Source Latex
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage[utf8]{inputenc}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\headheight=0cm
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\oddsidemargin=-1.6cm
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Exercices - Intégration et primitives}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\TITLE\, - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\ct{\Large \bf \TITLE}
\bgex
Déterminer une primitive:
(une primitive de $f(x)$ est notée $\dsp\int f(x)\,dx$)
\begin{tabular}{llll}
1.\ $\dsp\int \frac{2}{3x+1}\,dx$
&2.\ $\dsp \int \frac{x^2}{x^3-1}\,dx$
&3.\ $\dsp\int (-2x+1)^5\,dx$
&4.\ $\dsp\int (x+1)(x^2+2x-1)^4\,dx$
\vspq\\
5.\ $\dsp\int \frac{1-2x}{(2x^2-2x+1)^3}\,dx$
&6.\ $\dsp\int 2e^{-3x+1}\,dx$
&7.\ $\dsp\int \frac{1}{x^2}e^{-\frac{2}{x}}\,dx$
&8.\ $\dsp\int \frac{\sin x-x\cos x}{x^2}\,dx$
\vspq\\
9.\ $\dsp\int \frac{1-x}{\sqrt{x^2-2x+3}}\,dx$
&10.\ $\dsp\int \frac{\sin(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}\,dx$
&11.\ $\dsp\int (3x+1)^{-5}\,dx$
&12.\ $\dsp\int \frac{x^4+1}{x^2}\,dx$
\end{tabular}
\enex
\bgex
Soit la fonction $F$ définie par
$\dsp F(x)=\int_{10}^x \frac{1}{1+t^2}\,dt$.
Donner le sens de variation de~$F$.
\enex
\bgex
Trouver un réel $\alpha$ tel que
$\dsp\int_{-1}^1 \lp x^2-\alpha\rp\,dx=0$.
\enex
\bgex
Trouver un réel $\beta$ tel que
$\dsp\int_{-1}^1 \lp x^4-\beta x^2\rp\,dx=0$.
\enex
\bgex
Soit $f$ la fonction définie par
$\dsp f(t)=\frac{-6t-3}{(t+2)^2(t-1)^2}$
\vspd
\bgit
\item[a)] Montrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que
$\dsp f(t)=\frac{a}{(t+2)^2}+\frac{b}{(t-1)^2}$
\vsp
\item[b)] En déduire l'ensemble des primitives de $f$ sur $]-2;1[$.
\enit
\enex
\end{document}
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