Source Latex
du cours de mathématiques
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={D�monstration de math�matique: principe de r�currence},
pdftitle={D�monstration du principe de r�currence},
pdfkeywords={Math�matiques, principe de r�currence, d�monstration}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\nwc{\tm}{\times}
\title{Une d�monstration du principe de r�currence\\
{\large Atteindre l'infini � partir de l'existence d'un plus petit nombre}}
\author{Y. Morel}
\date{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\vspace*{0.1cm}
\maketitle
\bigskip
Le principe de r�currence permet de d�montrer un ensemble infini et
d�nombrable de propri�t�s.
On note par exemple $P_n$ ces propri�t�s.
Pour d�montrer que {\bf toutes} les propri�t�s $P_n$ sont vraies,
� partir d'un premier entier $n_0$,
on d�montre tout d'abord que la premi�re de ces propri�t�s
$P_{n_0}$ est vraie (initialisation),
ensuite on d�montre que cette v�racit� se propage "de proche en proche":
si pour un entier $n$ quelconque $P_n$ est vraie,
alors la propri�t� suivante $P_{n+1}$ est aussi vraie.
\medskip
Le principe de r�currence est celui qui permet alors justement
de conclure, � partir de ces deux �tapes, que {\bf toutes}
les propri�t�s $P_n$, pour {\bf tous} les entiers $n$, sont vraies,
d�s le premier $n_0$, jusqu'� \dots l'infini.
\medskip
Une d�monstration de ce principe, permettant de d�montrer des propri�t�s
$P_n$ pour des entiers $n$ aussi grands que souhait�s,
repose au contraire sur l'existence d'un plus petit nombre entier
dans un ensemble d'entiers:
\textbf{Propri�t�:}
Tout sous-ensemble de $\N$ non vide poss�de un plus petit �l�ment.
Cette propri�t� admise ici est des plus simples:
un sous-ensemble de $\N$ est un ensemble de nombres entiers naturels.
Ces nombres sont donc au moins positifs, plus grands que z�ro,
et peuvent \^etre ordonn�s: il y en a n�cessairement un plus petit que tous les autres.
Cette n�cessit� repose sur le fait qu'on manipule ici des nombres
entiers, voir la remarque � la fin.
\bigskip
\`A partir de cette propri�t�, le principe de r�currence
est un th�or�me:
\textbf{Th�or�me:}
Soit $P_0$, $P_1$, \dots, $P_n$, \dots
une suite de propri�t�s telles que
\begin{enumerate}[a)]
\item $P_0$ est vraie
\item pour tout entier $n$, si $P_n$ est vrai,
alors $P_{n+1}$ est aussi vraie.
\end{enumerate}
Alors, pour tout $n\geqslant0$, $P_n$ est vraie.
\textit{Supposons au contraire que pour un certain entier $n$,
$P_n$ soit fausse.
\\\medskip
On note alors $A=\la k\in\N, P_k \text{ est fausse }\ra$,
qui est donc un sous-ensemble non vide de $\N$. \\
D'apr�s la propri�t� pr�c�dente,
$A$ admet donc un plus petit �l�ment, que l'on note $m$,
et on a donc
\begin{itemize}
\item $m\in A$, ce qui signifie que $P_m$ et fausse
\item $m-1\not\in A$, ce qui signifie que $P_{m-1}$ n'est pas fausse,
donc est vraie.
\end{itemize}
Or, on sait que, comme $P_{m-1}$ est vraie, la propri�t� suivante
$P_m$ doit aussi \^etre vraie ce qui est contradictoire. \\
\medskip
Ainsi, il n'existe pas d'entier $n$ tel que $P_n$ soit fausse,
ou encore $P_n$ est vraie pour {\bf tous} les entiers $n$.
}
$\square$
\bigskip
\bigskip\noindent\textbf{Remarque:}
Le point cl� du principe de r�currence est la \textbf{d�nombrabilit�}:
on num�rote les propri�t�s $P_n$ avec les \textbf{entiers naturels},
pour lesquels on a la propri�t� d'existence du plus petit �l�ment.
\medskip
Pour les nombres r�els, cette propri�t� est fausse:
tout sous-ensemble de $\R$, non-vide,
n'admet pas n�cessairement un plus petit �l�ment.
Par exemple, le sous-ensemble $E=]0;3]$ n'en admet pas. \\
$0\not\in E$ et pour tout nombre r�el $x\in E$,
on peut trouver un r�el $y$ tel que $y\in E$ et $y<x$:
on peut par exemple prendre $y=\dfrac{x}2$
car pour tout nombre $x\in E$, $y=\dfrac{x}2\in E$ et $y<x$. \\
Ainsi, aucun nombre $x$ de $E$ ne peut \^etre le plus petit �l�ment,
on peut toujours en trouver un plus petit.
\end{document}
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