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Type: TP
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Description
TP sur la méthode de Monté Carlo pour le calcul d'aire et d'intégrale.
Niveaux
Terminale S, BTS, Post-Bac
Table des matières
  • Introduction
  • Calcul d'aire - Approximation de Π
  • Recherche d'une solution par dichotomie
  • Calcul d'intégrale
  • Calcul de probabilité: loi normale
Mots clé
Monté Carlo, aire, intégrale, aléatoire, méthode stochastique, méthode numérique, alogorithme, algorithmique, programmation
Voir aussi:

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pdficon
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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={TP méthode de Monte-Carlo},
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      intégrale, aire, 
      probabilité, probabilités, 
      Monté Carlo, Monte-Carlo, méthode de Monte-Carlo, 
      TICE, algorithmique, 
      programme TI, python, programme python
    }
}
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\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt 
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Ga{\Gamma}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\nwc{\bgproof}[1]{%
  \vspt\noindent%
  \ul{Démonstration:} #1%
  \hfill$\square$%
}

\newcounter{nex}%[section]
\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}

\nwc{\PI}{\hspace*{0.3cm}}
\nwc{\DPI}{\hspace*{0.6cm}}
\nwc{\TPI}{\hspace*{0.9cm}}

\headheight=0cm
\textheight=26.2cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}

\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
  \settowidth{\ltheo}{Théorème \arabic{ntheo}}
  \noindent
  \paragraph{Théorème}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}

\newcounter{nprop}
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\newlength{\lprop}
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  \settowidth{\lprop}{Propriété \arabic{nprop}}
  \noindent
  \paragraph{Propriété}% \arabic{ntheo}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
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  \stepcounter{nprop}
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\nwc{\bgcorol}[1]{
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  \paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
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}

\newcounter{ndef}
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\newlength{\ldef}
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  \settowidth{\ldef}{Définition \arabic{ndef}}
  \noindent
  \paragraph{Définition}% \arabic{ndef}}
  \hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
  \bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
  \stepcounter{ntheo}
}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Méthode de Monte-Carlo}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\usepackage{lastpage}

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\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}


%% Environnement TP_Titre:
\nwc{\TPtop}{}
\newlength{\lgr}
\newlength{\TPtopLarge}
\newlength{\EXX}
\newlength{\Tlgr}
\newlength{\TopHeight}
\newlength{\TopTitleHeight}

\newcommand{\ChapTitle}[3]{
  \renewcommand{\TPtop}{{\LARGE\bf #1} {\Huge\bf#2}}
  \settowidth{\lgr}{\LARGE\bf #1}
  \settowidth{\TPtopLarge}{\TPtop}
  \settoheight{\EXX}{\LARGE X}
  \settowidth{\Tlgr}{\LARGE T}
  \setlength{\Tlgr}{0.5\Tlgr}
  \settototalheight{\TopHeight}{\fbox{\bgmp{\linewidth}\begin{center}{\LARGE\bf#3}\end{center}\enmp}}
  %\setlength{\TopHeight}{\TopHeight+\EXX}
  %\settoheight{\TopTitleHeight}{#3}
  %%
  \noindent
  \bgmp{\linewidth}
  \psline(\lgr,\EXX)(1.1\lgr,\EXX)
  \psline(\TPtopLarge,\EXX)(\linewidth,\EXX)%
  (\linewidth,-1.\TopHeight)(\Tlgr,-1.\TopHeight)%
  (\Tlgr,-0.05)
  \TPtop
  \vspace{-.5\EXX}
  \begin{center}
    {\LARGE\bf#3}
  \end{center}
  \enmp%
  \vspace{0.5cm}
}
%% Fin TP_Titre
%
%% Environnement Prog
\definecolor{grayp}{gray}{0.8}
\definecolor{graypc}{gray}{0.65}
\newlength{\hgn}\newlength{\hgnp}
\newlength{\hgng}
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\newlength{\plgn}\newlength{\plgng}
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\newlength{\plgtq}\newlength{\plgtqg}
\newlength{\plgcoin}\setlength{\plgcoin}{3ex}
\newlength{\plgshadow}\setlength{\plgshadow}{0.5ex}
\makeatletter
\def\Prog{\@ifnextchar[{\@with}{\@without}}
  % avec un argument optionnel: le titre: 
  \def\@with[#1]#2#3{%
  \par%\vspd%
  \bgmp{\linewidth}
  \hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
  \psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
    \emph{\textcolor{white}{\!\!\!\! #1}}} \\
  \vspace*{-0.5ex}\\
  \bgmp{#2}
  %\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
  \settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#2}#3\enmp}}
  \setlength{\plgn}{\linewidth}
  \setlength{\phgtq}{-\phgn}%\addtolength{\hgtq}{-3ex}
  \setlength{\phgtqg}{\phgtq}\addtolength{\phgtqg}{-\lgshadow}
  \setlength{\plgng}{\plgn}\addtolength{\plgng}{\lgshadow}
  \setlength{\plgtq}{\plgn}\addtolength{\plgtq}{-\lgcoin}
  \setlength{\plgtqg}{\plgtq}\addtolength{\plgtqg}{\lgshadow}
  \setlength{\phgnp}{\phgn}\addtolength{\phgnp}{\lgcoin}
  \setlength{\phgng}{\phgnp}\addtolength{\phgng}{\lgshadow}
  \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
  (\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
  \pspolygon[linewidth=0.6pt,linecolor=graypc,fillstyle=solid,fillcolor=graypc]%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \par
  \bgmp{\linewidth}#3\enmp
  \enmp
  \enmp
  \vspd
  }
  % sans argument optionnel: le titre est alors "Programme Python"
  \def\@without#1#2{%
  \par%\vspd%
  \bgmp{\linewidth}
  \hspace*{-0.3pt}\hspace*{-\parindent}\hspace*{-1ex}%
  \psframebox[fillstyle=solid,fillcolor=graypc]{
    \emph{\textcolor{white}{\!\!Programme Python}}} \\
  \vspace*{-0.5ex}\\
  \bgmp{#1}
  %\setlength{\fboxrule}{0.1pt}
  \settototalheight{\phgn}{\phantom{\bgmp{#1}#2\enmp}}
  \setlength{\plgn}{\linewidth}
  \setlength{\phgtq}{-\phgn}%\addtolength{\hgtq}{-3ex}
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  \pspolygon[linecolor=white,fillstyle=solid,fillcolor=grayp]%
  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)(\plgng,0)%
  (\plgng,\phgtqg)(\plgtqg,-\phgng)(-0.5ex,-\phgng)
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  (-1ex,-\phgnp)(-1ex,1ex)(\plgn,1ex)%
  (\plgn,\phgtq)(\plgtq,\phgtq)(\plgtq,-\phgnp)
  \par
  \bgmp{\linewidth}#2\enmp
  \enmp
  \enmp
  \vspd
  }
\makeatother
% les petits caracteres casio:
\nwc{\return}{
  \psset{unit=1cm,arrowsize=4pt}
  \psline{<-}(0,0.1)(0.3,0.1)(0.3,0.25)}
\nwc{\disp}{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=black](0,0)(0.2,0)(0.2,0.15)}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

%\bgTP{Méthode de Monté Carlo}
%\section*{}
\ChapTitle{TP}{}{Méthode de Monte-Carlo}
%\addcontentsline{toc}{section}{\ul{TP 1 :}\ Méthode de Monté Carlo}
%\rfoot{Méthode de Monté Carlo}


Le terme méthode de Monte-Carlo désigne toute
méthode visant à calculer une valeur numérique en utilisant des
procédés aléatoires, c'est-à-dire des techniques probabilistes 
(ou stochastiques). 

Les méthodes de Monte-Carlo, en référence aux jeux de hasard pratiqués
à Monte-Carlo, ont été développées notamment sous l'impulsion de John 
von Neumann et Stanislas Ulam, lors de la Seconde Guerre 
mondiale et des recherches sur la fabrication de la bombe atomique. 

Ces méthodes sont particulièrement utilisées pour
calculer des intégrales 
et en physique des particules, où des
simulations probabilistes permettent d'estimer la forme d'un signal ou
la sensibilité d'un détecteur. 
La comparaison des données mesurées à
ces simulations peut permettre de mettre en évidence des
caractéristiques inattendues, par exemple de nouvelles particules. 

\vsp
Les simulations par des méthodes de Monte-Carlo permettent aussi
d'introduire une approche statistique du risque dans une décision
financière. 
Elle consiste à isoler un certain nombre de variables-clés du projet,
tels que le chiffre d'affaires ou la marge, et à leur affecter une
distribution de probabilités. Pour chacun des facteurs, un grand
nombre de tirages aléatoires est effectué avec ces distributions de
probabilité, 
afin de trouver la probabilité d'occurrence de chacun des résultats. 

\vspace{-0.3cm}
\section{Calcul d'aire - Approximation de $\pi$}

\vspace{-2.8cm}
\noindent\bgmp{12.6cm}
On considère le carré $\mathcal{C}$ de côté 1 et le quart de disque
$\mathcal{A}$ de centre l'origine $O$ du repère, de rayon $1$, comme
illustrés sur la figure ci-contre. 
\enmp\hfill
\bgmp{6cm}
\psset{unit=3.3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-0.4,-0.3)(1.5,1.6)
  \psline{->}(-.2,0)(1.2,0)
  \psline{->}(0,-.15)(0,1.2)
  \rput(-0.1,-0.1){$O$}
  \rput(1.02,-0.1){$1$}
  \rput(-0.05,1.02){$1$}
  \pscustom{
    \psarc[linewidth=1.2pt](0,0){1}{0}{90}\gsave
    \psline(0,0)(1,0)
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }

  \rput(0.87,0.65){$\mathcal{A}$}

  \pspolygon[linewidth=1.1pt](0,0)(1,0)(1,1)(0,1)
  \rput(0.87,1.1){$\mathcal{C}$}
  %
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none]%
  (0.4,0.33)(0.8,0.33)(0.8,0.48)(0.4,0.48)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none]%
  (0.5,0.27)(0.7,0.27)(0.7,0.33)(0.5,0.33)
  \rput(0.6,0.3){\large $\tm$}\rput(0.6,0.4){$M(x;y)$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0.6,0)(0.6,0.3)(0,0.3)
  \rput(0.6,-0.1){$x$}
  \rput(-0.08,0.3){$y$}
\end{pspicture}
\enmp


\vspace{-2.6cm}
\hspace{-1.2cm}
\bgmp{1.02\linewidth}
\bgen
\item On prend au hasard un point $M$ à l'intérieur du carré
  $\mathcal{C}$. 

  Quelle est la probabilité que $M$ soit dans le quart de disque
  $\mathcal{A}$ ?

\item On note $M(x;y)$ les coordonnées du point $M$. 

  \bgen[a.] 
  \item Quelles conditions doivent vérifier ces coordonnées pour que
    $M$ soit dans le carré $\mathcal{C}$ ? 
  \item Quelles conditions doivent vérifier ces coordonnées pour que
    $M$ soit dans le quart de disque~$\mathcal{A}$ ?  

  \item 
    \bgmp[t]{6.4cm}

    Dans l'algorithme ci-contre, à quoi correspond la valeur de la
    variable~\texttt{C} ?
    Que fait cet algorithme ? 

    \vsp 

    A quelle valeur peut-on s'attendre, approximativement, en sortie ?
    
    %\vspace*{8cm} 

    A quel comportement du résultat affiché en sortie peut-on
    s'attendre lorsque la valeur de \texttt{N} augmente ?    

  \item Modifier cet algorithme afin d'obtenir une approximation de $\pi$.
    
    \enmp\hfill
    \bgmp[b]{9.4cm}
    \fbox{
      \bgmp[t]{9.3cm}
      \texttt{Affecter à N la valeur 100}\\
      \texttt{Affecter à C la valeur 0}\\
      \texttt{Pour i allant de 1 à N}\\
      \PI\texttt{Affecter à x une valeur aléatoire de $[0;1]$}\\
      \PI\texttt{Affecter à y une valeur aléatoire de $[0;1]$}\\
      \DPI\texttt{Si $x^2+y^2<1$}\\
      \TPI\texttt{Affecter à C la valeur C+1}\\
      \DPI\texttt{Fin Si}\\
      \texttt{Fin Pour}\\
      \texttt{Afficher C/N}
      \enmp
    }
    \enmp
  \enen
\enen
\enmp

\vfill
\ct{
\bgmp{5cm}
\Prog[Programme Casio]{5cm}{
\texttt{%
100$\to$N\!\return\\
0$\to$C\!\return\\
For 1$\to$I To N\!\return\\
Ran\#$\to$X\!\return\\
Ran\#$\to$Y\!\return\\
If X$^2$+Y$^2$<1\!\return\\
Then C+1$\to$C\!\return\\
IfEnd\!\return\\
Next\!\return\\
C/N\disp\vspace{-0.3cm}
}
}
\enmp\hfill%\hspace{1.3cm}
\bgmp{5cm}
\Prog[Programme TI]{5cm}{
\texttt{%
100$\to$N\!\\
0$\to$C\!\\
For(I,1,N)\!\\
NbrAléat$\to$X\!\\
NbrAléat$\to$Y\!\\
If X$^2$+Y$^2$<1\!\\
Then\\
C+1$\to$C\!\\
End\!\\
End\!\\
Disp C/N\vspace{-0.5cm}
}
}
\enmp\hfill%\hspace{1.5cm}
\bgmp{5cm}
\Prog{5cm}{
\texttt{%
import random\\
N=100\\
C=0\\
for i in range(N):\\
\PI    x=random.random()\\
\PI    y=random.random()\\
\PI    if x**2+y**2<1:\\
\DPI        C=C+1\\
print C/N\vspace{-0.3cm}
}
}
\enmp
}

\vspace{1cm}
\section{Calcul d'une intégrale}



\bgmp{12.cm}

\bgen
\item Calculer l'aire exacte du domaine hachuré ci-contre. 

  \vspd
\item Reprendre la démarche précédente et modifier l'algorithme
  précédent pour calculer une approximation de 
  cette aire.

  \vspd
\item Donner l'expression de la moyenne de la fonction $f:x\mapsto x^2$
  sur $[0;1$]. 

  \vspd
  Ecrire un algorithme qui prend successivement 100 valeurs aléatoires
  dans $[0;1]$ et calcule la moyenne des valeurs correspondantes
  prises par $f$. 
\enen
\vspace{1cm}
\enmp\hfill
\bgmp{6.2cm}
\psset{unit=3.4cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-.3,-0.3)(1.7,1.)
  \psline{->}(-.2,0)(1.2,0)
  \psline{->}(0,-.15)(0,1.3)
  %
  \pscustom{
    \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{1}{x 2 exp}\gsave
    \psline(1,0)(0,0)
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }

  \rput(0.7,0.8){$y=x^2$}
  
  \rput(-0.1,-0.1){$O$}
  \rput(1.,-0.1){$1$}
  \rput(-0.05,1.){$1$}
  \psline(1,0)(1,1)(0,1)
  %
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none]%
  (0.62,0.25)(0.75,0.25)(0.75,0.35)(0.62,0.35)
  \rput(0.7,0.3){\large $\tm$}
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none]%
  (0.6,0.34)(0.95,0.34)(0.95,0.48)(0.6,0.48)
  \rput(0.73,0.4){$M(x;y)$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0.7,0)(0.7,0.3)(0,0.3)
  \rput(0.7,-0.1){$x$}
  \rput(-0.08,0.3){$y$}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{1}{x 2 exp}
\end{pspicture}
\enmp




\section{Calcul de probabilités} 

%Plus généralement, la méthode de Monté Carlo est une méthode
%stochastique qui permet le calcul numérique d'intégrales. 
%\vspt
On considère la variable aléatoire $X$ à valeurs dans $\R$, 
et dont la densité de probabilité $f$ est définie sur $\R$ par 
$\dsp f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{x^2}{2}}$. 

\vspd
\bgen
\item Donner l'expression de la probabilité 
  $P\lp 0\leqslant X\leqslant 1\rp$ en fonction de la densité de
  probabilité $f$. 

\item En appliquant la même démarche que précédement, calculer une
  valeur approchée de cette probabilité.
\enen


\psset{xunit=2cm,yunit=4cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-3.5,-0.3)(3.5,1.3)
  \psline{->}(-3.3,0)(3.3,0)
  \psline{->}(0,-.3)(0,1.4)
  %
  \nwc\f[1]{2.718 -0.5 #1 2 exp mul exp 1 2 3.1415 mul 0.5 exp div mul}
  \pscustom{
    \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{1}{\f{x}}\gsave
    \psline(1,0)(0,0)
    \fill[fillstyle=vlines]
    \grestore }

  \rput(-0.1,-0.05){$O$}
  \rput(1.0,-0.07){$1$}
  \rput(-0.05,1.0){$1$}
  \psline(1,0)(1,1)(0,1)
  %
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none]%
  (0.26,0.2)(0.95,0.2)(0.95,0.35)(0.26,0.35)
  \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white,linestyle=none]%
  (0.45,0.15)(0.62,0.15)(0.62,0.25)(0.45,0.25)
  \rput(0.6,0.26){$M(x;y)$}
  \rput(0.55,0.2){\large $\tm$}
  \psline[linestyle=dashed,linewidth=0.3pt](0.55,0)(0.55,0.2)(0,0.2)
  \rput(0.55,-0.1){$x$}
  \rput(-0.08,0.2){$y$}
  \psplot[linewidth=1.4pt]{-3}{3}{\f{x}}
  \rput(-0.9,0.35){$\Cf$}
\end{pspicture}





%\enTP
\end{document}

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