Source Latex: Devoir corrigés de mathématiques en Terminale S


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Description
Annale Bac S corrigé: métropole, juin 2015
Niveau
Terminale S
Table des matières
  • Exercice 1: Probabilités: lois exponentielle & normale, intervalle de confiance
  • Exercice 2: Géométrie dans l'espace
  • Exercice 3: Nombres complexes
  • Exercice 4: Logarithme, intégration et algorithme
Mots clé
annale bac S, Nouvelle Calédonie, Bac S, annale corrigée
Voir aussi:

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Source Latex sujet du devoir

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    pdfsubject={Baccalauréat de mathématiques 2015},
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
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\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
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\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
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\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
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	\protect\vspace*{\fill}}
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\nwc{\TITLE}{Bac S - Métropole 22 juin 2015}

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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{\TITLE}}


\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\emph{Les résultats des probabilités seront arrondis à $10^{-3}$ près.}

\bigskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

\bgen
\item Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ est un réel strictement positif donné.

On rappelle que la densité de probabilité de cette loi est la fonction $f$  définie sur
$[0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$.
  \bgen[a.]
  \item Soit $c$ et $d$ deux réels tels que $0 \leqslant c < d$.
		
    Démontrer que la probabilité $P( c \leqslant X \leqslant d)$ vérifie 
    \[P(c \leqslant X \leqslant d) = e^{- \lambda c}-e^{-\lambda d}\]
  \item Déterminer une valeur de $\lambda$ à $10^{-3}$ près de telle sorte que la probabilité $P(X > 20)$ soit égale à 0,05.
  \item Donner l'espérance de la variable aléatoire $X$.

\vspd		
\textbf{Dans la suite de l'exercice on prend } \boldmath$\lambda = 0,15$\unboldmath.

  \item Calculer $P(10 \leqslant X \leqslant 20)$.
  \item Calculer la probabilité de l'évènement $(X > 18)$.
\enen
\item Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $16$ et d'écart type $1,95$.
  \bgen[a.]
  \item Calculer la probabilité de l'événement $(20 \leqslant Y \leqslant 21)$.
  \item Calculer la probabilité de l'événement $(Y < 11) \cup (Y > 21)$.
  \enen
\enen

\bigskip
	
\textbf{Partie 2}
	
\medskip
	
Une chaîne de magasins souhaite fidéliser ses clients en offrant des bons d'achat à ses clients
privilégiés. Chacun d'eux reçoit un bon d'achat de couleur verte ou rouge sur lequel est inscrit un montant.
	
Les bons d'achats sont distribués de façon à avoir, dans chaque magasin, un quart de bons rouges et trois quarts de bons verts.

\vspd	
Les bons d'achat verts prennent la valeur de $30$ euros avec une
probabilité égale à $0,067$ ou des valeurs comprises entre $0$ et $15$
euros avec des probabilités non précisées ici.

\vspd	
De façon analogue, les bons d'achat rouges prennent les valeurs $30$
ou $100$ euros avec des probabilités respectivement égales à $0,015$
et $0,010$ ou des valeurs comprises entre $10$ et $20$ euros avec des probabilités non précisées ici.

\medskip

\bgen
\item Calculer la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à $30$~euros sachant qu'il est rouge.
\item Montrer qu'une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité d'avoir un bon d'achat d'une valeur supérieure ou égale à $30$~euros vaut $0,057$.

\vspd
\textbf{Pour la question suivante, on utilise cette valeur.}


\item Dans un des magasins de cette chaîne, sur $200$ clients
  privilégiés, $6$ ont reçu un bon d'achat d'une valeur supérieure ou
  égale à $30\euro$.

\smallskip

Le directeur du magasin considéré estime que ce nombre est insuffisant et doute de la répartition
au hasard des bons d'achats dans les différents magasins de la chaîne.

Ses doutes sont-ils justifiés ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 3 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

Dans un repère orthonormé (O, I, J, K) d'unité 1 cm, on considère les points 
$A(0;-1;5)$, $B(2;-1;5)$, $C(11;0;1)$, $D(11;4;4)$.

\medskip

Un point $M$ se déplace sur la droite $(AB)$ dans le sens de $A$ vers $B$ à la vitesse de 1cm par seconde.

Un point $N$ se déplace sur la droite $(CD)$ dans le sens de $C$ vers $D$ à la vitesse de 1cm par seconde.

À l'instant $t=0$ le point $M$ est en $A$ et le point $N$ est en $C$.

On note $M_t$ et $N_t$ les positions des points $M$ et $N$ au bout de $t$ secondes, $t$ désignant un nombre réel positif.

On admet que $M_t$ et $N_t$, ont pour coordonnées : $M_t(t;-1;5)$ et $N_t(11;0,8t;1+0,6t)$.

\medskip

\emph{Les questions 1 et 2 sont indépendantes.}

\medskip

\bgen
\item 
  \bgen[a.]
  \item La droite $(AB)$ est parallèle à l'un des axes $(OI)$, $(OJ)$ ou $(OK)$. Lequel ?
  \item La droite $(CD)$ se trouve dans un plan $\mathcal{P}$ parallèle à l'un des plans $(OIJ)$, $(OIK)$ ou $(OJK)$.
		
    Lequel ? On donnera une équation de ce plan $\mathcal{P}$.
  \item Vérifier que la droite $(AB)$, orthogonale au plan $\mathcal{P}$, coupe ce plan au point $E(11;-1;5)$.
  \item Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont-elles sécantes ?
  \enen
\item
  \bgen[a.]
  \item Montrer que $M_tN_t^2 = 2 t^2 - 25,2 t + 138$.
  \item À quel instant $t$ la longueur $M_tN_t$ est-elle minimale?
  \enen
\enen

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip

\bgen
\item Résoudre dans l'ensemble $\C$ des nombres complexes l'équation (E) d'inconnue $z$ :
\[z^2 - 8z + 64 = 0.\]

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct $\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$.
\item On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $a=4+4i\sqrt{3}$,  $b=4-4i\sqrt{3}$ et $c=8i$.
  \bgen[a.]
  \item Calculer le module et un argument du nombre $a$.
  \item Donner la forme exponentielle des nombres $a$ et $b$.
  \item Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont sur un même cercle de centre $O$ dont on déterminera le rayon.
  \item Placer les points A, B et C dans le repère $\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$.
  \enen

\bigskip		
Pour la suite de l'exercice, on pourra s'aider de la figure de la question \textbf{2. d.} complétée au fur et à mesure de l'avancement des questions.
\vspd

\item On considère les points $A'$, $B'$ et $C'$ d'affixes respectives $a'=ae^{i\frac{\pi}{3}}$, $b'=be^{i\frac{\pi}{3}}$ et $c'=ce^{i\frac{\pi}{3}}$.
  \bgen[a.]
  \item Montrer que $b' = 8$.
  \item Calculer le module et un argument du nombre $a'$.
  \end{enumerate}

\bigskip				
Pour la suite on admet que $a'=-4+4i\sqrt{3}$ et $c'=-4\sqrt{3}+4i$.
\vspd

\item On admet que si $M$ et $N$ sont deux points du plan d'affixes respectives $m$ et $n$ alors le milieu $I$ du segment $[MN]$ a pour affixe $\dfrac{m+n}{2}$ et la longueur $MN$ est égale à $|n-m|$.
  \bgen[a.]
  \item On note $r$, $s$ et $t$ les affixes des milieux respectifs $R$, $S$ et $T$ des segments $[A'B]$, $[B'C]$ et $[C'A]$.
		
Calculer $r$ et $s$. On admet que $t=2-2\sqrt{3}+i\lp2+2\sqrt{3}\rp$.
\item Quelle conjecture peut-on faire quant à la nature du triangle RST ? 
		
  Justifier ce résultat.
  \enen
\enen

\bigskip
\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats} 

\medskip

\bgmp{2cm}
\[\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(29,19)
\psaxes[linewidth=1.pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}}
\pspolygon[showpoints](20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C
\psline[showpoints](0,7.07)(7.07,14.14)%BB'
\psline[showpoints,linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07)
\psline[linestyle=dashed,showpoints](7.07,7.07)(7.07,14.14)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){A} \uput[l](0,7.07){B} 
\uput[ul](7.07,14.14){B$'$} \uput[dr](20,10.935){C} \uput[dr](27.07,18.005){C$'$} 
\uput[d](20,0){D} \uput[dr](27.07,7.07){D$'$} \uput[d](1,0){I} 
\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture}\]
\enmp\hfill 
\bgmp{8.2cm}
Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.

Le dessin ci-contre en fournit une perspective
cavalière. Les quadrilatères $OAD'D$, $DD'C'C$, et $OAB'B$ sont des rectangles.

Le plan de face $(OBD)$ est muni d'un repère orthonormé (O,I,J).

L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement
dit, $DD'=10$, sa longueur $OD$ est de 20 mètres.
\enmp
\bigskip

\textbf{Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.}

\medskip

Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0;20]$ par
\[f(x) = (x + 1)\ln (x + 1) - 3x + 7.\]
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le repère (O, I, J).
\medskip

\bgmp{10cm}
\textbf{Partie 1} 

\bgen
\item Montrer que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle
$[0;20]$, on a $f'(x)=\ln(x+1)-2$.
\item En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $[0;20]$ et dresser son tableau de variation.
\item  Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.

La valeur absolue de ce coefficient est appelée l'inclinaison du module de skateboard au point $B$.
 \enen
\enmp
\hfill
\bgmp{7.5cm}
\[\psset{unit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.5)(23,13.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(23,13.5)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\uput[u](15,7){$\mathcal{C}$}\uput[d](20,0){D}\uput[l](0,7.07){B}\uput[dr](20,10.935){C}\uput[dl](0,0){O}\uput[d](1,0){I} 
\uput[l](0,1){J}  
\end{pspicture}\]
\enmp

\medskip
 
 
4. On admet que la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0;20]$  par
\[g(x)=\dfrac{1}{2}(x+1)^2\ln(x+1)-\dfrac{1}{4}x^2 -\dfrac{1}{2}x\]
a pour dérivée la fonction   $g'$ définie sur l'intervalle
$[0;20]$ par $g'(x)=(x+1)\ln(x+1)$.

Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0;20]$.

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

\emph{Les trois questions de cette partie sont indépendantes}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.

\vspd
\bgit
\item[$P_1$:]  La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
\item[$P_2$:] L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en $B$ qu'en $C$.
\enit


\item On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de $5m^2$ par litre.

Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.


\medskip


\item 

\bgmp[t]{7.85cm}
On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la
surface supérieure du module.

\bigskip
Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère
dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points $B_k(k;f(k))$ pour $k$ variant de 0 à 20.

Ainsi, $B_0=B$.

On décide d'approcher l'arc de la courbe $\mathcal{C}$
allant de $B_k$ à $B_{k+1}$ par le segment $\left[B_kB_{k+1}\right]$.

Ainsi l'aire de la surface à peindre sera  approchée par la somme des aires des
rectangles du type $B_k B_{k+1} B'_{k+1}B_k$ (voir figure).
\enmp
%\hfill
\bgmp[t]{8cm}
\[\psset{xunit=0.3cm,yunit=0.35cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1.5)(29,17)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none,tickstyle=bottom]{->}(0,0)(29,19)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}
\rput(7.07,7.07){\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{20}{x 1 add ln x 1 add mul 3 x mul sub 7 add}}
\pspolygon(20,0)(27.07,7.07)(27.07,18.005)(20,10.935)%DD'C'C
\psline(0,7.07)(7.07,14.14)%BB'
\psline[linestyle=dashed](0,0)(7.07,7.07)(27.07,7.07)
\psline[linestyle=dashed](7.07,7.07)(7.07,14.14)
\uput[dl](0,0){O} \uput[ul](7.07,7.07){\scriptsize A} \uput[l](0,7.07){\scriptsize B} 
\uput[ul](7.07,14.14){\scriptsize B$'$} \uput[dr](20,10.935){\footnotesize C} \uput[dr](27.07,18.005){\footnotesize C$'$} 
\uput[d](20,0){\scriptsize D} \uput[dr](27.07,7.07){\scriptsize D$'$} \uput[d](1,0){\scriptsize I}
\psline[linestyle=dotted](1,5.39)(8.07,12.46)\uput[d](1,5.48){\scriptsize $B_1$}\uput[ur](8.07,12.46){\footnotesize $B'_1$}
\psline[linestyle=dotted](2,4.3)(9.07,11.37) \uput[d](2,4.34){\scriptsize $B_2$}\uput[ur](9.07,11.37){\footnotesize $B'_2$}
\psline[linestyle=dotted](7,2.64)(14.07,9.71)\uput[dl](7,2.64){\scriptsize $B_k$}\uput[ul](14.07,9.71){\footnotesize $B'_k$} 
\psline[linestyle=dotted](8,2.78)(15.07,9.85)\uput[d](9,3.03){\scriptsize $B_{k+1}$}\uput[u](16.07,10.1){\scriptsize $B'_{k+1}$}  
\uput[l](0,1){J}
\end{pspicture}\]
\enmp

\medskip

\bgen[a.]
\item Montrer que pour tout entier $k$ variant de 0 à 19, 
  $B_kB_{k+1}=\sqrt{1+\lp f(k+1)-f(k)\rp^2}$.
		\item Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.
		
\[
\begin{tabular}{|l|p{10cm}|}\hline		
Variables 	&$S$ : réel\\
			&$K$ : entier\\
Fonction 	&$f$ : définie par $f(x) = (x + 1)\ln(x + 1)- 3x + 7$\\ \hline
Traitement	&$S$ prend pour valeur $0$\\
			&Pour $K$ variant de \ldots à \ldots\\
			&\hspace{1cm}$S$ prend pour valeur \ldots \ldots\\
			&Fin Pour\\ \hline
Sortie 		&Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabular}
\]
\enen
\enen




\label{LastPage}
\end{document}

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