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Type: Devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: nombres complexes, sujets de bac, formes algébrique, trigonométrique et exponentielle, Bac S
Niveau
Terminale S
Table des matières
Nombres complexes:
  • Un triangle isocèle rectangle
  • Amérique du nord, 28 mai 2019: Vrai/Faux
  • Métropole, La Réunion, 22 juin 2018 (extrait): Suite géométrique complexe
  • Antilles, Guyane, septembre 2014: Fonction du second degré complexe et équation de cercle
Mots clé
complexes, nombres complexes, Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Interro de mathématiques terminale S: nombres complexes},
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% Raccourcis diverses:
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\newcommand{\ct}{\centerline}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent\hspace*{-1em}{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\Large{Devoir de math\'ematiques}}

\medskip

\bgex
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct 
$\lp O,\vec{u},\vec{v}\rp$,
on considère les points A et B d'affixes respectives 
$z_A=2e^{i\frac{\pi}{4}}$ et $z_B=2e^{i\frac{3\pi}{4}}$

Montrer que $OAB$ est un triangle rectangle isocèle.
\enex

\bigskip

\bgex
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct 
$\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$. 
Dans ce qui suit, $z$ désigne un nombre complexe.

\medskip

Pour chacune des affirmations ci-dessous, indiquer sur la copie si elle est vraie ou si elle est fausse. Justifier. Toute réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

\medskip

\begin{enumerate}[\textbf{Affirmation }1]
\item{Affirmation 1:}
L'équation $z-i=i(z+1)$ a pour solution 
$\sqrt2e^{i\frac\pi4}$.

\medskip
\item{Affirmation 2:} 
Pour tout réel $x\in\left] -\dfrac\pi2~;~\dfrac\pi2\right[$, 
le nombre complexe $1+e^{2ix}$ admet pour forme exponentielle 
$2\cos x e^{-ix}$.

\medskip
\item{Affirmation 3:} 
Un point M d'affixe $z$ tel que 
$\big|z-i\big| = \big|z + 1\big|$ appartient à la droite 
d'équation $y = -x$.
	
\medskip
\item{Affirmation 4:}
L'équation $z^5 + z - i + 1 = 0$ admet une solution réelle.
\end{enumerate}
\enex

\bigskip

\bgex
On pose $z_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$:
$z_{n+1}=\dfrac{3-i\sqrt3}{4}z_n$.
\bgen[1.]
\item 
  \bgen[a)]
  \item Vérifier que:
    $\dfrac{3 -i\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}e^{-i\frac{\pi}{6}}$.
		
  \item En déduire l'écriture de chacun des nombres complexes 
    $z_1$,  $z_2$ et $z_3$ sous forme exponentielle 
    et vérifier que $z_3$ est un imaginaire pur dont on précisera la partie 
    imaginaire.
  \enen
\item
  %\bgen[a)]
  %\item 
  Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,		
    $z_n=8\tm\lp\dfrac{\sqrt3}{2}\rp^n e^{-i\frac{n\pi}{6}}$.
		
  %\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = \left|z_n\right|$.
  %
  %  Déterminer la nature et la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
  %\enen
\enen
\enex

\bigskip

\bgex 
%On note $\C$ l'ensemble des nombres complexes.
% 
%\medskip
%
On considère la fonction $f$ qui à tout nombre complexe $z$ associe 
\[f(z) = z^2 + 2z + 9.\]
 
\begin{enumerate}
\item Calculer l'image de $- 1 + \text{i}\sqrt{3}$ par la fonction $f$. 
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $f(z) = 5$.
 
Écrire sous forme exponentielle les solutions de cette équation.

\item Soit $\lambda$ un nombre réel. 
  On considère l'équation $f(z) = \lambda$ d'inconnue $z$. 
 
  Déterminer l'ensemble des valeurs de $\lambda$ pour lesquelles
  l'équation $f(z) = \lambda$ admet deux solutions complexes
  conjuguées.  

\item Soit (F) l'ensemble des points du plan complexe dont l'affixe $z$ vérifie 
  \[|f(z) - 8| = 3.\]
 
  Prouver que (F) est le cercle de centre $\Omega(-1~;~0)$ et de rayon
  $\sqrt{3}$.  
\enen
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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