Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
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pdftitle={Bac S, mathématiques, Liban 2015},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S,
Bac, baccalauréat, 2015}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
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\nwc{\bgsk}{\bigskip}
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
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\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
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\protect\vspace*{\fill}}
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\nwc{\TITLE}{Baccalauréat S - Métropole-La Réunion - 9 septembre 2015}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Baccalauréat S - Nouvelle Calédonie}}
\medskip
\ct{\bf\large Mars 2016}
\bigskip
\textbf{Exercice 1\hrulefill Commun à tous les candidats \hrulefill 6 points}
%\emph{Les parties A et B sont indépendantes}
\medskip
\textbf{Partie A}
\medskip
\begin{enumerate}
\item On peut représenter les données de l'exercice sous forme d'un
arbre pondéré:
\bigskip
\begin{center}
{%\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=3cm,labelsep=2pt,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
{\TR{}}
{
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{\small $\dfrac{1}{4}$}}
{
\TR{$B$} \naput{\small $\dfrac{60}{100}$}
\TR{$L$} \ncput*{\small $\dfrac{30}{100}$}
\TR{$S$} \nbput{\small $\dfrac{10}{100}$}
}
\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$D$}\nbput{\small $\dfrac{3}{4}$}}
{
\TR{$B$}\naput{\small $\dfrac{40}{100}$}
\TR{$L$}\nbput{\small $\dfrac{60}{100}$}
%\TR{$S$} \nbput{\red 0,63}
}
}
}% fin du \small
\end{center}
\bigskip
\begin{enumerate}
\item L'événement \og la médaille tirée est argentée et représente le
château de Langeais \fg{} est $A\cap L$.
$P(A \cap L) = P(A)\times P_A(L)=\dfrac{1}{4}\times \dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{40}$
\item On cherche $P(L)$; d'après la formule des probabilités totales:
$P(L)= P(A\cap L)+ P(D\cap L)
=P(A)\times P_A(L) + P(D)\times P_D(L)
=\dfrac{3}{40} + \dfrac{3}{4}\times \dfrac{60}{100} = \dfrac{3}{40} + \dfrac{18}{40}=\dfrac{21}{40}$
\item Sachant que la médaille tirée représente le château de Langeais, la probabilité que celle-ci soit dorée est $P_L(D)$:
$P_L(D) = \dfrac{P(D \cap L)}{P(L)}
= \dfrac{\dfrac{3}{4}\times \dfrac{6}{10}}{\dfrac{21}{40}}
= \dfrac{\dfrac{18}{40}}{\dfrac{21}{40}}
= \dfrac{18}{21} = \dfrac{6}{7}$
\end{enumerate}
\item Il n'y a pas de médaille dorée représentant le château de Saumur
donc la probabilité que la médaille tirée soit argentée sachant
qu'elle représente le château de Saumur est de 1.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B}\quad
Une médaille est dite conforme lorsque sa masse est comprise entre $9,9$ et $10,1$ grammes.
On dispose de deux machines M$_1$ et M$_2$ pour produire les médailles.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Après plusieurs séries de tests, on estime qu'une machine M$_1$ produit des médailles dont la masse $X$ en
grammes suit la loi normale d'espérance $10$ et d'écart-type $0,06$.
On note $C$ l'évènement \og la médaille est conforme \fg.
La probabilité qu'une médaille soit conforme est
$P(C) = P(9,9\leqslant X \leqslant 10,1)$
et la probabilité qu'une médaille soit non conforme est
$P\lp\overline C\rp = 1 - P(C)$.
D'après la calculatrice,
$P(C) = P(9,9 \leqslant X \leqslant 10,1) \simeq 0,904$.
Donc $P\lp\overline C\rp\simeq 0,096$.
\item La proportion des médailles non conformes produites par la
machine $M_1$ étant jugée trop importante, on utilise une machine
$M_2$ qui produit des médailles dont la masse $Y$ en grammes suit la
loi normale d'espérance $\mu = 10$ et d'écart-type $\sigma$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Soit $Z$ la variable aléatoire égale à $\dfrac{Y - 10}{\sigma}$.
D'après le cours, on peut dire que la variable $Z$ suit la loi
normale centrée réduite.
\item Cette machine produit 6\,\% de pièces non conformes,
ce qui veut dire que $P\left(\overline C\right) = 0,06$.
Une médaille est non conforme si $(Y<9,9)$ ou $(Y>10,1)$; la variable aléatoire $Y$ est de moyenne 10 donc, par symétrie, $P(Y<9,9) = P(Y>10,1)$.
Il faut donc chercher l'écart type $\sigma$ pour que $P(Y<9,9)=\dfrac{0,06}{2}$, autrement dit pour que
$P(Y<9,9)=0,03$.
\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-4} \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)
\def\m{4}% moyenne
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}
\def\inf{\xmin} \def\sup{2}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f}
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath
}
\def\inf{6} \def\sup{\xmax}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f}
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath
}
\uput[d](\m,0){$10$}
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](2,0){$9,9$}
\uput[d](6,0){$10,1$}
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\red $0,94$}
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
\uput[ur](8,0.2){$0,03$}
\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$0,03$}
\end{pspicture*}
\end{center}
$Y<9,9 \iff Y-10 < 9,9-10 \iff \dfrac{Y-10}{\sigma} < \dfrac{9,9-10}{\sigma} \iff Z < \dfrac{-0,1}{\sigma}$ car $\sigma >0$
Donc $P(Y<9,9)=0,03 \iff P\left (Z< -\dfrac{0,1}{\sigma}\right )=0,03$ où $Z$ suit la loi normale centrée réduite.
On cherche $\beta$ tel que $P(Z < \beta)=0,03$ à la calculatrice, et on trouve $\beta \approx -1,8808$.
Donc $-\dfrac{0,1}{\sigma}= -1,8808 \iff \sigma \approx 0,053$
Pour que la machine M$_2$ produise 6\,\% de pièces non conformes, il faut que $\sigma \simeq 0,053$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Exercice 2\hrulefill Commun à tous les candidats \hrulefill 3 points}
\medskip
On cherche les abscisses des points d'intersection $A$ et $B$ entre
les courbes $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_g$, qui sont solutions de
l'équation $f(x)=g(x)\iff \ln(x+1) = \ln(x+1)+1-\cos(x)
\iff \cos(x)=1
\iff x=k2\pi$ avec $k\in\Z$.
Les solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ dans $]0\,;\,16[$ sont
$0$, $2\pi$ et $4\pi$.
On en déduit que $x_A=2\pi$ et $x_B=4\pi$.
L'aire de la première surface hachurée, à gauche,
est donnée par
$\mathcal A_1=\dsp\int_0^{2\pi} \left[ g(x)-f(x)\right]dx$,
et l'aire de la deuxième surface hachurée, à droite,
est donnée par
$\mathcal A_2 = \dsp\int_{2\pi}^{4\pi} \left[ g(x)-f(x)\right ] \d x$
\medskip
Pour tout $x$ réel,
$g(x)-f(x)=1-\cos(x)$ qui a pour primitive $x \longmapsto x-\sin(x)$.
$\mathcal A_1= \left [x - \sin(x) \right ]_0^{2\pi}
= \left [2\pi - \sin(2\pi) \right ] - \left [0 - \sin(0) \right ]
=2\pi$
$\mathcal A_2= \left [x - \sin(x) \right ]_{2\pi}^{4\pi}
= \left [4\pi - \sin(4\pi) \right ] - \left [2\pi - \sin(2\pi) \right ]
=4\pi - 2\pi = 2\pi$
Les deux surfaces hachurées sur le graphique ont donc la même aire
égale à $2\pi$.
\bigskip
\textbf{Exercice 3\hrulefill Commun à tous les candidats \hrulefill 6 points}
\medskip
Dans le repère orthonormé $\lp O;\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$ de
l'espace, on considère pour tout réel $m$, le plan $P_m$ d'équation
$\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$.
\begin{enumerate}
\item% Pour quelle(s) valeur(s) de $m$ le point A(1~;~1~;~1) appartient-il au plan $P_m$ ?
Le point A(1~;~1~;~1) appartient au plan $P_m$ si et seulement si
$\dfrac{1}{4} m^2x_{\text A} + (m - 1)y_{\text A} + \dfrac{1}{2} mz_{\text A} - 3 = 0
\iff
\dfrac{1}{4} m^2 + (m - 1) + \dfrac{1}{2} m - 3 = 0
\iff
\dfrac{1}{4}m^2 + \dfrac{3}{2}m - 4=0
\iff
m^2+6m-16=0 $
$\Delta = 36+64=100$ donc cette équation admet 2 solutions
$m'=\dfrac{-6+10}{2}=2$ et $m''=\dfrac{-6-10}{2}=-8$.
Le point A appartient au plan $P_m$ pour $m=2$ ou $m=-8$.
\item Le plan $P_1$ a pour équation $\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}z-3=0$
ou encore $x+2z-12=0$.
Le plan $P_{-4}$ a pour équation $4x-5y-2z-3=0$.
On cherche l'intersection de ces deux plans:
$\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
x+2z-12 &=& 0\\
4x-5y-2z-3 &=& 0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
x &=& 12-2z\\
-5y &=& -4(12-2z)+2z+3
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
x &=& 12-2z\\
-5y &=& -48+8z+2z+3
\end{array}
\right.\\
\phantom{\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
x+2z-12 &=& 0\\
4x-5y-2z-3 &=& 0
\end{array}
\right. }
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{rcr}
x &=& 12-2z\\
-5y &=& -45+10z
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{rcr}
x &=& 12-2z\\
y &=& 9 -2z
\end{array}
\right.
$
En posant $z=t$, on peut dire que les plans $P_{1}$ et $P_{-4}$ sont sécants selon la droite $(d)$ de représentation paramétrique
$\left\{\begin{array}{lcr}
x &=& 12 - 2t\\
y &=& 9 - 2t\\
z &=& t
\end{array}\right.\quad \text{avec }\:t \in \R$
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Le plan $P_0$ a pour équation $- y - 3 = 0$.
Pour déterminer l'intersection du plan $P_0$ et de la droite
$(d)$, on résout le système:
\[\left\lbrace
\begin{array}{rcr}
x &=& 12-2t\\
y &=& 9 -2t\\
z &=& t\\
-y-3 &=& \multicolumn{1}{l}{0}
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
x &=& 12-2t\\
-3 &=& 9 -2t\\
z &=& t\\
y &=& -3
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
x &=& 12-2t\\
t &=& 6\\
z &=& t\\
y &=& -3
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{rcl}
x &=& 0\\
y &=& -3\\
z &=& 6\\
t &=& 6
\end{array}
\right.\]
L'intersection du plan $P_0$ et de la droite $(d)$ est donc le point
$B(0\,;\,-3\,;\,6)$.
\item Le plan $P_m$ a pour équation
$\dfrac14 m^2x + (m - 1)y + \dfrac12 mz - 3 = 0$.
On regarde si les coordonnées du point B vérifient l'équation du plan $P_m$:
$\dfrac{1}{4} m^2x_{\text B} + (m - 1)y_{\text B} + \dfrac{1}{2} mz_{\text B} - 3
= 0+(m-1)(-3)+\dfrac{1}{2}m\times 6 - 3
= -3m+3+3m-3=0$
Donc le point B appartient au plan $P_m$, quelle que soit la valeur du réel $m$.
\item Soit H\,$(a\,;\,b\,;\,c)$ un point qui appartient au plan $P_m$
pour tout réel $m$.
Cela signifie que les coordonnées du point H vérifient l'équation du
plan pour tout réel $m$:
$\dfrac{1}{4} m^2 a + (m - 1) b + \dfrac{1}{2} m c - 3 = 0$
\begin{list}{\textbullet}{On donne à $m$ des valeurs particulières:}
\item Pour $m = 0$, on obtient $- b - 3 = 0$ donc $b = - 3$.
\item Pour $m = 2$, on obtient $a + (2 - 1)(- 3) + c - 3 = 0$, soit $a + c = 6$.
\item Pour $m = - 2$, on obtient $a + (-2 - 1)(- 3) - c - 3 = 0$, soit $a - c = - 6$.
\end{list}
On résout le système
$\left\lbrace
\begin{array}{lcl}
a + c &=& 6\\
a -c &=& - 6
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{lcl}
2a &=& 0\\
a+c &=& 6
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{lcl}
a &=& 0\\
c &=& 6
\end{array}
\right.$
Le point $H$ a donc pour coordonnées $H(0\,;\,-3\,;\,6)$ donc c'est le
point $B$.
Le point $B$ est l'unique point appartenant à tous les plans $P_m$
quelle que soit la valeur de $m$.
\emph{Autre méthode géométrique:}
L'existence du point a été montrée en 3. b. Nous allons montrer son unicité.
On sait (question 2) que les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont sécants
selon la droite $(d)$.
On sait (question 3. a.) que $P_0$ et $(d)$ sont sécants en B.
Le point B est donc l'unique point appartenant à $P_0$, $P_1$ et $P_{-4}$.
Si un point appartient à $P_m$ quel que soit $m$ réel, alors il
appartient en particulier à $P_0, P_1$ et $P_{-4}$. C'est donc
l'unique point $B$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on considère deux entiers relatifs $m$ et $m'$ tels que
\hfill $- 10 \leqslant m \leqslant 10$ et $- 10 \leqslant m' \leqslant 10$\hfill{}
On souhaite déterminer les valeurs de $m$ et de $m'$ pour lesquelles $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
\begin{enumerate}[a)]
\item Le plan $P_1$ a pour équation $x+ 2z-12=0$ donc pour vecteur
normal $\vec{n_1}\;\left (1\,;\, 0 \,;\, 2\right )$.
Le plan $P_{-4}$ a pour équation $4x-5y-2z-3=0$ donc pour vecteur
normal $\vec{n_{-4}}\;\left (4\,;\, -5 \,;\, -2\right )$.
$\vec{n_1}\cdot\vec{n_{-4}}=1\times 4 + 0 + 2\times (-2) = 0$
donc les vecteurs sont orthogonaux.
Les plans $P_1$ et $P_{-4}$ sont donc perpendiculaires.
\item Le plan $P_m$ a pour équation
$\dfrac{1}{4} m^2x + (m - 1)y + \dfrac{1}{2} mz - 3 = 0$
donc pour vecteur normal \\
$\vec{n}\;\left (\dfrac{1}{4}m^2\,;\, m-1 \,;\, \dfrac{1}{2}m\right )$.
Le plan $P_{m'}$ a pour équation $\dfrac{1}{4} m'^2x + (m' - 1)y + \dfrac{1}{2} m'z - 3 = 0$ donc pour vecteur normal $\vec{n'}\;\left (\dfrac{1}{4}m'^2\,;\, m'-1 \,;\, \dfrac{1}{2}m' \right )$.
les deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux:
$P_m \perp P_{m'}
\iff
\vec n \perp \vec n'
\iff
\vec n \cdot \vec n' = 0
\iff
\dfrac{1}{4}m \times \dfrac{1}{4}m' + (m-1)(m'-1)+ \dfrac{1}{2}m \times \dfrac{1}{2}m'=0\\
\phantom{P_m \perp P_{m'}}
\iff
\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0$
\item On donne l'algorithme suivant :
\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
\emph{Variables:} &$m$ et $m'$ entiers relatifs\\
\emph{Traitement:}&Pour $m$ allant de $- 10$ à 10 :\\
&\hspace{0,5cm}Pour $m'$ allant de $-10$ à 10 :\\
&\hspace{1cm}Si $\left(mm'\right)^2 + 16(m - 1)\left(m' - 1\right) + 4mm' = 0$\\
&\hspace{1,5cm}Alors Afficher $\left(m~;~m'\right)$\\
&\hspace{0,5cm}Fin du Pour\\
&Fin du Pour\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip
%Quel est le rôle de cet algorithme?
Cet algorithme affiche tous les couples $(m\,;\,m')$ d'entiers compris entre $-10$ et 10 pour lesquels $\left(\dfrac{mm'}{4}\right)^2 + (m - 1)\left(m' - 1\right) + \dfrac{mm'}{4} = 0$, c'est-à-dire pour lesquels les plans $P_m$ et $P_{m'}$ sont perpendiculaires.
\item Cet algorithme affiche six couples d'entiers dont $(- 4~;~1)$, $(0~;~1)$ et $(5~;~- 4)$.
%Écrire les six couples dans l'ordre d'affichage de l'algorithme.
Le nombres $m$ et $m'$ jouant le même rôle, les autres couples seront $(1~;~-4)$, $(1~;~0)$ et $(-4~;~5)$.
Les six couples seront affichés dans cet ordre:
\hfill$(- 4~;~1)$; $(-4~;~5)$; $(0~;~1)$; $(1~;~-4)$; $(1~;~0)$; $(5~;~- 4)$\hfill{}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Exercice 4\hrulefill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité \hrulefill 5 points}
\medskip
On considère les nombres complexes $z_n$ définis, pour tout $n$, par
$z_0 = 1$ et $z_{n+1} = \left(1 + \i \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right)z_n$.
On note $A_n$ le point d'affixe $z_n$ dans le repère orthonormé
$\lp O;\vec{u},\vec{v}\rp$ de l'annexe 2.
L'objet de cet exercice est d'étudier la construction des points $A_n$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item $ \left | 1 + i\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3} \right |^2
= 1^2 + \left (\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right )^2= \dfrac{4}{3}$
donc
$\left | 1 + i\dfrac{\sqrt{3}}{3} \right | = \dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}}$ ;
$1 + i\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}
=\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \lp \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{2} + i\dfrac12\rp$
On cherche $\theta$ tel que
$\left\lbrace
\begin{array}{lcl}
\cos \theta &=& \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{2}\\[8pt]
\sin \theta &=& \dfrac{1}{2}
\end{array}\right.$
donc $\theta=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi$ $(k\in\Z)$
On a donc
$1+i\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}=\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} e^{i\frac{\pi}{6}}$.
\item $z_1 = \left(1 + i \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right) z_0
= \left(1 + \i \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right)\times 1
= 1 + \i \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}
= \dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} e^{i\frac{\pi}{6}}$
$z_2 = \left(1 + i\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right) z_1
= \left(1 + i\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right)\tm \left(1+i\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right)
= \dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} e^{i\frac{\pi}{6}} \tm \dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} e^{i\frac{\pi}{6}}
= \dfrac{4}{3} e^{i\frac{\pi}{3}}$
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Soit $P_n$ la propriété
$z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n e^{in\frac{\pi}{6}}$
\bgit
\item Pour $n=0$ : $z_0=1$ et $\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^0 \text{e}^{\text{i}\times 0 \times\frac{\pi}{6}} = 1$; donc $P_0$ est vraie.
\item On suppose $P_p$ vraie pour $p\geqslant 0$, c'est-à-dire
$z_p = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^p e^{i p\frac{\pi}{6}}$
$z_{p+1} = \left(1 + \i \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right) z_p
= \dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}}e^{i \frac{\pi}{6}} \times \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^p e^{\i p\frac{\pi}{6}}
= \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^{p+1} e^{\i (p+1)\frac{\pi}{6}}$
\item La propriété es vraie au rang 0 et elle est héréditaire, donc elle est vraie pour tout $n\geqslant0$.
\enit
Pour tout entier naturel $n$, $z_n = \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}} \right)^n e^{in\frac{\pi}{6}}$.
\item Les points $O$ d'affixe 0, et $A_{0}$ d'affixe $z_0=1$ sont situés sur l'axe des réels; donc les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si le point $A_n$ est sur l'axe des réels, autrement dit si son affixe est réelle, donc si son argument vaut $k\pi$ avec $k\in\Z$.
Un argument de $z_n$ est $n\dfrac{\pi}{6}$; on doit donc avoir:
$n\dfrac{\pi}{6} = k\pi$ ce qui équivaut à $n=6k$.
Les points $O$, $A_0$ et $A_n$ sont alignés si $n$ est un multiple de 6.
\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$.
\begin{enumerate}[a)]
\item $d_n = \left|z_{n+1} - z_n\right|$
donc $d_n$ représente la distance entre les points $A_n$ et $A_{n+1}$:
$d_n= A_{n}A_{n+1}$
\item $d_0= z_1-z_0 = \left | 1+ \i\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}-1\right |
= \left | \i \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right |
= \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}$
\item Pour tout entier $n$,
$z_{n+2} = \lp 1+i\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\rp z_{n+1}$
et
$z_{n+1} = \lp 1+i \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\rp z_n$,
et alors, en soustrayant ces deux égalités, on obtient
$z_{n+2} -z_{n+1}= \lp 1+i \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\rp(z_{n+1}-z_n)$.
\item On en déduit que:
\[d_{n+1}
= \left|z_{n+2} -z_{n+1}\right |
= \left | \left ( 1+i \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right )(z_{n+1}-z_n)\right |
= \left | 1+i \dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}\right | \times \left |z_{n+1}-z_n\right |
= \dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} d_n\]
On sait que $d_0=\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}$ donc on peut dire que la
suite $(d_n)$ est géométrique de premier terme
$d_0=\dfrac{\dsp\sqrt{3}}{3}$ et de raison $q =
\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}}$,
et ainsi que pour tout entier $n$,
$d_n = d_0 q^n = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item D'après les questions précédentes, pour tout $n$:
$\left | z_{n} \right |
= \left | \lp\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \rp^n e^{i n\frac{\pi}{6}} \right |
=\lp\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \rp^n \tm \left |e^{in\frac{\pi}{6}} \right |
=\lp\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \rp^n\tm 1
=\lp\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \rp^n$
donc
$\left | z_{n} \right |^2 = \lp\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \rp^{2n}$
De même $\left | z_{n+1} \right |= \left (\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \right )^{n+1}$ donc
$\left | z_{n+1} \right |^2= \left (\left (\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \right )^{n+1}\right )^2 =
\left (\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \right )^{2n+2}
=
\left (\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \right )^{2} \times \left (\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \right )^{2n}
=
\dfrac{4}{3} \left (\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \right )^{2n}$
$d_n= \dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n$
donc
$d_n^{2}= \left (\dfrac{\sqrt{3}}{3}\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right )^2
=
\left (\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right )^2 \left (\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^n\right )^2
=
\dfrac{1}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}$
$\left | z_{n} \right |^2 + d_n^2 = \left (\dfrac{2}{\dsp\sqrt{3}} \right )^{2n} + \dfrac{1}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}
=
\dfrac{4}{3} \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2n}
=
\left | z_{n+1} \right |^2
$
\item On sait que
$\left | z_{n+1} \right | = OA_{n+1}$,
que
$\left | z_{n} \right | = OA_{n}$
et que
$d_n=A_{n}A_{n+1}$
Donc $\left | z_{n+1} \right |^2 = \left | z_{n} \right |^2 + d_n^2$
équivaut à
$OA_{n+1}^2 = OA_n^2 + A_{n}A_{n+1}^2$
D'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_n$.
\item% Construire, à la règle non graduée et au compas, le point $A_5$ sur la figure de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
Voir construction de $A_5$ en annexe.
\item
\bgit
\item Le triangle $OA_4A_5$ est rectangle en $A_4$ donc le point $A_5$
est sur la droite $d$ perpendiculaire à $(OA_4)$ passant par
$A_4$. On trace cette perpendiculaire $d$ comme médiatrice du
segment ayant pour extrémités deux points $i$ et $j$ de la droite
$(OA_4)$ symétriques autour de $A_4$. (voir la figure)
\item $z_5$ a pour argument $\dfrac{5\pi}{6}$ et $z_3$ a pour argument
$\dfrac{3\pi}{6}$; donc l'angle $\left ( \V{OA_3}\,,\,\V{OA_5}\right
)$ a pour mesure $\dfrac{\pi}{3}$. On trace donc le triangle
équilatéral direct $OA_3A'_3$ et le point $A_5$ appartient à
$(OA'_3)$.
\enit
Le point $A_5$ est à l'intersection des droites $d$ et $(OA'_3)$.
On peut également construire ce point $A_5$ à l'intersection de la droite $(OA'_3)$ et du cercle de diamètre $\left[\text{O}A_6 \right]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 de l'exercice 2}
\bigskip
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(18.8496,9.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=5](0,0)(18.8496,9.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(18.8496,9.5)
\pscustom[fillstyle=vlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{0}{6.28319}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{6.28319}{0}{x 1 add ln}
}
\pscustom[fillstyle=hlines]
{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=green,linestyle=dashed]{6.28319}{12.5664}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{12.5664}{6.28319}{x 1 add ln}
}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{x 1 add ln}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{16}{x 1 add ln 1 add x 180 mul 3.141592 div cos sub}
\psdots(6.28319,1.98557)(12.5664,2.60759)
\uput[d](6.28319,1.98557){A}\uput[d](12.5664,2.60759){B}
\uput[d](4,1.6){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[u](4,3.3){\red $\mathcal{C}_g$}
\rput*(3,2.5){\red \Large \bf 1}
\rput*(9.5,3.2){\red \Large \bf 2}
\end{pspicture*}
\end{center}
\vspace{1.5cm}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 2 de l'exercice 4}
\bigskip
\psset{unit=4cm,arrowscale=2}
\begin{pspicture}(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
%\psgrid
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-2.8,-0.5)(1.5,2.1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$}\uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
\psdots(0;0)(1;0)(1.1547;30)(1.3333;60)(1.5396;90)(1.7778;120)(2.3704;180) %(2.0528;150)
\uput[ur](1;0){$A_0$}
\uput[ur](1.1547;30){$A_1$}
\uput[ur](1.3333;60){$A_2$}
\uput[ur](1.5396;90){$A_3$}
\uput[u](1.7778;120){$A_4$}
\uput[d](2.3704;180){$A_6$}
\uput[dl](0,0){$O$}
\pstGeonode[PointName=none](0,0){O}(1.7778;120){A_4}(1.5396;90){A_3}(2.0528;150){A_5}(2.3704;180){A_6}
\pstRightAngle[RightAngleSize=0.1]{O}{A_4}{A_5}
\pstMarkAngle[Mark=none,LabelSep=0.5,arrows=->]{A_4}{O}{A_5}{$\frac{\pi}{6}$}
\uput[u](2.0528;150){$A_5$}
\pstLineAB[nodesepB=-0.2]{O}{A_5}
\pstLineAB[nodesepB=-0.2]{O}{A_4}
\pstLineAB[nodesep=-0.2]{A_4}{A_5}
\pstRotation[RotAngle=60,PosAngle=90]{O}{A_3}
\psarc[linestyle=dashed](0,0){1.5396}{85}{155}
\psarc[linestyle=dashed](1.5396;90){1.5396}{205}{275}
\psline(1.7778;120)(2.3778;120)
\psarc(1.7778;120){0.5}{-65}{-55}
\psarc(1.7778;120){0.5}{115}{125}
\psarc(1.2778;120){0.8}{-200}{-180}\uput[u](1.2778;120){$i$}
\psarc(2.2778;120){0.8}{240}{260}\uput[u](2.2778;120){$j$}
\psarc(1.1852;180){1.1852}{0}{180}
%\pstCircleAB{O}{A_6}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{LastPage}
\end{document}
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