Source Latex
sujet du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
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intégration, intégrale, probabilité, probabilités, loi exponentielle}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
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\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\nwc{\TITLE}{Bac S - Métropole 19 juin 2014}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{\TITLE}}
\bgex
%{\it Bac S, 19 juin 2014, 5 points}
\textbf{Partie A}
\vspd
Dans le plan muni d'un rep\`ere orthonorm\'e, on d\'esigne par $\mathcal{C}_1$ la courbe repr\'esentative de la fonction $f_1$ d\'efinie sur $\R$ par:
\[f_1(x) = x + \text{e}^{-x}.\]
\begin{enumerate}
\item Justifier que $\mathcal{C}_1$ passe par le point A de coordonn\'ees $(0~;~1)$.
\item D\'eterminer le tableau de variation de la fonction $f_1$. On
pr\'ecisera les limites de $f_1$ en $+ \infty$ et en~$- \infty$.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B}
\vspd
L'objet de cette partie est d'\'etudier la suite $\left(I_n\right)$ d\'efinie sur $\N$ par:
\[I_n = \int_0^1 \left(x + \text{e}^{- nx}\right)\:\text{d}x.\]
\begin{enumerate}
\item Dans le plan muni d'un rep\`ere orthonorm\'e $\left(O;\vec{i},\vec{j}\right)$,
pour tout entier
naturel $n$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe repr\'esentative de la
fonction $f_n $ d\'efinie sur $\R$ par
\[f_n(x) = x + \text{e}^{- nx}. \]
Sur le graphique ci-dessous on a trac\'e la courbe $\mathcal{C}_n$
pour plusieurs valeurs de l'entier $n$ et la droite $\mathcal{D}$
d'\'equation $x = 1$.
\[
\psset{unit=5cm}
\begin{pspicture*}(-0.3,-0.4)(1.3,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-0.3,-0.1)(1.4,1.4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psline(1,0)(1,1.4)\uput[r](1,0.5){$\mathcal{D}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[dl](0,1){A}
%\multido{\n=1+1}{4}{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.2}{1.3}{2.71828 x \n mul neg exp x add}}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 2 mul neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 3 mul neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 4 mul neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 6 mul neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 15 mul neg exp x add}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{-0.4}{1.4}{2.71828 x 60 mul neg exp x add}
\uput[u](0.6,1.2){$\mathcal{C}_{1}$}\uput[u](0.6,0.9){$\mathcal{C}_{2}$}
\uput[u](0.5,0.7){$\mathcal{C}_{3}$}\uput[u](0.4,0.6){$\mathcal{C}_{4}$}
\uput[u](0.3,0.45){$\mathcal{C}_{6}$}\uput[u](0.2,0.25){$\mathcal{C}_{15}$}
\uput[u](0.1,0.15){$\mathcal{C}_{60}$}
\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$}\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$}
\end{pspicture*}
\]
\begin{enumerate}[a.]
\item Interpr\'eter g\'eom\'etriquement l'int\'egrale $I_{n}$.
\item En utilisant cette interpr\'etation, formuler une conjecture sur
le sens de variation de la suite $\left(I_n\right)$ et sa limite
\'eventuelle. On pr\'ecisera les \'el\'ements sur lesquels on s'appuie
pour conjecturer.
\end{enumerate}
\item D\'emontrer que pour tout entier naturel $n$ sup\'erieur ou \'egal \`a 1,
\[I_{n+1} - I_n
= \int_0^1 e^{-(n + 1)x} \left(1 - e^{x}\right)\:dx.\]
En d\'eduire le signe de $I_{n+1} - I_n$ puis d\'emontrer que la suite
$\left(I_n\right)$ est convergente.
\item D\'eterminer l'expression de $I_n$ en fonction de $n$ et
d\'eterminer la limite de la suite $\left(I_n\right)$.
\end{enumerate}
\enex
\bgex
%\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}
%\textbf{Commun à tous les candidats}
%\medskip
Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Un laboratoire pharmaceutique propose des tests de dépistage de
diverses maladies.
Son service de communication met en avant les caractéristiques
suivantes:
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item la probabilité qu'une personne malade présente un test positif est $0,99$ ;
\item la probabilité qu'une personne saine présente un test positif est $0,001$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
\medskip
\bgen
\item Pour une maladie qui vient d'apparaître, le laboratoire élabore
un nouveau test.
Une étude statistique permet d'estimer que le pourcentage de
personnes malades parmi la population d'une métropole est égal à
0,1\,\%.
On choisit au hasard une personne dans cette population et on lui
fait subir le test.
On note $M$ l'événement \og la personne choisie est malade\fg{}
et $T$ l'événement \og le test est positif \fg.
\bgen[a)]
\item Traduire l'énoncé sous la forme d'un arbre pondéré.
\item Démontrer que la probabilité $p(T)$ de l'évènement $T$ est
égale à $1,989 \times 10^{-3}$.
\item L'affirmation suivante est-elle vraie ou fausse ?
Justifier la réponse.
Affirmation: \og Si le test est positif, il y a moins d'une chance
sur deux que la personne soit malade \fg.
\enen
\item Le laboratoire décide de commercialiser un test dès lors que la
probabilité qu'une personne testée positivement soit malade est
supérieure ou égale à $0,95$.
On désigne par $x$ la proportion de personnes atteintes d'une
certaine maladie dans la population.
A partir de quelle valeur de $x$ le laboratoire commercialise-t-il
le test correspondant ?
\enen
\bigskip
\textbf{Partie B}
\medskip
La chaine de production du laboratoire fabrique, en très grande
quantité, le comprimé d'un médicament.
\medskip
\bgen
\item Un comprimé est conforme si sa masse est comprise entre 890 et
920 mg.
On admet que la masse en milligrammes d'un comprimé pris au hasard
dans la production peut être modélisée par une variable aléatoire
$X$ qui suit la loi normale $\mathcal{N}\left(\mu,~\sigma^2\right)$,
de moyenne $\mu = 900$ et d'écart-type $\sigma = 7$.
\bgen[a)]
\item Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard soit
conforme. On arrondira à $10^{-2}$.
\item Déterminer l'entier positif $h$ tel que
$P\lp 900 - h \leqslant X \leqslant 900 + h\rp
\approx 0,99$ à $10^{-3}$ près.
\enen
\item La chaine de production a été réglée dans le but d'obtenir au
moins 97\,\% de comprimés conformes. Afin d'évaluer l'efficacité des
réglages, on effectue un contrôle en prélevant un échantillon de
1000 comprimés dans la production. La taille de la production est
supposée suffisamment grande pour que ce prélèvement puisse être
assimilé à 1000 tirages successifs avec remise.
Le contrôle effectué a permis de dénombrer $53$~comprimés non
conformes sur l'échantillon prélevé.
Ce contrôle remet-il en question les réglages faits par le
laboratoire ?
On pourra utiliser un intervalle de fluctuation asymptotique au
seuil de 95\,\%.
\enen
\enex
\vspace{0,5cm}
\bgex
%\textbf{Commun à tous les candidats}
%\medskip
On désigne par (E) l'équation
\[z^4 + 4z^2 + 16 = 0\]
d'inconnue complexe $z$.
\bgen
\item Résoudre dans $\C$ l'équation $Z^2 +4Z + 16 = 0$.
Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle.
\item On désigne par $a$ le nombre complexe dont le module est égal à
2 et dont un argument est égal à $\dfrac{\pi}{3}$.
Calculer $a^2$ sous forme algébrique.
En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation
$z^2 = - 2 + 2i\sqrt{3}$.
On écrira les solutions sous forme algébrique.
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}
On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe
$z = x +iy$ où $x\in\R$ et $y\in\R$,
le conjugué de $z$ est le nombre complexe
$z$ défini par $z=x-iy$.
Démontrer que:
\begin{itemize}
\item Pour tous nombres complexes $z_{1}$ et
$z_{2}$, $\overline{z_{1}z_{2}} = \overline{z_{1}}\:\cdot\:\overline{z_{2}}$.
\item Pour tout nombre complexe $z$ et tout entier naturel non nul $n$,
$\overline{z^{n}} = \left(\overline{z}\right)^n$.
\end{itemize}
\item Démontrer que si $z$ est une solution de l'équation (E) alors
son conjugué $\overline{z}$ est également une solution de (E).
En déduire les solutions dans $\C$ de l'équation (E).
On admettra que (E) admet au plus quatre solutions.
\enen
\enex
\vspace{0,5cm}
\bgex
%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
%\medskip
Dans l'espace, on considère un tétraèdre $ABCD$ dont les faces $ABC$,
$ACD$ et $ABD$ sont des triangles rectangles et isocèles en A.
On désigne par $E$, $F$ et $G$ les milieux respectifs des côtés
$[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$.
\medskip
On choisit $AB$ pour unité de longueur et on se place dans le repère
orthonormé $\lp A;\V{AB},\V{AC},\V{AD}\rp$ de l'espace.
\medskip
\begin{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{P}$ le plan qui passe par A et qui est
orthogonal à la droite (DF).
On note H le point d'intersection du plan $\mathcal{P}$ et de la droite (DF).
\bgen[a)]
\item Donner les coordonnées des points D et F.
\item Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).
\item Déterminer une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$.
\item Calculer les coordonnées du point H.
\item Démontrer que l'angle $\widehat{\text{EHG}}$ est un angle droit.
\enen
\item On désigne par $M$ un point de la droite $(DF)$ et par $t$ le
réel tel que $\V{DM} = t\V{DF}$.
On note $\alpha$ la mesure en radians de l'angle géométrique
$\widehat{EMG}$.
Le but de cette question est de déterminer la position du point $M$
pour que $\alpha$ soit maximale.
\bgen[a)]
\item Démontrer que $ME^2 = \dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{5}{2}t+\dfrac{5}{4}$.
\item Démontrer que le triangle $MEG$ est isocèle en $M$.
En déduire que $ME\sin \lp\dfrac{\alpha}{2}\rp=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.
\item Justifier que $\alpha$ est maximale si et seulement si
$\sin \lp\dfrac{\alpha}{2} \rp$ est maximal.
En déduire que $\alpha$ est maximale si et seulement si $ME^2$ est minimal.
\item Conclure.
\enen
\enen
\enex
\vspace{0,5cm}
\label{LastPage}
\end{document}
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