Source Latex: Devoir corrigés de mathématiques en Terminale S


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Description
Annale Bac S corrigé: Nouvelle Calédonie - mars 2016
Niveau
Terminale S
Table des matières
  • Exercice 1: QCM: Probabilités
  • Exercice 2: Calcul d'aire et intégration
  • Exercice 3: Géométrie dans l'espace
  • Exercice 4: Suite et nombres complexes
Mots clé
annale bac S, Nouvelle Calédonie, Bac S, mars 2016
Voir aussi:

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Source Latex sujet du devoir

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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Bac S de mathématiques: Liban mai 2015},
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\TITLE}{Baccalauréat S - Métropole-La Réunion - 9 septembre 2015}

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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\ct{\bf\LARGE{Baccalauréat S - Nouvelle Calédonie}}
\medskip
\ct{\bf\large Mars 2016}


\textbf{\textsc{Exercice 1}\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill 6 points}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une boite contient 200 médailles souvenir dont 50 sont argentées, les autres dorées.

Parmi les argentées 60\,\% représentent le château de Blois, 30\,\% le château de Langeais, les autres le château
de Saumur.

Parmi les dorées 40\,\% représentent le château de Blois, les autres le château de Langeais.

On tire au hasard une médaille de la boite. Le tirage est considéré équiprobable et on note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement \og la médaille tirée est argentée \fg{} ;
\item[ ] $D$ l'évènement \og la médaille tirée est dorée \fg{} ;
\item[ ] $B$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Blois \fg{} ;
\item[ ] $L$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Langeais \fg{} ;
\item[ ] $S$ l'évènement \og la médaille tirée représente le château de Saumur \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on donnera les résultats sous la forme d'une fraction irréductible.
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Calculer la probabilité que la médaille tirée soit argentée et
    représente le château de Langeais. 
  \item Montrer que la probabilité que la médaille tirée représente le
    château de Langeais est égale à $\dfrac{21}{40}$. 
  \item Sachant que la médaille tirée représente le château de
    Langeais, quelle est la probabilité que celle-ci soit dorée ? 
  \end{enumerate}
\item Sachant que la médaille tirée représente le château de Saumur, donner la probabilité que celle-ci soit
argentée.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes.

On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en
grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$.

On note $C$ l'évènement \og la médaille est conforme \fg.

Calculer la probabilité qu'une médaille produite par la machine M$_1$ ne soit pas conforme. On donnera le résultat arrondi à $10^{-3}$ près.
\item La proportion des médailles non conformes produites par la machine M$_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine M$_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$.
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Soit $Z$ la variable aléatoire égale à 
    $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$. Quelle est la loi suivie par la variable $Z$ ?
  \item Sachant que cette machine produit 6\,\% de pièces non
    conformes, déterminer la valeur arrondie au millième de $\sigma$.
  \end{enumerate}		
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill3 points}

\medskip

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0~;~16] par

\[f(x) = \ln(x + 1)\quad  \text{et}\quad g(x) = \ln(x + 1) + 1 - \cos(x).\]

Dans un repère du plan $\lp O;\vec{i},\vec{j}\rp$, on note
$\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives des
fonctions $f$ et $g$. 

Ces courbes sont données en \textbf{annexe 1}.

Comparer les aires des deux surfaces hachurées sur ce graphique.

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hrulefill Commun à tous les candidats\hrulefill 6 points}

\medskip

Dans le repère orthonormé $\lp O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$ de
l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation 

\[\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0.\]

\begin{enumerate}
\item Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A(1~;~1~;~1) appartient-il au plan $P_m$ ?
\item Montrer que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique

\[(d)\:\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& 12 - 2t\\
y &=& 9 - 2t\\ 
z &=&t
\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \R\]

\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Montrer que l'intersection entre $P_0$ et $(d)$ est un point
    noté B dont on déterminera les coordonnées. 
  \item Justifier que pour tout réel $m$, le point B appartient au
    plan $P_m$. 
  \item Montrer que le point B est l'unique point appartenant à $P_m$
    pour tout réel $m$. 
  \end{enumerate}
\item  Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que
	
\[- 10 \leqslant  m \leqslant 10
\quad \text{et}\quad  
- 10 \leqslant m' \leqslant 10.\]

On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles
$P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires. 
\begin{enumerate}[a)]
\item Vérifier que $P_1$ et $P_{-4}$ sont perpendiculaires.
\item Montrer que les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires si et seulement si

\[\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2  + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0.\]
		
		\item On donne l'algorithme suivant :
\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline		
\emph{Variables:} &$m$ et $m'$ entiers relatifs\\
\emph{Traitement:}&Pour $m$ allant de $- 10$ à 10 :\\
&\hspace{0,5cm}Pour $m'$ allant de $- 10$ à 10 :\\
&\hspace{1cm}Si $\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0$\\
&\hspace{1,5cm}Alors Afficher $\left(m~;~m'\right)$\\
&\hspace{0,5cm}Fin du Pour\\
&Fin du Pour\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
Quel est le rôle de cet algorithme?
\item Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont 
  $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$. 
		
  Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hrulefill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité\hrulefill 5 points}


\medskip

On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout entier naturel $n$, par

\[z_0 = 1\quad  \text{et}\quad   
z_{n+1} = \left(1 + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)z_n.\]

On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé 
$\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$ de l'annexe 2. 

L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Vérifier que 
    $1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}e^{i\frac{\pi}{6}}$.
  \item En déduire $z_1$ et $z_2$ sous forme exponentielle.
  \end{enumerate}		
\item 
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Montrer que pour tout entier naturel $n$,
    \[z_n = \lp\dfrac{2}{\sqrt{3}} \rp^n e^{in\frac{\pi}{6}}.\]
		
  \item Pour quelles valeurs de $n$, les points O, $A_0$ et $A_n$
    sont-ils alignés ? 
  \end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Interpréter géométriquement $d_n$.
  \item Calculer $d_0$.
  \item Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,
    \[z_{n+2} - z_{n+1} =\lp1+i\dfrac{\sqrt{3}}{3}\rp \lp z_{n+1}-z_n\rp.\]
		
  \item En déduire que la suite $\lp d_n\rp_{n \geqslant 0}$  
    est géométrique puis que pour tout entier naturel $n$,
    \[d_n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n.\]
		
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}[a)]
  \item Montrer que pour tout entier naturel $n$,
    \[\left|z_{n+1}\right|^2  = \left|z_{n}\right|^2 + d_n^2.\]

  \item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, le triangle
    $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$. 
  \item Construire, à la règle non graduée et au compas, le point
    $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
  \item Justifier cette construction.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\clearpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 de l'exercice 2}

\bigskip

\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(16.2,9.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(19,9.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(16.2,9.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(19,9.5)
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{6.28319}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6.28319}{0}{x 1 add ln}
}
\pscustom[fillstyle=hlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{6.28319}{12.5664}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{12.5664}{6.28319}{x 1 add ln}
}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{x 1 add ln}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{16}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psdots(6.28319,1.98557)(12.5664,2.60759)
\uput[d](6.28319,1.98557){A}\uput[d](12.5664,2.60759){B}
\uput[d](4,1.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](4,3.3){\green $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{À RENDRE AVEC LA COPIE}

\medskip
\textbf{ANNEXE 2 de l'exercice 4}

\bigskip

\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
\psdots(0;0)(1;0)(1.1547;30)(1.3333;60)(1.5396;90)(1.7778;120)(2.37037;180) %(2.0528;150)
\uput[ur](1;0){$A_0$} \uput[ur](1.1547;30){$A_1$} \uput[ur](1.3333;60){$A_2$} \uput[ur](1.5396;90){$A_3$}\uput[ur](1.7778;120){$A_4$}\uput[ur](2.37037;180){$A_6$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

\label{LastPage}
\end{document}

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