Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{amsmath}
\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{graphicx}
\usepackage{epsf}
\usepackage{calc}
\usepackage{array}
%\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree}
\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pstricks-add}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=27.5cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
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%\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
%\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel}
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%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.2cm}
%\tableofcontents
\bgex {\it (Concours ESIEE, mai 2009)}
\vsp
Sachant que chacune des assertions suivantes est vraie:
\vsp
\bgit
\item[\pscircle(0.1,0.1){0.25}1] Si le malfaiteur n'est pas venu en
voiture alors le t�moin s'est tromp�.
\vsp
\item[\pscircle(0.1,0.1){0.25}2] Si le malfaiteur a un complice, alors
il est venu en voiture.
\vsp
\item[\pscircle(0.1,0.1){0.25}3] Soit le malfaiteur n'avait pas de
complice et n'avait pas la cl� soit le malfaiteur avait un complice
et avait la cl�.
\enit
\vspd\hspace{-1.2cm}
\bgmp[t]{9.cm}
Si le malfaiteur avait la cl� alors n�cessairement:
\vsp
\bgit
\item[{\bf (A)}] le malfaiteur est venu en voiture;
\vsp
\item[{\bf (B)}] le t�moin s'est tromp�.
\enit
\enmp\psline(0,-2)(0,0.4)\hspace{0.2cm}
\bgmp[t]{9.8cm}
Si le malfaiteur n'avait pas la cl� alors n�cessairement:
\vsp
\bgit
\item[{\bf (C)}] le malfaiteur n'avait pas de complice;
\vsp
\item[{\bf (D)}] le malfaiteur n'est pas venu en voiture;
\vsp
\item[{\bf (E)}] le t�moin s'est tromp�.
\enit
\enmp
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, juin 2009, 4 points)}
\vsp
{\it Les deux questions de cet exercice sont ind�pendantes.}
\vsp
\bgit
\item[1.] On consid�re la suite $(u_n)$ d�finie par $u_0=1$ et, pour
tout entier naturel $n$:
$\dsp u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+4$
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$.
\vsp
\bgit
\item[a.] Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en
fonction de $v_n$.
\vsp
Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
\item[b.] D�montrer que pour tout entier naturel $n$:
$\dsp u_n=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n+6\ .$
\item[c.] Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.
\enit
\vspd
\item[2.] On consid�re la suite $(w_n)$ dont les termes v�rifient,
pour tout nombre entier $n\geq 1$:
\[ n w_n = (n+1)w_{n-1}+1 \ \mbox{ et } \ w_0=1\ .
\]
\hspace{-1.7cm}
Le tableau suivant donne les premiers termes de cette suite:
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline
$w_0$ & $w_1$ & $w_2$ & $w_3$ & $w_4$ & $w_5$ &
$w_6$ & $w_7$ & $w_8$ & $w_9$ \\\hline
$1$ & $3$ & $5$ & $7$ & $9$ & $11$ & $13$ & $15$ & $17$ & $19$ \\\hline
\end{tabular}
\bgit
\item[a.] D�tailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$.
\vsp
\item[b.] {\it Dans cette question toute trace de recherche, m�me
incompl�te, ou d'initiative, m�me non fructueuse, sera prise en
compte dans l'�valuation.}
Donner la nature de la suite $(w_n)$. Calculer $w_{2009}$.
\enit
\enit
\enex
\bgex
\vspace{-0.5cm}
\paragraph{Partie I.}
Soit $g$ la fonction d�finie sur $\R$ par:
$g(x)=x^3-3x-4$.
\vsp
\bgit
\item[1.] Etudier le sens de variation de $g$ sur $\R$.
\vsp
\item[2.] D�montrer que l'�quation $g(x)=0$ admet dans $\R$ une
solution unique que l'on notera $\alpha$.
Donner une valeur approch�e de $\alpha$ � $10^{-2}$ pr�s.
\item[3.] D�terminer le signe de $g$ sur $\R$.
\enit
\vspace{-0.5cm}
\paragraph{Partie II.}
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par:
$\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$.
On note $\Cf$ sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthonormal.
\vsp
\bgit
\item[1.] Etudier les limites de $f$ aux bornes de ses intervalles de
d�finition.
En d�duire l'existence de deux asymptotes verticales dont on donnera
les �quations.
\vsp
\item[2.] Calculer la d�riv�e de $f$ sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ et
d�terminer son signe.
\vsp
\item[3.] Dresser le tableau de variation de $f$.
\vsp
\item[4.] Montrer que pour tout $x$ de $\R\setminus\la-1;1\ra$,
$\dsp f(x)=x+2+\frac{x+2}{x^2-1}$.
\vsp
\item[5.] Justifier l'existence d'une asymptote oblique $\Delta$
� $\Cf$.
\vsp
\item[6.] Etudier la position relative de $\Cf$ et $\Delta$.
\vsp
\item[7.] D�terminer les abscisses des points de $\Cf$ admettant une
tangente parall�le � $\Delta$.
\enit
\enex
\end{document}
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