Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Baccalauréat 2015 - Mathématiques - Correction},
pdftitle={Baccalauréat 2015 - Correction du sujet de mathématiques - Nouvelle Calédonie},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale, S, bac, baccalauréat,
Nouvelle Calédonie}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\ul}{\underline}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}{\overrightarrow}
\newcommand{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\newcommand{\ct}{\centerline}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\euro{\mbox{\raisebox{.25ex}{{\it =}}\hspace{-.5em}{\sf C}}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent{{\bf Exercice }}\arabic{nex}}\hspace{0.5cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
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\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\newenvironment{centerpage}{\vspace*{\fill}}{
\protect\vspace*{\fill}}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
\newcommand{\TITLE}{Correction du bac S - mars 2015 - Nouvelle Calédonie}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\TITLE\ - $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\ct{\bf\LARGE{\TITLE}}
\bgex\textbf{\hfill 5 points}
\textbf{Commun à tous les candidats}
\begin{enumerate}
\item
\bgen[a)]
\item D'après l'énoncé la fonction $f_2$ est dérivable sur $\R$.
On a $f'_2(x) = e^x - 2$.
Or $e^x - 2 > 0 \iff e^x > 2=e^{\ln2} \iff x > \ln 2$ car la fonction
exponentielle est croissante.
On a donc le tableau de variations suivant :
\[
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$\ln 2$}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$2 - 2\ln 2$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\]
\item Comme $2 - 2\ln 2 \approx 0,614>0$, on en déduit que la fonction est
strictement positive sur $\R$, soit
$f_2(x)=e^x-2x>0 \iff e^x>2x$.
Ainsi, la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction
exponentielle est toujours strictement au dessus de la droite $\Delta_2$.
En particulier, $\Gamma$ et $\Delta_2$ n'ont pas de point commun.
\enen
\item
\bgen[a)]
\item $\bullet$ En plus l'infini :
$f_a(x)
= e^x\lp1-\dfrac{ax}{e^x}\rp
=e^x\lp1-a\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}\rp
$.
On sait que, par croissances comparées,
$\dsp\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x}=+\infty$
donc
$\dsp\lim_{x \to +\infty}\lp1-a\dfrac{1}{\dfrac{e^x}{x}}\rp=1$
et donc,
comme $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$,
par produit des limites $\dsp\lim_{x \to +\infty} f_a(x)=+\infty$.
$\bullet$ En moins l'infini :
$\dsp\lim_{x \to -\infty} e^x=0$ et $\dsp\lim_{x\to-\infty}
-ax=+\infty$ car $a>0$.
Donc, par addtion des limites, $\dsp\lim_{x \to -\infty} f_a(x) = + \infty$.
\item D'après l'énoncé, $f_a$ est dérivable sur $\R$, et on a
$f'_a(x) = e^x - a$.
$f'(a)=e^x - a > 0 \iff e^x > a=e^{\ln a} \iff x > \ln a$,
car $a > 0$ et la fonction exponentielle est strictement croissante.
On a donc le même tableau de variations que pour $f_2$ en
remplaçant 2 par $a$.
En particulier, la fonction $f_a$ admet donc un minimum en $\ln a$
qui est $f_a\lp\ln a\rp = a - a\ln a$.
\item $a - a \ln a = a\lp 1 - \ln a\rp$
avec $1-\ln a<0\iff 1=\ln e<\ln a\iff e<a$, par croissance de la
fonction logarithme; ainsi:
\[
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$a$ & $0$ && $e$ && $+\infty$ \\\hline
$a$ & &&$+$ && \\\hline
$1-\ln a$ & \db& $-$ &\zb&$+$ & \\\hline
$a\lp1-\ln a\rp$ & \db& $-$ &\zb&$+$ & \\\hline
\end{tabular}
\]
\item D'après le tableau de signes précédent qui donne le signe du
minimum de $f_a$,
$\bullet$ si $a>e$, alors $f_a$ est strictement positive, et donc,
comme en 1), $\Gamma$ et $\Delta_a$ n'ont aucun point
d'intersection.
$\bullet$ si $a=e$, alors $f_a\lp \ln a\rp=f_a(1)=0$, et pour tout $x\not=1$
$f_a(x)>0$.
$\Gamma$ et $\Delta_e$ se coupent une unique fois
($\Delta_e$ est tangente à $\Gamma$ au point $(1;e)$).
$\bullet$ si $0<a<e$, le minimum de $f$ est négatif,
\[
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}\uput[u](1.5,2.4){$- \infty$}\uput[u](4,2.4){$\ln a$}\uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](1.5,1.4){$+\infty$}\uput[u](6.5,1.4){$+\infty$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$}\rput(2.5,2.25){$-$} \rput(4,2.25){$0$} \rput(5.5,2.25){$+$}
\rput(0.5,1){$f$}\uput[u](4,0){$a - 2\ln a$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\end{pspicture}
\]
Sur l'intervalle $]-\infty~;~\ln a[$,
la fonction $f_a$ est continue (car dérivable),
strictement décroissante, avec $\dsp\lim_{x\to{-\infty}}f_a(x)>0$ et
$f\lp\ln a\rp<0$. Ainsi, d'après le théorème de la bijection (ou
corollaire du théorème des valeurs intérmédiaires),
il existe un unique $\alpha\in]-\infty;\ln a[$ tel que
$f_a\lp \alpha\rp=0$
Le même raisonnement est aussi valable sur $[\ln a;+\infty[$:
il existe un unique $\beta\in]\ln a;+\infty[$ tel que
$f_a(\beta)=0$.
Ainsi, si $0<a<e$, $\Gamma$ et $\Delta_a$ ont deux points
d'intersections distincts (les points de coordonnées
$(\alpha;a\alpha)$ et $(\beta;a\beta)$).
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\[
\psset{xunit=3cm,yunit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.4)(2,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-0.4)(2,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.6pt,linecolor=green]{-1}{2}{x 2 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.6pt,linecolor=red]{-1}{2}{x 2.71828 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.6pt,linecolor=cyan]{-1}{2}{x 3 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-1}{2}{2.71828 x exp }
\rput{45}(1.8,3.4){\green $y = 2x$}
\rput{53}(1.8,4.6){\red $y = \text{e}x$}
\rput{57}(1,3.2){\cyan $y = 3x$}
\rput(-0.5,0.75){\blue $\Gamma$}
\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture*}
\]
\enex
\vspace{0,5cm}
\bgex\textbf{\hfill 5 points}
\begin{enumerate}
\item
On peut représenter la situation par un arbre:
\[\begin{pspicture}(0,-1.1)(3,1.8)
\psline(1.2,-0.8)(0,0)(1.2,0.8)
\rput(1.4,0.8){$L$}
\rput(1.4,-0.8){$\overline{L}$}
\rput(0.6,0.7){$95\%$}
\rput(0.6,-0.7){$5\%$}
\psline(2.7,0)(1.6,0.8)(2.7,1.6)
\rput(2.9,1.6){$C$}
\rput(2.9,0){$\overline{C}$}
\rput(2.,1.4){$2\%$}
\rput(2.,0.1){$98\%$}
\end{pspicture}
\]
\begin{enumerate}[a)]
\item $2\%$ des puces livrées ont une durée de vie courte,
c'est-à-dire
$P_L(C) = 0,02$.
\item On déduit que $P_L\lp\overline{C}\rp = 1 - 0,02 = 0,98$ et
$P\lp L \cap \overline{C}\rp
= P(L) \times P_L\lp\overline{C}\rp
= 0,95 \times 0,98 = 0,931$.
\item Comme seules les puces livrées peuvent avoir une durée de vie
courte on a:
$P\lb\overline{L}\cup \lp L \cap C\rp \rb
= P\lp\overline{L}\rp + P\lp L \cap C\rp
= 0,05 + 0,95\times 0,02 = 0,069$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item On sait que $P(X \leqslant {1000}) = 0,02$.
$X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$, donc :
$\dsp
P(X \leqslant {1000})
=\int_0^{1000} \lambda e^{-\lambda t}dt
=\Bigl[ -e^{-\lambda t}\Bigr]_0^{1000}
= 1 - e^{-{1000}\lambda}$
Ainsi,
$P(X \leqslant {1000}) = 0,02
\iff
e^{-{1000}\lambda} = 0,98
\Rightarrow -{1000}\lambda = \ln 0,98
\iff \lambda = \dfrac{- \ln 0,98}{{1000}}$.
\item
$P(X \geqslant {10000}) = e^{-{10000}\lambda}
= e^{-10\ln 0,98} \approx 0,817$.
Donc environ $81,7\,\%$ des puces ont une durée de vie supérieure ou
égale à 10\,000 heures.
\item $P(20000 \leqslant X \leqslant 30000)
= e^{-20000\lambda} - e^{-30000\lambda} \approx 0,122$.
Soit environ $12,2\%$ des puces ont une durée de vie comprise entre
$20~000$ et $30~000$ heures.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item On effectue 15000 tirages indépendants les uns des autres.
La probabilité qu'une puce livrée ait une vie courte est $p = 0,003$.
$Y$ suit donc une loi binomiale de paramètres
$n = 15000$ et $p = 0,003$.
\item $E(Y) = n \times p = {15000} \times 0,003 = 45$.
Il y a environ 45 puces à durée de vie courte sur les 15000
extraites de la production.
\item On a $P(40 \leqslant Y \leqslant 50)
= P(Y \leqslant 50) - P(Y < 40) = P(Y \leqslant 50) - P(Y \leqslant 39)$.
La calculatrice donne
$P(Y \leqslant 50) \approx {0,7966}$
et $P(Y\leqslant 39) \approx {0,2080}$, donc :
$P(40 \leqslant Y \leqslant 50) \approx {0,7966} - {0,2080} \approx 0,589$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\enex
\vspace{0,5cm}
\bgex\textbf{\hfill 5 points}
%\textbf{Commun à tous les candidats}3
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}[a)]
\item Une représentation paramétrique de $D_1$ s'obtient en
traduisant l'égalité $\V{A_1M} = t\V{u_1}$ avec $t \in \R$
soit:
$\left\{\begin{array}{l c l}
x - 0 &=& t \\
y - 2 &=& 2t\\
z - (- 1)&=&3t
\end{array}\right. \quad t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=& t \\
y &=&2 + 2t\\
z &=&- 1 + 3t
\end{array}\right. \quad t \in \R $.
\item Dans la représentation paramétrique, on reconnait qu'un
vecteur directeur de $D_2$ est
$\V{u_2}\lp\bgar{c}1\\-2\\0\enar\rp$.
\item $A_2 \in D_2 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
- 1 &=&1 + k \\
4 &=&0 - 2k\\
2 &=&2 + 0k
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
- 2 &=&k \\
- 2 &=&k\\
2 &=&2
\end{array}\right.$ qui a une solution $k = - 2$.
Le point $A_2$ appartient à $D_2$.
\end{enumerate}
\item Les vecteurs directeurs de $D_1$ et de $D_2$ ne sont
pas colinéaires, donc les droites ne sont pas
parallèles.
Elles sont sécantes s'il existe des réels $t$ et $k$ tels que:
$\left\{\bgar{lcl}
t &=&1 + k \\
2 + 2t &=&0 - 2k\\
- 1 + 3t &=&2 + 0k
\enar\right.
\iff\left\{\bgar{lcl}
t &=&1 + k \\
2 + 2 + 2k &=&0 - 2k\\
- 1 + 3 +3k &=&2 + 0k
\enar\right.
\iff \left\{\bgar{lcl}
t &=&1 + k \\
4k &=&- 4\\
3k &=&0
\enar\right.
\iff \left\{\bgar{lcl}
t &=&1 + k \\
k &=&- 1\\
k &=&0
\enar\right.$
Ce système n'a pas de solution donc il n'existe pas de point commun
aux deux droites, elles ne sont donc pas coplanaires.
\item Les droites $D_1$ et $\Delta_1$ contiennent le point
$A_1$. Pour montrer qu'elles sont perpendiculaires il suffit de
montrer que deux de leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux :
$\V{u_1} \cdot \vec{v} = - 6 - 6 + 12 = 0$.
Ainsi, les droites $D_1$ et $\Delta_1$ sont perpendiculaires.
\item Les droites $D_2$ et $\Delta_2$ sont aussi perpendiculaires
\begin{enumerate}[a)]
\item $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $P_1$ s'il est
orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires et non nuls de ce
plan soit $\vec{u_1}$ et $\vec{v}$ ; or
$\vec{n} \cdot \vec{u_1} = - 6 - 6 + 12 = 0$
$\vec{n} \cdot \vec{v} = 17\times(-6)-22\times(-3)+4\times 9
= - 102 + 66 + 36 = 0$
Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal a deux vecteurs non colinéaires du
plan $P_1$.
Il est par conséquent normal à ce plan.
\item Si $P_1$ et $P_2$ sont parallèles $\vec{n}$ vecteur normal au
plan $P_1$ est aussi un vecteur normal au plan $P_2$ ; il est
donc orthogonal à tout vecteur non nul du plan $P_2$ comme $u_2$
et $\vec{v}$.
On a bien $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$,
mais $\vec{n} \cdot \vec{u_2} = 17 + 44 + 0 = 61 \ne 0$.
Donc $\vec{n}$ n'est pas normal au plan $P_2$ et les deux plans
$P_1$ et $P_2$ ne sont pas parallèles.
\end{enumerate}
\item $\Delta$ est parallèle à $\Delta_1$ et $\Delta_2$ lesquelles
sont respectivement perpendiculaire à $D_1$ et $D_2$.
Par conséquent la droite $\Delta$ est orthogonale aux droites $D_1$ et $D_2$.
Or cette droite appartient au plan $P_1$ et au plan $P_2$. Elle est
donc perpendiculaire aux droites $D_1$ et $D_2$.
Il existe donc une droite de l'espace perpendiculaire à la droite
$D_1$ et à $D_2$ : c'est la droite $\Delta$.
\end{enumerate}
\enex
\vspace{0,5cm}
\bgex\textbf{\hfill 5 points}
\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}
\medskip
\bgen
\item $u_1 = \sqrt{3}- 0 = \sqrt{3}$ ;
$v_1 = 1 + \sqrt{3} \times 0 = 1$ ;
$u_2 = \sqrt{3} \times \sqrt{3} - 1 = 3 - 1 = 2$ ;
$v_2 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.
\item
\bgen[a)]
\item
\[
\begin{tabular}{|l|l|c|}\hline
$S$ &$T$ &$K$\\ \hline
1 &0 &0\\ \hline
$\sqrt{3}$ &$\sqrt{3}$ &1\rule[-1mm]{0mm}{5mm}\\ \hline
$3-\sqrt{3}$&$6-\sqrt{3}$ &$2$\\ \hline
\end{tabular}
\]
Les valeurs trouvées pour $N = 2$ ne correspondent pas à celles de
$u_2$ et $v_2$.
L'algorithme n'affiche donc pas les valeurs de $u_N$ et $v_N$.
Une version modifiée de l' algorithme est par exemple :
\[\begin{tabular}{|*{3}{c|}}\hline
Entrée: &$N$ est un nombre entier\\
Variables: &$K$ est un nombre entier\\
&$S$ est un nombre réel\\
&$T$ est un nombre réel\\
&$U$ est un nombre réel\\
Initialisation :&Affecter 1 à $S$\\
&Affecter 0 à $T$\\
&Affecter 0 à $K$\\
Traitement:&Tant que $K < N$\\
&\hspace{1cm}Affecter $S$ à $U$\\
&\hspace{1cm}Affecter $\sqrt{3}U-T$ à $S$\\
&\hspace{1cm}Affecter $U+\sqrt{3}T$ à $T$\\
&\hspace{1cm}Affecter $K+1$ à $K$\\
&Fin Tant que\\
Sortie: &Afficher $S$\\
&Afficher $T$\\ \hline
\end{tabular}
\]
\enen
\item
\bgen[a)]
\item
$ z_{n+1} = u_{n+1} + i v_{n+1}
= \sqrt{3}u_n- v_n + i\lp u_n+\sqrt{v_n}\rp
= \lp\sqrt{3} + i\rp u_n + \lp- 1 +i \sqrt{3}\rp v_n$.
Or
$az_n =\lp\sqrt{3} + i \rp\lp u_n + i v_n\rp
= \lp\sqrt{3} + i\rp u_n + \lp i \sqrt{3} - 1 \rp v_n
= z_{n+1}$.
\item $a$ pour module $|a| = \sqrt{3 + 1} = 2$.
D'où $a = 2\lp\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{i}{2}\rp
=2\lp \cos\dfrac{\pi}{6}+i\sin\dfrac{\pi}{6}\rp
= 2e^{i\frac{\pi}{6}}$.
\item La suite $\lp z_n\rp$ est une suite géométrique de raison $a$
et de premier terme $z_0 = u_0 = 1$.
Par conséquent $z_n = a^n$ pour tout entier naturel $n$,
soit $z_n = 2^n e^{ni\frac{\pi}{6}}$.
Enfin en prenant la partie réelle et la partie imaginaire :
$u_n = 2^n\cos\lp\dfrac{n\pi}{6}\rp$ et
$v_n = 2^n\sin\lp\dfrac{n\pi}{6}\rp$.
\enen
\enen
\enex
\label{LastPage}
\end{document}
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