmp
\bgdefs{
\bgit
\item[$\bullet$] On appelle {\bf �v�nement contraire} de l'�v�nement A,
l'�v�nement not� $\overline{A}$ contenant tous les �l�ments de
l'univers $\Omega$ ne se trouvant pas dans A.
\item[$\bullet$] On appelle {\bf r�union} de A et B, l'�v�nement not�
$A\cup B$ contenant tous les �l�ments de A et tous ceux de B.
\item[$\bullet$] On appelle {\bf intersection} de A et B, l'�v�nement not�
$A\cap B$ contenant les �l�ments qui appartiennent � la fois � A
et � B.
\item[$\bullet$] Deux �v�nements sont dits {\bf incompatibles} lorsque
leur intersection est vide, c'est-�-dire lorsqu'ils ne peuvent �tre
r�alis�s simultan�ment.
\enit
}
\vspq
\noindent
\bgmp[t]{11cm}
\bgex On lance un d� � six faces.
Soit A l'�v�nement: "Obtenir un nombre impair", c'est-�-dire $A=\la 1,3,5\ra$, alors son �v�nement
contraire est $\overline{A}=\dots$ %\la 2,4,6\ra$.
\vsp
Soit E l'�v�nement "Obtenir un 3 ou un 5", soit $E=\la
3,5\ra$, alors
\vsp
$\overline{E}= \dots$ \hfill
$A\cup E = \dots $ \hfill
$A\cap E = \dots $ \hfill
\enex
\enmp\hspace{0.15cm}\psline(0,0)(0,-4)\hspace{0.15cm}
\bgmp[t]{\textwidth-11.3cm}
\bgex On tire une carte d'un jeu de 32 cartes et on consid�re les
�v�nements:
A=''tirer un c\oe ur'', B=''tirer un dix'' et
C=''tirer une figure''.
\vsp
D�crire les �v�nements:
\ct{$\overline{A}$ ,
$A\cup B$ ,
$A\cap B$ ,
$B\cap C$.}
\enex
\enmp
\vspq
\bgex J'ach�te trois billets de tombola.
\bgit
\item[1.] Quel est le contraire de l'�v�nement
{\it "tous mes billets sont gagnants"} ? \vspd
\item[2.] Quel est le contraire de l'�v�nement
{\it "j'ai exactement un billet gagnant"} ?
\enit
\enex
\section{Probabilit� d'un �v�nement}
\subsection{D�finitions}
\vspace{-0.5cm}
\bgdef{
La {\bf probabilit� d'un �v�nement} est un nombre qui mesure les
``chances'' que cet �v�nement a de se produire sur une �chelle de 0
(�v�nement impossible) � 1 (�v�nement certain).
{\bf Une probabilit� est un nombre compris entre 0 et 1.}
}
\bgdef{
Soit $\Omega=\la e_1;e_2;\dots;e_n\ra$ l'univers des possibilit�s
d'une �preuve al�atoire, o� chaque $e_i$ d�signe une issue (ou
�v�nement �l�mentaire).
\vspd
D�finir une {\bf loi de probabilit�} sur l'univers $\Omega$ c'est
associer � chaque issue $e_i$ un nombre r�el $p_i$ tel que :
\ \ $0\leq p_i\leq 1$\ et\ \
$\dsp\sum_{i=1}^np_i=p_1+p_2+\dots+p_n=1$.
}
\bgprop{{\bf Loi des grands nombres}
Pour une exp�rience donn�e, dans le
mod�le d�fini par une loi de probabilit� P, les distributions des
fr�quences obtenues sur des s�ries de taille n tendent vers P
quand $n$ tend vers l'infini.
}
\vspq\noindent
\bgmp[t]{11.5cm}
{\bf Exemple}
Sur $n=10$ exp�riences de lancer d'un d� non pip�, on a obtenu
3 fois le chiffre 6,
sur n=100 exp�riences , on l'a obtenu 18 fois,\,\dots
Lorsqu'on augmente le nombre $n$ d'exp�riences r�alis�es, la fr�quence
d'apparition du chiffre 6 tend vers la probabilit� qui est de
$\dsp p=\frac{1}{6}\simeq 1,666$:
\ \ \ul{$\dsp\lim_{n\to+\infty} f_n=p$}.
\enmp\hspace{0.3cm}
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|}\hline
$n$ & nombre de $6$ & fr�quence $f_n$ \\\hline
$10$ & $3$ & $0,3$ \\\hline
$100$ & $18$ & $0,18$ \\\hline
$1000$ & $169$ & $0,169$ \\\hline
$10\,000$ & $1661$ & $0,1661$ \\\hline
\end{tabular}
\subsection{Calcul de probabilit�}
\bgdef{
On dit qu'il y a {\bf �quiprobabilit�}, ou encore que la loi de
probabilit� est �quir�partie, si tous les �v�nements �l�mentaires
ont la m�me probabilit�:
$\dsp p_1=p_2=\dots=p_n=\frac{1}{n}$
}
\bgprop{
La probabilit� d'un �v�nement A est la somme des probabilit�s des
�v�nements �l�mentaires composant A.
}
\bgcorol{
Sous l'hypoth�se d'�quiprobabilit�, la probabilit� d'un �v�nement A
est :
\vspd
\ct{\framebox{$\dsp P(A)=\frac{\mbox{card}\ A}{\mbox{card}\ \Omega}
=\frac{\mbox{nombre de cas favorables}}{\mbox{nombre de cas possibles}}$}}
}
\vspd
\bgex Dans l'exp�rience de lancer de d�, on consid�re
l'�v�nement A="obtenir un nombre pair".
Alors $A=\la 2,4,6\ra$ et A est constitu� des trois �v�nements �l�mentaires
$\la 2\ra$, $\la 4\ra$ et $\la 6\ra$.
\vsp
La probabilit� de A est donc :
$\dsp P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$
\enex
\subsection{Combinaisons}
\bgex
De combien de fa�ons diff�rentes peut-on ordonner les nombres entiers
de 1 � 3 ?
Les nombres entiers de 1 � 4 ? De 1 � $n$ ?
\enex
\bgdef{Soit $n$ un entier naturel.
On appelle {\bf factorielle} $n$, not� $n!$, le nombre:\ \
\[n!=n\tm(n-1)\tm(n-2)\tm \dots \tm 2\tm 1\,.\]
\vspace{-0.2cm}
Par convention, $0!=1$.
}
\vspt\noindent
\ul{Exemple:} $4!=4\tm3\tm2\tm1=24$.
%\vspace{-0.2cm}
\bgprop{
Il y a $n!$ fa�ons diff�rentes d'ordonner $n$ �l�ments.
}
\vspd
\bgproof{
Il y a $n$ fa�ons de choisir le premier �l�ments, puis
$(n-1)$ fa�ons de choisir le deuxi�me, \dots,
soit au total, $n!=n\tm(n-1)\tm\dots\tm2\tm1$ fa�ons.
}
\bgprop{
Soit $n$ et $p$ des entiers tels que $0\leqslant p\leqslant n$, et
$E$ un ensemble � $n$ �l�ments.
Le nombre de combinaisons de $p$ �l�ments de $E$,
not� $\lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp$ ("$n$ parmi $p$"), est
\vspace{-0.1cm}
\[ \lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp
= \frac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{p!}
=\frac{n!}{p!(n-p)!}
\]
}
\bgproof{
$\bullet$ On doit choisir $p$ �l�ments parmi les $n$ de $E$.
On a $n$ choix possibles pour le premier,
$(n-1)$ pour le deuxi�me, \dots,
$(n-(p-1))=(n-p+1)$ pour le $p$-i�me.
On a donc, $n(n-1)\dots(n-p+1)$ choix au total.
N�anmoins, l'ordre des $p$ �l�ments �tant indiff�rent,
ces $n(n-1)\dots(n-p+1)$ choix sont r�p�t�s $p!$ fois.
Ainsi, le nombre de combinaisons \ \
$\lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp$ est
$\dfrac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{p!}$.
\vspd
De plus,
$\bgar[t]{ll}
\lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp
&=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}
=\dfrac{n(n-1)\dots(n-p+1)}{p!}\tm\dfrac{(n-p)!}{(n-p)!} \vspd\\
&=\dfrac{n(n-1)\dots(n-p+1)(n-p)(n-p-1)\dots2\tm1}{p!(n-p)!}
=\dfrac{n!}{p!(n-p)!}
\enar
$.
}
\noindent
\ul{Exemple:}
$\lp\bgar{c}6\\ 4\enar\rp
=\dfrac{\cancel{6}\tm5\tm\cancel{4}\tm3}{\cancel{4}\tm\cancel{3}\tm\cancel{2}\tm1}
=15$: il y a 15 fa�ons de choisir 4 �l�ments parmi 6.
\bgex
On tire au hasard cinq cartes dans un jeu de 32 cartes.
\bgit
\item[a)] Combien de mains diff�rentes peut-on former ?
\item[b)] Quel est le nombre de mains diff�rentes qui contiennent les
4 as ?
\item[c)] En d�duire la probabilit� d'avoir un carr� d'as.
\enit
\enex
\bgex {\it (20 p432)}
On lance une pi�ce de monnaie �quilibr�e 10 fois de suite.
Calculer la probabilit� d'obtenir exactement 6 fois "pile".
\enex
\bgex
Au Loto national, un joueur coche 6 num�ros sur une grille o� figurent
les nombres de 1 � 49.
\bgit
\item[a)] De combien de fa�on le joueur peut-il remplir sa grille ?
\item[b)] Quelle est la probabilit� de jouer la grille gagnante ?
\enit
\enex
\bgex
Une urne contient 4 boules rouges et 5 boules vertes.
On tire au hasard et simultan�ment deux boules de l'urne et on note
leur couleur.
\vsp
Calculer la probabilit� que les deux boules tir�es soient rouges.
\vsp
Calculer cette m�me probabilit� si apr�s le premier tirage, la boule tir�e esr replac�e
dans l'urne.
\enex
\subsection{Propri�t� des combinaisons}
\vspace{-0.8cm}
\bgprop{
Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0\leqslant p\leqslant n$,
$\lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp
=\lp\bgar{c}n\\ n-p\enar\rp$.
}
\bgproof{
Soit $E$ un ensemble � $n$ �l�ments.
A chaque partie $A$ de $E$ � $p$ �l�ments, on peut associer la
partie $\overline{A}$ � $(n-p)$ �l�ments.
Il y a donc autant de parties � $p$ �l�ments que de
parties � $(n-p)$ �l�ments.
}
\bgex
D�montrer cette propri�t� par le calcul.
\enex
\noindent
\bgmp[t]{12cm}
\bgprop{
Pour tous entiers $n$ et $p$ tels que $0\leqslant p\leqslant n-1$,
\[\lp\bgar{c}n\\ p\enar\rp
=\lp\bgar{c}n-1\\ p-1\enar\rp
+\lp\bgar{c}n-1\\ p\enar\rp
\]
}
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp[t]{5cm}\vspace{-0.8cm}
\ct{Triangle de Pascal}\vspace{-0.4cm}
%\pscircle(1.8,-1.78){0.2}
\rput(2.2,-1.8){$+$}
%\pscircle(2.6,-1.78){0.2}
\psellipse(2.2,-1.78)(0.65,0.25)
\pscircle(2.6,-2.3){0.2}
\psline{->}(2.9,-1.85)(2.9,-2.25)
\begin{tabular}[t]{|c|*6{p{0.41cm}}|}\hline
\psline(-0.3,0.32)(0.38,-0.18)
\rput(-0.2,0){\small $n$}
\rput(0.2,0.16){\small $p$}
& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\hline
0 & 1 &&&&&\\
1 & 1 & 1 &&&&\\
2 & 1 & 2 & 1 &&&\\
3 & 1 & 3 & 3 & 1 &&\\
4 & 1 & 4 & 6 & 4 & 1 &\\
5 & \multicolumn{6}{c|}{\dots \ \ \ \dots}\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgproof{
Soit $E$ un ensemble � $n$ �l�ments.
On note $a$ un �l�ment fix� de $E$.
Pour d�nombrer les parties de $E$ � $p$ �l�ments, on peut
distinguer:
\bgit
\item[$\bullet$] les parties contenant $a$: il reste � choisir
$p-1$ �l�ments parmi les $n-1$ restants;
il y en a $\lp\bgar{c}n-1\\p-1\enar\rp$
\item[$\bullet$] les parties ne contenant pas $a$:
il s'agit donc de choisir $p$ �l�ments parmi les $n-1$ restants;
il y en a donc au total $\lp\bgar{c}n-1\\p\enar\rp$
\enit
Comme il y a en tout $\lp\bgar{c}n\\p\enar\rp$ parties � $p$
�l�ments, on a bien la formule de la propri�t�.
}
\bgex
D�montrer par le calcul cette formule
\emph{(Bac 2009)}.
\enex
\bgprop{{\bf Formule du bin�me}
Pour tous nombres complexes $a$ et $b$, et tout entier
naturel $n\geqslant 1$,
\[\bgar{ll}
(a+b)^n&\dsp=a^n+\lp\bgar{c}n\\1\enar\rp a^{n-1}b
+\lp\bgar{c}n\\2\enar\rp a^{n-2}b^2
+ \dots
+\lp\bgar{c}n\\n-1\enar\rp ab^{n-1}
+b^n \vspd\\
&\dsp=\sum_{k=0}^n \lp\bgar{c}n\\k\enar\rp a^{n-k}b^k
\enar\]
}
\bgproof{
$(a+b)^n=(a+b)(a+b)\dots(a+b)$.
Dans le d�veloppement de $(a+b)^n$ le terme en $b^k$ est obtenu en
choisissant $b$ dans exactement $k$ parenth�ses et $a$ dans les
$n-k$ autres parenth�ses.
Ce terme est ainsi de la forme $a^{n-k}b^{k}$.
Il y a de plus $\lp\bgar{c}n\\ k\enar\rp$ fa�ons de choisirs les $k$
parenth�ses dans lesquelles on va prendre $b$.
Le terme contenant $b^k$ est donc
$\lp\bgar{c}n\\ k\enar\rp a^{n-k}b^k$.
}
\bgex
$\dsp
(a+b)^2=\sum_{k=0}^2 \lp\bgar{c}2\\k\enar\rp a^{2-k}b^k
=\lp\bgar{c}2\\0\enar\rp a^2b^0
+\lp\bgar{c}2\\1\enar\rp a^1b^1
+\lp\bgar{c}2\\2\enar\rp a^0b^2
=a^2+2ab+b^2
$
$\dsp
(a+b)^3=\sum_{k=0}^3 \lp\bgar{c}3\\k\enar\rp a^{3-k}b^k
=\lp\bgar{c}3\\0\enar\rp a^3b^0
+\lp\bgar{c}3\\1\enar\rp a^2b^1
+\lp\bgar{c}3\\2\enar\rp a^1b^2
+\lp\bgar{c}3\\3\enar\rp a^0b^3
=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3
$
\enex
\vspace{-0.2cm}
\bgex
D�montrer par r�currence la formule du bin�me.
\enex
\bgex
Calculer la somme
$\dsp \sum_{k=0}^n \lp\bgar{ll} n\\ k\enar\rp
=\lp\bgar{ll} n\\ 0\enar\rp+\lp\bgar{ll} n\\ 1\enar\rp
+\dots+\lp\bgar{ll} n\\ n-1\enar\rp+\lp\bgar{ll} n\\ n\enar\rp
$
\enex
\vspace{-0.1cm}
\section{Propri�t�s des probabilit�s}
\vspace{-0.4cm}
%\subsection{Probabilit� de la r�union de deux �v�nements}
\bgprop{Soit $A$ et $B$ deux �v�nements, alors
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
}
%\vsp
%\setlength{\fboxsep}{0.3cm}
%\ct{\fbox{$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$}}
%\vsp
\vspq
Dans le cas particulier o� les
\ul{�v�nements $A$ et $B$ sont incompatibles},
c'est-�-dire $A\cap B=\emptyset$, alors
$P(A\cap B)=0$, et donc,
\ul{$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$}
%\subsection{Probabilit� de l'�v�nement contraire}
\bgdef{L'�v�nement contraire $\overline{A}$ de l'�v�nement $A$ est tel
que $A\cup\overline{A}=\Omega$ et $A\cap\overline{A}=\emptyset$.
}
\vsp
\bgprop{Pour tout �v�nement $A$,
$P(\overline{A})=1-P(A)$
}
\bgproof{
Les �v�nements $A$ et $\overline{A}$ sont en particulier
incompatibles, donc $P(A\cup \overline{A})=P(A)+P(\overline{A})$.
Or, $P(A\cup\overline{A})=P(\Omega)=1$, on en d�duit que
$1=P(\overline{A})+P(A)$.
}
\bgex
On donne les probabilit�s de deux �v�nements $A$ et $B$:
$P(A)=0,5$, $P(B)=0,4$ et $P(A\cap B)=0,1$.
\vspd
\bgmp{8cm}
\bgit
\item[1.] Compl�ter le tableau ci-contre.
\vspd
\item[2.] Quelle est la probabilit� de
$\overline{A}\cap\overline{B}$ ?
\vspd
\item[3.] Quelle est la probabilit� de
$\overline{A}\cup\overline{B}$ ?
\enit
\enmp\hspace{0.4cm}
\bgmp{5cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}\hline
&$B$ & $\overline{B}$ & Total \\\hline
$A$ &$0,1$&& $0,5$ \\\hline
$\overline{A}$ &&& \\\hline
Total & $0,4$ && \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enex
\bgex
\addtocounter{nex}{-1}\refstepcounter{nex}\label{Expermis}
La probabilit� qu'un jeune r�ussisse l'examen du permis de conduire
l'ann�e de ses 18 ans est de 0,625 et celle qu'il soit re�u au
baccalaur�at cette m�me ann�e est de 0,82.
De plus, la probabilit� d'�tre � la fois re�u au baccalaur�at et �
l'examen du permis de conduire la m�me ann�e est de 0,56.
\vsp
\bgit
\item[a)] Calculer la probabilit� qu'un jeune soit re�u � au moins un
des deux examens.
\vsp
\item[b)] En d�duire la probabilit� qu'il ne soit re�u � aucun des
deux examens.
\enit
\enex
\bgex {\it Vrai ou faux}
\bgit
\item[a)] Si $A$ et $B$ sont contraires alors $P(A\cap B)=0$.
\item[b)] Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $p(A)=1-P(B)$.
\item[c)] Si $A$ et $B$ sont contraires alors $P(A)+P(B)=1$.
\item[d)] Si $P(A\cup B)=1$, alors $A$ et $B$ sont contraires.
\item[e)] Si $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$, alors $A$ et $B$ sont contraires.
\item[f)] Si $A$ et $B$ sont incompatibles alors $P(A)+P(B)\leq 1$.
\enit
\enex
\vspace{-0.2cm}
\section{Probabilit� conditionnelle}
\vspace{-0.6cm}
\bgdef{
Soit $A$ et $B$ deux �v�nements, avec $P(A)\not=0$.
La probabilit� de l'�v�nement $B$ sachant $A$, not�e $P_A(B)$, est
d�finie par
\[ P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}
\]
}
\bgex
Dans une population, $60\,\%$ des familles ont une voiture,
$65\,\%$ des familles ont un t�l�viseur et
$24\,\%$ des familles n'ont ni voiture ni t�l�viseur.
\vsp
On choisit une famille au hasard.
Calculer la probabilit� que cette famille ait une voiture sachant
qu'elle poss�de un t�l�viseur.
\enex
\bgex
Avec les donn�es de l'exercice \ref{Expermis}, d�terminer la
probabilit� qu'un jeune r�ussisse au baccalaur�at sachant qu'il a d�j�
eu son permis la m�me ann�e.
\enex
\bgdef{
On dit que deux �v�nements $A$ et $B$ sont ind�pendant lorsque
\[ P_A(B)=P(B)
\]
c'est-�-dire lorsque la connaissance pr�alable de la r�alisation
de l'�v�nement $A$ ne modifie pas la probabilit� de $B$.
}
\bgprop{
Pour deux �v�nements $A$ et $B$ ind�pendants :
\[ P_A(B)=P(B) \Longleftrightarrow P_B(A)=P(A)
\Longleftrightarrow P(A\cap B)=P(A)\,P(B)
\]
}
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:}
$A$ et $B$ sont ind�pendants lorsque $P_A(B)=P(B)$.
Or $\dsp P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$,
d'o�, $\dsp \frac{P(A\cap B)}{P(A)}=P(B)$,
soit $P(A\cap B)=P(A)\,P(B)$.
\vsp
De m�me dans ce cas,
$\dsp P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\,P(B)}{P(B)}
=P(A)$.
\bgex
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes, et on consid�re
les �v�nements:
$A$: "tirer un roi", et $B$: "tirer un c\oe ur".
Les �v�nements $A$ et $B$ sont-ils ind�pendants ?
\enex
\vspace{-0.2cm}
\bgex
\noindent
\bgmp{8cm}
Dans un lyc�e, les 250 �l�ves qui �tudient une seconde langue se
r�partissent selon le tableau ci-contre.
\vspd
Une exp�rience al�atoire consiste � choisir un �l�ve au hasard.
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{8cm}
\begin{tabular}{|*5{c|}}\hline
fr�quences & allemand & italien & espagnol & total \\\hline
gar�ons & 0,20 & 0,044 & 0,156 & 0,40 \\\hline
filles & 0,12 & 0,156 & 0,324 & 0,60 \\\hline
total & 0,32 & 0,20 & 0,48 & 1 \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vspd
On consid�re les �v�nements : \hspace{0.5cm}
\bgmp[t]{8cm}
$A:$ "l'�l�ve �tudie l'allemand"\\
$F:$ "l'�l�ve est une fille"
\enmp
\bgit
\item[a)] D�terminer $P(A)$ et $P(F)$.
\vsp
\item[b)] D�terminer la probabilit� que l'�l�ve soit une fille
�tudiant l'allemand.
\vsp
\item[c)] Sachant que l'�l�ve choisie est une fille, calculer la
probabilit�, not�e $P_F(A)$, que l'�l�ve �tudie l'allemand.
Les �v�nements $A$ et $F$ sont-ils ind�pendants ?
\enit
\enex
\vspace{-0.2cm}
\bgex
Une soci�t� de 90 employ�s compte 60 hommes, parmi lesquels 40 sont
des cadres.
Dans cette soci�t�, il y a en tout 58 cadres.
\vsp
Quelle est la probabilit� d'�tre un cadre sachant qu'on est un homme
dans cette soci�t� ?
\vsp
Les �v�nements �tre un cadre et �tre un homme sont-ils
ind�pendants dans cette soci�t� ?
\enex
\bgex
Une agence de sondage effectue aupr�s de 10\,000 personnes une enqu�te
sur le recyclage du verre. Dans cet �chantillon, 40\,\% sont des
jeunes (moins de 30 ans) et 60\,\% d'entre eux d�clarent recycler le
verre.
En revanche, seulement 30\,\% des personnes de plus de 30 ans
d�clarent recycler le verre.
On choisit au hasard une personne dans l'�chantillon.
On note $J$ l'�v�nement: "la personne choisie est un jeune" et
$T$ l'�v�nement: "la personne recycle le verre".
\vsp
\bgmp{10cm}
\bgit
\item[1.] Compl�ter l'arbre ci-contre.
\vsp
\item[2.] Calculer $P(J\cap T)$, $P(J\cap\overline{T})$,
$P(\overline{J}\cap T)$ et $P(\overline{J}\cap\overline{T})$.
En d�duire $P(T)$.
\enit
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(4,1)
\psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.8,1){$J$}\rput(.7,.7){$\scp 0,4$}
\psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.8,1.5){$T$}
\psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.8,0.5){$\overline{T}$}
\psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.8,-1){$\overline{J}$}
\psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$T$}
\psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$\overline{T}$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{10cm}
\bgit
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Calculer la probabilit� que la personne ait moins de 30 ans
sachant qu'elle recycle le verre.
\vsp
\item[b)] Compl�ter l'arbre ci-contre.
\enit
\enit
\enmp
\bgmp{7cm}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-1,-1.)(4,2)
\psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.8,1){$T$}
\psline(2,1)(3.5,1.5)\rput(3.8,1.5){$J$}
\psline(2,1)(3.5,0.5)\rput(3.8,0.5){$\overline{J}$}
\psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.8,-1){$\overline{T}$}
\psline(2,-1)(3.5,-1.5)\rput(3.8,-1.5){$J$}
\psline(2,-1)(3.5,-0.5)\rput(3.8,-0.5){$\overline{J}$}
\end{pspicture}
\enmp
\enex
\vspt
\bgex {\it ( 17 p403)}
On jette simultan�ment deux d�s non truqu�s et on consid�re les
�v�nements :
\noindent\hspace{1.5cm}
$A:$ "Le total des nombres obtenus est $7$"\\
\hspace*{1.5cm}
$B:$ "On a obtenu au moins une fois le chiffre $3$"
Les �v�nements $A$ et $B$ sont-ils incompatibles ?
ind�pendants ?
\enex
\bgex
On suppose que chacun des moteurs d'un avion bimoteur tombe en panne
avec une probabilit� de $0,000\,1$ et ceci de fa�on ind�pendante de
l'autre moteur.
Quelle est la probabilit� que l'avion arrive � bon port, sachant qu'il
peut voler avec un seul moteur ?
\enex
\bgex
Sur une machine, deux types de panne sont possibles:
la panne d'origine m�canique et la panne d'origine �lectronique.
Un jour donn�, la probabilit� q'une panne m�canique survienne est de
0,005 et celle d'une panne �lectronique est 0,003.
D'autre part, la probabilit� qu'une panne m�canique apparaisse sachant
qu'une panne �lectronique a eu lieu ce jour l� est 0,002.
\noindent
On note $E$ l'�v�nement: "la machine a une panne �lectronique" et
$M$: "la machine a une panne m�canique".
\vsp
\bgit
\item[1.] Calculer la probabilit� qu'une machine ait les deux types de
pannes un jour donn�.
\item[2.] Calculer la probabilit� qu'une machine n'ait aucune panne un
jour donn�.
\item[3.]
\bgit
\item[a)] Calculer $P_{\overline{E}}(M)$.
\item[b)] Comparer $P_E(M)$ et $P_{\overline{E}}(M)$.
Interpr�ter cette comparaison.
\enit
\enit
\enex
\subsection{Formule des probabilit�s totales}
\vspace{-0.4cm}
\bgdef{
On dit que les �v�nements $A_1$, $A_2$, \dots , $A_n$ forment une
partition de $E$ lorsqu'ils sont deux � deux incompatibles et que
leur r�union est $E$:
\[ \mbox{ pour } i\not=j\, ,\ A_i\cap A_j=\emptyset
\ \ \mbox{ et, } \
A_1\cup A_2 \cup A_3 \cup \dots \cup A_n =E
\]
}
\vspt\noindent
\ul{Remarque:} Pour tout �v�nement $A$ de $E$,
$A$ et $\overline{A}$ forment une partition de $E$,
car $A\cup\overline{A}=E$ et $A\cup\overline{A}=\emptyset$.
\bgth{ (Formule des probabilit�s totales)
Soit $B_1$, $B_2$, \dots, $B_n$, $n$ �v�nements formant une
partition de $E$.
Alors, pour tout �v�nement $A$,
\[ \bgar{ll}
P(A) &= P(A\cap B_1) + P(A\cap B_2) + \dots + P(A\cap B_n) \vspd\\
&= P_{B_1}(A)P(B_1)+P_{B_2}(A)P(B_2)+\dots+P_{B_n}(A)P(B_n)
\enar
\]
}
\vspq\noindent
\ul{D�monstration:}
Les �v�nements $A\cap B_1$, $A\cap B_2$, \dots, $A\cap B_n$ sont deux
� deux incompatibles et leur r�union est $A$,
d'o� la formule.
\bgex {\it ( 14 p403)}
On dispose de deux urnes indiscernables $U_1$ et $U_2$.
$U_1$ contient 7 jetons noirs et 5 jetons blancs,
$U_2$ contient 3 jetons noirs et 5 jetons blancs.
\vsp
On choisit au hasard une urne, puis on tire au hasard dans cette urne
un jeton.
\vsp
\bgit
\item[a)] Calculer la probabilit� que le jeton soit blanc sachant
qu'il provient de $U_1$.
\vsp
\item[b)] Calculer de m�me la probabilit� que le jeton soit blanc
sachant qu'il provient de $U_2$.
\vsp
\item[c)] En d�duire la probabilit� que le jeton tir� soit blanc.
\enit
\enex
\bgex {\it ( 9 p402)}
\bgit
\item[a)] $A$ et $B$ sont deux �v�nements ind�pendants.
Prouver qu'alors $A$ et $\overline{B}$ sont ind�pendants.
Montrer de m�me que $\overline{A}$ et $B$ sont ind�pendants,
puis que $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi.
\vsp
\item[b)] Alain et B�atrice tentent de faire des paniers de basket.
Les �v�nements
$A:$ "Alain r�ussit un panier" et
$B:$ "B�atrice r�ussit un panier sont ind�pendants" et
de probabilit�s respectives
$\dsp \frac{4}{7}$ et $\dsp\frac{3}{5}$.
Alain et B�atrice font un essai chacun.
Calculer la probabilit� des �v�nements suivants:
$C:$ "Alain et B�atrice r�ussissent tous les deux"
$D:$ "Seul Alain r�ussit"
$E:$ "Aucun panier n'est marqu�"
$F:$ "Au moins un panier est marqu�"
$G:$ "Un panier et un seul est marqu�"
\enit
\enex
\section{Variable al�atoire}
\noindent
On associe fr�quement un nombre aux r�sultats d'une exp�rience
al�atoire.
Par exemple, pour un jeu de hasard, on peut associer un gain (ou une
perte) � chaque issue du jeu.
\vsp
L'{\bf esp�rance math�matique} permet dans ce cas de mesurer le degr�
d'�quit� d'un jeu de hasard: le jeu est-il {\it �quitable}, ou alors
alors plut�t favorable � l'un des adversaires ?
\bgdef{
Soit $\Omega$ l'univers des possibilit�s d'une exp�rience
al�atoire.
On appelle variable al�atoire toute fonction d�finie sur $\Omega$ et
� valeurs dans $\R$.
}
\bgex
On lance une pi�ce de monnaie trois fois successivement, et on note le
r�sultat de chaque lancer.
L'univers $\Omega$ de cette exp�rience contient $2^3=8$ issues possibles:
$\Omega=\la PPP,\ PPF,\ PFP,\ PFF,\ FPP,\ FPF,\ FFP,\ FFF\ra$.
\vspd
On consid�re alors le jeu suivant:
\bgit
\item si on obtient deux fois successivement $P$ ou $F$, on gagne 1 \euro
\item si on obtient trois fois successivement $P$ ou $F$, on gagne 2
\euro
\item sinon, on perd 3 \euro
\enit
\vsp\noindent
La fonction $X$ qui � chaque issue de $\Omega$ associe le gain (ou la
perte) est une variable al�atoire.
\vspd
\ct{
\begin{tabular}{|c|*9{p{1cm}|}}\hline
Ev�nement & $PPP$ &$PPF$ &$PFP$ &$PFF$ &$FPP$ &$FPF$ &$FFP$ &$FFF$
\\\hline
$X$ & 2 & 1 & $-3$ & $1$ & 1 & $-3$ & 1 & 2 \\\hline
\end{tabular}
}
\vspd
\noindent
On peut alors indiquer la probabilit� de chaque gain:
%\vspt
%\ct{
\begin{tabular}{|c|*3{p{1.4cm}|}}\hline
gain $x_i$ & $-3$ & $1$ & $2$ \\\hline
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$p(X=x_i)$} &
\raisebox{0.2cm}[0.9cm]{$\dsp\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$}&
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\dsp\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$}&
\raisebox{0.2cm}[0.8cm]{$\dsp\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$}\\\hline
\end{tabular}
%}
\vspd
Avec ce jeu, le gain moyen que l'on peut esp�rer est:
$\dsp
-3\tm\frac{1}{4}+1\tm\frac{1}{2}+2\tm\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.
\enex
\vspd
C'est-�-dire que, sur un tr�s grand nombre de r�alisations de ce jeu
(une infinit� \dots), on peut esp�rer remporter 0,25 \euro par
partie.
\vspt
{\bf Remarque:}
\bgit
\item La d�nomination $X$ est une "variable al�atoire" est un abus de
langage:
$X$ n'est pas une variable mais une fonction, qui plus est
parfaitement d�termin�e (donc qui n'a rien d'al�atoire).
\item La notation $(X=x_i)$ d�signe l'�v�nement: "la variable
al�atoire $X$ prend la valeur $x_i$";
$p(X=x_i)$ d�signe alors la probabilit� de cet �v�nement.
\enit
\bgdef{Pour une variable al�atoire $X$ pouvant prendre les valeurs
$x_1$, $x_2$, \dots, $x_n$, avec les probabilit�s
$p_1=p(X=x_1)$, $p_2=p(X=x_2)$, \dots, $p_n=p(X=x_n)$,
on d�finit les grandeurs:
\bgit
\item[$\bullet$] l'{\bf esp�rance} math�matique de $X$:
$\dsp E(X)=\sum_{i=1}^n x_i p_i$
\vspd
\item[$\bullet$] la {\bf variance} de $X$:
$\dsp V(X)=\sum_{i=1}^n \lb x_i-E(X)\rb^2 p_i$
\vspd
\item[$\bullet$] l'{\bf �cart-type} de $X$:
$\dsp\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
\enit
}
\bgex
La loi de probabilit� d'une variable al�atoire $X$ est donn�e par le
tableau:
\vsp\ct{
\begin{tabular}{|c|*6{p{1.4cm}|}}\hline
$x_i$ & $-2$ & $-1$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\\hline
$p(X=x_i)$ & $0,1$ & $0,2$ & $0,25$ & $0,05$ & & $0,15$\\\hline
\end{tabular}
}
\vspd
1) Calculer $p(X>0)$
\vspd
2) Calculer l'esp�rance math�matique de $X$, sa variance et son �cart
type.
\enex
\vspd
\bgex
La mise de d�part d'un jeu est de 2\euro.
On lance ensuite un d� non truqu� puis:
\bgit
\item si on obtient un 6, on gagne 5 \euro;
\item si on obtient un 1 ou un 3, la mise est rembours�e;
\item dans les autres cas, on ne gagne rien, ni ne perd rien.
\enit
\vspd
La variable $X$ d�signe le gain du joueur.
D�terminer la loi de probabilit� de $X$ puis son esp�rance.
Le jeu est-il favorable au joueur ?
\enex
\vspd
\bgex
Une machine � sous au casino se compose de 3 tambours cylindriques.
Sur chacun d'eux peut appara�tre de fa�on al�atoire et �quiprobable
l'un des quatres symboles: un 7, un citron, un kiwi, ou une banane.
\bgit
\item[1.] Quel est le nombre total de combinaisons que l'on peut
obtenir ?
\vspd
On mise au d�part 5 \euro:
\bgit
\item si trois 7 apparaissent, on gagne vingt fois la mise de d�part;
\item si trois fruits identiques apparaissent, on gagne dix fois la
mise d�part;
\item si deux 7 seulement apparaissent, on gagne deux fois la mise
de d�part;
\item dans tous les autres cas, on ne gagne rien.
\enit
\vspd
\item[2.] On dispose de d'une somme de d�part de 200 \euro.
Combien peut-on esp�rer gagner ?
\enit
\enex
\vspd
\bgex{\it Paradoxe de Condorcet}
Une urne $U_1$ contient trois boules num�rot�es 1, 6 et 8.
Une urne $U_2$ contient trois boules num�rot�es 2, 4 et 9.
Une urne $U_3$ contient trois boules num�rot�es 3, 5 et 7.
Justine joue avec l'urne $U_1$, Alice avec l'urne $U_2$ et Mathilde
avec l'urne $U_3$.
Le jeu se joue � deux, chaque joueur prend au hasard une boule dans
l'urne; le gagnant est celui qui a le plus grand num�ro.
\vsp
\bgit
\item[1.] Calculer l'esp�rance de chaque joueur.
\item[2.] Justine joue contre Alice. Laquelle des deux a le plus de
chance de gagner ? (dresser un tableau d�crivant les couples de
r�sultats possibles).
\item[3.] Alice joue contre Mathilde. Qui a le plus de chance de
gagner ?
\item[4.] Enfin, Mathilde joue contre Justine. Qui a le plus de chance
de gagner ?
\enit
\enex
\vspd
\bgex
Une urne contient six boules, trois noires et trois rouges.
On tire au hasard deux boules simultan�ment et on note leur couleur.
$X$ est la variable al�atoire associant � chaque tirage le nombre de
boules rouges obtenues.
\vspd
\bgit
\item[1.] Montrer qu'il y a 15 tirages possibles.
\item[2.] Etablir la loi de probabilit� de $X$ et calculer son
esp�rance.
\enit
\enex
\vspd
\bgex
Lors d'un examen, un �l�ve doit r�pondre � un QCM.
Ce QCM comporte trois questions et, pour chaque question, trois
r�ponses diff�rentes sont propos�es, dont une seule est exacte.
Chaque r�ponse exacte rapporte 1 point, chaque r�ponse fausse enl�ve
0,5 point.
L'�l�ve peut choisir de ne pas r�pondre, et dans ce cas, il ne perd ni
ne gagne de point.
\vsp
\bgit
\item[1.] Repr�senter toutes les issues possibles � l'aide d'un arbre.
\vsp
On appelle $X$ le total des points que l'�l�ve a obtenu pour cet
exercice.
Si $X$ est n�gatif, le r�sultat est ramen� � $0$.
\vsp
\item[2.] D�terminer les diff�rentes valeurs prises par $X$ et
calculer l'esp�rance de $X$.
\vsp
\item[3.] Ce sujet a �t� donn� � 650 �l�ves qui ne connaissaient
absolument pas le sujet, et qui ont donc tous r�pondu au hasard.
A quelle moyenne des points peut-on s'attendre approximativement ?
\enit
\enex
\bgex %\emph{(ROC)}
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] {\bf D�monstration de cours.}
D�montrer la relation du triangle de Pascal sur les
coefficients binomiaux:
pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tels que
$1\leqslant k\leqslant n$,
\[
\Cnp{n}{k}=\Cnp{n-1}{k-1}+\Cnp{n-1}{k}
\]
\item[b)]
En d�duire que pour tous entiers naturels $n$ et $k$ tel que
$2\leqslant k\leqslant n-1$,
\[
\Cnp{n}{k}=\Cnp{n-2}{k-2}+2\Cnp{n-2}{k-1}+\Cnp{n-2}{k}
\]
\enit
\item[2.] On dispose d'une urne contenant $n$ boules indiscernables au toucher.
Deux des boules sont rouges, les autres sont blanches.
On tire au hasard et simultan�ment $k$ boules dans l'urne, et on
appelle $A$ l'�v�nement
"tirer au moins une boule rouge".
\bgit
\item[a)] Exprimer en fonction de $n$ et $k$ la probabilit� de
l'�v�nement $\overline{A}$ contraire de l'�v�nement $A$,
puis en d�duire la probabilit� de $A$.
\item[b)] D�terminer d'une autre mani�re la probabilit� de
l'�v�nement $A$.
Retrouver alors le r�sultat pr�c�dent � l'aide de la
formule de la question 1.
\enit
\enit
\enex
\newpage
\section{Lois de probabilit�s}
\subsection{Lois de probabilit�s discr�tes}
\bgdef{{\bf Loi de Bernoulli}
Une �preuve de Bernoulli est une exp�rience al�toire qui ne comporte
que deux issues, l'une appel�e suc�s et de probabilit� $p$,
l'autre appel�e �chec et de probabilit� $1-p$.
\bgmp{10.8cm}
La loi de probabilit� est alors appel�e loi de Bernoulli de
param�tre $p$.
\enmp\hspace{0.7cm}
\bgmp{4cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
issue & succ�s & �chec \\\hline
probabilit� & $p$ & $1-p$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
}
\vspd\noindent
\bgmp{13cm}
\ul{Exemple:} On lance un d� cubique �quilibr�.
On appelle succ�s l'�v�nement: $S$ "un six est obtenu".
Sa probabilit� est $p=\dfrac{1}{6}$.
On obtient la loi de Bernouilli de param�tre
$p=\dfrac{1}{6}$.
\enmp\hspace{0.7cm}
\bgmp{4cm}
\begin{tabular}{|c|c|c|}\hline
issue & succ�s & �chec \\\hline
probabilit� & $\dfrac{1}{6}$ & $\dfrac{5}{6}$ \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgdef{{\bf Sch�ma de Bernouilli}
Un sch�ma de Bernouilli est la r�p�tition de d'�preuves de
Bernouilli identiques et ind�pendantes
(c'est-�-dire que l'issue d'une �preuve ne d�pend pas des issues des
�preuves pr�c�dentes).
}
\bgex
On lance un d� cubique �quilibr� 3 fois de suite.
On note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de fois que
l'�v�nement $S$: "obtenir un six" est r�alis�.
\bgit
\item[1.] Dresser un arbre pond�r� et d�terminer la loi de probabilit�
de $X$.
\item[2.] M�mes questions si on lance cette fois 4 fois de suite le
d�.
\item[2.] M�mes questions si on lance cette fois 5 fois de suite le
d�.
\enit
\enex
\bgprop{{\bf Loi binomiale}
On consid�re un sch�ma de Bernouilli constitu� de $n$ �preuves
ind�pendantes, et on note $X$ la variable al�atoire qui, � chaque
liste de $n$ r�sultats associe le nombre de succ�s.
Alors, pour tout entier $k$, avec $0\leqslant k\leqslant n$,
$P(X=k)=\lp\bgar{ll} n\\ k\enar\rp p^k(1-p)^{n-k}$.
La loi de probabilit� de la variable al�atoire $X$ est appel�e
{\bf loi binomiale de param�tres $n$ et $p$}, et est not�e
$\mathcal{B}(n;p)$.
}
\vspd\noindent
\bgproof{
Chaque liste form�e de $n$ succ�s, et donc de $n-k$ �checs, a pour
probabilit�:
$p^k(1-p)^{n-k}$.
Il y a $\lp\bgar{l}n\\k\enar\rp$ telles listes,
le nombre de fa�ons diff�rentes de choisir la position
des $k$ succ�s.
}
\vspd\noindent
\ul{Remarque:}
La probabilit� d'obtenir un nombre quelconque de succ�s est:
$\dsp\sum_{k=0}^n P(X=k)=P(X=0)+P(X=1)+\ldots+P(X=n)
=\sum_{k=0}^n \lp\bgar{ll} n\\ k\enar\rp p^k(1-p)^{n-k}
=(p+(1-p))^n=1
$
d'apr�s la formule du bin�me.
\bgprop{\emph{(admise)}
Si $X$ suit une loi binomiale de param�tres $n$ et $p$,
alors
\ct{$E(X)=np$ \ \ \ et\ \ \ $V(X)=np(1-p)$.}
}
\bgex
Un �l�ve r�pond au hasard aux 10 questions d'un QCM.
Pour chaque question, 5 r�ponses sont propos�es dont une seule est
exacte.
$X$ est la variable al�atoire �gale au nombre de bonnes r�ponses.
\vspd
\begin{itemize}
\item Montrer que la loi de probabilit� de $X$ est une loi binomiale.
\item Calculer la probabilit� d'avoir au moins 5 bonnes r�ponses.
\item Calculer l'esp�rance math�matique du nombre de bonnes r�ponses.
\end{itemize}
\enex
\bgex
Dans chacun des cas suivants, la variable al�atoire $X$ suit-elle une loi
binomiale ?
Donner le cas �ch�ant les valeurs des param�tres de la loi
binomiale associ�e.
\bgit
\item[1.] On lance 5 fois successivement un d� � jouer non truqu�, et on
note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de 2 obtenus parmi
ces lancers.
\item[2.] On lance 5 fois successivement un d� � jouer non truqu�, et on
note $X$ la variable al�atoire �gale au num�ro du premier lancer pour
lequel on obtient le chiffre 6.
\item[3.] On lance 10 fois successivement 2 d�s � jouer non pip�s, et on
note $X$ la variable al�atoire �gale au nombre de fois o� une somme
de 10 est obtenue en ajoutant les chiffres des 2 d�s.
\item[4.] Une branche pr�sente 10 fleurs blanches ou roses r�parties au
hasard.
On compte au total 2 fleurs blanches et 8 fleurs roses.
On cueille successivement et au hasard 3 fleurs, et on note $X$ la
variable al�atoire �gale au nombre de fleurs blanches cueillies.
\enit
\enex
\bgex \emph{(19 p33)}
Des �tudes statistiques montrent que lors d'une naissance, la
probabilit� d'avoir un gar�on est d'environ 0,51.
On chosiit au hasard une famille de quatre enfants o� les f�condations
sont suppos�es ind�pendantes et on s'int�resse au nombre de gar�ons.
\vsp
\bgit
\item[1.] Justifier que cette situation peut-�tre mod�lis�e par une
loi de binomiale.
\item[2.] Calculer la probabilit� que cette famille compte au moins un
gar�on.
\enit
\enex
\bgex {\it (D'apr�s Bac 2000)}
Les deux questions sont ind�pendantes.
Les r�sultats seront donn�s sous forme de fractions.
\vsp
Une urne contient 6 boules bleues, 3 boules rouges et 2 boules
vertes, indiscernables au toucher.
\vsp
\bgit
\item[1.] On tire simultan�ment et au hasard 3 boules de l'urne.
\bgit
\item[a)] Calculer la probabilit� de chacun des �v�nements suivants:
$E_1$: "Les boules sont toutes de couleurs diff�rentes";
$E_2$: "Les boules sont toutes de la m�me couleurs".
\item[b)] On appelle $X$ la variable al�atoire qui, � tout tirage de
trois boules, associe le nombre de boules bleues tir�es.
Etablir la loi de probabilit� de $X$, et calculer son esp�rance
math�matique.
\enit
\vspd
\item[2.] Soit $k$ un entier sup�rieur ou �gal � 2.
On proc�de cette fois de la fa�on suivante: on tire au hasard une
boule de l'urne, on note sa couleur, puis on la replace dans l'urne
avant de proc�der au tirage suivant.
On effectue ainsi $k$ tirages successifs.
\vsp
Quelle est la valeur minimale de $k$ pour que la probabilit� de ne
tirer que des boules bleues soit au moins mille fois plus grande que
la probabilit� de ne tirer que des rouges ?
\enit
\enex
\subsection{Lois de probabilit�s continues}
On a d�finit jusqu'� pr�sent des lois de probabilit� sur des ensembles
d�nombrables d'issues d'exp�riences al�atoires.
On peut aussi d�finir des lois de probabilit� sur des ensembles
continus, c'est-�-dire des intervalles.
\bgex
On choisit au hasard un nomre r�el entre 0 et 1.
Quelle est la probabilit� d'obtenir le nombre 0,52 ?
Quelle est la probabilit� d'obtenir un nombre compris entre 0,34 et
0,35 ?
\enex
\bgdef{
Soit $f$ une fonction continue et positive sur l'intervalle
$I=[a;b]$ telle que
$\dsp\int_a^b f(x)\,dx=1$.
On d�finit alors la {\bf loi de probabilit� sur $I$ de densit� $f$}
de la fa�on suivante:
pour tout intervalle $(c;d)$
($(c,d)$ intervalle de bornes $c\leqslant d$) contenu dans $I$,
\ct{$\dsp P((c,d))=\int_c^d f(x)\,dx$.}
}
\vspd\noindent
\emph{\ul{Remarque:}
Si la varaible al�atoire $X$ suit une loi de probabilit� continue de
densit� $f$ d�finie sur $[a;b]$,
\bgit
\item[$\bullet$] $\dsp P(X=c)=\int_c^c f(x)\,dx=0$. \vspd
\item[$\bullet$] $\dsp P(X\leqslant c)=\int_a^c f(x)dx$ \ \ et,
\hspace{0.5cm}
$\dsp P(X\geqslant c)=\int_c^b f(x)dx$
\vspd
\item[$\bullet$] Si la densit� $f$ est d�finie sur $[0;+\infty[$, \\
$\dsp P(X\leqslant c)=\int_0^c f(x)dx$, \ \ et
\hspace{0.5cm}
$\dsp P(X\geqslant c)=\int_c^{+\infty} f(x)dx
=1-\int_0^c f(x)dx$.
\enit
}
\bgdef{{\bf (Loi uniforme)}
La loi uniforme sur $[0;1]$ est la loi de probabilit� de densit�
$f$ d�finie sur $[0;1]$ par $f(x)=1$.
On a donc, pour tout intervalle $(c;d)$ de $[0;1]$,
$\dsp P((c;d))=\int_c^d 1\,dx=d-c$.
}
\bgdef{{\bf (Loi exponentielle)}
La loi exponentielle de param�tre $\lbd>0$ sur $[0;+\infty[$ est la
loi de probabilit� de densit� $f$ d�finie sur $[0;+\infty[$ par
$f(x)=\lbd e^{-\lbd x}$.
On a donc, pour tout intervalle $(c;d)$ de $[0;+\infty[$:
\ct{$\dsp P((c;d))=\int_c^d \lbd e^{-\lbd x}\,dx
=\lb -e^{-\lbd x}\rb_c^d=e^{-\lbd c}-e^{-\lbd d}$}
}
\bgex
La loi de dur�e de vie $X$ (en heures) d'un composant �lectronique a
�t� mod�lis�e par la loi exponentielle de param�tre $\lbd=0,000\,6$
sur $[0;+\infty[$.
\bgit
\item[a)] Quelle est la la probabilit� qu'un de ces composants, pris
au hasard, ait une dur�e de vie inf�rieure � 1000 heures ?
\item[b)] Quelle est la probabilit� qu'un de ces composants, pris au
hasard, soit encore en �tat de marche au bout de 500 heures ?
\enit
\enex
\bgex \emph{(27 p434)}
$P$ est une loi de probabilit� sur $[0;10]$ de densit� $f$ d�finie par
$f(x)=\lbd x^{-2}$.
D�terminer $\lbd$.
\enex
\bgex \emph{(29 p434)}
$a$ et $b$ sont deux r�els tesl que $a<b$.
D�terminer la fonction densit� de la loi de probabilit� uniforme sur
l'intervalle $[a;b]$.
\enex
\bgex \emph{(35 p234)}
$P$ d�signe la loi uniforme sur $[0;1]$.
\bgit
\item[a)] Calculer $P([0,24;0,47])$.
\item[b)] Calculer $P_{[0,2;0,6]}([0,5;0,55])$.
\item[c)] On choisit un nombre au hasard dans $[0;1]$.
Sachant que ce nombre est compris entre 0,6 et 0,7,
quelle est la probabilit� qu'il soit sup�rieur � 0,68 ?
\enit
\enex
\end{document}
\clearpage
\vspq
\bgex Une personnes press�e r�pond � un sondage.
Deux questions sont pos�es et, � chacune, on donne le choix entre
{\it ``favorable''} , {\it ``oppos�''} et {\it ``sans opinion''}.
\vsp
De combien de fa�ons la personne peut-elle r�pondre au sondage ?
\enex
\bgex Dans une interrogation �crite, la consigne est la suivante:
{\it ``Pour chacune des quatre affirmations, r�pondre par Vrai ou
Faux''}.
Un �l�ve qui ne sait pas sa le�on, d�cide de cocher une case au hasard
pour chaque affirmation.
De combien de fa�ons peut-il remplir sa feuille ?
Sachant qu'il n'y a qu'une seule r�ponse exacte � chaque affirmation,
quelle probabilit� a-t-il de faire tout juste ?
\enex
\bgex A la rentr�e, dans une classe de 28 �l�ves, le professeur
principal d�signe au hasard un couple d'�l�ves pour �tre d�l�gu�s
provisoires.
Combien y-a-t-il de couples diff�rents possibles ?
\vspd
Il y a dans cette classe 13 filles et 15 gar�ons. Le professeur doit en fait
d�signer un couple gar�on - fille.
Combien y-a-t-il de couples diff�rents possibles ?
\enex
\bgex Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard.
On consid�re les �v�nements
A : {\it ``tirer un roi''} et B : {\it ``tirer un c\oe ur''}.
\bgit
\item[a)] Combien y-a-t-il de tirages possibles ?
\item[b)] Quels sont les �v�nements �l�mentaires qui composent
l'�v�nement A ? l'�v�nemennt B ?
En d�duire les probabilit�s $P(A)$ et $P(B)$.
\item[c)] D�crire par une phrase les �v�nements $A\cup B$ et
$A\cap B$.
Donner alors les probabilit�s $P(A\cup B)$ et $P(A\cap B)$.
\enit
\enex
\bgex
On lance un d� � six faces num�rot�es de 1 � 6 deux fois
successivement, puis on ajoute les chiffres obtenus aux deux lanc�s.
\bgit
\item[1.] Faire un arbre repr�sentant tous les �v�nements possibles
($1^{\mbox{\scriptsize{er}}}$ lanc� et $2^{\mbox{\scriptsize{�me}}}$
lanc�).
\bgit
\item[a)] Combien y-a-t-il d'issues possibles ?
\item[b)] Combien de fa�ons a-t-on d'obtenir la somme $4$ ?
la somme $7$ ?
\item[c)] En d�duire les probabilit�s $P(\la4\ra)$ et $P(\la13\ra)$.
\enit
\enit
\enex
\bgex Le graphique suivant donne la r�partition des salaires dans une
entreprise.
On d�nombre cinq classes de salaires diff�rentes.
\hspace{-1.5cm}
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,10)
\psline[linewidth=1pt](0.4,0)(3.4,0)
\psline[linewidth=1pt](0.5,-0.1)(0.5,9)
\pspolygon(1,0)(1.4,0)(1.4,8)(1,8)
\pspolygon(1.4,0)(1.8,0)(1.8,4)(1.4,4)
\pspolygon(1.8,0)(2.2,0)(2.2,4)(1.8,4)
\pspolygon(2.2,0)(2.6,0)(2.6,3)(2.2,3)
\pspolygon(2.6,0)(3,0)(3,1)(2.6,1)
\multido{\i=1+1}{9}{
\psline(0.45,\i)(0.5,\i)
\rput(0.35,\i){\i0}
}
\psline(1,0)(1,-0.2)\rput(1,-0.5){$\scriptstyle{1\,000}$}
\psline(1.4,0)(1.4,-0.2)\rput(1.4,-0.5){$\scriptstyle{1\,400}$}
\psline(1.8,0)(1.8,-0.2)\rput(1.8,-0.5){$\scriptstyle{1\,800}$}
\psline(2.2,0)(2.2,-0.2)\rput(2.2,-0.5){$\scriptstyle{2\,200}$}
\psline(2.6,0)(2.6,-0.2)\rput(2.6,-0.5){$\scriptstyle{2\,600}$}
\psline(3,0)(3,-0.2)\rput(3,-0.5){$\scriptstyle{3\,000}$}
\psline(3.4,0)(3.4,-0.2)\rput(3.4,-0.5){$\scriptstyle{3\,400}$}
\rput(1.2,5){$A$}
\rput(1.6,2){$B$}
\rput(2,2){$C$}
\rput(2.4,1.6){$D$}
\rput(2.8,0.6){$E$}
\end{pspicture}
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp{10cm}
On rencontre un salari� au hasard.
On consid�re les �v�nements:
$A$: ``Le salari� appartient � la classe $A$'',
et
$B$: ``Le salari� appartient � la classe $B$''.
\vspd
\bgit
\item[1)] D�terminer $P(A)$ et $P(B)$.
\vspd
\item[2)] D�finir chacun des �v�nements
$A\cup B$ et $\overline{A}$ par une phrase sur le salaire mensuel.
\vspd
\item[3)] D�terminer $P(A\cup B)$ et $P(\overline{A})$.
\vspd
\item[4)] On sait que le salari� rencontr� a un salaire, en euros,
appartenant � $[1\,800\,;\,2\,600]$.
D�terminer la probabilit� pour que ce salari� appartienne � la
classe $C$.
\enit
\enmp
\enex
\bgex
En utlisant les donn�es de l'exercice pr�c�dent, compl�ter l'arbre
ci-dessous.
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-5)(8,4)
\psline(0,0)(2,2)\rput(0.5,1.4){$\scp P(F)=$}
\rput(2.2,2){$F$}
\psline(0,0)(2,-2)\rput(0.5,-1.4){$\scp P(G)=$}
\rput(2.2,-2){$G$}
\psline(2.4,2)(4.4,3.5)\rput(3,3){$\scp P_F(A)=$}
\rput(4.6,3.5){$A$}
\psline(2.4,2)(4.4,2)\rput(3.5,2.2){$\scp P_F(I)=$}
\rput(4.6,2){$I$}
\psline(2.4,2)(4.4,0.5)\rput(3,1){$\scp P_F(E)=$}
\rput(4.6,0.5){$E$}
\psline(2.4,-2)(4.4,-3.5)\rput(3,-3){$\scp P_G(E)=$}
\rput(4.6,-3.5){$E$}
\psline(2.4,-2)(4.4,-2)\rput(3.5,-2.2){$\scp P_G(I)=$}
\rput(4.6,-2){$I$}
\psline(2.4,-2)(4.4,-0.5)\rput(3,-1){$\scp P_G(A)=$}
\rput(4.6,-0.5){$A$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,3.5)(6.2,3.5)\rput(7,3.5){$\scp P(A\cap F)=$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,2)(6.2,2)\rput(7,2){$\scp P(I\cap F)=$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,.5)(6.2,.5)\rput(7,.5){$\scp P(E\cap F)=$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,-.5)(6.2,-.5)\rput(7,-.5){$\scp P(A\cap G)=$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,-2)(6.2,-2)\rput(7,-2){$\scp P(I\cap G)=$}
\psline[linestyle=dashed]{->}(4.8,-3.5)(6.2,-3.5)\rput(7,-3.5){$\scp P(E\cap G)=$}
\end{pspicture}
\enex
\bgex
Une soci�t� comprend $40\,\%$ de cadres, $20\,\%$ d'entre eux parlent
anglais.
On interroge au hasard un employ� de la soci�t� et on consid�re les
�v�nements:
\noindent\hspace{1.5cm} $C:$ "l'employ� interrog� est un cadre" \\
\hspace*{1.5cm} $A:$ "l'employ� interrog� parle anglais".
\vsp
\bgit
\item[a)] Traduire l'�nonc� en termes de probabilit�s.
\vsp
\item[b)] Calculer la probabilit� que l'employ� interrog�
parle anglais sachant que c'est un cadre.
\enit
\enex
\bgex
Une loterie permet de gagner 0, 10, 20, 30 ou 40 euros.
On note $X$ la variable al�atoire �gale au gain du joueur.
Sa loi de probabilit� est donn�e partiellement dans le tableau
ci-dessous.
\vspd\noindent
\bgmp{7.5cm}
\bgit
\item[a)] Calculer la probabilit� de l'�v�nement $X=40$.
\vsp
\item[b)] Calculer l'esp�rance et la variance de la variable al�atoire
$X$.
\enit
\enmp\hspace{0.6cm}
\bgmp{8cm}
\begin{tabular}{|c|*5{p{1cm}|}}\hline
gain $x_i$ (\euro) & 0 & 10 & 20 & 30 & 40 \\\hline
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$P(X=x_i)$} &
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{4}$} &
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{2}$} &
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{8}$} &
\raisebox{0.3cm}[1cm]{$\dsp\frac{1}{12}$} & \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\enex
\bgex
On donne la r�partition des individus constituant un �chantillon d'une
population suivant deux crit�res qualitatifs: le sexe et le groupe
sanguin.
\vspd
\ct{\begin{tabular}{|p{3cm}|c|c|c|}\hline
\begin{pspicture}(0,0)(3,0.6)
\psline(-0.2,0.6)(3.2,-0.1)
\put(0,0){groupe}
\put(2,0.25){sexe}
\end{pspicture}
&masculin & f�minin & total\\\hline
AB & 25 & 15 & \\\hline
A & 250 & 200& \\\hline
O & 200 & 200& \\\hline
B & 60 & 50& \\\hline
total & & &\\\hline
\end{tabular}
}
\vspd
\bgit
\item[1)] Quel est le pourcentage d'hommes du groupe O dans
l'�chantillon ?
\vspd
\item[2)] Quel est le pourcentage de femmes du groupe AB dans
l'�chantillon ?
\vspd
\item[3)] Compl�ter l'arbre ci-dessous en indiquant les pourcentages
correspondant � chaque branches.
\bgmp{6cm}
\begin{pspicture}(0,0)(5,5.)
\psline(0,4)(2,7)\put(1.3,7){AB}\put(.45,5.5){4\%}
\psline(2,7)(3.5,7.5)\put(3.5,7.5){H}\put(2.3,7.4){$\scp{62,5\%}$}
\psline(2,7)(3.5,6.5)\put(3.5,6.5){F}
\psline(0,4)(2,5)\put(1.6,5){A}
\psline(2,5)(3.5,5.5)\put(3.5,5.5){H}
\psline(2,5)(3.5,4.5)\put(3.5,4.5){F}
\psline(0,4)(2,3)\put(1.6,2.8){O}
\psline(2,3)(3.5,3.5)\put(3.5,3.5){H}
\psline(2,3)(3.5,2.5)\put(3.5,2.5){F}\put(2.5,2.5){$\scp{50\%}$}
\psline(0,4)(2,1)\put(1.6,0.8){B}
\psline(2,1)(3.5,1.5)\put(3.5,1.5){H}
\psline(2,1)(3.5,0.5)\put(3.5,0.5){F}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp[b]{10.8cm}
\vspq
On prend une personne au hasard parmi les 1000 personnes de l'�chantillon.
\vspq
\bgit
\item[4)] Quelle est la probabilit� que cette personne soit un homme
du groupe AB ? La probabilit� que ce soit une femme du groupe A ?
\vspace{1.9cm}
\item[5)] Sachant que la personne choisie est du groupe B,
quelle est la probabilit� que ce soit un homme ?
\enit
\enmp
\enit
\enex
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