Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Baccalauréat S - Liban, 31 mai 2016},
pdftitle={Bac S - Liban, 31 mai 2016},
pdfkeywords={Bac S, Liban, annale, Mathématiques, maths}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}\cfoot{}
\rfoot{Baccalauréat S Liban 31 mai 2016 - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\Large\textbf{Baccalauréat S - Liban - 31 mai 2016}}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 1}}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{4 points}
\medskip
On considère un solide ADECBF constitué de deux pyramides identiques
ayant pour base commune le carré ABCD de centre $I$. Une représentation
en perspective de ce solide est donnée
\textbf{en annexe (à rendre avec la copie)}.
Toutes les arêtes sont de longueur $1$.
L'espace est rapporté au repère orthonormé $\lp A;\V{AB},\V{AD},\V{AK}\rp$.
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que $IE=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
En déduire les coordonnées des points $I$, $E$ et $F$.
\item Montrer que le vecteur $\vec{n}\lp\bgar{c}0\\- 2\\\sqrt{2}\enar\rp$
est normal au plan $(ABE)$.
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABE)$.
\end{enumerate}
\item On nomme M le milieu du segment $[DF]$ et $N$ celui du segment $[AB]$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Démontrer que les plans $(FDC)$ et $(ABE)$ sont parallèles.
\item Déterminer l'intersection des plans $(EMN)$ et $(FDC)$.
\item Construire sur l'\textbf{annexe (à rendre avec la copie)} la
section du solide $ADECBF$ par le plan $(EMN)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 2}}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{4 points}
\medskip
Sur un court de tennis, un lance-balle permet à un joueur de
s'entraîner seul. Cet appareil envoie des balles une par une à une
cadence régulière. Le joueur frappe alors la balle puis la balle
suivante arrive.
Suivant le manuel du constructeur, le lance-balle envoie au hasard la
balle à droite ou à gauche avec la même probabilité.
\medskip
\emph{Dans tout l'exercice, on arrondira les résultats à $10^{-3}$ près.}
\medskip
\textbf{Partie A}
Le joueur s'apprête à recevoir une série de 20 balles.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à
droite ?
\item Quelle est la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et
10 balles à droite ?
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Le lance-balle est équipé d'un réservoir pouvant contenir 100
balles. Sur une séquence de 100 lancers, 42 balles ont été lancées à
droite.
Le joueur doute alors du bon fonctionnement de l'appareil. Ses doutes
sont-ils justifiés ?
\medskip
\textbf{Partie C}
\medskip
Pour augmenter la difficulté le joueur paramètre le lance-balle de
façon à donner un effet aux balles lancées. Elles peuvent être soit
\og liftées \fg{} soit \og coupées \fg. La probabilité que le
lance-balle envoie une balle à droite est toujours égale à la
probabilité que le lance-balle envoie une balle à gauche.
Les réglages de l'appareil permettent d'affirmer que :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le lance-balle envoie une balle
liftée à droite est $0,24$ ;
\item[$\bullet~~$] la probabilité que le lance-balle envoie une balle
coupée à gauche est $0,235$.
\end{itemize}
\medskip
Si le lance-balle envoie une balle coupée, quelle est la probabilité
qu'elle soit envoyée à droite ?
%\bigskip
\clearpage
\textbf{\textsc{Exercice 3}}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{4 points}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;1]$ par :
$f(x)=\dfrac{1}{1+e^{1 - x}}$.
\textbf{Partie A}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle
$[0;1]$.
\item Démontrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0;1]$,
$f(x) = \dfrac{e^x}{e^x + e}$ (on rappelle que $e = e^1$).
\item Montrer alors que $\dsp\int_0^1 f(x) dx=\ln(2)+1-\ln(1+e)$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip
Soit $n$ un entier naturel. On considère les fonctions $f_n$ définies
sur $[0;1]$ par:
\[fn(x) = \dfrac{1}{1 + ne^{1 - x}}.\]
On note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans le plan muni d'un repère orthonormé.
On considère la suite de terme général
\[u_n = \int_0^1 f_n(x) dx.\]
\begin{enumerate}
\item On a tracé en annexe les courbes représentatives des fonctions
$f_n$ pour $n$ variant de 1 à 5.
Compléter le graphique en traçant la courbe $\mathcal{C}_0$
représentative de la fonction $f_0$.
\item Soit $n$ un entier naturel, interpréter graphiquement $u_n$ et
préciser la valeur de $u_0$.
\item Quelle conjecture peut-on émettre quant au sens de variation de
la suite $\lp u_n\rp$ ?
Démontrer cette conjecture.
\item La suite $\lp u_n\rp$ admet-elle une limite ?
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 4}}
\hrulefill Candidats n'ayant pas suivi l'esneignement de spécialité\hrulefill
\textbf{5 points}
\medskip
\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie
ou fausse en justifiant la réponse.\\
Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non
justifiée ne sera pas prise
en compte et l'absence de réponse n'est pas pénalisée.}
\medskip
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Sur le schéma ci-dessous on a représenté la courbe
de densité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale
d'espérance $\mu = 20$. La probabilité que la variable aléatoire $X$
soit comprise entre $20$ et $21,6$ est égale à $0,34$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=8cm,algebraic=true}
\def\xmin {13.8} \def\xmax {26}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=2, Dy=0.1]%
(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,0)
\def\m{20}% moyenne
\def\s{1.5}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot{13.8}{26}{\f}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
{\psplot{20}{21.6}{\f}
\psline(21.6,0)(20,0)
}
\psline(20,0)(20,0.268)
\rput(20.75,0.125){0,34}
\end{pspicture*}
\end{center}
\textbf{Affirmation 1:} La probabilité que la variable aléatoire $X$ appartienne à l'intervalle $[23,2~;~ + \infty[$ vaut environ 0,046.
\medskip
\item[$\bullet$] Soit $z$ un nombre complexe différent de 2.
On pose: $Z = \dfrac{\text{i}z}{z - 2}$.
\textbf{Affirmation 2:} L'ensemble des points du plan complexe
d'affixe $z$ tels que $|Z| = 1$ est une droite passant par le point
$A(1~;~0)$.
\textbf{Affirmation 3:} $Z$ est un imaginaire pur si et seulement si
$z$ est réel.
\medskip
\item[$\bullet$] Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :
$f(x)=\dfrac{3}{4 + 6e^{-2x}}$.
\medskip
\textbf{Affirmation 4:} L'équation $f(x) = 0,5$ admet une unique
solution sur $\R$.
\textbf{Affirmation 5:} L' algorithme suivant affiche en sortie la
valeur $0,54$.
\[\begin{tabular}{|l|l|} \hline
Variables: &$X$ et $Y$ sont des réels\\
Initialisation: &$X$ prend la valeur 0\\
&$Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{10}$\\
Traitement: & Tant que $Y < 0,5$\\
&\hspace{0.4cm}$X$ prend la valeur $X + 0,01$\\
&\hspace{0.4cm}$Y$ prend la valeur $\dfrac{3}{4 + 6\text{e}^{- 2X}}$\\
&Fin Tant que\\
Sortie: & Afficher $X$\\ \hline
\end{tabular}\]
\end{itemize}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 4}}
\hrulefill Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité\hrulefill
\textbf{5 points}
\medskip
\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie
ou fausse en justifiant la réponse.
Un point est attribué par réponse exacte justifiée. Une réponse non
justifiée ne sera pas prise en compte et l'absence de réponse n'est
pas pénalisée.}
\medskip
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] On considère le système
$\la\bgar{lcl}
n &\equiv & 1 \quad [5]\\
n &\equiv & 3 \quad[4]
\enar\right.$
d'inconnue $n$ entier relatif.
\textbf{Affirmation 1:} Si $n$ est solution de ce système
alors $n - 11$ est divisible par 4 et par 5.
\textbf{Affirmation 2:} Pour tout entier relatif $k$,
l'entier $11 + 20k$ est solution du système.
\textbf{Affirmation 3:} Si un entier relatif $n$ est solution du système
alors il existe un entier relatif $k$ tel que $n = 11 + 20k$.
\item[$\bullet~~$] Un automate peut se trouver dans deux états A ou B.
À chaque seconde il peut soit rester dans l'état où il se trouve, soit
en changer, avec des probabilités données par le graphe probabiliste
ci-dessous.
Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ la probabilité que l'automate
se trouve dans l'état A après $n$ secondes et $b_n$ la probabilité
que l'automate se trouve dans l'état B après $n$ secondes.
Au départ, l'automate est dans l'état B.
\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,1)(7,2.95)
\cnodeput(1,2){A}{A}
\cnodeput(6,2){B}{B}
\nccircle[angleA=-180]{->}{A}{0.4cm}\rput(1,1){0,3}
\nccircle[angleA=-180]{->}{B}{0.4cm}\rput(6,1){0,2}
\ncarc[arcangle=20]{->}{A}{B}\rput(3.5,2.75){0,7}
\ncarc[arcangle=20]{->}{B}{A}\rput(3.5,1.25){0,8}
\end{pspicture}\]
On considère l'algorithme suivant:
\[\begin{tabular}{|l|l|} \hline
Variables: &$a$ et $b$ sont des réels\\
Initialisation: & $a$ prend la valeur 0\\
&$b$ prend la valeur 1\\
Traitement: &Pour $k$ allant de 1 à 10\\
&\hspace{0.4cm}$a$ prend la valeur $0,8a + 0,3b$\\
&\hspace{0.4cm}$b$ prend la valeur $1 - a$\\
&Fin Pour\\
Sortie: &Afficher $a$\\
&Afficher $b$\\ \hline
\end{tabular}\]
\textbf{Affirmation 4:} En sortie, cet algorithme affiche les valeurs
de $a_{10}$ et $b_{10}$ \fg.
\textbf{Affirmation 3:} Après 4 secondes, l'automate a autant de
chances d'être dans l'état A que d'être dans l'état B.
\end{itemize}
\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 5}}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{3 points}
\medskip
On considère la suite $\lp z_n\rp$ de nombres complexes définie
pour tout entier naturel $n$ par:
\[\la\bgar{lcl}
z_0 & =& 0\\
z_{n+ 1}& =& \dfrac{1}{2} i \tm z_n + 5
\enar\right.\]
Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on note $M_n$ le point
d'affixe $z_n$.
On considère le nombre complexe $z_{A} = 4 + 2i$ et $A$ le point du
plan d'affixe $z_{A}$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Soit $\lp u_n\rp$ la suite définie pour tout entier naturel $n$
par $u_n=z_n-z_{A}$
.
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=\dfrac12 i\tm u_n$.
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$:
$u_n = \lp\dfrac12 i\rp^n (- 4 - 2i)$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les points $A$,
$M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.
\end{enumerate}
%\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe}
- \textbf{À rendre avec la copie}
\textbf{\large Exercice 1}
\vspace{-2em}
\[\psset{unit=0.75cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-4,-4.6)(12,7.2)
\psline[linestyle=dotted](-4,0)(12,0)
\psline[linestyle=dotted](0,-5)(0,7)
\psline[linestyle=dotted](-4,-1.6)(12,4.8)
\pspolygon(0,0)(6.7,0)(10,1.3)(5,-4)%ABCFA
\psline(6.7,0)(5,-4)%BF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.3,1.3)(10,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](5,-4)(3.3,1.3)(5,5.35)%FDE
\psline(0,0)(5,5.35)(6.7,0)%AEB
\psline(5,5.35)(10,1.3)%EC
\psdots(5,0.65)%I
\uput[ul](0,0){A}
\uput[ur](6.7,0){B}
\uput[r](10,1.3){C}
\uput[ul](3.3,1.3){D}
\uput[u](5,5.35){E}
\uput[d](5,-4){F}
\uput[u](5,0.65){I}
\psdots(0,6.3)%K
\uput[u](-.4,6){K}
\end{pspicture}\]
\medskip
\textbf{\large Exercice 3}
\[\psset{unit=6cm,comma=true,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.2)(1.25,1.25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(1.25,1.25)
\psgrid[gridlabels=2,subgriddiv=5,griddots=2](0,0)(1.2,1.2)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]
{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]
{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 2 mul add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]
{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 3 mul add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]
{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 4 mul add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]
{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 5 mul add div}
\uput[r](1,0.5){$\mathcal{C}_1$}\uput[r](1,0.35){$\mathcal{C}_2$}
\uput[r](1,0.28){$\mathcal{C}_3$}\uput[r](1,0.22){$\mathcal{C}_4$}
\uput[r](1,0.13){$\mathcal{C}_5$}
\end{pspicture*}\]
\end{center}
\label{LastPage}
\end{document}
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