Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Corrigé du baccalauréat S de mathématiques 2019},
pdftitle={Correction du baccalauréat S France métropolitaine 2019 - Mathématiques},
pdfkeywords={correction, Baccalauréat, bac, Mathématiques, TS, terminale, S, 2019, métropole}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
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\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
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\nwc{\TITLE}{Correction - Bac S - Métropole - La Réunion - 22 juin 2018}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
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\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{center}
{\Large{\textbf{Correction - Bac S Métropole--La Réunion 21 juin 2019}}}
\end{center}
\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}
\paragraph{Partie A}
$f(x)=\dfrac72-\dfrac12\lp e^x+ e^{-x}\rp$
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item On a $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et
$\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$, et donc
par addition et multiplication
$\dsp\lim_{x\to+\infty}-\dfrac12\lp e^x+e^{-x}\rp=-\infty$
d'où
$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
\item $f$ est dérivable sur $\R$, comme somme et composée de fonctions
qui le sont, avec
\[f'(x)=0-\dfrac12\lp e^x+\lp-e^{-x}\rp\rp=\dfrac12\lp-e^x+e^{-x}\rp\]
Or, $-e^x+e^{-x}>0\iff e^{-x}>e^x \iff -x>x \iff -2x>0\iff x<0$. \\
Ainsi, pour $x>0$, $f'(x)<0$ et
on en déduit que $f$ est strictement décroissante sur $[0;+\infty[$.
\item On a $f(0)=\dfrac72-\dfrac12\lp e^0+e^0\rp=\dfrac52>0$
et $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
Comme de plus $f$ est dérivable, donc continue, et strictement décroissante
sur $[0;+\infty[$, on en déduit d'après le théorème de la bijection
(ou des valeurs intermédiaires) que l'équation $f(x) = 0$ admet
une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0;+\infty[$.
\end{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, on a bien
$f(-x)=\dfrac72-\dfrac12\lp e^{-x}+e^{-(-x)}\rp
=\dfrac72-\dfrac12\lp e^{-x}+e^{x}\rp=f(x)$
(ce qui signifie que $f$ est paire).
On a en particulier $f(-\alpha)=f(\alpha)=0$, et
pour tout $x<0$, $x\not=\alpha$, $f(x)=f(-x)\not=0$,
car $-x\in[0;+\infty[$ et que $\alpha$ est l'unique solution
de l'équation $f(x)=0$ sur $[0;+\infty[$.
En résumé, l'équation $f(x)=0$ admet exactement deux solutions dans
$\R$, $\alpha$ et $-\alpha$.
\end{enumerate}
\paragraph{Partie B}
\begin{enumerate}
\item La hauteur d'un arceau est $f(0)=\dfrac52$.
\item \begin{enumerate}[a)]
\item Pour tout réel $x$, on a:
\[\bgar{ll}1+(f'(x))^2
&=1+\lp\dfrac12\lp -e^x+e^{-x}\rp\rp^2\\[1em]
&=1+\dfrac14\lp\lp -e^x\rp^2+2\tm\lp-e^x\rp\tm\lp e^{-x}\rp+\lp e^{-x}\rp^2\rp\\[.6em]
&=1+\dfrac14\lp e^{2x}-2+e^{-2x}\rp\\[.6em]
&=\dfrac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4}
=\dfrac{\lp e^x+ e^{-x}\rp^2}4\enar\]
\item Comme pour tout $x$, on a $e^x>0$, on a donc aussi
$e^x+e^{-x}>0$ et alors
$\sqrt{\lp e^x+e^{-x}\rp^2}=e^x+e^{-x}$.
On obtient alors
\[\bgar{ll}I&=\dsp\int_0^{\alpha}\sqrt{1+(f'(x))^2}\ dx\\[1em]
&=\dsp\int_0^\alpha \dfrac{e^x+e^{-x}}2\,dx\\[1em]
&=\dfrac12\Bigl[e^x-e^{-x}\Bigr]_0^\alpha\\[.8em]
&=\dfrac12\lp e^\alpha-e^{-\alpha}\rp
\enar\]
Cette intégrale est, par symétrie de la courbe, la demi-longueur d'un arceau.
La longueur d'un arceau est donc égale à $2I=e^{\alpha}- e^{-\alpha}$ mètres.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\paragraph{Partie C}
\begin{enumerate}
\item L'aire de la face nord, sans ouverture, est
$J=\dsp\int_{-\alpha}^\alpha f(x)\,dx$,
soit aussi, en utilisant la symétrie de la courbe,
$J=2\dsp\int_0^\alpha f(x)\,dx$.
Pour la face sud, il faut \^oter l'aire de l'ouverture $1\tm2\,m^2$,
soit une aire de $J-2$.
Au total, l'aire des faces nord et sud est:
$\mathcal{A}=J+J-2=2J-2=4\dsp\int_0^\alpha f(x)\,dx-2$.
\item La surface latérale est de
$\mathcal{S}=2I\tm(3\tm1,5)=4,5\lp e^\alpha-e^{-\alpha}\rp\simeq30,03$,
et donc l'aire totale de la b\^ache est
$\mathcal{A}+\mathcal{S}$.
Il reste à calculer
\[\bgar{ll}\dsp\int_0^\alpha f(x)dx&=\dsp\int_0^\alpha \lp\dfrac72-\dfrac12\lp e^x+ e^{-x}\rp\rp\,dx\\[1em]
&=\lb\dfrac72x-\dfrac12\lp e^x-e^{-x}\rp\rb_0^\alpha\\[1em]
&=\dfrac72\alpha-\dfrac12\lp e^\alpha-e^{-\alpha}\rp
\simeq3,38
\enar\]
L'aire totale de la b\^ache est donc
\[\mathcal{A}+\mathcal{S}
=4\dsp\int_0^\alpha f(x)\,dx-2+\mathcal{S}
\simeq 4\tm3,38-2+30,03
\simeq 41,55\]
soit environ $42\,m^2$.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\paragraph{Partie A}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item La durée moyenne d'une partie de type $A$ est l'espérance
$E\lp X_A\rp=\dfrac{9+25}2=17$,
soit 17 minutes.
\item De m\^eme, la durée moyenne d'une partie de type $B$ est l'espérance
$E\lp X_B\rp=17$, d'après le graphique.
\end{enumerate}
\item D'après la formule des probabilités totales,
ou en faisant un arbre de probabilités,
en notant $X$ la variable aléatoire égale à la durée d'une partie, 7
on a
\[P(X<20)=P(A)\tm P\lp X_A<20\rp+P(B)\tm P\lp X_b<20\rp\]
avec $P(A)=P(B)=\dfrac12$, et
$P\lp X_A<20\rp=\dfrac{20-9}{25-9}=\dfrac{11}{16}$
et, avec la calculatrice
$P\lp X_B<20\rp\simeq0,84$.
On trouve donc que la probabilité que la durée d'une partie soit inférieure
à 20 minutes est environ
$P\lp X<20\rp\simeq0,76$
\end{enumerate}
\paragraph{Partie B}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item
\[\psset{xunit=1cm,yunit=.5cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(0,-3)(6,3)
\psline(1,-.5)(0,0)(1,.5)\rput[l](1.1,.6){$a_n$}\rput[l](1.05,-.6){1-$a_n$}
\psline{->}(1.5,.7)(2.5,1.2)\rput[l](2.6,1.3){$A_n$}
\psline{->}(1.8,-1)(2.5,-1.2)\rput[l](2.5,-1.3){$B_n$}
\psline(3.1,1.4)(3.5,1.7)\rput[l](3.6,1.9){$0,8$}
\psline{->}(4.2,2.2)(4.8,2.5)\rput[l](4.8,2.5){$A_{n+1}$}
\psline(3.1,1.4)(3.5,1.1)\rput[l](3.6,.9){$0,2$}
\psline{->}(4.2,.7)(4.8,.3)\rput[l](4.8,.4){$B_{n+1}$}
%
\psline(3.1,-1.4)(3.5,-1.7)\rput[l](3.6,-2){$0,7$}
\psline{->}(4.2,-2.2)(4.8,-2.5)\rput[l](4.8,-2.5){$B_{n+1}$}
\psline(3.1,-1.4)(3.5,-1.1)\rput[l](3.6,-.9){$0,3$}
\psline{->}(4.2,-.6)(4.8,-.3)\rput[l](4.8,-.5){$A_{n+1}$}
\end{pspicture}\]
\item En utilisant l'arbre précédent, ou la formule des probabilités totales,
on a:
\[a_{n+1}=P\lp A_{n+1}\rp=0,8a_n+0,3\lp1-a_n\rp
=0,5a_n+0,3\]
\end{enumerate}
\item \textit{Étude d'un cas particulier.} Dans cette question, on suppose que $a=0,5$.
\begin{enumerate}[a)]
\item \ul{Initialisation:} comme $a_1=0,5$, on a bien
initialement $0\leqslant a_1\leqslant0,6$
et la propriété est vraie au rang $n=1$.
\medskip
\ul{Hérédité:} Supposons que pour un certain entier $n$,
on ait $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$.
Au rang suivant $n+1$, on a alors
$a_{n+1}=0,8a_n+0,3$ et d'après l'hypothèse de récurrence,
on a $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$
donc, en multipliant par $0,5$,
$0\leqslant0,5a_n\leqslant 0,6\tm0,5=0,3$
puis en ajoutant $0,3$ on obtient
$0,3\leqslant a_{n+1}\leqslant 0,6$,
ce qui prouve que la relation est encore vraie au rang $n+1$.
\medskip
\ul{Conclusion:} on en déduit donc, d'après le principe de récurrence,
que, pour tout entier naturel $n\geqslant 1$,
on a: $0\leqslant a_n\leqslant 0,6$.
\item Pour tout entier $n\geqslant1$,
$a_{n+1}-a_n=0,5a_n+0,3-a_n=-0,5a_n+0,3$.
Or, en mulitpliant par $-0,5<0$ l'encadrement de la question précédente,
$-0,3=0,6\tm(-0,5)\leqslant -0,5a_n\leqslant0$, puis, en ajoutant $0,3$,
on obtient
$0\leqslant -0,5a_n+0,3=a_{n+1}-a_n\leqslant 0,3$.
En particulier, $a_{n+1}-a_n\geqslant0$ et la suite $(a_n)$ est croissante.
\item On vient de montrer que la suite $\lp a_n\rp$ est bornée, par
$0$ et $0,6$, et monotone (croissante).
On en déduit donc qu'elle converge vers une limite $l$.
Cette limite vérifie de plus
$l=0,5l+0,3\iff l=\dfrac{0,3}{0,5}=0,6$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Pour tout entier $n\geqslant1$, on a
\[u_{n+1}=a_{n+1}-0,6=0,5a_n+0,3-0,6=0,5a_n-0,3=0,5\lp a_n-0,6\rp=0,5u_n\]
La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $0,5$.
\item On en déduit que pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on a:
$u_n=u_1\tm0,5^{n-1}$, avec $u_1=a_1-0,6=a-0,6$,
donc
$u_n=(a-0,6)\tm0,5^{n-1}$.
Or, $u_n=a_n-0,6\iff a_n=u_n+0,6=(a-0,6)\tm0,5^{n-1}+0,6$
\item Comme $-1<0,5<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}0,5^n=0$,
et alors $\dsp\lim_{n\to+\infty}a_n=0,6$,
et cette limite est indépendante de $a$.
\item Un joueur intensif (pour un nombre $n$ de parties grand), va passer
60\% de ces parties sur le jeu $A$, et verra donc plus les publicités qui
y sont diffusées.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\begin{enumerate}
\item L'équation du second degré $(E)$: $z^2-2\sqrt{3}z+4=0$
a pour discriminant $\Delta=\lp2\sqrt3\rp^2-4\tm1\tm4=-4<0$,
et admet donc deux solutions complexes conjuquées:
$z_1=\dfrac{2\sqrt3-2i}2=\sqrt3-i$
et $z_2=\sqrt3+i$.
Soit donc $A\lp z_1\rp$ et $B\lp z_2\rp$,
alors $OA=\left|z_1\right|=\sqrt{\sqrt3^2+1^2}=2$
et $OB=\left|z_2\right|=\sqrt{\sqrt3^2+1^2}=2$
et enfin
$AB=\left|z_2-z_1\right|=|2i|=2$.
L'affirmation 1 est donc vraie.
\item On sait déjà que $|u|=2$ d'après les calculs précédents,
et alors
$u=\sqrt{3}+i=2\lp\dfrac{\sqrt3}2+\dfrac12i\rp
=2\lp\cos\dfrac\pi6+i\sin\dfrac\pi6\rp
=2e^{i\pi/6}$
et alors $\overline{u}=2e^{-i\pi/6}$.
On obtient alors,
\[\bgar{ll}u^{2019}+\overline{u}^{2019}&=2^{2019}e^{2019i\pi/6}+2^{2019}e^{-2019i\pi/6}\\[.7em]
&=2^{2019}\lp e^{2019i\pi/6}+e^{-2019i\pi/6}\rp\\[.7em]
&=2^{2019}\tm2\cos\lp\dfrac{2019\pi}6\rp\enar\]
Or, $\dfrac{2019}{6}=\dfrac{2016}{6}+\dfrac36=336+\dfrac12=2\tm168+\dfrac12$,
et donc
$\cos\lp\dfrac{2019\pi}6\rp=\cos\lp168\tm2\pi+\dfrac\pi2\rp
=\cos\lp\dfrac\pi2\rp=0$,
d'où $u^{2019}+\overline{u}^{2019}=0$.
L'affirmation 2 est donc fausse.
\item Soit $n$ un entier naturel non nul.
On considère la fonction $f_n$ définie sur l'intervalle $[0;+\infty[$ par:
\[f_n(x)=x e^{- nx+1}.\]
Pour tout entier $n$, $f_n$ est dérivable sur $\R_+$, comme produit
et composée de fonctions qui le sont
($x\mapsto x$, $x\mapsto e^x$ et $x\mapsto -nx+1$).
On a $f_n=uv$,
avec $u(x)=x$ donc $u'(x)=1$,
et $v(x)=e^{-nx+1}=e^{w(x)}$ avec $w(x)=-nx+1$ donc
$w'(x)=-n$ et $v'=w'e^w$, soit $v'(x)=-ne^{-nx+1}$.
On a alors
$f_n'=u'v+uv'$,
soit $f_n'(x)=e^{-nx+1}-nxe^{-nx+1}=(1-nx)e^{-nx+1}$.
On peut alors dresser le tableau de variation:
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $0$ && $1/n$ && $+\infty$ \\\hline
$e^{-nx+1}$ && $+$ &$|$ & $+$ & \\\hline
$1-nx$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline
$f_n'$ && $+$ &\zb&$-$ &\\\hline
&&&&&\\
$f_n$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
&&&&&\\\hline
\end{tabular}\]
L'affirmation 3 est donc vraie: pour tout entier naturel $n\geqslant 1$,
la fonction $f_n$ admet un maximum en $x=\dfrac1n$.
\item On a, pour tout $x$, $-1\leqslant \cos(x)\leqslant 1$,
d'où, en multipliant par $e^{-x}>0$,
$-e^{-x}\leqslant \cos(x)e^{-x}=f(x)\leqslant e^{-x}$.
Comme de plus $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$, le théorème des
gendarmes implique
que $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ et donc
la courbe $\mathcal{C}$ admet la droite d'équation $y=0$
(l'axe des abscisses) comme asymptote en $+\infty$
et l'affirmation 4 est vraie.
\item La boucle \textsl{Tant que} s'arr\^ete dès que
$2^I>A$.
On a donc $2^{15}>A$ et jsute avant $2^{14}\leqslant A$.
Ainsi, $2^{14}\leqslant A<2^{15}$ ou encore,
en appliquant le logarithme
$14\ln(2)\leqslant\ln(A)<15\ln(2)$, et l'affirmation 5 est fausse.
\end{enumerate}
\bigskip
\clearpage
\textbf{Exercice 4\hfill 5 points}
\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
\paragraph{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Voir annexe.
\item Voir annexe.
\end{enumerate}
\paragraph{Partie B}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}[a)]
\item On a $F(1;0;1)$, $H(0;1;1)$ et $K(0;1/4;0)$
et donc
$\V{HF}(1;-1;0)$ et $\V{KH}(0;3/4;1)$.
On a donc $\vec{n}\cdot\V{HF}=4\tm1+4\tm(-1)-3\tm0=0$
et $\vec{n}\cdot\V{KH}=4\tm0+4\tm\dfrac34-3\tm1=0$.
Ainsi, $\vec{n}$ est orthogonal à deux droites non parallèles
du plan $(FHK)$ et on en déduit que $\vec{n}$ est orthogonale
à toutes les droites du plan $(FHK)$, donc que $\vec{n}$ est normale
au plan $(FHK)$.
\item Une équation cartésienne du plan $(FHK)$ est
donc $4x+4y-3z+d=0$.
Comme de plus, par exemple, $H\in(FHK)$, on a
$4\tm0+4\tm1-3\tm1+d=0\iff d=-1$,
et une équation cartésienne de $(FHK)$ est bien
$4x+4y-3z-1=0$.
\item Le plan $\mathcal{P}$ est parallèle au plan $(FHK)$ et donc
$\vec{n}$ est aussi un vecteur normal à $\mathcal{P}$
et donc
$4x+4y-3z+d'=0$ est une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
Comme $I\in\mathcal{P}$, et $I(1/2;0;1)$,
on a $4\tm\dfrac12+4\tm0-3\tm1+d'=0\iff d'=1$
et une équation du plan $\mathcal{P}$
est donc $4x+4y-3z+1=0$
\item La droite $(AE)$ est la droite d'équations $x=y=0$. \\
Soit $M'(x;y;z)$, alors, comme $M'\in(AE)$, on a $x=y=0$,
c'est-à-dire $M'(0;0;z)$.
De plus $M'\in\mathcal{P}\iff 4\tm0+4\tm0-3\tm z+1=0\iff z=\dfrac13$.
Ainsi, $M'(0;0;1/3)$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item $\vec{n}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$,
et donc est un vecteur directeur de $\Delta$.
Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$
est donc, avec $E(0;0;1)$,
\[\Delta:\la\bgar{lll} x=4t\\y=4t\\z=1-3t\enar\right., t\in\R\]
\item Une équation cartézienne du plan $(ABC)$ est $z=0$,
et donc $L(x;y;0)$.
De plus, $L\in\Delta$ et donc il existe $t\in\R$ tel que
\[\Delta:\la\bgar{lll} x=4t\\y=4t\\z=0=1-3t\enar\right.\]
La dernière équation fournit $t=\dfrac13$, puis
avec la première et la deuxième équation on trouve
$x=y=\dfrac43$.
Ainsi, $L(4/3;4/3;0)$.
\item Voir annexe.
\item Les droites $\Delta$ et $(BF)$ ne sont clairement par sécantes.
En effet, analytiquement $(BF)$ a pour équations $x=1$ et $y=0$,
or dans la représentation paramétrique de $\Delta$, on voit bien
qu'on doit avoir $x=y$ pour qu'un point lui apparatienne.
\medskip
Par contre, $(CG)$ a pour équations $x=y=1$.
Dans la représentation paramétrique de $\Delta$, cela nous donne
le paramètre $t=\dfrac14$ et alors $z=1-3t=\dfrac14$.
Ainsi, les droites $\Delta$ et $(CG)$ sont sécantes
en $(1;1;1/4)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(5.1,6.1)
\psframe(4,4)%ABFE
\psline(4,0)(5,1.5)(5,5.5)(4,4)%BCGF
\psline(5,5.5)(1,5.5)(0,4)%GHE
%\psline(5,5.5)(0,4)(4,0)%GEB
\psline[linestyle=dashed](0,0)(1,1.5)(1,5.5)%ADH
%\psline[linestyle=dashed](0,4)(1,1.5)(5,5.5)%EDG
\psline[linestyle=dashed](1,1.5)(5,1.5)%BDC
\uput[l](0,0){A} \uput[r](4,0){B} \uput[r](5,1.5){C} \uput[l](1,1.5){D} \uput[90](2,4){I}\rput(2,3.98){$\bullet$}
\uput[l](0,3.9){E} \uput[r](4,4){F} \uput[r](5,5.5){G} \uput[l](1,5.5){H} \uput[90](.5,4.75){J}\rput(.5,4.75){$\bullet$}
\rput(.25,.65){K}\rput(.25,.35){$\bullet$}
%
%K(0.25,.35) H(1,5.5) a=5.15/0.75=6.8667 - b=0.35-6.8667*0.25=-1.3667
\psplot{-.3}{1.2}{6.8667 x mul -1.3667 add}
\psline(0,-2.8)(0,5)
\rput(0,-1.36){$\bullet$}\rput(-.3,-1.36){$M$}
%
\pspolygon[fillstyle=vlines](2,4)(0.5,4.75)(0,1.33)
%
% L(5.33,2) E(0,4) donc a=2/-5.33=-0.375 et b=4
\rput(5.33,2){$\bullet$}\rput(6,2){$L$}
\psplot{-1}{6}{-0.375 x mul 4 add}
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