Une démonstration du principe de récurrence
Atteindre l'infini à partir de l'existence d'un plus petit nombre
Y. Morel
Le principe de récurrence permet de démontrer un ensemble infini et dénombrable de propriétés. On note par exemple







Le principe de récurrence est celui qui permet alors justement de conclure, à partir de ces deux étapes, que toutes les propriétés



Une démonstration de ce principe, permettant de démontrer des propriétés


Propriété
Tout sous-ensemble de
non vide possède un plus petit élément.

Cette propriété admise ici est des plus simples: un sous-ensemble de

Ces nombres sont donc au moins positifs, plus grands que zéro, et peuvent être ordonnés: il y en a nécessairement un plus petit que tous les autres.
Cette nécessité repose sur le fait qu'on manipule ici des nombres entiers, voir la remarque à la fin.
À partir de cette propriété, le principe de récurrence est un théorème:
Théorème:
Soit
,
, …,
, …
une suite de propriétés telles que
,
est vraie.



-
est vraie
- pour tout entier
, si
est vrai, alors
est aussi vraie.


Démonstration:
Supposons au contraire que pour un certain entier
,
soit fausse.
On note alors
,
qui est donc un sous-ensemble non vide de
.
D'après la propriété précédente,
admet donc un plus petit élément, que l'on note
,
et on a donc
est vraie, la propriété suivante
doit aussi être vraie ce qui est contradictoire.
Ainsi, il n'existe pas d'entier
tel que
soit fausse,
ou encore
est vraie pour tous les entiers
.


On note alors


D'après la propriété précédente,


-
, ce qui signifie que
et fausse
-
, ce qui signifie que
n'est pas fausse, donc est vraie.


Ainsi, il n'existe pas d'entier





Remarque: Le point clé du principe de récurrence est la dénombrabilité: on numérote les propriétés

Pour les nombres réels, cette propriété est fausse: tout sous-ensemble de

![$E=]0;3]$](Principe-de-recurrence-demonstration-IMG/43.png)









Ainsi, aucun nombre


Voir aussi