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Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: fonction exponentielle, dérivée, étude de fonction, calcul de limites, théorème de la bijection
Niveau
Terminale S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, exponentielle, terminale S, limites, étude de fonctions
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Correction du devoir de mathématiques terminale S: suites et fonctions},
    pdftitle={Corrigé du devoir de mathématiques: suites et fonctions},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S, suites, limites, récurrence}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

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	\protect\vspace*{\fill}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\cfoot{}
\rfoot{Correction du devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
\bgen[$\bullet$]
\item On a $f=e^u+v$, avec $u(x)=3x+1$ et $v(x)=x^3$, 
  donc $u'(x)=3$ et $v'(x)=3x^2$, \\
  et alors 
  $f'=u'e^u+v'$, 
  soit $f'(x)=3e^{3x+1}+3x^2$. 

\item On a $g=ke^u$, avec $u(x)=-0,01x^2$, donc $u'(x)=-0,01\tm2x=-0,02x$, 
  et alors 
  $g'=ku'e^u$, 
  soit $g'(x)=10\tm(-0,02x)e^{-0,01x^2}=-2e^{-0,01x^2}$ 

\item On a $h=uv$, 
  avec $u(x)=3x+1$ donc $u'(x)=3$, 
  et $v=e^w$ avec $w(x)=2x$ donc $w'(x)=2$ et $v'=w'e^w$, 
  soit $w'(x)=2e^{2x}$. 

  On obtient finalement 
  $f'=u'v+uv'$, soit 
  $f'(x)=3e^{2x}+(3x+1)\tm2e^{2x}=\lp6x+5\rp e^{2x}$
\enen
\enex

\bgex
\textbf{Partie A.} 
\bgen
\item On a pour tout $x\not=0$, 
  $g(x)=x^3\lp1-\dfrac3{x^2}+\dfrac4{x^2}\rp$, 
  avec 
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty$ 
  et $\dsp\lim_{x\to-\infty}1-\dfrac3{x^2}+\dfrac4{x^2}=1$, 
  d'où, par produit des limites, 
  $\dsp\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$. 

  De m\^eme, en  $+\infty$, 
  $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$. 

\item $g$ est une fonction polyn\^ome donc définie et dérivable sur $\R$, 
  avec, pour tout réel $x$, 
  $g'(x)=3x^2-6=3\lp x^2-1\rp=3(x-1)(x+1)$. 

  $g'$ est une fonction du second degré, de racines évidentes $-1$ et $1$, 
  et on a donc 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $-1$ && 1 && $+\infty$\\\hline
  $g'(x)$ && $+$ &\zb&$-$&\zb&$+$& \\\hline
  &&&6&&&&\\
  $g$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
  &&&&&2&&\\\hline
  \end{tabular}\]

\item $g$ est une fonction polyn\^ome donc continue sur $\R$, 
  et en particulier sur $]-\infty;-1]$. 
  De plus, sur $]-\infty;-1]$, $f$ est strictement croissante 
  avec $\dsp\lim_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$ et $g(-1)=6>0$. 

  On a donc, d'après le théorème de la bijection 
  (ou des valeurs intermédiaires, version forte), qu'il existe 
  un unique réel $\alpha\in]-\infty;-1[$ tel que 
  $g(\alpha)=0$. 

  De plus, 2 étant le minimum de $g$ sur $[-1;+\infty[$, 
  $g$ ne s'y annule pas, et on en déduit que $\alpha$ est la seule 
  racine de $g$ sur $\R$. 

\item On trouve que $g(-2,20)<0$ et $g(-2.19)>0$ d'où 
  $-2,20<\alpha<-2,19$
\item On en déduit le tableau de signe: 
  \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && $+\infty$\\\hline
  $g(x)$ && $-$&\zb&$+$&\\\hline
  \end{tabular}\]
\enen

\textbf{Partie B.} 
On a $f=\dfrac{u}{v}$ 
avec 
$u(x)=x^3+3x^2-8$ donc $u'(x)=3x^2+6x$, 
et $v(x)=x-1$ donc $v'(x)=1$. 

On a donc 
$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, 
soit 
\[\bgar{ll}f'(x)
&=\dfrac{\lp3x^2+6x\rp(x-1)-\lp x^3+3x^2-8\rp\tm1}{(x-1)^2}\\
&=\dfrac{2x^3-6x+8}{(x-1)^2}
\enar\]
et on troue donc que 
\[f'(x)=\dfrac{2g(x)}{(x-1)^2}\]
On a alors, d'après la partie A, 
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && 1 && $+\infty$\\\hline
$g(x)$ && $-$&\zb &$+$ &$|$ &$+$&\\\hline
$(x-1)^2$ && $+$&$|$ &$+$ &\zb &$+$&\\\hline
$f'(x)$ && $-$&\zb &$+$ &\db &$+$&\\\hline
&&&&&&&\\
$g$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&
\psline(0,-.7)(0,.95)\psline(.08,-.7)(.08,.95)
&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&$f(\alpha)$&&&&\\\hline
\end{tabular}\]

\enex


\bgex
$f$ est la différence de la fonction exponentielle, 
définie et dérivable sur $\R$, et de la fonction identitée $x\mapsto x$, 
donc $f$ est dérivable sur $\R$, 
avec, pour tout réel $x$, 
$f'(x)=e^x-1$. 

On a $f'(x)>0\iff e^x>1=e^0\iff x>0$ car la fonction exponentielle 
est strictement croissante sur $\R$, et donc, 
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && 0 && $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$ &\\\hline
&&&&&\\
$f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&&&1&&\\\hline
\end{tabular}\]

\ul{Limite en $-\infty$:} 
On a $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^x=0$ et donc 
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$. 

\medskip
\ul{Limite en $-\infty$:} 
On a $f(x)=e^x\lp1-\dfrac{x}{e^x}\rp$, 
avec 
 $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$. \\
De plus, par croissances comparées, 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}x=+\infty$, 
d'où 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{e^x}
=\lim_{x\to+\infty}\dfrac1{\frac{x}{e^x}}=0$. 

On obtient ainsi 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}1-\dfrac{x}{e^x}=1$, 
et alors, par produit des limites 
$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$. 
\[\psset{xunit==1.4cm,yunit=1cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture*}(-5,-1)(5,10)
\psline{->}(-5,0)(3.5,0)
\psline{->}(0,-1)(0,10)
\multido{\i=-3+1}{6}{\psline(\i,-.1)(\i,.1)\rput(\i,-.3){\i}}
\multido{\i=1+1}{8}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.15,\i){\i}}
\psplot{-4}{3}{2.718 x exp x sub}
\psline{<->}(-1.5,1)(1.5,1)
\end{pspicture*}\]
\enex



\label{LastPage}
\end{document}

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