Source Latex
sujet du devoir
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\nwc{\TITLE}{Bac S - Métropole - La Réunion - 22 juin 2018}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{center}
{\Large{\textbf{Baccalauréat S Métropole--La Réunion 21 juin 2019}}}
\end{center}
\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\paragraph{Partie A}
On considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par :
\[f(x)=\dfrac72-\dfrac12\lp e^x+e^{-x}\rp\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item Montrer que la fonction $f$ est strictement décroissante
sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet,
sur l'intervalle $[0;+\infty[$, une unique solution,
que l'on note $\alpha$.
\end{enumerate}
\item En remarquant que, pour tout réel $x$, $f(-x) = f(x)$,
justifier que l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions dans
$\R$ et qu'elles sont opposées.
\end{enumerate}
\paragraph{Partie B}
Les \textbf{serres en forme de tunnel} sont fréquemment utilisées
pour la culture des plantes fragiles; elles limitent les effets
des intempéries ou des variations de température.
Elles sont construites à partir de plusieurs arceaux métalliques
identiques qui sont ancrés au sol et supportent une bâche en plastique.
\medskip
Le plan est rapporté à un repère orthonormé d'unité 1 mètre.
La fonction $f$ et le réel $\alpha$ sont définis dans la \textbf{partie A}.
Dans la suite de l'exercice, on modélise un arceau de serre par la courbe
$\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-\alpha;+\alpha]$.
On a représenté ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$
sur l'intervalle $[-\alpha;+\alpha]$.
\[\psset{unit=1.5cm,linewidth=1.2pt}
\def\xmin{-3} \def\xmax{3.9} \def\ymin{-.85} \def\ymax{3.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](-1,0)(1,2.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3.5,-.5)(3,3.5)
\psplot{-1.92}{1.92}{3.5 2.7181828 x -1 mul exp 2.7181828 x exp add .5 mul sub}
\psline(-3.2,2.2)(-3.2,-3.5)
\psline(-4.8,2.2)(-4.8,-3.5)
\psframe(-5.4,-3.5)(-2.6,-5)
\psline[linestyle=dashed](-3,2.5)(3,2.5)
\psline[arrows=<->,linewidth=1.pt](2.5,0.)(2.5,2.5)
\rput[l](2.65,1.25){\textbf{hauteur}}
\rput[l](-1.65,1.5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture*}\]
On admettra que la courbe $\mathcal{C}$ admet l'axe des ordonnées
pour axe de symétrie.
\begin{enumerate}
\item Calculer la hauteur d'un arceau.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Dans cette question, on se propose de calculer la valeur exacte
de la longueur de la courbe~$\mathcal{C}$ sur l'intervalle $[0;\alpha]$.
On admet que cette longueur est donnée, en mètre, par l'intégrale:
\[I=\dsp\int_0^{\alpha}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ dx\]
Montrer que, pour tout réel $x$, on a:
$1+(f'(x))^2=\dfrac14\lp e^x+e^{-x}\rp^2$
\item En déduire la valeur de l'intégrale $I$ en fonction de $\alpha$.
Justifier que la longueur d'un arceau, en mètre, est égale à:
$e^{\alpha}-e^{-\alpha}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\paragraph{Partie C}
On souhaite construire une serre de jardin en forme de tunnel.
On fixe au sol quatre arceaux métalliques, dont la forme est celle décrite
dans la partie précédente, espacées de 1,5~mètre, comme indiqué
sur le schéma ci-dessous.
Sur la façade sud, on prévoit une ouverture modélisée sur le schéma
par le rectangle $ABCD$ de largeur 1~mètre et de longueur 2~mètres.
\[\psset{unit=1.2cm,linewidth=1.2pt}
\def\xmin{-3} \def\xmax{7} \def\ymin{-.85} \def\ymax{6}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psframe[fillstyle=vlines,fillcolor=lightgray](-.5,0)(.5,2)
%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3.5,-.5)(3,3.5)
\psplot{-1.92}{1.92}{3.5 2.7181828 x -1 mul exp 2.7181828 x exp add .5 mul sub}
\psplot{-.92}{2.92}{3.5 2.7181828 x 1 sub -1 mul exp 2.7181828 x 1 sub exp add .5 mul sub 1 add}
\psplot{.08}{3.92}{3.5 2.7181828 x 2 sub -1 mul exp 2.7181828 x 2 sub exp add .5 mul sub 2 add}
\psplot{1.08}{4.92}{3.5 2.7181828 x 3 sub -1 mul exp 2.7181828 x 3 sub exp add .5 mul sub 3 add}
\psline(-3.2,2.2)(-3.2,-3.5)
\psline(-4.8,2.2)(-4.8,-3.5)
\psframe(-5.4,-3.5)(-2.6,-5)
\psline[linestyle=dashed](-1.92,0)(1.08,3)(4.92,3)
\psline(-1.92,0)(1.92,0)(4.92,3)
\psline(-.96,2)(0.96,2)
\psline(0,2.5)(3,5.5)
\psline[arrows=<->,linewidth=1.pt](2.5,0.)(3.5,1)
\rput[l](3.2,.5){\textbf{1m50}}
\uput[35](.5,0){$C$}
\uput[-35](.5,2){$B$}
\uput[135](-.5,0){$D$}
\uput[-35](-.5,2){$A$}
\rput[b](-.5,-0.5){\textbf{Façade sud}}
\rput[b](3.5,3){\textbf{Façade nord}}
\end{pspicture*}\]
On souhaite connaître la quantité, exprimée en m$^2$, de bâche plastique
nécessaire pour réaliser cette serre.
Cette bâche est constituée de trois parties, l'une recouvrant la façade nord,
l'autre la façade sud (sauf l'ouverture), la troisième partie de forme
rectangulaire recouvrant le toit de la serre.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la quantité de bâche nécéssaire pour recouvrir les façades
sud et nord est donnée, en $m^2$, par:
\[\mathcal{A}=4\int_0^{\alpha}f(x)\ dx-2\]
\item On prend 1,92 pour valeur approchée de $\alpha$.
Déterminer, au $m^2$ près, l'aire totale de la bâche plastique nécessaire
pour réaliser cette serre.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
\textbf{Commun à tous les candidats}
Une plateforme informatique propose deux types de jeux vidéo:
un jeu de type $A$ et un jeu de type~$B$.
\paragraph{Partie A}
Les durées des parties de type $A$ et de type $B$, exprimées en minutes,
peuvent être modélisées respectivement par deux variables aléatoires
$X_A$ et $X_B$.
La variable aléatoire $X_A$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[9;25]$
La variable aléatoire $X_B$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart
type 3. La représentation graphique de la fonction de densité de cette loi
normale et son axe de symétrie sont donnés ci-dessous.
\[\psset{xunit=.4cm, yunit=30cm,linewidth=1.2pt,comma}
\def\xmin{-3} \def\xmax{29} \def\ymin{-.025} \def\ymax{0.17}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.05](0,0)(0,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psplot[plotpoints=200]{-1}{28}{0.1329807601 2.7181828 x 17 sub 3 div 2 exp .5 neg mul exp mul}
\psline[linestyle=dashed](17,-.005)(17,.155)
\end{pspicture*}\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Calculer la durée moyenne d'une partie de type $A$.
\item Préciser à l'aide du graphique la durée moyenne d'une partie
de type $B$.
\end{enumerate}
\item On choisit au hasard, de manière équiprobable, un type de jeu.
Quelle est la probabilité que la durée d'une partie soit inférieure
à 20 minutes ? On donner le résultat arrondi au centième.
\end{enumerate}
\paragraph{Partie B}
On admet que, dès que le joueur achève une partie, la plateforme lui propose
une nouvelle partie selon le modèle suivant :
\begin{itemize}
\item si le joueur achève une partie de type $A$, la plateforme lui
propose de jouer à nouveau une partie de type $A$ avec une probabilité
de $0,8$;
\item si le joueur achève une partie de type $B$, la plateforme lui propose
de jouer à nouveau une partie de type $B$ avec une probabilité de $0,7$.
\end{itemize}
Pour un entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $A_n$ et $B_n$
les évènements:
$A_n$: \og la $n$-ième partie est une partie de type $A$\fg
$B_n$: \og la $n$-ième partie est une partie de type $B$\fg
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $a_n$
la probabilité de l'évènement $A_n$.
\begin{minipage}{11cm}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci contre
\item Montrer que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a : \[a_{n+1}=0,5a_n+0,3\]
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{6.5cm}
\[\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(0,-3)(6,3)
\psline(1,-.5)(0,0)(1,.5)\rput[l](1.1,.6){$a_n$}\rput[l](1.05,-.6){$\dots$}
\psline{->}(1.5,.7)(2.5,1.2)\rput[l](2.6,1.3){$A_n$}
\psline{->}(1.5,-.7)(2.5,-1.2)\rput[l](2.5,-1.3){$B_n$}
\psline(3.1,1.4)(3.5,1.7)\rput[l](3.6,1.8){$\dots$}
\psline{->}(4,2)(4.8,2.5)\rput[l](4.8,2.5){$A_{n+1}$}
\psline(3.1,1.4)(3.5,1.1)\rput[l](3.6,.9){$\dots$}
\psline{->}(4,.8)(4.8,.3)\rput[l](4.8,.4){$B_{n+1}$}
%
\psline(3.1,-1.4)(3.5,-1.7)\rput[l](3.6,-1.9){$\dots$}
\psline{->}(4,-2)(4.8,-2.5)\rput[l](4.8,-2.5){$B_{n+1}$}
\psline(3.1,-1.4)(3.5,-1.1)\rput[l](3.6,-.9){$\dots$}
\psline{->}(4,-.8)(4.8,-.3)\rput[l](4.8,-.5){$A_{n+1}$}
\end{pspicture}\]
\end{minipage}
Dans la suite de l'exercice, on note $a$ la probabilité que le joueur joue
au jeu $A$ lors de sa première partie, où $a$ est un nombre réel appartenant
à l'intervalle $[0;1]$. La suite $(a_n)$ est donc définie par: $a_1=a$,
et pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, $a_{n+1}=0,5a_n+0,3$.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item \textit{Étude d'un cas particulier.} Dans cette question, on suppose que $a=0,5$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$,
on a: $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$.
\item Montrer que la suite $(a_n)$ est croissante.
\item Montrer que la suite $(a_n)$ est convergente et préciser sa limite.
\end{enumerate}
\item \textit{Étude du cas général.} Dans cette question, le réel $a$
appartient à l'intervalle $[0;1]$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n\geqslant 1$
par $u_n=a_n - 0,6$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique.
\item En déduire que pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, on a:
$a_n=(a-0,6)\times 0,5^{n-1}+0,6$.
\item Déterminer la limite de la suite $(a_n)$. Cette limite dépend-elle
de la valeur de $a$?
\item La plateforme diffuse une publicité insérée en début des parties de
type $A$ et une autre insérée en début des parties de type $B$.
Quelle devrait-être la publicité la plus vue par un joueur s'adonnant
intensivement aux jeux vidéo ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\medskip
Les cinq questions de cet exercice sont indépendantes.
Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse
et justifier la réponse choisie.
Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse
n'est pas pénalisée.
\begin{enumerate}
\item Dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes, on considère l'équation
$(E)$: $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$.
On note $A$ et $B$ les points du plan dont les affixes sont les solutions
de $(E)$.
On note O le point d'affixe $0$.
\textbf{Affirmation 1:} Le triangle O$AB$ est équilatéral.
\item On note $u$ le nombre complexe : $u=\sqrt{3}+ \text{i}$ et
on note $\overline{u}$ son conjugué.
\textbf{Affirmation 2:} $u^{2019}+ \overline{u}^{2019}=2^{2019}$
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par:
\[f_n(x)=x e^{- nx+1}.\]
\textbf{Affirmation 3:} Pour tout entier naturel $n\geqslant 1$,
la fonction $f_n$ admet un maximum.
\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$
définie sur $\R$ par: $f(x)=\cos(x) e^{-x}$.
\textbf{Affirmation 4:} La courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote en $+\infty$.
\begin{minipage}{.5\linewidth}
\item Soit $A$ un nombre réel strictement positif.
On considère l'algorithme ci-contre.
On suppose que la variable $I$ contient la valeur 15 en fin d'exécution
de cet algorithme.
\textbf{Affirmation 5:} $15\ln(2)\leqslant \ln(A)\leqslant 16\ln(2)$
\end{minipage}\begin{minipage}{.5\linewidth}
\begin{center}
\fbox{\begin{minipage}{.35\linewidth}
$I \leftarrow 0$
Tant que $2^I\leqslant A$
\hspace{5mm} $I\leftarrow I+1$
Fin Tant que
\end{minipage}}
\end{center}
\end{minipage}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Exercice 4\hfill 5 points}
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
\begin{center}
\textbf{Les parties A et B peuvent être tratées de manière indépendante.}
\end{center}
\medskip
On considère un cube $ABCDEFGH$ d'arête de longueur 1, dont la figure
est donnée en annexe.
On note $I$ le milieu du segment $[EF]$, $J$ le milieu du segment $[EH]$
et $K$ le point du segment $[AD]$ tel que $\V{AK}=\dfrac{1}{4}\V{AD}$.
On note $\mathcal{P}$ le plan passant pat $I$ et parallèle au plan $(FHK)$.
\paragraph{Partie A}
Dans cette Partie, les constructions demandées seront effectuées
sans justification sur la figure donnée en annexe, à rendre avec la copie.
\begin{enumerate}
\item Le plan $(FHK)$ coupe la droite $(AE)$ en un point qu'on note $M$.
Construire le point $M$.
\item Construire la section du cube par le plan $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
\paragraph{Partie B}
Dans cette partie, on munit l'espace du repère orthonormé
$(A;\V{AB},\V{AD},\V{AE})$.
On rappelle que $\mathcal{P}$ est le plan passant par $I$
et parallèle au plan $(FHK)$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que le vecteur $\vec{n}\lp\substack {4\\ 4\\-3}\rp$
est un vecteur normal au plan $(FHK)$.
\item En déduire qu'une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est:
$4x+4y-3z-1=0$.
\item Déterminer une équation du plan $\mathcal{P}$.
\item Calculer les coordonnées du point $M'$, point d'intersection
du plan $\mathcal{P}$ et de la droite $(AE)$.
\end{enumerate}
\item On note $\Delta$ la droite passant par le point $E$ et orthogonale
au plan $\mathcal{P}$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite $\Delta$.
\item Calculer les coordonnées du point $L$, intersection de la droite
$\Delta$ et du plan $(ABC)$.
\item Tracer la droite $\Delta$ sur la figure donnée en annexe.
\item Les droites $\Delta$ et $(BF)$ sont-elles sécantes ?
Qu'en est-il des droites $\Delta$ et $(CG)$ ? Justifier.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}
\vfill
\begin{center}
\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(5.1,6.1)
\psframe(4,4)%ABFE
\psline(4,0)(5,1.5)(5,5.5)(4,4)%BCGF
\psline(5,5.5)(1,5.5)(0,4)%GHE
%\psline(5,5.5)(0,4)(4,0)%GEB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.5)(1,5.5)%ADH
%\psline[linestyle=dashed](0,4)(1,1.5)(5,5.5)%EDG
\psline[linestyle=dashed](1,1.5)(5,1.5)%BDC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4,0){B} \uput[r](5,1.5){C} \uput[l](1,1.5){D} \uput[90](2,4){I}\rput(2,3.98){$\bullet$}
\uput[l](0,4){E} \uput[r](4,4){F} \uput[r](5,5.5){G} \uput[l](1,5.5){H} \uput[90](.5,4.75){J}\rput(.5,4.75){$\bullet$}
\uput[90](.25,.45){K}\rput(.25,.35){$\bullet$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vfill
\label{LastPage}
\end{document}
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