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Type: Devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: Logique, raisonnement & démonstration - Introduction à la méthode de raisonnement logique axiomatique et aux systèmes formels
Niveau
Terminale S
Mots clé
logique, raisonnement, démonstration, maths, TS
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale S: suites et fonctions},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: suites et fonctions},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S, suites, limites, récurrence}
}
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    linkcolor = blue,
    anchorcolor = red,
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}
\voffset=-1cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent\hspace*{-1em}{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\voffset=-2cm
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\lfoot{}%Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\ct{\bf\Large{DM de No\"el}}
\medskip
\ct{\bf Logique, raisonnement \& démonstration}

\bgex
Sachant que chacune des assertions suivantes est vraie: 


\bgit
\item[\pscircle(0.1,0.1){0.25}1] Si le malfaiteur n'est pas venu en
  voiture alors le t\'emoin s'est tromp\'e. 

\item[\pscircle(0.1,0.1){0.25}2] Si le malfaiteur a un complice, alors
  il est venu en voiture. 

\item[\pscircle(0.1,0.1){0.25}3] Soit le malfaiteur n'avait pas de
  complice et n'avait pas la cl\'e soit le malfaiteur avait un complice
  et avait la cl\'e. 
\enit

\medskip
Préciser parmi les conclusions suivantes, de {\bf (A)} à {\bf (E)} 
celles qui sont vraies ou fausses (ou autre), 
en justifiant précisément. 

\bigskip\hspace{-1.2cm}
\bgmp[t]{9.cm}
Si le malfaiteur avait la cl\'e alors n\'ecessairement: 


\bgit
\item[{\bf (A)}] le malfaiteur est venu en voiture;
\item[{\bf (B)}] le t\'emoin s'est tromp\'e. 
\enit
\enmp\psline(0,-2)(0,0.4)\hspace{0.2cm}
\bgmp[t]{9.8cm}
Si le malfaiteur n'avait pas la cl\'e alors n\'ecessairement: 


\bgit
\item[{\bf (C)}] le malfaiteur n'avait pas de complice; 

\item[{\bf (D)}] le malfaiteur n'est pas venu en voiture; 

\item[{\bf (E)}] le t\'emoin s'est tromp\'e.
\enit
\enmp
\enex


\bigskip
\bgex %M<->P | I<->I | U<->O
On dispose de 3 lettres: P, I et O. 
On appelle {\it proposition} toute combinaison (ou cha\^ine) formée avec 
ces lettres. 
Par exemple, PIO, POI, PIPO ou encore POIOIOIIII sont des propositions. \\
Bien s\^ur, toutes les propositions ne sont pas forcément vraies \dots \\
Bien s\^ur aussi, l'ordre des lettres dans une proposition compte. 

\medskip
Pour former (c'est-à-dire démontrer) une proposition, on a à notre disposition: 
\\[.3em]
un axiome: {\bf PI} \quad {\it (un axiome est une proposition admise comme vraie)} \\
et {\bf quatre règles}: 
\bgen[(1)] 
\item si une cha\^ine se termine par I, on peut lui ajouter un O en fin. \\
  {\it Par exemple, PIOOI donne PIOOIO.}
\item d'une cha\^ine de type Px (o\`u x est une cha\^ine quelconque), 
  on peut faire une cha\^ine Pxx. \\
  {\it Par exemple, POP donne POPOP, et PIOOI donne PIOOIIOOI.}
\item si, dans une cha\^ine, on trouve trois I de suite, 
  on a le droit de les remplacer par un O.\\
  {\it Par exemple, POIIIOI donne POOOI, 
    et OPIIIPO donne OPOPO.}
\item si, dans une cha\^ine, on trouve deux O de suite, 
  on a le droit de les abandonner.\\
  {\it Par exemple, IOOO donne IO.}
\enen

\medskip
Pouvez-vous (dé)montrer (dans n'importe quel ordre): 
\bgit
\item La proposition PIPO.  
\item Le corollaire (5): si dans une cha\^ine on a six I de suite, 
  on peut les abondonner.
\item Le corollaire (6): on peut abondonner les trois derniers I d'une cha\^ine. 
\item La proposition PIOIOIOI. 
\item La proposition PIOIOIO. 
\item La proposition PO. 
\enit
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

\hrulefill

%PI+4x(2)=P16I+(6)=P13I+3x(3)=PI O I O I O I

%PIOIOI contient 3 I. 
%(1) et (4) ne changent pas le nombre de I. 
%(3) diminue le nombre de I de 3 et ne change pas la divisibilité par 3 du nombre total de I, ni (2) qui double le nombre de I. 
%Partant de PI, donc 1I, donc un nombre de I non divisible par 3, on ne peut pas arriver à un nombre de I mulitple de 3...


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