Source Latex
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probabilit�s, intr�grales,
exerices, bac, baccalaur�at, type BAC}
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\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
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\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
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\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
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\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
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% \noindent\textsc{Preuve.~}}{\hfill$\square$\bigbreak}
\nwc{\bgproof}[1]{
\vspd\noindent
\ul{D�monstration:} #1
\hfill$\square$
}
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\mbox{$\left(\begin{array}{c} \!\!#1\!\!\\ \!\!#2\!\!\end{array}\right)$}%
}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Probabilit�s - Exercices}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr/Lycee/TS/}}
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\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\bgex
Soit $X$ une variable al�atoire qui suit la loi uniforme sur
$[-5;15]$.
Calculer:
\vspd\noindent
a) $P\lp X\leqslant 2\rp$
\qquad
b) $P\lp -1\leqslant X\leqslant 1\rp$
\qquad
c) $P_{\lp X\geqslant 0\rp}\lp -1\leqslant X\leqslant 2\rp$
\vspd\noindent
d) Soit $Y$ la variable al�atoire �gale � $\dfrac{X+5}{10}$.
Calculer $P_{\lp X\leqslant 10\rp}\lp Y\geqslant 1\rp$.
\enex
\bgex
Soit $X$ une variable al�atoire qui suit la loi exponentielle de
param�tre $\lbd=3$.
Calculer:
\vspd\noindent
a) $P\lp X\leqslant 2\rp$
\qquad
b) $P\lp X\geqslant 4\rp$
\qquad
c) $P\lp 2\leqslant X\leqslant 4\rp$
\qquad
d) $P_{\lp X\geqslant 2\rp}\lp X\geqslant 4\rp$
\qquad
e) $P_{\lp X\geqslant 122\rp}\lp X\geqslant 124\rp$
\vspd\noindent
f) Soit deux r�els $a>0$ et $h>0$.
Montrer que la probabilit�
$P_{\lp X\geqslant a\rp}\lp X\geqslant a+h\rp$ ne d�pend pas de $a$.
\enex
\bgex
Soit $X$ une variable al�atoire qui suit la loi normale
$\mathcal{N}\lp 500;20^2\rp$.
\noindent
Pour $Z$ une variable al�atoire qui suit la loi normale centr�e
r�duite %$\mathcal{N}(0;1)$
, on note et donne
$a=P\lp Z\leqslant 0\rp$,
$b=P\lp Z\leqslant 0,5\rp\simeq, 0,6915$,
$c=P\lp Z\leqslant 1\rp\simeq 0,8413$,
$d=P\lp Z\leqslant 2\rp\simeq 0,9772$,
\vsp
Exprimer en fonction de $a$, $b$, $c$ et $d$, puis donner une valeur
approch�e de:
\vsp\noindent
a) $P\lp X\leqslant 520\rp$
\qquad
b) $P\lp X\geqslant 540\rp$
\qquad
b) $P\lp 460\leqslant X\leqslant 540\rp$
\qquad
c) $P_{\lp X\geqslant 500\rp}\lp X\leqslant 510\rp$
\enex
\bgex
Soit $X$ une variable al�atoire suivant la loi normale
$\mathcal{N}\lp 200; 15^2\rp$.
D�terminer le r�el $u>0$ tel que
$P\lp 200-2u\leqslant X \leqslant 200+2u\rp = 0,9$.
\enex
\bgex
Soit $X$ une variable al�atoire suivant la loi normale
$\mathcal{N}\lp \mu; \sigma^2\rp$.
On donne $\mu=E(X)=120$.
D�terminer l'�cart-type $\sigma$ tel que
$P\lp 100\leqslant X \leqslant 140\rp=0,92$.
\enex
\bgex {\it Surr�servation d'une compagnie a�rienne}
Une compagnie utilise des avions d'une capacit� de 320 passagers.
Une �tude statistique montre que 5 passagers sur 100 ayant r�serv� ne
se pr�sente pas � l'embarquement.
On consid�rera ainsi que la probabilit� qu'un passager ayant r�serv�
ne se pr�sente pas � l'embarquement est de 0,05.
\bgen
\item La compagnie accepte 327 r�servations sur un vol.
Soit $X$ la variable al�atoire indiquant le nombre de passagers se
pr�sentant � l'embarquement.
\bgen[a.]
\item Quelle est la loi de probabilit� suivie par $X$ ?
\item Par quelle loi normale peut-on approcher la loi de $X$ ?
Les param�tres de la loi seront d�termin�s � $10^{-2}$ pr�s.
\item En utilisant l'approximation par la loi normale,
calculer $P(X\leqslant 320)$.
Penser vous que le risque pris par la compagnie en acceptant 327
r�servations soit important ?
\enen
\item Serait-il raisonnable pour la compagnie d'accepter sur ce m�me
vol 330 r�servations ? 335 r�servations ?
\item La compagnie accepte 337 r�servation sur ce m�me vol d'une
capacit� de 320 passagers.
310 personnes sont d�j� pr�sentes � l'embarquement. Quelle est la
probabilit� que moins de 320 personnes se pr�sentent en tout �
l'embarquement ?
\enen
\enex
\bgex% {\it D'apr�s BTS}
Une entreprise fabrique des brioches en grande quantit�.
On p�se les boules de p�te avant cuisson.
On note $X$ la variable al�atoire qui, � chaque boule de p�te, associe
sa masse.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 700 g et d'�cart type
20 g.
\bgen
\item Seules les boules dont la masse est comprise entre 666 g et 732
g sont accept�es � la cuisson.
Quelle est la probabilit� qu'une boule, prise au hasard dans la
production, soit accept�e � la cuisson ?
\item D�terminer le r�el positif $h$ afin que l'on
ait:
$P(700-h\leqslant X\leqslant 700+h)\geqslant 0,95$.
Enoncer ce r�sultat � l'aide d'une phrase.
\item On admet que 8\% des boules sont refus�es � la cuisson.
On pr�l�ve au hasard, successivement et avec remise, $n$ boules dans
la production.
On note $Y_n$ la variable al�atoire qui, � chaque pr�l�vement de $n$
boules, associe le nombre de boules qui seront refus�es � la
cuisson.
Cette variable al�atoire $Y_n$ suit une loi binomiale.
Dans le cas $n=10$,
\bgen[a.]
\item calculer la probabilit� d'avoir, parmi les
10 boules pr�lev�es, exactement 3 boules refus�es � la cuisson;
\item calculer la probabilit� d'avoir, parmi les 10 boules
pr�lev�es, au moins 7 boules accept�es � la cuisson.
\enen
\enen
\enex
\bgex %{\it D'apr�s BTS}
Une ligne de transmission entre un �metteur et un r�cepteur transporte
des pages de texte, chaque page �tant repr�sent�e par 100\,000 bits.
La probabilit� pour qu'un bit soit erron� est estim� � 0,0001 et on
admet que les erreurs sont ind�pendantes les unes des autres.
\vspd\noindent
{\bf Partie A.} Soit $X$ la variable al�atoire donnant le nombre
d'erreurs lors de la transmission d'une page.
\bgen
\item Quelle est la loi de probabilit� suivie par $X$ ?
Calculer la moyenne et l'�cart type de $X$.
\item On admet que cette loi peut �tre approch�e par une loi normale
de param�tres $m=10$ et $\sigma=\sqrt{10}$.
Dans ces conditions, d�terminer la probabilit� pour qu'une page
comporte au plus 15 erreurs.
\enen
\vspd\noindent
{\bf Partie B.} Pour corriger les erreurs commises � la suite de la
transmission d'une page, on transmet cette page autant de fois qu'il
le faut jusqu'� l'obtention d'une page sans erreur.
Soit $Y$ la variable al�atoire �gale au nombre de transmissions (d'une
m�me page) n�cessaires pour obtenir une page sans erreur.
On suppose que $p=0,05$ est la probabilit� de transmission d'une page
sans erreur et
$q=1-p$ est la probabilit� de transmission d'une page avec erreur.
On admet que $Y$ suit la loi de probabilit� $P$ d�finie par
$P(Y=n)=pq^{n-1}$; pour tout $n$ entier naturel non nul.
\bgen[a.]
\item Calculer $P(Y\leqslant 5)$.
\item Montrer que pour tout entier $n\geqslant1$,
$P(Y\leqslant n)=1-q^n$.
\enen
\enex
\bgex
On souhaite conna�tre le nombre de poissons vivants dans un lac clos.
Pour cela, on pr�l�ve 500 poissons au hasard dans ce lac, on les
marque puis on les rel�che dans le lac.
Quelques jours plus tard, on pr�l�ve � nouveau al�atoirement 500
poissons dans le lac.
Parmi ces 500 poissons, on en compte 24 qui sont marqu�s.
On suppose que pendant la p�riode d'�tude le nombre $N$ de poissons dans
le lac est stable.
\bgen
\item Quelles sont les proportions $p$ et $p'$ de poissons marqu�s
dans l'�chantillon pr�lev� et dans le lac ?
\item Donner, � $10^{-3}$ pr�s, l'intervalle de confiance au niveau de
95\,\% de la proportion de poissons marqu�s dans le lac.
\item En d�duire un encadrement de la proportion du nombre de poissons
dans le lac puis du nombre de poissons dans le lac.
\item On consid�re que la population de poissons est trop importante
pour le lac (dimensions, ressources, \dots ) lorsqu'il y a plus de
50\,000 poissons qui y vivent.
En supposant que la proportion $p$ de poissons marqu�s
reste la m�me dans un �chantillon pr�lev� de plus grande taille,
quelle devrait-�tre cette taille pour que l'on puissse affirmer, au
niveau de confiance de 95\,\%, que le lac n'est pas surpeupl� en
poissons ?
\enen
\enex
\end{document}
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