@ccueil Colles

Source LaTeX icone Bac-S-Metropole-La-Reunion-21-juin-2019-c



Fichier
Type: Corrigé de devoir
File type: Latex, tex (source)
Télécharger le document pdf compilé pdficon
Description
Bac S mathématiques corrigé: métropole - La Réunion 21 juin 2019
Niveau
Terminale S
Table des matières
  • Exercice 1: Fonction exponentielle - Intégrales
  • Exercice 2: Probabilités: lois uniforme et normale, arbre de probabilités, suite de probabilités
  • Exercice 3: Vrai/faux: complexes, asymptote, algorithme
  • Exercice 4: Géométrie dans l'espace
Mots clé
annale bac S, mathématiques, métropole, La Réunion, Bac S, 21 juin 2019
Voir aussi:

Documentation sur LaTeX
pdficon
Source LaTex icone
Télécharger le fichier source pdficon

\documentclass[12pt,onecolumn,a4paper]{article}

\usepackage[french]{babel}
\selectlanguage{francais}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{enumerate}
\usepackage{array}
\usepackage{pst-all}

\usepackage{hyperref}
\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Corrigé du baccalauréat S de mathématiques 2019},
    pdftitle={Correction du baccalauréat S France métropolitaine 2019 - Mathématiques},
    pdfkeywords={correction, Baccalauréat, bac, Mathématiques, TS, terminale, S, 2019, métropole}
}
\hypersetup{
    colorlinks = true,
    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
    filecolor = red,
    %pagecolor = red,
    urlcolor = red
}
\voffset=-1cm

% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}


\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}

\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
	\protect\vspace*{\fill}}
\setlength{\columnsep}{30pt}	% default=10pt
\setlength{\columnseprule}{1pt}	% default=0pt (no line)
\setlength{\headsep}{0in}		% default=0.35in
\setlength{\parskip}{0ex}
\setlength{\parindent}{0mm}
\voffset=-1cm
\textheight=26.8cm
\textwidth=18.2cm
\topmargin=0cm
\headheight=-0.cm
\footskip=1.cm
\oddsidemargin=-1.4cm

\nwc{\TITLE}{Correction - Bac S - Métropole - La Réunion - 22 juin 2018}

\usepackage{ifthen}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancyplain}
\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}

\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

\lfoot{Y. Morel - \url{xymaths.free.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\begin{center} 
{\Large{\textbf{Correction - Bac S  Métropole--La Réunion  21 juin 2019}}}
\end{center}


\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\paragraph{Partie A}
$f(x)=\dfrac72-\dfrac12\lp e^x+ e^{-x}\rp$

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}[a)]
  \item On a $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et 
    $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$, et donc 
    par addition et multiplication 
    $\dsp\lim_{x\to+\infty}-\dfrac12\lp e^x+e^{-x}\rp=-\infty$ 
    d'où 
    $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$. 
  \item $f$ est dérivable sur $\R$, comme somme et composée de fonctions 
    qui le sont, avec 
    \[f'(x)=0-\dfrac12\lp e^x+\lp-e^{-x}\rp\rp=\dfrac12\lp-e^x+e^{-x}\rp\]
    Or, $-e^x+e^{-x}>0\iff e^{-x}>e^x \iff -x>x \iff -2x>0\iff x<0$. \\
    Ainsi, pour $x>0$, $f'(x)<0$ et 
    on en déduit que $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
  \item On a $f(0)=\dfrac72-\dfrac12\lp e^0+e^0\rp=\dfrac52>0$ 
    et $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$. 
    Comme de plus $f$ est dérivable, donc continue, et strictement décroissante 
    sur $[0;+\infty[$, on en déduit d'après le théorème de la bijection 
        (ou des valeurs intermédiaires) que l'équation $f(x) = 0$ admet 
        une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$. 
  \end{enumerate}

\item Pour tout réel $x$, on a bien 
  $f(-x)=\dfrac72-\dfrac12\lp e^{-x}+e^{-(-x)}\rp
  =\dfrac72-\dfrac12\lp e^{-x}+e^{x}\rp=f(x)$ 
  (ce qui signifie que $f$ est paire). 

  On a en particulier $f(-\alpha)=f(\alpha)=0$, et 
  pour tout $x<0$, $x\not=\alpha$, $f(x)=f(-x)\not=0$, 
  car $-x\in[0;+\infty[$ et que $\alpha$ est l'unique solution 
  de l'équation $f(x)=0$ sur $[0;+\infty[$. 

  En résumé, l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions dans 
  $\R$, $\alpha$ et $-\alpha$. 
\end{enumerate}

\paragraph{Partie B}
\begin{enumerate}
\item La hauteur d'un arceau est $f(0)=\dfrac52$. 
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Pour tout réel $x$, on a: 
  \[\bgar{ll}1+(f'(x))^2
  &=1+\lp\dfrac12\lp -e^x+e^{-x}\rp\rp^2\\[1em]
  &=1+\dfrac14\lp\lp -e^x\rp^2+2\tm\lp-e^x\rp\tm\lp e^{-x}\rp+\lp e^{-x}\rp^2\rp\\[.6em]
  &=1+\dfrac14\lp e^{2x}-2+e^{-2x}\rp\\[.6em]
  &=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}
  =\dfrac{\lp e^x+ e^{-x}\rp^2}4\enar\]

\item Comme pour tout $x$, on a $e^x>0$, on a donc aussi 
  $e^x+e^{-x}>0$ et alors 
  $\sqrt{\lp e^x+e^{-x}\rp^2}=e^x+e^{-x}$. 

On obtient alors 
  \[\bgar{ll}I&=\dsp\int_0^{\alpha}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ dx\\[1em]
  &=\dsp\int_0^\alpha \dfrac{e^x+e^{-x}}2\,dx\\[1em]
  &=\dfrac12\Bigl[e^x-e^{-x}\Bigr]_0^\alpha\\[.8em]
  &=\dfrac12\lp e^\alpha-e^{-\alpha}\rp
  \enar\]

  Cette intégrale est, par symétrie de la courbe, la demi-longueur d'un arceau. 
  La longueur d'un arceau est donc égale à $2I=e^{\alpha}- e^{-\alpha}$ mètres. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\paragraph{Partie C}
\begin{enumerate}
\item L'aire de la face nord, sans ouverture, est 
  $J=\dsp\int_{-\alpha}^\alpha f(x)\,dx$, 
  soit aussi, en utilisant la symétrie de la courbe, 
  $J=2\dsp\int_0^\alpha f(x)\,dx$. 

  Pour la face sud, il faut \^oter l'aire de l'ouverture $1\tm2\,m^2$, 
  soit une aire de $J-2$. 

  Au total, l'aire des faces nord et sud est: 
  $\mathcal{A}=J+J-2=2J-2=4\dsp\int_0^\alpha f(x)\,dx-2$. 

\item La surface latérale est de 
  $\mathcal{S}=2I\tm(3\tm1,5)=4,5\lp e^\alpha-e^{-\alpha}\rp\simeq30,03$, 
  et donc l'aire totale de la b\^ache est 
  $\mathcal{A}+\mathcal{S}$. 

  Il reste à calculer 
  \[\bgar{ll}\dsp\int_0^\alpha f(x)dx&=\dsp\int_0^\alpha \lp\dfrac72-\dfrac12\lp e^x+ e^{-x}\rp\rp\,dx\\[1em]
  &=\lb\dfrac72x-\dfrac12\lp e^x-e^{-x}\rp\rb_0^\alpha\\[1em]
  &=\dfrac72\alpha-\dfrac12\lp e^\alpha-e^{-\alpha}\rp
  \simeq3,38
  \enar\]
  L'aire totale de la b\^ache est donc 
  \[\mathcal{A}+\mathcal{S}
  =4\dsp\int_0^\alpha f(x)\,dx-2+\mathcal{S}
  \simeq 4\tm3,38-2+30,03
  \simeq 41,55\]
  soit environ $42\,m^2$. 
\end{enumerate}


\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\paragraph{Partie A}
\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item La durée moyenne d'une partie de type $A$ est l'espérance 
    $E\lp X_A\rp=\dfrac{9+25}2=17$, 
    soit 17 minutes. 
  \item De m\^eme, la durée moyenne d'une partie de type $B$ est l'espérance 
    $E\lp X_B\rp=17$,  d'après le graphique. 
  \end{enumerate}
\item D'après la formule des probabilités totales, 
  ou en faisant un arbre de probabilités, 
  en notant $X$ la variable aléatoire égale à la durée d'une partie, 7
  on a 
  \[P(X<20)=P(A)\tm P\lp X_A<20\rp+P(B)\tm P\lp X_b<20\rp\]
  avec $P(A)=P(B)=\dfrac12$, et 
  $P\lp X_A<20\rp=\dfrac{20-9}{25-9}=\dfrac{11}{16}$
  et, avec la calculatrice 
  $P\lp X_B<20\rp\simeq0,84$. 

  On trouve donc que la probabilité que la durée d'une partie soit inférieure 
  à 20 minutes est environ 
  $P\lp X<20\rp\simeq0,76$
\end{enumerate}

\paragraph{Partie B}
\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item 
\[\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(0,-3)(6,3)
\psline(1,-.5)(0,0)(1,.5)\rput[l](1.1,.6){$a_n$}\rput[l](1.05,-.6){1-$a_n$}
\psline{->}(1.5,.7)(2.5,1.2)\rput[l](2.6,1.3){$A_n$}
\psline{->}(1.8,-1)(2.5,-1.2)\rput[l](2.5,-1.3){$B_n$}
\psline(3.1,1.4)(3.5,1.7)\rput[l](3.6,1.9){$0,8$}
 \psline{->}(4.2,2.2)(4.8,2.5)\rput[l](4.8,2.5){$A_{n+1}$}
\psline(3.1,1.4)(3.5,1.1)\rput[l](3.6,.9){$0,2$}
 \psline{->}(4.2,.7)(4.8,.3)\rput[l](4.8,.4){$B_{n+1}$}
%
\psline(3.1,-1.4)(3.5,-1.7)\rput[l](3.6,-2){$0,7$}
 \psline{->}(4.2,-2.2)(4.8,-2.5)\rput[l](4.8,-2.5){$B_{n+1}$}
\psline(3.1,-1.4)(3.5,-1.1)\rput[l](3.6,-.9){$0,3$}
 \psline{->}(4.2,-.6)(4.8,-.3)\rput[l](4.8,-.5){$A_{n+1}$}
\end{pspicture}\]
  

\item En utilisant l'arbre précédent, ou la formule des probabilités totales, 
  on a: 
  \[a_{n+1}=P\lp A_{n+1}\rp=0,8a_n+0,3\lp1-a_n\rp
  =0,5a_n+0,3\]
  \end{enumerate}


\item \textit{Étude d'un cas particulier.} Dans cette question, on suppose que $a=0,5$.
  \begin{enumerate}[a)]
  \item \ul{Initialisation:} comme $a_1=0,5$, on a bien 
    initialement $0\leqslant a_1\leqslant0,6$ 
    et la propriété est vraie au rang $n=1$. 

    \medskip
    \ul{Hérédité:} Supposons que pour un certain entier $n$, 
    on ait $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$.

    Au rang suivant $n+1$, on a alors 
    $a_{n+1}=0,8a_n+0,3$ et d'après l'hypothèse de récurrence, 
    on a $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$ 
    donc, en multipliant par $0,5$, 
    $0\leqslant0,5a_n\leqslant 0,6\tm0,5=0,3$ 
    puis en ajoutant $0,3$ on obtient 
    $0,3\leqslant a_{n+1}\leqslant 0,6$, 
    ce qui prouve que la relation est encore vraie au rang $n+1$. 

    \medskip
    \ul{Conclusion:} on en déduit donc, d'après le principe de récurrence, 
    que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, 
    on a: $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$.
  \item Pour tout entier $n\geqslant1$, 
    $a_{n+1}-a_n=0,5a_n+0,3-a_n=-0,5a_n+0,3$. 

    Or, en mulitpliant par $-0,5<0$ l'encadrement de la question précédente, 
    $-0,3=0,6\tm(-0,5)\leqslant -0,5a_n\leqslant0$, puis, en ajoutant $0,3$, 
    on obtient 
    $0\leqslant -0,5a_n+0,3=a_{n+1}-a_n\leqslant 0,3$. 

    En particulier, $a_{n+1}-a_n\geqslant0$ et la suite $(a_n)$ est croissante.
  \item On vient de montrer que la suite $\lp a_n\rp$ est bornée, par 
    $0$ et $0,6$, et monotone (croissante). 

    On en déduit donc qu'elle converge vers une limite $l$. 

    Cette limite vérifie de plus 
    $l=0,5l+0,3\iff l=\dfrac{0,3}{0,5}=0,6$. 
  \end{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Pour tout entier $n\geqslant1$, on a 
    \[u_{n+1}=a_{n+1}-0,6=0,5a_n+0,3-0,6=0,5a_n-0,3=0,5\lp a_n-0,6\rp=0,5u_n\]

    La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,5$. 
  \item On en déduit que pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on a: 
    $u_n=u_1\tm0,5^{n-1}$, avec $u_1=a_1-0,6=a-0,6$, 
    donc 
    $u_n=(a-0,6)\tm0,5^{n-1}$. 

    Or, $u_n=a_n-0,6\iff a_n=u_n+0,6=(a-0,6)\tm0,5^{n-1}+0,6$

  \item Comme $-1<0,5<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}0,5^n=0$, 
    et alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}a_n=0,6$,  
    et cette limite est indépendante de $a$. 
  \item Un joueur intensif (pour un nombre $n$  de parties grand), va passer 
    60\% de ces parties sur le jeu $A$, et verra donc plus les publicités qui 
    y sont diffusées. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}


\textbf{Commun à tous les candidats}
\begin{enumerate}
\item L'équation du second degré $(E)$: $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$ 
  a pour discriminant $\Delta=\lp2\sqrt3\rp^2-4\tm1\tm4=-4<0$, 
et admet donc deux solutions complexes conjuquées: 
$z_1=\dfrac{2\sqrt3-2i}2=\sqrt3-i$ 
et $z_2=\sqrt3+i$. 

Soit donc $A\lp z_1\rp$ et $B\lp z_2\rp$, 
alors $OA=\left|z_1\right|=\sqrt{\sqrt3^2+1^2}=2$ 
et $OB=\left|z_2\right|=\sqrt{\sqrt3^2+1^2}=2$  
et enfin 
$AB=\left|z_2-z_1\right|=|2i|=2$. 
  
L'affirmation 1 est donc vraie. 

\item On sait déjà que $|u|=2$ d'après les calculs précédents, 
  et alors 
  $u=\sqrt{3}+i=2\lp\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\rp
  =2\lp\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\rp
  =2e^{i\pi/6}$ 
  et alors $\overline{u}=2e^{-i\pi/6}$. 

  On obtient alors, 
  \[\bgar{ll}u^{2019}+\overline{u}^{2019}&=2^{2019}e^{2019i\pi/6}+2^{2019}e^{-2019i\pi/6}\\[.7em]
  &=2^{2019}\lp e^{2019i\pi/6}+e^{-2019i\pi/6}\rp\\[.7em]
  &=2^{2019}\tm2\cos\lp\dfrac{2019\pi}6\rp\enar\]
  Or, $\dfrac{2019}{6}=\dfrac{2016}{6}+\dfrac36=336+\dfrac12=2\tm168+\dfrac12$, 
  et donc 
  $\cos\lp\dfrac{2019\pi}6\rp=\cos\lp168\tm2\pi+\dfrac\pi2\rp
  =\cos\lp\dfrac\pi2\rp=0$, 

  d'où $u^{2019}+\overline{u}^{2019}=0$. 
  
  L'affirmation 2 est donc fausse.

\item Soit $n$ un entier naturel non nul. 
  On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par:
      \[f_n(x)=x e^{- nx+1}.\]

      Pour tout entier $n$, $f_n$ est dérivable sur $\R_+$, comme produit 
      et composée de fonctions qui le sont 
      ($x\mapsto x$, $x\mapsto e^x$ et $x\mapsto -nx+1$). 

      On a $f_n=uv$, 
      avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$, 
      et $v(x)=e^{-nx+1}=e^{w(x)}$ avec $w(x)=-nx+1$ donc 
      $w'(x)=-n$ et $v'=w'e^w$, soit $v'(x)=-ne^{-nx+1}$. 

      On a alors 
      $f_n'=u'v+uv'$, 
      soit $f_n'(x)=e^{-nx+1}-nxe^{-nx+1}=(1-nx)e^{-nx+1}$. 

      On peut alors dresser le tableau de variation: 
      \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
      $x$ & $0$ && $1/n$ && $+\infty$ \\\hline
      $e^{-nx+1}$ && $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
      $1-nx$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline
      $f_n'$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline
      &&&&&\\
      $f_n$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
      &&&&&\\\hline
      \end{tabular}\]
      L'affirmation 3 est donc vraie: pour tout entier naturel $n\geqslant 1$, 
      la fonction $f_n$ admet un maximum en $x=\dfrac1n$.

\item On a, pour tout $x$, $-1\leqslant \cos(x)\leqslant 1$, 
  d'où, en multipliant par $e^{-x}>0$, 
  $-e^{-x}\leqslant \cos(x)e^{-x}=f(x)\leqslant e^{-x}$. 

  Comme de plus  $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$, le théorème des 
  gendarmes implique 
  que $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ et donc 
  la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=0$ 
  (l'axe des abscisses) comme asymptote en $+\infty$ 
  et l'affirmation 4 est vraie. 
	
\item La boucle \textsl{Tant que} s'arr\^ete dès que 
  $2^I>A$. 
  On a donc $2^{15}>A$ et jsute avant $2^{14}\leqslant A$. 
  Ainsi, $2^{14}\leqslant A<2^{15}$ ou encore, 
  en appliquant le logarithme 
  $14\ln(2)\leqslant\ln(A)<15\ln(2)$, et l'affirmation 5 est fausse. 
\end{enumerate}

\bigskip


\clearpage
\textbf{Exercice 4\hfill  5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\paragraph{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Voir annexe.
\item Voir annexe.
\end{enumerate}
\paragraph{Partie B}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item On a $F(1;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $K(0;1/4;0)$ 
  et donc 
  $\V{HF}(1;-1;0)$ et $\V{KH}(0;3/4;1)$. 

  On a donc $\vec{n}\cdot\V{HF}=4\tm1+4\tm(-1)-3\tm0=0$ 
  et $\vec{n}\cdot\V{KH}=4\tm0+4\tm\dfrac34-3\tm1=0$. 

  Ainsi, $\vec{n}$ est orthogonal à deux droites non parallèles 
  du plan $(FHK)$ et on en déduit que $\vec{n}$ est orthogonale 
  à toutes les droites du plan $(FHK)$, donc que $\vec{n}$ est normale 
  au plan $(FHK)$. 

\item Une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est 
  donc $4x+4y-3z+d=0$. 

  Comme de plus, par exemple, $H\in(FHK)$, on a 
  $4\tm0+4\tm1-3\tm1+d=0\iff d=-1$, 
  et une équation cartésienne de $(FHK)$ est bien 
  $4x+4y-3z-1=0$.
\item Le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $(FHK)$ et donc 
  $\vec{n}$ est aussi un vecteur normal à $\mathcal{P}$ 
  et donc 
  $4x+4y-3z+d'=0$ est une équation cartésienne de $\mathcal{P}$. 

  Comme $I\in\mathcal{P}$, et $I(1/2;0;1)$, 
  on a $4\tm\dfrac12+4\tm0-3\tm1+d'=0\iff d'=1$ 
  et une équation du plan $\mathcal{P}$ 
est donc $4x+4y-3z+1=0$
\item La droite $(AE)$ est la droite d'équations $x=y=0$. \\
  Soit $M'(x;y;z)$, alors, comme $M'\in(AE)$, on a $x=y=0$, 
  c'est-à-dire $M'(0;0;z)$. 

  De plus $M'\in\mathcal{P}\iff 4\tm0+4\tm0-3\tm z+1=0\iff z=\dfrac13$. 

  Ainsi, $M'(0;0;1/3)$. 
\end{enumerate}

\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item $\vec{n}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$, 
    et donc est un vecteur directeur de $\Delta$. 

    Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ 
    est donc, avec $E(0;0;1)$, 
    \[\Delta:\la\bgar{lll} x=4t\\y=4t\\z=1-3t\enar\right., t\in\R\]
  \item Une équation cartézienne du plan $(ABC)$ est $z=0$, 
    et donc $L(x;y;0)$. 

    De plus, $L\in\Delta$ et donc il existe $t\in\R$ tel que 
    \[\Delta:\la\bgar{lll} x=4t\\y=4t\\z=0=1-3t\enar\right.\]
    La dernière équation fournit $t=\dfrac13$, puis 
    avec la première et la deuxième équation on trouve 
    $x=y=\dfrac43$. 

    Ainsi, $L(4/3;4/3;0)$. 
  \item Voir annexe. 
  \item Les droites $\Delta$ et $(BF)$ ne sont clairement par sécantes. 
    En effet, analytiquement $(BF)$ a pour équations $x=1$ et $y=0$, 
    or dans la représentation paramétrique de $\Delta$, on voit bien 
    qu'on doit avoir $x=y$ pour qu'un point lui apparatienne. 

    \medskip
    Par contre, $(CG)$ a pour équations $x=y=1$. 

    Dans la représentation paramétrique de $\Delta$, cela nous donne 
    le paramètre $t=\dfrac14$ et alors $z=1-3t=\dfrac14$. 

    Ainsi, les droites $\Delta$ et $(CG)$ sont sécantes 
    en $(1;1;1/4)$. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}


\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(5.1,6.1)
\psframe(4,4)%ABFE
\psline(4,0)(5,1.5)(5,5.5)(4,4)%BCGF
\psline(5,5.5)(1,5.5)(0,4)%GHE
%\psline(5,5.5)(0,4)(4,0)%GEB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.5)(1,5.5)%ADH
%\psline[linestyle=dashed](0,4)(1,1.5)(5,5.5)%EDG
\psline[linestyle=dashed](1,1.5)(5,1.5)%BDC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4,0){B} \uput[r](5,1.5){C} \uput[l](1,1.5){D} \uput[90](2,4){I}\rput(2,3.98){$\bullet$}
\uput[l](0,3.9){E} \uput[r](4,4){F} \uput[r](5,5.5){G} \uput[l](1,5.5){H} \uput[90](.5,4.75){J}\rput(.5,4.75){$\bullet$}
\rput(.25,.65){K}\rput(.25,.35){$\bullet$}
%
%K(0.25,.35) H(1,5.5) a=5.15/0.75=6.8667 - b=0.35-6.8667*0.25=-1.3667
\psplot{-.3}{1.2}{6.8667 x mul -1.3667 add}
\psline(0,-2.8)(0,5)
\rput(0,-1.36){$\bullet$}\rput(-.3,-1.36){$M$}
%
\pspolygon[fillstyle=vlines](2,4)(0.5,4.75)(0,1.33)
%
% L(5.33,2) E(0,4) donc a=2/-5.33=-0.375 et b=4
\rput(5.33,2){$\bullet$}\rput(6,2){$L$}
\psplot{-1}{6}{-0.375 x mul 4 add}
\rput(-1.1,4.2){$\Delta$}
\end{pspicture} \]


\label{LastPage}
\end{document}


Haut de la page Haut de la page