Source Latex
sujet du devoir
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Bac, baccalauréat, 2015}
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% Raccourcis diverses:
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\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
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\nwc{\TITLE}{Baccalauréat S - Métropole-La Réunion - 9 septembre 2015}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{Baccalauréat S - Métropole-La Réunion}}
\medskip
\ct{\bf\large9 septembre 2015}
\textbf{Exercice 1 \hrulefill Commun à tous les candidats \hrulefill 5 points}
\medskip
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour
chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une
seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la
question suivi de la réponse choisie. On ne demande pas de
justification. Il est attribué $1$ point si la réponse est
exacte. Aucun point n'est enlevé en l'absence de réponse ou en cas
de réponse fausse.}
\medskip
\textbf{Question 1}
\bgmp{8.7cm}On considère l'arbre de probabilités ci-contre:\enmp
\bgmp{6cm}
\[\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-2.2)(5,2)
\psline(0,0)(.5,.25)\rput(.7,.4){0,6}\psline(1,.5)(2,1)
\rput(2.2,1.1){$A$}
\psline(2.4,1.2)(2.9,1.45)\rput(3.2,1.5){0,2}
\psline(3.5,1.75)(4.5,2.25)\rput(4.7,2.25){$B$}
\psline(2.4,1.2)(4.5,.35)\rput(4.7,.3){$\overline{B}$}
\psline(0,0)(2,-1)\rput(2.2,-1.1){$\overline{A}$}
\psline(2.4,-1.2)(4.5,-2.25)\rput(4.7,-2.2){$\overline{B}$}
\psline(2.4,-1.2)(2.9,-1.)\rput(3.2,-1.){0,3}
\psline(3.5,-.8)(4.5,-.35)\rput(4.7,-.3){$B$}
\end{pspicture}
\]\enmp
\medskip
\vspace{-1.5em}
Quelle est la probabilité de l'événement B ?
\medskip\qquad
\textbf{a.} 0,12\qquad
\textbf{b.} 0,2\qquad
\textbf{c.}0,24\qquad
\textbf{d.} 0,5
\medskip
\textbf{Question 2}
Le césium 137 est un élément radioactif qui constitue une des
principales sources de radioactivité des déchets des réacteurs
nucléaires. Le temps $T$, en années, durant lequel un atome de césium
137 reste radioactif peut être assimilé à une variable aléatoire $T$
qui suit la loi exponentielle de paramètre
$\lambda = \dfrac{\ln 2}{30}$.\\
Quelle est la probabilité qu'un atome de césium 137 reste radioactif
durant au moins 60 ans ?
\medskip\qquad
\textbf{a.} 0,125\qquad
\textbf{b.} 0,25\qquad
\textbf{c.} 0,75\qquad
\textbf{d.} 0,875
\medskip
\textbf{Question 3}
Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance
$\mu=110$ et d'écart-type $\sigma=25$.
Quelle est la valeur arrondie au millième de la probabilité
$P(X\geqslant135)$ ?
\medskip\qquad
\textbf{a.} 0,159\qquad
\textbf{b.} 0,317\qquad
\textbf{c.} 0,683\qquad
\textbf{d.} 0,841
\medskip
\textbf{Question 4}
On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 100 fois de suite.
Lequel des intervalles ci-dessous est un intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence d'apparition de la
face pile de cette pièce ?
\medskip\quad
\textbf{a.} $[0,371~;~0,637]$\qquad
\textbf{b.} $[0,480~;~0,523]$\qquad
\textbf{c.} $[0,402~;~0,598]$\qquad
\textbf{d.} $[0,412~;~0,695]$
\medskip
\textbf{Question 5}
Une entreprise souhaite obtenir une estimation de la proportion de
personnes de plus de 60 ans parmi ses clients, au niveau de confiance
de 95\,\%, avec un intervalle d'amplitude inférieure à 0,05.
Quel est le nombre minimum de clients à interroger ?
\medskip\quad
\textbf{a.} 400\qquad
\textbf{b.} 800\qquad
\textbf{c.} 1600\qquad
\textbf{d.} 3200
\bigskip
\textbf{Exercice 2 \hrulefill Commun à tous les candidats \hrulefill 7 points}
\medskip
Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle
$[0~;~ + \infty[$ telle que:
\[f(x) = \dfrac{x}{\text{e}^x - x}\]
On admet que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans
un repère orthogonal du plan.
La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe,
\textbf{à rendre avec la copie}.
\bigskip
\textbf{Partie A}
\medskip
Soit la suite $\lp I_n\rp$ définie pour tout entier naturel $n$ par
$I_n = \dsp\int_0^n f(x) dx$.
\smallskip
On ne cherchera pas à calculer la valeur exacte de $I_n$ en fonction
de $n$.
\medskip
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\lp I_n\rp$ est croissante.
\item On admet que pour tout réel $x$ de l'intervalle
$[0~;~+ \infty[$, $e^x - x \geqslant \dfrac{e^x}{2}$.
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que, pour tout entier naturel $n$,
$I_n \leqslant \dsp\int_0^n 2x e^{- x}dx$.
\item Soit $H$ la fonction définie et dérivable
sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ telle que :
\[H(x) = (- x - 1)\text{e}^{- x}\]
Déterminer la fonction dérivée $H'$ de la fonction $H$.
\item En déduire que, pour tout entier naturel $n,\:I_n \leqslant 2$.
\end{enumerate}
\item Montrer que la suite $\lp I_n\rp$ est convergente.
On ne demande pas la valeur de sa limite.
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Partie B}
\medskip
On considère l'algorithme suivant dans lequel les variables sont
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item $K$ et $i$ des entiers naturels, $K$ étant non nul;
\item $A,\: x$ et $h$ des réels.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|l|l|}\hline
Entrée: &Saisir $K$ entier naturel non nul\\ \hline
Initialisation & Affecter à $A$ la valeur $0$\\
&Affecter à $x$ la valeur 0\\
&Affecter à $h$ la valeur $\dfrac{1}{K}$\\[7pt] \hline
Traitement &Pour $i$ variant de 1 à $K$\\
&\hspace{0,4cm}
\begin{tabular}{|l}
Affecter à $A$ la valeur $A + h \times f(x)$\\
Affecter à $x$ la valeur $x + h$\\
\end{tabular}\\
&Fin Pour\\ \hline
Sortie &Afficher $A$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant
fonctionner cet algorithme pour $K = 4$. Les valeurs successives de
$A$ seront arrondies au millième.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*2{p{2cm}|}}\hline
$i$ & $A$ & $x$\\ \hline
1 & &\\ \hline
2 & &\\ \hline
3 & &\\ \hline
4 & &\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item En l'illustrant sur l'annexe \textbf{à rendre avec la copie}, donner une interprétation graphique du résultat affiché par cet algorithme pour $K = 8$.
\item Que donne l'algorithme lorsque $K$ devient grand ?
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Exercice 3 \hrulefill Candidats n'ayant pas suivi la spécialité\hrulefill 5 points}
\medskip
Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :
\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item les points A$(0~;~1~;~-1)$ et B$(- 2~;~2~;~- 1)$.
\item la droite $\mathcal{D}$ de représentation paramétrique
$\la\bgar{l c l}
x&=&-2 + t\\
y&=& \phantom{-}1 + t\\
z&=&-1 - t
\enar\right. ,\ t\in\R$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
\medskip
\begin{enumerate}
\item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas
parallèles.
\item Montrer que les droites $(AB)$ et $\mathcal{D}$ ne sont pas
sécantes.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
Dans la suite la lettre $u$ désigne un nombre réel.
On considère le point $M$ de la droite $\mathcal{D}$ de coordonnées
$(-2 + u~;~1 + u~;~-1 - u)$.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Vérifier que le plan $\mathcal{P}$ d'équation
$x+y-z-3u=0$ est orthogonal à la droite $\mathcal{D}$
et passe par le point $M$.
\item Montrer que le plan $\mathcal{P}$ et la droite (AB) sont
sécants en un point $N$ de coordonnées
$(-4+6u;3-3u;-1)$.
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Montrer que la droite $(MN)$ est perpendiculaire
à la droite $\mathcal{D}$.
\item Existe-t-il une valeur du nombre réel $u$ pour laquelle la
droite $(MN)$ est perpendiculaire à la droite (AB) ?
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Exprimer $MN^2$ en fonction de $u$.
\item En déduire la valeur du réel $u$ pour laquelle la distance
$MN$ est minimale.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip
\textbf{Exercice 4 \hrulefill Commun à tous les candidats \hrulefill 3 points}
\medskip
On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~ +\infty[$ par
\[f(x) = \dfrac{1}{x}(1 + \ln x)\]
\begin{enumerate}
\item Dans les trois situations suivantes, on a dessiné, dans un
repère orthonormé, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de la
fonction $f$ et une courbe $\mathcal{C}_F$. Dans une seule situation,
la courbe $\mathcal{C}_F$ est la courbe représentative d'une primitive
$F$ de la fonction $f$. Laquelle ? Justifier la réponse.
\begin{center}
\begin{tabular}{*{2}{c}}
Situation 1&Situation 2\\
\psset{unit=1.6cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(3.5,2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(3.5,1.9)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}
{x ln 1 add x div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}
{x ln x dup mul div neg}
\uput[u](2.75,0.75){\blue$\mathcal{C}_f$}
\uput[d](2.75,-0.2){$\mathcal{C}_F$}
\uput[ul](0.368,0){\footnotesize K}
\uput[ur](1,0){\footnotesize L}
\psdots(0.368,0)(1,0)
\end{pspicture*}&
\psset{unit=1.6cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(3.5,2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(3.5,1.9)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}
{x ln 1 add x div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.01}{3.5}
{x ln 1 add dup mul 0.5 mul 0.5 sub}
\uput[u](2.75,0.75){\blue$\mathcal{C}_f$}
\uput[u](2.75,1.52){$\mathcal{C}_F$}
\uput[ul](0.368,0){\footnotesize K}
\uput[ul](1,0){\footnotesize L}
\psdots(0.368,0)(1,0)
\end{pspicture*}
\end{tabular}
Situation 3
\psset{unit=1.6cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.6)(3.5,2)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=5](0,-0.5)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.1,-0.6)(3.5,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(3.5,1.9)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.3}{3.5}
{x ln 1 add x div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.1}{3.5}
{x 2 mul x dup mul sub 0.75 sub 2 mul}
\uput[u](2.75,0.75){\blue$\mathcal{C}_f$}
\uput[ur](1.3,0.2){$\mathcal{C}_F$}
\uput[ul](0.368,0){\footnotesize K}
\uput[ur](1.5,0){\footnotesize L}
\psdots(0.368,0)(1.5,0)
\end{pspicture*}
\end{center}
\item Dans la situation retenue à la question 1, on appelle :
\begin{itemize}
\item K le point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_f$ et de
l'axe des abscisses et $\mathcal{D}$ la droite passant par K et
parallèle à l'axe des ordonnées;
\item L le point d'intersection de $\mathcal{C}_F$ et de l'axe des
abscisses, ayant une abscisse supérieure à $\dfrac{1}{2}$ et
$\Delta$ la droite passant par L et parallèle à l'axe des
ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}
\begin{enumerate}[a)]
\item Déterminer une valeur approchée de l'aire du domaine du plan
délimité par les droites $\mathcal{D}$ et $\Delta$, par la courbe
$\mathcal{C}_f$ et par l'axe des abscisses.
\item Peut-on déterminer la valeur exacte de cette aire ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE Exercice 2}
\textbf{À rendre avec la copie}
\medskip
Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur [0~;~6]
\medskip
\psset{xunit=1.85cm,yunit=8cm,comma=true,arrowsize=7.5pt}
\begin{pspicture}(0,-0.3)(6,0.7)
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.3)(\n,0.7)}
\multido{\n=-0.3+0.1}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,-0.3)(6,0.7)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{6}{x 2.71828 x exp x sub div}
\uput[u](2.75,0.22){\blue$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\vspace{1.5cm}
Courbe $\mathcal{C}$, représentative de la fonction $f$ sur [0~;~1]
\medskip
\psset{xunit=10cm,yunit=18cm,comma=true,arrowsize=7.5pt}
\begin{pspicture}(0,-0.05)(1.1,0.62)
\multido{\n=0.00+0.125}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.6)}
\multido{\n=0+0.1}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.25,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.05,-0.025)(1.1,0.62)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 2.71828 x exp x sub div}
\uput[u](0.55,0.465){\blue$\mathcal{C}$}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture}
\end{center}
\label{LastPage}
\end{document}
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