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Type: Corrigé de devoir

File type: Latex, tex (source)

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Description

Interrogation corrigée de mathématiques, Terminale S: probabilités

Niveau

Terminale S

Mots clé

probabilités, loi uniforme, loi exponentielle, loi normale, arbre de probabilité, formule des probabilités totales, devoir corrigé de mathématiques, maths, TS

Voir aussi:

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\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques terminale S: probabilités},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: probabilités},
    pdfkeywords={complexes, intégration, intégrale, nombres complexes, Mathématiques, TS, terminale S}
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bigskip{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\voffset=-2.5cm
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\lfoot{}%Y. Morel - \url{xymaths.free.fr/Lycee/TS/}}
\cfoot{}
\rfoot{Devoir de mathématiques - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}

\vspace*{-2em}

\ct{\bf\LARGE{Correction du devoir de math\'ematiques}}


\pspolygon(-.9,.3)(18.5,.3)(18.5,-2.7)(-.9,-2.7)
\rput(-1.2,-1.2){\rotatebox{90}{\large\bf Exercice 1}}

\noindent
a) $P_A(B)= \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ \qquad 
b) $P(A\cup B)= P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ \\[1.8em]
c) $A$ et $B$ indépendants $\iff P(A\cap B) = P(A)\tm P(B) $


\pspolygon(-.9,-.3)(18.5,-.3)(18.5,-9.3)(-.9,-9.3)
\rput(-1.2,-2.2){\rotatebox{90}{\large\bf Exercice 2}}

\vspace{.8em}
\hspace*{-3em}\bgmp{18.5cm}\bgen
\item %Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $[-1;2]$. 
  \bgen[a)]
  \item $f$ est définie sur $[-1;2]$ par $f(x)=\dfrac1{2-(-1)}=\dfrac13$
  et $E(X)= \dfrac{-1+2}2=\dfrac12$. 

  \medskip
  \item $P(X>0)=P(X\in[0;2])=\dfrac{2-0}3=\dfrac23$ \\[.7em]
    $P_{(X>0)}(X>1)= \dfrac{P\Bigl((X>1)\cap(X>0)\Bigr)}{P(X>0)}
    =\dfrac{P(X>1)}{P(X>0)}=\dfrac{1/3}{2/3}=\dfrac12$. 
  \enen
\item %Soit $Y$ une variable qui suit la loi exponentielle de param\`etre $\lambda=0,1$. 
  \bgen[a)]
  \item $g$ est définie sur $\R_+$ par $g(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ 
    et $E(Y)=\dfrac1\lambda=10$. 
  \item $P(Y\leqslant 1)=\dsp\int_0^1g(x)dx
    =\lb-e^{-\lambda x}\rb_0^1
    =-e^{-\lambda}+1\simeq0,095$

    \medskip
  \item $P(Y\geqslant 10)=1-P(Y<10)=1-\lp -e^{-0,1\tm10}+1\rp=e^{-1}=\dfrac1e\simeq0,368$ 

    \medskip
  \item $P(1\leqslant Y\leqslant2)=P(Y\leqslant2)-P(Y<1)=
    -e^{-0,1\tm2}+1-\lp-e^{-0,1\tm1}+1\rp=e^{-0,1}-e^{-0,2}\simeq0,086$
  \enen
\enen
\enmp

\vspace{1.4em}

\pspolygon(-.9,0)(18.5,0)(18.5,-15.6)(-.9,-15.6)
\rput(-1.2,-1.8){\rotatebox{90}{\large\bf Exercice 3}}
%Une usine fabrique des tubes.

\noindent\textbf{Partie A}
%On s'intéresse à deux types de tubes, appelés tubes de type 1 et tubes de type 2.

\begin{enumerate}
\item On cherche $p(1,35 \leqslant X \leqslant 1,65)$ qui vaut, 
    d'après la calculatrice, environ $\approx 0,968$.

\medskip

\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% est 
    \[I=\left[ p-1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}   ; p+1,96 \dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}  \right]=\biggl[0,003~;~0,037\biggr]\]
	
    \vspace{-.6em}
  \item La fréquence observée de tubes non \og{}conformes pour la longueur\fg{} est $f=\dfrac{10}{250}=0,04$.
		
    On a $f \notin I$, on peut donc estimer qu'il faut réviser la machine. 
  \end{enumerate}


\end{enumerate}


\noindent
\textbf{Partie B} 

\vspace{-1em}
\begin{enumerate}
\item D'après l'énoncé $P\lp\overline{E}\cap L\rp = 3,6\%$ 
  donc $p_{_{\overline{E}}}(L)=\dfrac{P(\overline{E}\cap L)}{P(\overline{E})}=\dfrac{3,6\%}{4\%}=0,9=90\%$.
\[\psset{xunit=1cm,yunit=.65cm,arrowsize=8pt,fillstyle=solid,fillcolor=white}\begin{pspicture}(0,-2.3)(6,2.5)
\psline{<->}(2.5,1.5)(0,0)(2.5,-1.5)
\pspolygon[linestyle=none](.8,.3)(1.6,.3)(1.6,1)(.8,1)
\pspolygon[linestyle=none](.8,-.3)(1.6,-.3)(1.6,-1)(.8,-1)
\rput[l](.8,.7){96\%}\rput[l](.9,-.7){4\%}
\rput[l](2.7,1.5){$E$}\rput[l](2.7,-1.5){$\overline{E}$}
\psline{<->}(5.5,2.5)(3.2,1.5)(5.5,.5)
\pspolygon[linestyle=none](4,.8)(4.8,.8)(4.8,2.3)(4,2.3)
\rput[l](4.2,1){5\%}
\rput[l](4.1,2.1){95\%}
\rput[l](5.7,2.5){$L$}\rput[l](5.7,.5){$\overline{L}$}
\psline{<->}(5.5,-2.5)(3.2,-1.5)(5.5,-.5)
\pspolygon[linestyle=none](4,-.8)(4.8,-.8)(4.8,-2.3)(4,-2.3)
\rput[l](4.1,-1){90\%}
\rput[l](4.1,-2){10\%}
\rput[l](5.7,-.5){$L$}\rput[l](5.7,-2.5){$\overline{L}$}

\end{pspicture}\]

	
\item En utilisant l'arbre, ou la formule des probabilités totales, 	
  $\bgar[t]{ll}P(L)&=P(L \cap E)+P\lp L\cap \overline{E}\rp\\
  &=96\%\tm 95\%+3,6\%=94,8\%\enar$

\item La probabilité cherchée est $P_L(E)=\dfrac{P(E\cap L)}{P(L)}=\dfrac{96\%\tm95\%}{94,8\%}\simeq96,2\%$. 
\end{enumerate}







\label{LastPage}
\end{document}

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