Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Baccalauréat S - Corrigé: Liban, 31 mai 2016},
pdftitle={Bac S - Corrigé: Liban, 31 mai 2016},
pdfkeywords={Bac S, Liban, annale, corrigé, correction,
baccalauréat, Mathématiques, maths}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}\cfoot{}
\rfoot{Baccalauréat S Liban 31 mai 2016 - \thepage/\pageref{LastPage}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\Large\textbf{Baccalauréat S - Liban - 31 mai 2016}}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 1}}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{4 points}
\[\psset{unit=0.65cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-4,-4.7)(12,6.7)
\psline[linestyle=dotted](-4,0)(12,0)
\psline[linestyle=dotted](0,-5)(0,7)
\psline[linestyle=dotted](-4,-1.6)(12,4.8)
\pspolygon(0,0)(6.7,0)(10,1.3)(5,-4)%ABCFA
\psline(6.7,0)(5,-4)%BF
\psline[linestyle=dashed](0,0)(3.3,1.3)(10,1.3)%ADC
\psline[linestyle=dashed](5,-4)(3.3,1.3)(5,5.35)%FDE
\psline(0,0)(5,5.35)(6.7,0)%AEB
\psline(5,5.35)(10,1.3)%EC
\psdots(5,0.65)%I
\uput[ul](0,0){A} \uput[ur](6.7,0){B} \uput[r](10,1.3){C}
\uput[ul](3.3,1.3){D}
\uput[u](5,5.35){E}
\uput[d](5,-4){F}
\uput[u](5.2,0.5){I}
\psdots(0,6.3)%K
\uput[u](-.4,6){K}
%
\psdots(4.15,-1.35)%M
\uput[u](4.6,-1.7){M}
\psdots(3.35,0)%N
\uput[u](3.1,0){N}
% (EMN) cap (FDC)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](5,5.35)(3.35,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](4.15,-1.35)(5,1.3)
% (EMN) cap (AFB)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](5,5.35)(5,1.3)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](3.3,0)(3.3,-2.7)
% Intersection
\pscustom[fillstyle=vlines,fillcolor=lightgray]
{
\pspolygon(5,5.35)(5,1.3)(4.15,-1.35)(3.3,-2.6)(3.3,0)
\closepath
}
% Repère (A,AB,AD,AK)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{->}(0,0)(6.7,0)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{->}(0,0)(3.3,1.3)
\psline[linewidth=1.8pt,linecolor=red]{->}(0,0)(0,6.7)
\end{pspicture}\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item La diagonale du carré $ABCD$ a pour longueur
$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$, d'après le théorème de Pythagore,
et donc, $AI=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{\sqrt2}{2}$.
Comme $AEC$ est isocèle en $E$, et que $I$ est le milieu de
$[AC]$, donc $(IE)$ est la médiatrice de $[AC]$ et donc
$AIE$ est rectangle en $I$.
Alors, d'après le théorème de Pythagore dans $AIE$,
$IE^2=AE^2-AI^2=1-\dfrac12=\dfrac12$
d'où la hauteur $IE=\dfrac{\sqrt2}{2}=AI$.
Ainsi, $I\lp \dfrac12;\dfrac12;0\rp$,
$E\lp \dfrac12;\dfrac12;\dfrac{\sqrt2}{2}\rp$,
et
$F\lp \dfrac12;\dfrac12;-\dfrac{\sqrt2}{2}\rp$,
\item On a
$\V{AB}\lp\bgar{c}1\\0\\0\enar\rp$,
donc $\V{AB}\cdot\vec{n}=1\tm0+0\tm(-2)+0\tm\sqrt2=0$,
et $\V{AE}\lp\bgar{c}\dfrac12\\\dfrac12\\\dfrac{\sqrt2}{2}\enar\rp$,
donc $\V{AE}\cdot\vec{n}
=\dfrac12\tm0+\dfrac12\tm(-2)+\dfrac{\sqrt2}{2}\tm\sqrt2
=0-1+1=0$.
$\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du
plan $(ABE)$ et est donc orthogonal à tous les vecteurs de
$(ABE)$: $\vec{n}$ est normal au plan $(ABE)$.
\item Comme $\vec{n}$ est un vecteur normal à $(ABC)$,
une équation cartésienne de $(ABC)$ est
$-2y+\sqrt2z+d=0$, où $d\in\R$.
De plus, $A(0;0;0)\in (ABC) \iff d=0$.
Ainsi, $(ABC): -2y+\sqrt2z=0$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item De même qu'en 1.b),
le vecteur $\vec{n}$ est normal au plan $(FDC)$:
\bgit
\item $\V{DC}=\V{AB}$ car $ABCD$ est un carré,
et $\V{AB}\perp\vec{n}$
donc $\V{DC}\perp\vec{n}$
\item $\V{FC}\lp\bgar{c}1-\dfrac12\\1-\dfrac12\\\dfrac{\sqrt2}{2}\enar\rp$
donc $\V{FC}\lp\bgar{c}\dfrac12\\\dfrac12\\\dfrac{\sqrt2}{2}\enar\rp$
et $\V{FC}=\V{AE}$, donc $\vec{n}\perp\V{FC}$.
\enit
Les plans $(ABE)$ et $(FDC)$ ayant même vecteur normal sont donc
parallèles.
\item Les plans $(EMN)$ et $(FDC)$ sont sécants suivant une droite.
Comme les plans $(ABE)$ et $(FDC)$ sont parallèles,
le plan $(EMN)$ coupe ces deux plans suivant deux droites
parallèles.
L'intersection de $(ABE)$ et $(EMN)$ est la droite $(EN)$,
car $E\in(ABE)$ et $E\in(EMN)$ d'une part,
et d'autre part $N\in(EMN)$ et $N\in(AB)$ donc $N\in(ABE)$.
L'intersection de $(EMN)$ avec $(FDC)$ est donc
une droite parallèle à $(EN)$.
Or $M\in(FD)$ donc $M\in(FDC)$ et $M\in(EMN)$,
donc $M\in(EMN)\cap(FDC)$.
Ainsi, l'intersection de $(FDC)$ et $(EMN)$ est la droite passant
par $M$ parallèle à $(EN)$.
\item De même que précédemment, les plans $(ABF)$ et $(EDC)$ sont
parallèles.
Ainsi le plan $(EMN)$ intersecte ces plans suivant deux droites
parallèles, qui nous donne l'intersection du plan $(EMN)$ avec
l'arête $[AF]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 2}}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{4 points}
\textbf{Partie A}
On répète $n=20$ fois l'expérience aléatoire
"envoyer une balle" dont le succès est
$D$:"la balle est envoyée à droite" de probabilité $p=1/2$.
Ces répétitions sont supposées identiques et indépendantes.
On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès,
c'est-à-dire au nombre de balles envoyées à droite;
alors $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(20;0,5)$.
\begin{enumerate}
\item La probabilité que le lance-balle envoie 10 balles à
droite est donc, avec la calculatrice,
$P(X=10)=\lp\bgar{c}20\\10\enar\rp 0,5^10 (1-0,5)^10\simeq 0,176$.
\item De même, la probabilité que le lance-balle envoie entre 5 et
10 balles à droite est
$P(5\leqslant X\leqslant 10)=P(X\leqslant10)-P(X\leqslant5)
\simeq 0,567$
\end{enumerate}
\textbf{Partie B}
La proportion de balles envoyées à droite sur un échantillon de
$n=100$ est comprise dans l'intervalle de fluctuation
\[I=\Bigl[ 0,5-1,96\sqrt{\dfrac{0,5(1-0,5)}{100}}\ ;\
0,5+1,96\sqrt{\dfrac{0,5(1-0,5)}{100}} \Bigr]
=\Bigl[0,402\ ;\ 0,598\Bigr]\]
avec une probabilité d'environ 95\%.
Ici la proportion de ballee envoyées à droite est de
$p'=42\%\in I$, et donc on ne peut pas remettre en cause
le bon fonctionnement de la machine.
\medskip
\textbf{Partie C}
On peut s'aider d'un arbre de probabilités,
avec les probabiltiés conditionnelles
\[P_D(L)=\dfrac{P(L\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,24}{0,5}=0,48
\text{ et }
P_{\overline{D}}(C)=\dfrac{P(C\cap \overline{D})}{P(C)}
=\dfrac{0,235}{0,5}=0,470\]
\[\psset{xunit=1.cm,yunit=.8cm}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,2.2)
\psline(0,0)(1.5,1.5)
\rput(1.75,1.5){$D$}\rput(0.7,1.2){$\frac12$}
\psline(2,1.5)(3.5,2.25)
\rput(3.75,2.25){$L$}\rput(2.7,2.2){$0,48$}
\psline(2,1.5)(3.5,0.75)
\rput(3.75,0.75){$C$}\rput(2.7,0.7){$0,52$}
%
\psline(0,0)(1.5,-1.5)
\rput(1.75,-1.5){$\overline{D}$}\rput(0.7,-1.2){$\frac12$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-0.75)
\rput(3.75,-0.75){$L$}\rput(2.7,-0.75){$0,53$}
\psline(2,-1.5)(3.5,-2.25)
\rput(3.75,-2.25){$C$}\rput(2.7,-2.28){$0,47$}
\end{pspicture}\]
Si la balle est envoyée coupée, la probabilité qu'elle soit envoyée à
droite est alors,
\[P_C(D)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(C)}
=\dfrac{0,5\tm0,52}{0,5\tm0,52+0,5\tm0,47}
\simeq 0,525\]
\textbf{\textsc{Exercice 3}}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{4 points}
\textbf{Partie A}\quad
$f$ est définie sur $[0;1]$ par:
$f(x) = \dfrac{1}{1 + \text{e}^{1 - x}}$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Comme pour tout réel $x$, $e^x>0$, on a
$1+e^{1-x}>1>0$, et donc $f$ est définie et dérivable sur $\R$, donc
aussi sur $[0;1]$, comme l'inverse d'une fonction définie et
dérivable qui ne s'annule jamais.
Plus précisément, $f=\dfrac{1}{u}$, avec
$u=1+e^v$, avec $v(x)=1-x$, donc $v'(x)=-1$ et
$u'(x)=v'(x)e^{v(x)}=-e^{1-x}$.
Finalement, $f'=-\dfrac{u'}{u^2}$,
soit
$f'(x)=\dfrac{e^{1-x}}{\lp1+e^{1-x}\rp^2}$.
On a $\lp1+e^{1-x}\rp^2>0$, et $e^{1-x}>0$,
ainsi, pour tout $x\in\R$, donc tout $x\in[0;1]$,
$f'(x)>0$, et la fonction $f$ est strictmenent croissante sur
$[0;1]$.
\item Pour tout réel $x$,
$f(x)=\dfrac{1}{1+e^{1-x}}\tm\dfrac{e^x}{e^x}
=\dfrac{e^x}{e^x+e^{1-x}e^x}
=\dfrac{e^x}{e^x + e}$
\item D'après l'expression précédente,
$f=\dfrac{u'}{u}$ avec $u(x)=e^x+e$.
Ainsi, une primitive de $f$ est $F=\ln(u)$,
soit $F(x)=\ln\lp e^x+e\rp$,
et on peut alors calculer l'intégrale:
\[\bgar{ll}
\dsp \int_0^1 f(x) dx&=\Bigl[ F(x) \Bigr]_0^1
=F(1)-F(0)
=\ln\lp e^1+e\rp-\ln\lp e^0+e\rp\\[.8em]
&=\ln(2e)-\ln(1+e)
=\ln(2)+\ln(e)-\ln(1+e)
=\ln(2)+1-\ln(1+e)
\enar\]
\end{enumerate}
\textbf{Partie B} \quad
Pour $n\in\N$ et $x\in[0;1]$, $fn(x) = \dfrac{1}{1 + ne^{1 - x}}$,
et $\dsp u_n=\int_0^1 f_n(x) dx$.
\begin{enumerate}
\item $\mathcal{C}_0$ est la courbe représentative de la fonction
constante $f_0=1$.
\[\psset{unit=4.2cm,comma=true,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-0.2,-.12)(1.25,1.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(1.25,1.1)
\psgrid[gridlabels=2,subgriddiv=5,griddots=2](0,0)(1.2,1)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]
{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]
{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 2 mul add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]
{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 3 mul add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]
{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 4 mul add div}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]
{0}{1}{1 1 2.71828 1 x sub exp 5 mul add div}
\uput[r](1,0.5){$\mathcal{C}_1$}\uput[r](1,0.35){$\mathcal{C}_2$}
\uput[r](1,0.28){$\mathcal{C}_3$}\uput[r](1,0.22){$\mathcal{C}_4$}
\uput[r](1,0.13){$\mathcal{C}_5$}
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](0,1)(1,1)
\uput[r](1,1.03){\red$\mathcal{C}_0$}
\end{pspicture*}\]
\item $u_n$ est l'aire du domaine compris entre l'axe des abscisses,
la courbe représentative $\mathcal{C}_n$ de la fonction $f_n$,
et les droites d'équation $x=0$ et $x=1$.
$u_0$ est donc l'aire d'un rectangle: $u_0=1\tm1=1$.
\item Comme les courbes $\mathcal{C}_n$ semblent être au dessous les
unes des autres, plus précisément $\mathcal{C}_{n+1}$ semble au
dessous de $\mathcal{C}_n$,
on pêut conjecturer que la suite $\lp u_n\rp$ est décroissante.
\medskip
Pour tout entier $n$, on a, par linéarité de l'intégrale,
\[\dsp u_{n+1}-u_n=\int_0^1 f_{n+1}(x)dx-\int_0^1f_n(x)dx
=\int_0^1 \lp f_{n+1}(x)-f_n(x)\rp dx\]
Or, pour tout entier $n$, et tout $x\in[0;1]$,
\[\bgar{ll}
f_{n+1}(x)-f_n(x)&=\dfrac{1}{1+(n+1)e^{1-x}}-\dfrac{1}{1+ne^{1-x}}\\[1em]
&=\dfrac{\lp1+ne^{1-x}\rp-\lp1+(n+1)e^{1-x}\rp}{\lp1+(n+1)e^{1-x}\rp\lp1+ne^{1-x}\rp}\\
&=-\dfrac{e^{1-x}}{\lp1+(n+1)e^{1-x}\rp\lp1+ne^{1-x}\rp}<0
\enar\]
car $e^{1-x}>0$ pour tout réel $x$, et donc tous les termes de cette
fraction sont strictement positifs.
On a finalement, par positivité de l'intégrale,
$\dsp u_{n+1}-u_n=\int_0^1 \lp f_{n+1}(x)-f_n(x)\rp dx<0$,
ce qui démontre la conjecture:
la suite $\lp u_n\rp$ est décroissante.
\item Comme $f_n(x)=\dfrac{1}{1+ne^{1-x}}>0$ pour tout entier $n$ et
tout $x\in[0;1]$, on a par positivité de l'intégrale:
$\dsp u_n=\int_0^1 f_n(x) dx>0$.
Ainsi, la suite $(u_n)$ est décroissante et minorée par 0:
elle est donc convergente vers une limite $l\geqslant0$.
\end{enumerate}
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 4}}
\hrulefill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité\hrulefill
\textbf{5 points}
\textbf{Affirmation 1:}
$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale
$\mathcal{N}\lp\mu;\sigma^2\rp$ et telle que
On sait que $P\lp 20<X<21,6\rp=0,34$.
La variable aléatoire $Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-20}{\sigma}$
suit alors la loi normale centrée et réduite, et
$P\lp 20<X<21,6\rp=P\lp 0<Y<\dfrac{1,6}{\sigma}\rp
=P\lp Y<\dfrac{1,6}{\sigma}\rp - P(Y\leqslant0)
=P\lp Y<\dfrac{1,6}{\sigma}\rp-0,5$.
Ainsi,
$P\lp 20<X<21,6\rp=0,34\iff P\lp Y<\dfrac{1,6}{\sigma}\rp=0,5+0,34=0,84$.
Avec la calculatrice, on trouve
$P(Y<0,994)\simeq 0,84$ et donc, en identifiant
$\dfrac{1,6}{\sigma}\simeq 0,994$
soit $\sigma\simeq\dfrac{1,6}{0,994}\simeq 1,61$.
On trouve alors que
$P(X\geqslant23,2)\simeq 0,023$:
\textbf{l'affirmation 1 est fausse}.
\medskip
\textbf{Affirmation 2:}
$|Z|=1\iff \left|\dfrac{iz}{z-2}\right|=1
\iff \dfrac{|i| |z|}{|z-2|}=1
\iff \dfrac{1\tm|z|}{|z-2|}=1
\iff |z|=|z-2|$
Ainsi, si on pose $O$ l'origine du repère, $B$ le point d'affixe
$z_B=2$, et $M$ le point d'affixe $z$, alors
\[|Z|=1\iff|z|=|z-2|
\iff OM=BM\]
L'ensemble des points est donc bien une droite: la médiatrice
du segment $[OB]$,
et qui passe bien par le point $A$ qui est son milieu.
\textbf{L'affirmation 2 est vraie}.
\textbf{Affirmation 3:} Pour $z\not=2$,
$Z=i\dfrac{z}{z-2}$ est un imaginaire pur si
et seulement si $\dfrac{z}{z-2}$ est réel.
On a $\dfrac{z}{z-2}
=\dfrac{z}{z-2}\tm\dfrac{\overline{z-2}}{\overline{z-2}}
=\dfrac{z(\overline{z}-2)}{|z-2|^2}
=\dfrac{|z|^2-2z}{|z-2|^2}
=\dfrac{|z|^2}{|z-2|^2}-\dfrac{2}{|z-2|^2}z$
Comme tous les modules sont des nombres réels,
$\dfrac{|z|^2}{|z-2|^2}\in\R$ et
$\dfrac{2}{|z-2|^2}\in\R$,
ce nombre est réel si
et seulement si il n'y a pas de partie imaginaire dans $z$,
c'est-à-dire si et seulement si $z\in\R$.
\textbf{L'affirmation 3 est vraie}.
\medskip
\textbf{Affirmation 4:}
\textbf{l'affirmation 4 est vraie}:
l'équation $f(x) = 0,5$ admet une unique solution sur~$\R$:
\[\bgar{ll}
&f(x)=0,5
\iff \dfrac{3}{4 + 6e^{-2x}}=\dfrac12\\
&\iff 4 + 6e^{-2x}=6
\iff e^{-2x}=\dfrac26=\dfrac13
\iff -2x=\ln\lp\dfrac13\rp=-\ln(3)
\iff x=\dfrac{\ln(3)}{2}
\enar\]
\textbf{Affirmation 5:}
Dans cet algorithme, la variable $Y$ prend successivement,
et tant qu'elle est inférieure à $0,5$,
les valeurs de $f(X)$ où
initialement $X=0$, puis augmente par pas de $0,01$.
Or lorsque $X=0,54$, $Y=f(0,54)\simeq 0,49<0,5$,
donc on effectue une itération supplémentaire:
$X=0,55$ et $Y=f(0,55)\simeq 0,5002>0,5$.
La boucle "tant que" s'arrête et la valeur de $X$ affichée est
$X=0,55$.
\textbf{L'affirmation 5 est fausse}.
\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 5}}
\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill
\textbf{3 points}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Pour tout $n\in\N$,
$u_{n+1}=z_{n+1}-z_A=\dfrac12iz_n+5-(4+2i)
=\dfrac12iz_n+1-2i
=\dfrac12i\lp z_n -2i-4\rp
=\dfrac12i\lp z_n -z_A\rp
=\dfrac12iu_n$
\item D'après le résultat précédent, on déduit que la suite $(u_n)$
est géométrique de
raison $\dfrac12i$ et de premier terme
$u_0=z_0-z_A=-(4+2i)=-4-2i$,
et donc, que, pour tout entier $n$,
$u_n=\lp\dfrac12i\rp^nu_0=\lp\dfrac12 i\rp^n (- 4 - 2i)$.
\end{enumerate}
\item Le vecteur $\V{AM_n}$ a pour affixe
$z_1=z_n-z_A=\lp u_n+z_A\rp-z_A=z_n$,
et de même, le vecteur $\V{AM_{n+4}}$ a pour affixe
$z_2=z_{n+4}=\lp\dfrac12i\rp^{n+4}
=\lp\dfrac12i\rp^n\lp\dfrac12i\rp^4$.
Or $\lp\dfrac12i\rp^4=\dfrac{1}{2^4}i^4=\dfrac18$,
et ainsi, $z_2=\dfrac18\lp\dfrac12i\rp^n=\dfrac18z_1$:
les vecteurs $\V{AM_n}$ et $\V{AM_{n+4}}$ sont colinéaires et donc
les points $A$, $M_n$ et $M_{n+4}$ sont alignés.
\end{enumerate}
%\newpage
\label{LastPage}
\end{document}
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