Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdftitle={Devoir de mathématiques},
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intégration, intégrale, probabilité, probabilités, loi exponentielle}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
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\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\nwc{\TITLE}{Corrigé du Bac S - Métropole 19 juin 2014}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{\TITLE}}
\bgex
\textbf{Partie A}
\bgen
\item On a $f_1(0)=0+e^{-0}=1$ et donc $A(0;1)\in\mathcal{C}_1$.
\item Comme $x\mapsto-x$ et $x\mapsto e^x$ sont d\'efinies et d\'erivables
sur $\R$, $f_1$ est aussi d\'efinie et d\'erivable sur $\R$, comme somme
et compos\'eee de fonctions d\'efinies et d\'erivables sur $\R$,
avec,
pout tout $x\in\R$, $f'(x)=1-e^{-x}$.
De plus, $f'(x)=1-e^{-x}>0\iff e^{-x}<1=e^0\iff -x<0$,
car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$,
et ainsi, $f'(x)>0\iff x>0$.
En $+\infty$, $\dsp\lim_{x\to-\infty}x=+\infty$ et
$\dsp\lim_{x\to-\infty} e^{-x}=0$, et donc,
par somme des limites, $\dsp\lim_{x\to-\infty}f_1(x)=+\infty$.
En $-\infty$,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\lp x+e^{-x}\rp=
\dsp\lim_{x\to-\infty} e^{-x}\lp xe^x+1\rp$, avec
$\dsp\lim_{x\to-\infty} e^{-x}=+\infty$ et
$\dsp\lim_{x\to-\infty} xe^x=0$ (croissance compar\'ee en l'infini de
l'exponentielle et des polyn\^omes).
Ainsi, $\dsp\lim_{x\to-\infty} \lp xe^x+1\rp=1$, et alors, par
produit des limites,
$\dsp\lim_{x\to-\infty} f_1(x)=+\infty$.
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$&$-\infty$ &&$0$&& $+\infty$ \\\hline
$f_1'(x)$ && $-$ &\zb&$+$&\\\hline
&$+\infty$&&&&$+\infty$\\
$f_1$&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.5,.5)(.5,-.5)&&
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.5,-.5)(.5,.5)&\\
&&&1&&\\\hline
\end{tabular}\]
\enen
\bigskip
\textbf{Partie B}
\bgen
\item
\bgen[a.]
\item $I_n$ est l'aire sous la courbe $\mathcal{C}_n$:
l'aire du domaine compris entre les droites verticales
d'\'equation $x=0$ et $x=1$, et entre l'axe des abscisses et la
courbe $\mathcal{C}_n$.
\item Il semblerait que la courbe $\mathcal{C}_{n+1}$ soit en
dessous de la courbe $\mathcal{}_n$.
On peut donc conjecturer que la suite $I_n$ est d\'ecroissante.
Il semblerait de plus que lorsque $n$ devient grand, la courbe
$\mathcal{C}_n$ se rapproche de la diagonale du carr\'e de c\^ot\'e
$[OA]$.
On peut ainsi conjecturer que la suite $\lp I_n\rp$ est
convergente, de limite $\dfrac12$.
\enen
\item Pour tout entier $n$,
\[\bgar{ll}
I_{n+1}-I_n
&\dsp=
\int_0^1 \lp x+e^{-(n+1)x}\rp\,dx-\int_0^1\lp x+e^{-nx}\rp\,dx
=\int_0^1\Bigl[ \lp x+e^{-(n+1)x}\rp-\lp x+e^{-nx}\rp\Bigr]\,dx\\[0.4cm]
&\dsp=
\int_0^1 \lp e^{-(n+1)x}-e^{-nx}\rp\,dx
=\int_0^1 e^{-(n+1)x}\lp 1-e^x\rp\,dx
\enar\]
car $e^{-(n+1)x}e^x=e^{-(n+1)x+x}=e^{-nx}$.
\vspd
De plus, pour tout $x\in[0;1]$,
$e^{-(n+1)x}>0$,
et $e^x\geqslant e^0=1$, car la fonction exponentielle est strictement
croissante sur $[0;1]$, et donc, $1-e^x\leqslant0$.
On en d\'eduit que pour tout $x\in[0;1]$,
$e^{-(n+1)x}\lp 1-e^x\rp\leqslant 0$,
et donc que
\[ I_{n+1}-I_n=\int_0^1 e^{-(n+1)x}\lp 1-e^x\rp\,dx\leqslant 0\]
Ainsi, la suite $\lp I_n\rp$ est d\'ecroissante.
\vspd
Comme pour tout $x\in[0;1]$ et pour tout entier $n$,
$e^{-nx}>0$, et donc, $f_n(x)=x+e^{-nx}>0$,
on a $I_n=\int_0^1 f_n(x)\,dx>0$.
Ainsi, $\lp I_n\rp$ est une suite d\'ecroissante et minor\'ee par 0:
$\lp I_n\rp$ est donc convergente.
\item Pour tout entier $n$,
\[\bgar{ll}
I_n
&\dsp=\int_0^1\lp x+e^{-nx}\rp\,dx
=\int_0^1 x\,dx+\int_0^1 e^{-nx}\,dx \\[0.4cm]
&\dsp=\Bigl[ \dfrac12 x^2\Bigr]_0^1 + \Bigl[ -\dfrac1n e^{-nx}\Bigr]_0^1
=\dfrac12-\dfrac1ne^{-n}+\dfrac1n
=\dfrac12+\dfrac1n\lp 1-e^{-n}\rp
\enar\]
Comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}e^{-n}=0$ et $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n=0$,
on a donc,
$\dsp\lim_{n\to+\infty}I_n=\dfrac12$,
ce qui d\'emontre la conjecture \'emise au d\'ebut de cette partie.
\enen
\enex
\bgex
\textbf{Partie A}
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item Le pourcentage de personnes malades est de 0,1\%,
ainsi $P(M)=0,1\%=0,001$.
\[\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(3,3)
\psline(1.5,-1.5)(0,0)(1.5,1.5)
\rput(1.75,1.5){$M$}\rput(0.8,0.8){$0,001$}
\rput(1.75,-1.5){$\overline{M}$}\rput(0.8,-0.8){$0,999$}
\psline(3.5,0.5)(2,1.5)(3.5,3.)
\rput(3.75,3){$T$}\rput(2.7,2.7){$0,99$}
\rput(3.75,0.5){$\overline{T}$}\rput(2.7,.6){$0,01$}
\psline(3.5,-0.5)(2,-1.5)(3.5,-3.)
\rput(3.75,-3){$\overline{T}$}\rput(2.7,-2.7){$0,999$}
\rput(3.75,-0.5){$T$}\rput(2.7,-.6){$0,001$}
\end{pspicture}
\]
\item D'après la loi des probabilités totales
(ou l'utilisation de l'arbre des probabilités),
les événements $M$ et $\overline{M}$ constituant une partition de
l'univers:
$P(T) = P(M \cap T) + P\lp\overline{M} \cap T \rp
= 0,001 \times 0,99 + 0,999 \times 0,001
%= 0,001 \times (0,99+ 0,999)
= 1,989 \times 10^{-3}$.\\
%On obtient donc bien la valeur attendue.
\item L'affirmation fait référence à la probabilité d'être
malade \emph{sachant que} le test est positif:
$P_T(M) = \dfrac{P\lp T \cap M\rp}{P(T)}
= \dfrac{0,001 \times 0,99}{1,989 \times 10^{-3}}
= \dfrac{0,99}{0,99 + 0,999} \simeq 0,498<\dfrac12$.\\
L'affirmation est donc correcte:
si une personne obtient un test positif, alors la probabilité
qu'elle soit effectivement malade est (légèrement) inférieure à
0,5, soit un peu moins d'une chance sur deux.
\enen
\item On reprend la même démarche, avec maintenant
$P(M)=x$:
\[\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(0,-3)(3,3)
\psline(1.5,-1.5)(0,0)(1.5,1.5)
\rput(1.75,1.5){$M$}\rput(0.7,1.1){$x$}
\rput(1.75,-1.5){$\overline{M}$}\rput(0.7,-1.2){$1-x$}
\psline(3.5,0.5)(2,1.5)(3.5,3.)
\rput(3.75,3){$T$}\rput(2.7,2.7){$0,99$}
\rput(3.75,0.5){$\overline{T}$}\rput(2.7,.6){$0,01$}
\psline(3.5,-0.5)(2,-1.5)(3.5,-3.)
\rput(3.75,-3){$\overline{T}$}\rput(2.7,-2.7){$0,999$}
\rput(3.75,-0.5){$T$}\rput(2.7,-.6){$0,001$}
\end{pspicture}\]
On a alors:
$P(T) = 0,99x + 0,001 \times (1 - x) = 0,001 + 0989x$
et donc,
$P_T(M) = \dfrac{0,99x}{0,001 + 0,989x}$.
On cherche alors à résoudre, pour $x\in[0;1]$,
$P_T(M) \geqslant 0,95$, soit
\[\bgar{ll}
\dfrac{0,99x}{0,001 + 0,989x} \geqslant 0,95
&\iff 0,99x \geqslant 0,95 \times (0,001 + 0,989x)
\text{ car } 0,001 + 0,989x \geqslant 0,001>0 \\[0.3cm]
&\iff 0,99x \geqslant 0,00095 + 0,93955x
\iff x \geqslant \dfrac{0,00095}{0,05045} \simeq 0,01883
\enar\]
Le test est donc commercialisable dès lors que la proportion $x$
de personnes atteintes par la maladie dans la population
est supérieure à environ $0,01883\simeq1,8\%$.
\enen
\smallskip
\textbf{Partie B}
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item On utilise la calculatrice, qui donne :
$P(890 \leqslant X \leqslant 920) \simeq 0,92$ à $10^{-2}$ près.
\item On pose $Z = \dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-900}{7}$ qui est
une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite
$\mathcal{N}(0~;~1)$.
On a alors
$P\lp 900-h\leqslant X\leqslant 900+h\rp
=P\lp -\dfrac{h}{7}\leqslant Z\leqslant \dfrac{h}{7}\rp
=0,99$.
Or on sait que
$P\lp -u_{0,01}\leqslant Z\leqslant u_{0,01}\rp\simeq 0,99$
pour $u_{0,01}\simeq 2,58$.
Ainsi, on doit avoir
$\dfrac{h}{7}\simeq 2,58 \iff h\simeq 7\times 2,58\simeq18,06$.
Puisque le nombre $h$ demandé est entier, on arrondit à $h = 18$.
On peut vérifier à la calculatrice que
$P(882 \leqslant X \leqslant 918) \simeq 0,9899 \simeq 0,990$
à $10^{-3}$ près.
\enen
\item Puisque la sélection de l'échantillon est assimilée à un tirage
au sort avec remise, on a donc $n=1000$ répétitions indépendantes
d'une épreuve de Bernoulli dont le succès est "le comprimé tiré est
conforme" de probabilité $p=0,97$.
La variable aléatoire $X$ qui est égale au nombre de comprimés non
conformes sur ces 1000 rpétitions suit donc la loi binomiale
$\mathcal{B}(1000~;~0,97)$.
Le paramètre $n = 1000$ étant suffisamment élevé ($n\geqslant 30$),
on en déduit que l'intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de $95\%$ pour la proportion $\dfrac{X}{n}$
est
\[\lb 0,97 - 1,96 \tm \dfrac{\sqrt{0,97 \tm 0,03}}{\sqrt{1000}}~;
~0,97 + 1,96 \times \dfrac{\sqrt{0,97 \tm 0,03}}{\sqrt{1000}}\rb
\simeq \Bigl[ 0,9594~;~0,9806\Bigr]\]
Cela signifie que la proportion de comprimés conformes dans un lot
de $1000$ comprimés est comprise dans l'intervalle ci-dessus, avec
une probabilité de 0,95. Comme la proportion de comprimés conformes
constatée dans cet échantillon est de $\dfrac{1000 - 53}{1000} =
0,947$, donc est en dehors de l'intervalle de fluctuation
asymptotique déterminé précédemment, on en déduit que les réglages
faits par le laboratoire ont une forte probabilité d'être à
revoir. La probabilité qu'ils soient corrects bien que l'échantillon
donne une proportion de comprimés conformes en dehors de
l'intervalle de fluctuation n'est que de $0,05$.
\enen
\enex
\bgex
\bgen
\item Le discriminant $\Delta$ de ce trinôme du second degré est:
$\Delta=4^2-4\times1\times16 = -48<0$.
L'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées, qui sont:
$Z_1 = \dfrac{-4 - i \sqrt{48}}{2}
= \dfrac{-4 - 4i \sqrt{3}}{2} = -2 - 2i \sqrt{3}$
et $Z_2 = \overline{Z_1} = -2 + 2i\sqrt{3}$.\\
On a
$\left|Z_1\right| = \sqrt{(-2)^2 + \lp-2\sqrt{3}\rp^2}
=\sqrt{4+4\tm3}=4$.
On peut alors écrire:
\[Z_1=4\times\lp\dfrac{-2}{4}+i\dfrac{-2\sqrt3}{4} \rp
=4\times\lp\dfrac{-1}{2}+i\dfrac{-\sqrt3}{2} \rp
=4\lp \cos\lp-\dfrac{2\pi}{3}\rp+i\sin\lp-\dfrac{2\pi}{3}\rp\rp
=4e^{\frac{-2i\pi}{3}}
\]
et $Z_2=\overline{Z_1}=4e^{\frac{2\i\pi}3}$.
\item $a$ a pour module 2 et pour argument $\dfrac{\pi}{3}$,
alors $a = 2e^{\frac{i\pi}3}$
et donc, d'après les propriété du module et des arguments,
$a^2 = 2^2e^{2\times \frac{\i\pi}3}$,
donc $a^2 = Z_2$
et la forme algébrique de $a^2$ est $a^2=Z_2=-2 + 2\i\sqrt3$.
Le nombre $a$ est donc une solution à l'équation dont on parle dans
cette question.
L'autre solution sera donc $-a$, car $(-a)^2 = a^2$.
Sous forme algébrique:
$a = 2e^{\frac{i\pi}3} = 2\times\lp\dfrac12+i\dfrac{\sqrt3}{2}\rp=1+i\sqrt3$
et $-a=-1+i\times\lp-\sqrt3\rp$.
\item Soient $z_1$ et $z_2$ deux nombres complexes.
Il existe donc quatre nombres réels $x_1$; $y_1$; $x_2$ et $y_2$
tels que $z_1 = x_1 + \i y_1$ et $z_2 = x_2 + \i y_2$.\\
On a alors
$z_1 z_2=(x_1 + i y_1)(x_2 + i y_2)
= x_1 x_2 + i x_1 y_2 + i y_1 x_2+ i^2y_1y_2
= (x_1 x_2 - y_1y_2) + i (x_1y_2 + x_2y_1)$
Comme les nombres $x_1$, $x_2$, $y_1$ et $y_2$ sont réels, alors on
peut définir les nombres $x_3 = x_1x_2 - y_1 y_2$ et $y_3 = x_1y_2 +
x_2y_1$, qui sont réels également.
On a donc écrit le produit $z_1 z_2$ sous la forme $x_3 + i y_3$,
où $x_3$ et $y_3$ sont des nombres réels, donc le conjugué de
$z_1z_2$ est:
$\overline{z_1z_2} = x_3 -i y_3
= (x_1 x_2 - y_1y_2) - \i (x_1y_2 + x_2y_1)$.
Par ailleurs,
$\overline{z_1}~\overline{z_2}=(x_1-iy_1)\times(x_2-iy_2)
=x_1 x_2 - i x_1 y_2 - i y_2 x_1 + (-i)^2y_1 y_2
= (x_1 x_2 - y_1y_2) - i (x_1y_2 + x_2y_1)=\overline{z_1z_2} $
Nous avons donc démontré que pour deux nombres complexes quelconques
$z_1$ et $z_2$, on a : $\overline{z_1}~\overline{z_2}=\overline{z_1z_2} $.
\smallskip
\emph{Initialisation:} Pour $n=1$, on a $z^1=z$,
donc $\overline{z^1} = \overline{z\vphantom{z^1}}
= \lp\overline{\vphantom{z^1}z}\rp^1$
et la propriété est donc vraie au rang $n=1$.
\emph{Hérédité:} Supposons la propriété vraie pour un certain entier
$k$ non nul, c'est-à-dire que l'on suppose que pour tout complexe
$z$, on a $\overline{z^k} = \lp\overline{z}\rp^k$.
Soit alors $z$ un nombre complexe quelconque.
On a $z^{k+1} = z^k \times z$, donc
$\overline{z^{k+1}}=\overline{z^k \times z}
=\overline{z^k} \times \overline{z}$, d'après la première propriété
démontrée, d'où
$\overline{z^{k+1}}=\overline{z^k \times z}
=\lp\overline{z}\rp^k \times \overline{z}$ par hypothèse de récurrence.
Ainsi donc,
$\overline{z^{k+1}}=\lp\overline{z}\rp^{k+1}$, ce qui montre que la
propriété est encore vraie au rang suivant $k+1$.
\emph{Conclusion:} La propriété est vraie au rang 1 et est
héréditaire, donc, d'après le principe de récurrence,
pour tout entier naturel non nul $n$, et pour tout nombre complexe
$z$,
$\overline{z^n} = \lp\overline{z}\rp^n$.
\item Soit $z$ une solution de l'équation $(E)$,
c'est-à-dire que: $z^4 + 4z^2 + 16 = 0$.
Soit $Z=\overline{z}$ le conjuqué de $z$, alors d'après les
propriétés précédentes
\[Z^4+4Z^2+16=\overline{z}^4 + 4\overline{z}^2 + 16
=\overline{z^4} + 4\overline{z^2} + 16
=\overline{z^4} + \overline{4z^2} + 16
=\overline{z^4 + 4 z^2 + 16}
=\overline{0}=0\]
Ainsi $Z=\overline{z}$ est aussi solution de $(E)$.
Comme on a établi à la question 2. que les nombres $a$ et $-a$ sont
tels que $a^2 = Z_2$ et $(-a)^2 = Z_2$,
c'est-à-dire que $a$ et $-a$ sont solutions de $(E)$,
les nombres $\overline{a}$ et $\overline{-a}$ sont aussi des solutions
de $(E)$.
Nous avons donc 4 solutions à l'équation, qui sont distinctes :
$a=1+i\sqrt3$;
$-a=-1-i\sqrt3$;
$\overline{a}=1-i\sqrt3$
et $\overline{-a}=-1+i\sqrt3$,
donc puisqu'il y a au maximum 4 solutions à l'équation,
on conclut que ce sont exactement toutes les solutions de $(E)$.
\enen
\enex
\bgex
Tout d'abord, une figure :
\[\psset{xunit=1.cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\pspolygon(-2,-1.5)(0,0)(3,-.5)
\psline(-0.2,-0.16)(0.12,-0.22)(0.32,-0.06)
\psline(-0.12,-.1)(-0.12,.08)(0,0.15)
\psline(0.23,-0.04)(0.23,0.16)(0,0.2)
\psline(-2,-1.5)(0,3)(0,0)
\psline(0,3)(3,-.5)
\rput(-0.3,0.1){$A$}
\rput(-2.2,-1.5){$B$}
\rput(3.2,-.5){$C$}
\rput(-0.2,3){$D$}
\rput(0.5,-1){$\tm$}\rput(0.6,-1.2){$F$}
\rput(-1,-0.75){$\tm$}\rput(-1.2,-.6){$E$}
\rput(1.5,-0.25){$\tm$}\rput(1.3,0.){$G$}
\psplot{-0.1}{0.7}{-8 x mul 3 add}
\end{pspicture}\]
\bgen
\item
\bgen[a)]
\item On a $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$, et $D(0;0;1)$, pour les
coordonnées des points directement liés au repère, et alors
$F\lp\dfrac12;\dfrac12;0\rp$ puisque $F$ est le milieu de
$[BC]$.
\item Une représentation paramétrique de $(DF)$ est donnée par
$\V{DM}=t\V{DF}$ où $M(x;y;z)$ est un point de la droite
de paramètre $t$, et
$\V{DF}\lp\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};-1\rp$ est un vecteur
directeur de la droite.
Cette relation se réécrit sous la forme de la représentation
paramétrique:
$ \la\bgar{l}
x=\dfrac{1}{2}t\\[0.3cm]
y = \dfrac{1}{2}t\\[0.3cm]
z = 1 - t\enar\right. t \in \R$.
\item Le plan $\mathcal{P}$ est orthogonal à $(DF)$, donc
$\V{DF}$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$ et une équation
cartésienne de $\mathcal{P}$ est
$\dfrac12 x+\dfrac12y-z+d=0$ où $d$ est un réel.
De plus, on sait que $A(0;0;0)\in\mathcal{P}$, et donc que
$\dfrac12\tm0+\dfrac12\tm0-0+d=0\iff d=0$.
Ainsi, une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est
$\dfrac12 x+\dfrac12y-z=0$
\item Le point $H(x;y;z)$ est un point de $(DF)$ et de $\mathcal{P}$,
donc ses coordonnées sont celles d'un point de paramètre $t$ dans
la représentation paramétrique, et qui vérifient également l'équation
du plan: il existe $t\in\R$ tel que:
$ \la\bgar{l}
x=\dfrac{1}{2}t\\[0.3cm]
y = \dfrac{1}{2}t\\[0.3cm]
z = 1 - t\\
\enar\right.$
et $\dfrac12 x+\dfrac12y-z=0$.
En substituant les expressions de $x$, $y$ et $z$ en fonction du
paramètre $t$ dans l'équation de $\mathcal{P}$, on obtient:
\[
\dfrac12\lp\dfrac12t\rp+\dfrac12\lp\dfrac12t\rp-\lp1-t\rp=0
\iff \dfrac32t-1=0
\iff t=\dfrac23
\]
Ainsi, $H$ a pour coordonnées
$ \la\bgar{l}
x=\dfrac{1}{2}t=\dfrac12\dfrac23=\dfrac13\\[0.3cm]
y = \dfrac{1}{2}t=\dfrac12\dfrac23=\dfrac13\\[0.3cm]
z = 1 - t=1-\dfrac23=\dfrac13
\enar\right.$,
c'est à dire: $H\lp\dfrac13;\dfrac13;\dfrac13\rp$.
\item Les coordonnées des vecteurs $\V{HE}$ et $\V{HG}$ sont:
$\V{HE} = \lp\dfrac12-\dfrac13;0-\dfrac13;0-\dfrac13\rp
= \lp\dfrac16;-\dfrac13;-\dfrac13\rp$
et
$\V{HG} = \lp0-\dfrac13;\dfrac12-\dfrac13;0-\dfrac13\rp
=\lp-\dfrac13;\dfrac16;-\dfrac13\rp$.
Comme on travaille avec un repère orthonormé, le produit scalaire
des deux vecteurs peut être obtenu avec ces coordonnées, et on a:
$\V{HE} \cdot \V{HG} =
\dfrac16\tm\dfrac{-1}{3}+\dfrac{-1}{3}\tm\dfrac16
+\dfrac{-1}{3}\tm\dfrac{-1}{3}
=\dfrac{-1}{18}+\dfrac{-1}{18}+\dfrac{1}{9} = 0$,
ce qui montre que les vecteurs $\V{HE}$ et $\V{HG}$ sont
orthogonaux, et donc que l'angle $\widehat{EHG}$ est droit.
\enen
\item On reconnaît dans le point $M$ décrit, le point de paramètre $t$
dans la représentation paramétrique de la droite $(DF)$ donnée à la
question 1. b..
\bgen[a)]
\item Le point $E$ est le milieu du segment $[AB]$, donc ses
coordonnées sont $E\lp\dfrac12;0;0\rp$ et le
vecteur $\V{ME}$ a pour coordonnées:
$\lp\dfrac12-\dfrac12t;0-\dfrac12t;0-(1 - t)\rp$,
soit $\V{ME}\lp\dfrac12(1-t);-\dfrac12t;t-1\rp$.
On a donc
\[ME^2=\V{ME}\cdot\V{ME}=\lp\dfrac12(1-t)\rp^2
+\lp-\dfrac12t\rp^2 + \lp t-1 \right)^2
= \dfrac{1}{4}(t^2 - 2t + 1) + \dfrac{t^2}{4} + t^2 - 2t + 1
= \dfrac{3}{2}t^2 - \dfrac{5}{2}t + \dfrac{5}{4}\]
\item On procède de façon analogue pour calculer la longueur $MG$:
Le point $G$ est le milieu du segment $[AC]$, donc ses coordonnées
sont $E\left(0~;~\dfrac{1}{2}~;~0\right)$ donc le vecteur $\V{MG}$
a pour coordonnées:
$\V{MG}\left(0 - \dfrac{1}{2}t~;~\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}t~;~0-
(1 - t)\right)$, soit $\V{MG}\left(-\dfrac{1}{2}
t~;~\dfrac{1}{2}(1 - t)~;~ t - 1\right)$.
On a donc
$MG^2 = \V{MG} \cdot \V{MG}
=\lp-\dfrac12t\rp^2+\lp\dfrac12(1-t)\rp^2+\lp t-1\rp^2
=\dfrac{t^2}{4}+\dfrac14(t^2-2t+1)+t^2-2t+1
=\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{5}{2}t+\dfrac{5}{4}$.
On a donc $MG^2 = \dfrac32t^2 - \dfrac52t +\dfrac54=ME^2$,
et, comme $MG$ et $ME$ sont des longueurs, donc des nombres
positifs, on a bien $MG=ME$ et le triangle $MEG$ est isocèle.
Dans le plan $(MEG)$, on a la situation:
\[\begin{pspicture}(-2,-0.4)(2,3.2)
\pspolygon(-1.5,0)(1.5,0)(0,3)
\rput(-1.7,0){$E$}
\rput(1.7,0){$G$}
\rput(-.1,3.1){$M$}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(0,3)
\psline(0,0.3)(0.3,0.3)(0.3,0)
\psarc(0,3){0.65}{245}{270}
\rput(-0.25,2){$\frac{\alpha}{2}$}
\rput(0,-0.2){$I$}
\end{pspicture}\]
On a alors, dans le triangle $EIM$,
$\sin\dfrac\alpha2=\dfrac{\dfrac{EG}{2}}{ME}
\iff ME\sin\dfrac\alpha2=\dfrac{EG}{2}
$.
Or $E\lp \dfrac12;0;0\rp$ et $G\lp0;\dfrac12;0\rp$,
d'où $\V{EG}\lp-\dfrac12;\dfrac12;0\rp$,
et donc, $EG=\sqrt{\lp-\dfrac12\rp^2+\lp\dfrac12\rp^2+0^2}
=\sqrt{\dfrac12}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$.
On obtient bien ainsi,
$ME\sin\dfrac\alpha2=\dfrac{EG}{2}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.
\item $\alpha$ désigne la mesure en radians d'un angle géométrique,
et donc $\alpha\in[0;\pi]$.
On a alors $\dfrac\alpha2\in\lb0;\dfrac\pi2\rb$, intervalle sur
lequel la fonction sinus est croissante:
\[
\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$\alpha$ & $0$ &\hspace*{1cm}& $\pi$ \\\hline
&&&$\dfrac\pi2$\\
$\dfrac\alpha2$ & &
\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.7,-.4)(.8,.5)& \\
&0&&\\\hline
&&&1\\
$\sin\dfrac\alpha2$&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.7,-.4)(.8,.5)&\\
&0&&\\\hline
\end{tabular}\]
On en déduit en particulier que:
$\alpha$ maximal $\iff\sin\dfrac\alpha2$ maximal.
\medskip
De plus, on a d'après la question précédente,
$\sin\dfrac\alpha2=\dfrac{1}{2\sqrt{2}ME}$.
Donc, $\sin\dfrac\alpha2$ est maximal lorsque $ME$ est minimal, et
donc lorsque $ME^2$ est minimal car la fonction carré étant
croissante sur $\R_+$, $ME$ et $ME^2$ ont le même sens de
variation.
\item On avait $ME^2=\dfrac32t^2-\dfrac52t+\dfrac54$.
En notant $f(t)=ME^2$, on définit une fonction $f$ trinôme du
second degré, donc dérivable sur $\R$, et telle que
$f'(t)=3t-\dfrac52$ et qui est donc décroissante
sur $\Bigl[-\infty;\dfrac56\Bigl]$
et croissante sur $\Bigr[\dfrac56;+\infty\Bigl[$.
En particulier $f$, donc $ME^2$, donc aussi $ME$,
a un minimum en $t=\dfrac56$.
La position du point $M$ telle que la mesure de l'angle soit
maximale est donc celle atteinte pour le paramètre $t = \dfrac{5}{6}$,
soit $M\left(\dfrac{5}{12}~;~\dfrac{5}{12}~;~\dfrac{1}{6}\right)$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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