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Type: Devoir

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Description

Interrogation corrigée de mathématiques, Terminale S: probabilités

Niveau

Terminale S

Mots clé

probabilités, loi uniforme, loi exponentielle, loi normale, arbre de probabilité, formule des probabilités totales, devoir corrigé de mathématiques, maths, TS

Voir aussi:

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale S: probabilités},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: probabilités},
    pdfkeywords={complexes, intégration, intégrale, nombres complexes, Mathématiques, TS, terminale S}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{}%Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}


\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques}}

\bgex
Soit $A$ et $B$ deux événements. Compléter: 
\bgen[a)]
\item $P_A(B)= \ \dots \ $ 
\item $P(A\cup B)= \dots P(A) \dots P(B) \dots P(A\cap B)$
\item $A$ et $B$ indépendants $\iff P(A\cap B) = \ \dots $
\enen
\enex


\bgex
\bgen
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $[-1;2]$. 
  \bgen[a)]
  \item Donner la loi de densité $f$ de $X$. 
  et l'espérance de $X$. 
  \item Calculer les probabilités $P(X>0)$ 
    et $P_{(X>0)}(X>1)$. 
  \enen
\item Soit $Y$ une variable qui suit la loi exponentielle de param\`etre 
  $\lambda=0,1$. Calculer 
  \bgen[a)]
  \item Donner la loi de densité $g$ de $Y$ et l'espérance de $Y$. 
  \item $P(Y\leqslant 1) = $ 

  \item $P(Y\geqslant 10)= $ 

  \item $P(1\leqslant Y\leqslant2)= $
  \enen
\enen
\enex


\bgex
Une usine fabrique des tubes.

\medskip

\noindent\textbf{Partie A}
On s'intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.
\begin{enumerate}
\item Un tube de type 1 est accepté au contr\^ole si son épaisseur 
  est comprise entre $1,35$ millimètre et $1,65$ millimètre.

  \medskip 
  On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque tube de type 1 
  prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe son épaisseur 
  exprimée en millimètres. 
  On suppose que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale 
  d'espérance $1,5$ et d'écart-type $0,07$.
		
  \smallskip
		
  On prélève au hasard un tube de type 1 dans la production de la journée. 
  Calculer la probabilité que le tube soit accepté au contrôle.		
\item Une machine produit des tubes de type 2. 
  Un tube de type 2 est dit \og{}conforme pour la longueur \fg{} 
  lorsque celle-ci, en millimètres, appartient à l’intervalle $[298~;~302]$. 
  Le cahier des charges établit que, dans la production de tubes de type 2, 
  une proportion de 2\,\% de tubes non \og{} conformes pour la longueur\fg{} 
  est acceptable.
	
  \smallskip
	
  On souhaite décider si la machine de production doit être révisée. 
  Pour cela, on prélève au hasard dans la production de tubes de type 2 
  un échantillon de $250$ tubes dans lequel 10 tubes se révèlent être non 
  \og{}conformes pour la longueur\fg{}.	
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Donner un intervalle de fluctuation asymptotique à $95$\,\% 
    de la fréquence des tubes non \og{}conformes pour la longueur\fg{} 
    dans un échantillon de $250$ tubes.		
  \item Décide-t-on de réviser la machine ? Justifier la réponse.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip 

\noindent
\textbf{Partie B} 
Des erreurs de réglage dans la chaine de production peuvent affecter 
l'épaisseur ou la longueur des tubes de type 2.
Une étude menée sur la production a permis de constater que:
\begin{itemize}
\item 96\,\% des tubes de type 2 ont une épaisseur conforme;	
\item parmi les tubes de type 2 qui ont une épaisseur conforme, 95\,\% 
  ont une longueur conforme;	
\item 3,6\,\% des tubes de type 2 ont une épaisseur non conforme et une longueur conforme.
\end{itemize}

On choisit un tube de type 2 au hasard dans la production et on considère 
les événements :
\begin{itemize}
\item $E$ : \og{}l'épaisseur du tube est conforme\fg{};
\item $L$ : \og{}la longueur du tube est conforme\fg{}.
\end{itemize}

On modélise l'expérience aléatoire par un arbre pondéré :

\[\psset{unit=1cm,arrowsize=8pt,fillstyle=solid,fillcolor=white}\begin{pspicture}(0,-3)(6,3)
\psline{<->}(2.5,1.5)(0,0)(2.5,-1.5)
\pspolygon[linestyle=none](.8,.3)(1.6,.3)(1.6,1)(.8,1)
\pspolygon[linestyle=none](.8,-.3)(1.6,-.3)(1.6,-1)(.8,-1)
\rput[l](.9,.7){\dots}\rput[l](.9,-.7){\dots}
\rput[l](2.7,1.5){$E$}\rput[l](2.7,-1.5){$\overline{E}$}
\psline{<->}(5.5,2.5)(3.2,1.5)(5.5,.5)
\pspolygon[linestyle=none](4,.8)(4.8,.8)(4.8,2.3)(4,2.3)
\rput[l](4.2,1){\dots}
\rput[l](4.2,2){\dots}
\rput[l](5.7,2.5){$L$}\rput[l](5.7,.5){$\overline{L}$}
\psline{<->}(5.5,-2.5)(3.2,-1.5)(5.5,-.5)
\pspolygon[linestyle=none](4,-.8)(4.8,-.8)(4.8,-2.3)(4,-2.3)
\rput[l](4.2,-1){\dots}
\rput[l](4.2,-2){\dots}
\rput[l](5.7,-.5){$L$}\rput[l](5.7,-2.5){$\overline{L}$}
\end{pspicture}\]


\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter entièrement cet arbre.	
\item Montrer que la probabilité de l'événement $L$ est égale à 0,948.
\item On prélève un tube dont la longueur a été vérifiée et est conforme. 
  Quelle est la probabilité que son épaisseur le soit aussi ? 
\end{enumerate}

\enex



\clearpage
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-3em}
\ct{\bf\LARGE{Devoir de math\'ematiques - Page de réponse}}

\pspolygon(-.9,.3)(18.5,.3)(18.5,-2.1)(-.9,-2.1)
\rput(-1.2,-.9){\rotatebox{90}{\large\bf Exercice 1}}

\noindent
a) $P_A(B)= \qquad \ \dots \ $ \qquad\qquad 
b) $P(A\cup B)= \quad \dots \quad P(A) \quad \dots \quad P(B) \quad \dots \quad P(A\cap B)$ \\[2.em]
c) $A$ et $B$ indépendants $\iff P(A\cap B) = \ \dots  $


\pspolygon(-.9,-.1)(18.5,-.1)(18.5,-9.5)(-.9,-9.5)
\rput(-1.2,-2.2){\rotatebox{90}{\large\bf Exercice 2}}

\vspace{.8em}
\hspace*{-3em}\bgmp{18.5cm}\bgen
\item %Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $[-1;2]$. 
  \bgen[a)]
  \item $f$ \quad \dots \quad \phantom{est définie sur $[-1;2]$ par $f(x)=\dfrac1{2-(-1)}=\dfrac13$
  et } $E(X)= \quad \dots $

  \medskip
  \item $P(X>0)= \quad \dots\phantom{P(X\in[0;2])=\dfrac{2-0}3=\dfrac23}$ \\[.7em]
    $P_{(X>0)}(X>1)= \quad \dots \phantom{\dfrac{P\Bigl((X>1)\cap(X>0)\Bigr)}{P(X>0)}
    =\dfrac{P(X>1)}{P(X>0)}=\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac12}$. 
  \enen
\item %Soit $Y$ une variable qui suit la loi exponentielle de param\`etre $\lambda=0,1$. 
  \bgen[a)]
  \item $g$ \qquad \dots \qquad \qquad \phantom{est définie sur $\R_+$ par $g(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ 
    et } $E(Y)= \quad \dots \phantom{\dfrac1\lambda=10}$. 
  \item $P(Y\leqslant 1)= \quad \dots \phantom{\dsp\int_0^1g(x)dx
    =\lb-e^{-\lambda x}\rb_0^1
    =-e^{-\lambda}+1}$

    \medskip
  \item $P(Y\geqslant 10)= \quad \dots \phantom{1-P(Y<10)=1-\lp -e^{-0,1\tm10}+1\rp=e^{-1}=\dfrac1e}$ 

    \bigskip
  \item $P(1\leqslant Y\leqslant2)= \quad \dots \phantom{P(Y\leqslant2)-P(Y<1)=
    -e^{-0,1\tm2}+1-\lp-e^{-0,1\tm1}+1\rp=e^{-0,1}-e^{-0,2}\simeq0,086}$
  \enen
\enen
\enmp

\vspace{1.5em}

\pspolygon(-.9,0)(18.5,0)(18.5,-15.6)(-.9,-15.6)
\rput(-1.2,-1.8){\rotatebox{90}{\large\bf Exercice 3}}
%Une usine fabrique des tubes.

\noindent\textbf{Partie A}
%On s'intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.
\vspace{-.8em}

\begin{enumerate}
\item \quad \dots \phantom{On cherche $p(1,35 \leqslant X \leqslant 1,65)$ qui vaut, 
    d'après la calculatrice, environ $\approx 0,968$.}

\bigskip

\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item \quad \dots 

    \vspace{3em}

  \item \quad \dots 

    \vspace{2.8em}

  \end{enumerate}


\end{enumerate}


\noindent
\textbf{Partie B} 

\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
\item \[\psset{xunit=1cm,yunit=.65cm,arrowsize=8pt,fillstyle=solid,fillcolor=white}\begin{pspicture}(8,-3.5)(10,3)
\psline{<->}(2.5,1.5)(0,0)(2.5,-1.5)
\pspolygon[linestyle=none](.8,.3)(1.6,.3)(1.6,1)(.8,1)
\pspolygon[linestyle=none](.8,-.3)(1.6,-.3)(1.6,-1)(.8,-1)
\rput[l](.8,.7){\dots}\rput[l](.9,-.7){\dots}
\rput[l](2.7,1.5){$E$}\rput[l](2.7,-1.5){$\overline{E}$}
\psline{<->}(5.5,2.5)(3.2,1.5)(5.5,.5)
\pspolygon[linestyle=none](4,.8)(4.8,.8)(4.8,2.3)(4,2.3)
\rput[l](4.2,1){\dots}
\rput[l](4.1,2.1){\dots}
\rput[l](5.7,2.5){$L$}\rput[l](5.7,.5){$\overline{L}$}
\psline{<->}(5.5,-2.5)(3.2,-1.5)(5.5,-.5)
\pspolygon[linestyle=none](4,-.8)(4.8,-.8)(4.8,-2.3)(4,-2.3)
\rput[l](4.1,-1){\dots}
\rput[l](4.1,-2){\dots}
\rput[l](5.7,-.5){$L$}\rput[l](5.7,-2.5){$\overline{L}$}

\end{pspicture}\]

\bigskip
	
\item \quad \dots 

  \vspace{2.8em}

\item \quad \dots 

  \vspace{2.3em}

\end{enumerate}




\label{LastPage}
\end{document}

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