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Type: Devoir
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: fonctions exponentielle et logarithme népérien, dérivée, étude de fonction, calcul de limites, théorème de la bijection
Niveau
Terminale S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, logarithme, ln, exponentielle, terminale S, limites, étude de fonctions
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale S: suites et fonctions},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: suites et fonctions},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S, suites, limites, récurrence}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\ul}{\underline}
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\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent\hspace*{-1em}{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\Large{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Un condensateur, initialement déchargé, est chargé par un générateur 
pendant 10 secondes. 
La tension $u(t)$ a ses bornes au bout d'un temps $t\in[0,10]$ 
de charge, en secondes, est donnée~par 
\[u(t)=50\lp1-e^{-0,1t}\rp\]
Quelle est la tension maximale aux bornes du condensateur ?
\enex

\bgex Soit $f$ la fonction définie sur $]\,0;+\infty[$ par: 
$ f(x)=x+\ln\lp\dfrac{x}{2x+1}\rp
$.

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère 
$\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$ et $\Delta$ la droite d'équation $y=x-\ln(2)$. 

\bgen
\item Etudier les limites de $f$ en $0$ et en $+\infty$. 
\item Etudier les variations de $f$ et dresser son tableau de
  variation. 
\item \'Etudier la position de $\mathcal{C}_f$ par rapport à $\Delta$. 
\enen
\enex

\bgex On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par 
    $\dsp f(x)=\frac{2x-1}{x}\ln(x)$
et on note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 

\bgen
\item
  \bgen[a)]
  \item Etudier le sens de variation de la fonction $g$ définie
    sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=2x-1+\ln(x)$. 
  \item Etudier les limites de $g$ en $0$ et en $+\infty$. 
  \item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$  
    sur $]0;+\infty[$. \\
    En déduire, suivant les valeurs de $x$, le signe de $g(x)$. 
  \enen
\item
  \bgen[a)]
  \item Montrer que pour tout réel $x$ de $]0;+\infty[$, 
    $\dsp f'(x)=\frac{g(x)}{x^2}$
    et en déduire les variations de $f$. 
  \item Dresser le tableau de variation de $f$. 
  \enen
\enen
\enex

\bgex 
\textbf{Partie A : établir une inégalité}
\medskip

Sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$, on définit la fonction $f$ par $f(x) = x - \ln(x + 1)$.
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur 
  l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.	
\item En déduire que pour tout $x \in [0~;~ +\infty[$, 
    $\ln(x + 1) \leqslant x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : application à l'étude d'une suite}

On pose $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel $n$, 
$u_{n+1} = u_n-\ln(1+u_n)$. 
On admet que la suite de terme général $u_n$ est bien définie.

\begin{enumerate}
\item Calculer une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $u_2$.	
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$, 
    $u_n \geqslant 0$.		
  \item Démontrer que la suite $(u_n)$ est décroissante, 
    et en déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant 1 $.
  \item Montrer que la suite $(u_n)$ est convergente.
  \end{enumerate}
\item On note $l$ la limite de la suite $(u_n)$. 
  Montrer que $l$ vérifie l'équation $l=f(l)$, 
  o\`u $f$ est la fonction définie dans la partie A. 
  En déduire la valeur de $l$.
\end{enumerate}
\enex

\clearpage

\bgex Le plan est muni d'un repère orthogonal $(O, I, J)$. 

\medskip 

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~1]$ par 
    \[f(x) = x(1-\ln x)^2.\]

    \begin{enumerate}[a)]
    \item Déterminer une expression de la fonction dérivée de $f$ 
      et vérifier que pour tout $x\in]0~;~1]$, 
          $f'(x) = (\ln x + 1)(\ln x - 1)$. 
    \item \'Etudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau 
      de variations sur l'intervalle $]0~;~1]$ 
      (on admettra que la limite de la fonction $f$ en 0 est nulle). 
    \end{enumerate}
\end{enumerate}

On note $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $g$ 
définie sur l'intervalle $]0~;~1]$  par $g(x) = \ln x$. 

Soit $a$ un réel de l'intervalle $]0~;~1]$. 
On note $M_a$ le point de la courbe $\Gamma$ d'abscisse $a$ 
et $d_a$ la tangente à la courbe $\Gamma$ au point $M_a$. 
Cette droite $d_a$ coupe l'axe des abscisses au point $N_a$ et l'axe 
des ordonnées au point $P_a$ . 

On s'intéresse à l'aire du triangle O$N_aP_a$ quand le réel $a$ varie 
dans l'intervalle $]0~;~1]$. 

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Dans cette question, on étudie le cas particulier où $a = 0,2$ et on donne la figure ci-dessous. 

\[\psset{xunit=10cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-3)(1.1,1.5)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](-1,-6)(11,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(-0.1,-3)(1.1,1.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=0.5pt]{-0.1}{0.8}{ x 5 mul 2.609 sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.05}{1}{ x ln}
\psdots(0.2,-1.6)(0.5218,0)(1,0)(0,-2.609)(0,1)
\uput[dr](1,0){I}\uput[ur](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\uput[dr](0.6,-0.5){\blue $\Gamma$}\uput[dr](0.7,0.9){$d_{0,2}$}
\uput[dr](0.2,-1.6){$M_{0,2}$}\uput[ul](0.5218,0){$N_{0,2}$}
\uput[ul](0,-2.609){$P_{0,2}$}
\end{pspicture*}\]

\medskip

\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer graphiquement une estimation de l'aire du triangle 
$ON_{0,2}P_{0,2}$ en unités d'aire. 
\item Déterminer une équation de la tangente $d_{0,2}$. 
\item Calculer la valeur exacte de l'aire du triangle $ON_{0,2}P_{0,2}$ . 

  Dans ce qui suit, on admet que, pour tout réel $a$ 
  de l'intervalle $]0~;~1]$, l'aire du triangle O$N_aP_a$ en unités d'aire 
  est donnée par $\mathcal{A}(a) = \dfrac12a (1 - \ln a)^2$.
\end{enumerate}
\item  \`A l'aide des questions précédentes, déterminer pour quelle valeur 
  de $a$ l'aire $\mathcal{A}(a)$ est maximale. Déterminer cette aire maximale. 
\end{enumerate}
\enex


\label{LastPage}
\end{document}

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