Source Latex
de la correction du devoir
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\usepackage{pst-all}
%\usepackage{pstricks-add}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\scp}{\scriptstyle}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0cm
\textheight=25.5cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=1.5cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Correction du devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\usepackage{lastpage}
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%\renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
\vspace{0.4cm}
%\tableofcontents
\bgex
Si le malfaiteur avait la cl� alors n�cessairement le malfaiteur avait
un complice, d'apr�s\, \pscircle(0.1,0.1){0.25}3,
et donc, d'apr�s \,\pscircle(0.1,0.1){0.25}2, il est venu en voiture:
donc \ul{{\bf (A)} est vraie}.
Par contre, on ne peut pas conclure quant � la proposition {\bf (B)}:
le malfaiteur �tant venu en voiture on ne peut savoir si le t�moin
s'est tromp� ou non.
\vspd
Si le malfaiteur n'avait pas la cl� alors n�cessairement il n'avait
pas de complice d'apr�s\, \pscircle(0.1,0.1){0.25}3,
donc \ul{{\bf (C)} est vraie}.
Par contre, on ne peut pas conclure quant � la proposition {\bf (D)}:
le malfaiteur n'ayant pas de complice on ne peut pas savoir s'il est
venu ou non en voiture, ni quant � la proposition {\bf (E)}: ne
sachant pas s'il est venu en voiture on ne peut rien conclure sur les
propos du t�moin.
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, juin 2009, 4 points)}
\vsp
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a.] Pour tout nombre entier naturel $n$,
$\dsp v_{n+1}=u_{n+1}-6=\frac{1}{3}u_{n+1}-2
=\frac{1}{3}\lp u_{n+1}-6\rp=\frac{1}{3}v_n$.
\vsp
On en d�duit que \ul{$(v_n)$ est g�om�trique de raison
$\dsp q=\frac{1}{3}$} et de premier terme
$v_0=u_0-6=-5$.
\vsp
\item[b.] D'apr�s la question pr�c�dente,
pour tout entier $n$,
$\dsp v_n=v_0q^n=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n$,
et donc que
\fbox{
pour tout entier n\ ,\
$\dsp u_n=v_n+6=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n+6$.}
\vsp
\item[c.] Comme $\dsp 0<\frac{1}{3}<1$,
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp\frac{1}{3}\rp^n=0$,
et donc, \fbox{$\dsp\lim_{n\to+\infty} (u_n)=6$}.
\enit
\vspd
\item[2.]
\bgit
\item[a.] Pour $n=10$,
$10 w_{10} = 11 w_{9}+1=11\tm 19+1=210$, d'o�,
\ul{$w_{10}=21$}.
\vsp
\item[b.] D'apr�s les valeurs de $w_n$ pour les premiers entiers,
on peut conjecturer que $w_n=2n+1$.
\vsp
\ul{D�monstration de la conjecture:}
D�monstration par r�currence.
\ul{Initialisation:} La relation est vraie pour tous les entiers
$n\leq 10$.
\ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$,
$w_n=2n+1$ (hypoth�se de r�currence), alors,
$(n+1)w_{n+1}=(n+2)w_n+1=(n+2)(2n+1)+1$ d'apr�s l'hypoth�se de
r�currence.
On a donc, $(n+1)w_{n+1}=2n^2+5n+3=(n+1)(2n+3)$, soit donc
$w_{n+1}=2n+3=2(n+1)+1$.
Ainsi, l'expression est encore vraie au rang $n+1$.
\vspd
On a ainsi d�montr� d'apr�s le principe de r�currence que,
\fbox{pour tout entier $n$, $w_n=2n+1$}.
\vsp
On en d�duit que \ul{$w_{2009}=2\tm2009+1=4019$}.
\enit
\enit
\enex
\bgex
\vspace{-0.3cm}
\paragraph{Partie I.}
$g$ est d�finie sur $\R$ par:
$g(x)=x^3-3x-4$.
\vsp
\bgit
\item[1.] \vspace{-1.4cm}
\bgmp[t]{10cm}
$g$ est une fonction polyn�me donc d�rivable sur $\R$,
et, pour tout $x$ r�el,
$g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp{6cm}\vspace{1.cm}
\begin{tabular}{|c|*6{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$g'(x)$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
&&&$-2$&&&&\\
$g$ && \Large{$\nearrow$} && \Large{$\searrow$}
&& \Large{$\nearrow$} &\\
&&&&&$-6$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\vsp
\item[2.] $g$ est une fonction polyn�me, donc continue sur $\R$.
De plus, sa limite en $+\infty$ est la limite de son terme de plus
haut degr�: $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}x^3=+\infty$,
et comme $g(1)=-6<0$, on en d�duit, d'apr�s le th�or�me des valeurs
interm�diaires, que il existe un unique r�el $\alpha\in]1;+\infty[$
tel que $g(\alpha)=0$.
Comme de plus, $g(x)<0$ pour tout $x\in]-\infty;1]$, on en d�duit
que
\ul{$\alpha\in]1;+\infty[$ est la seule solution sur $\R$ de
l'�quation $g(x)=0$}.
\vspd
\bgmp{8.5cm}
$g(2)=-2<0$, donc $\alpha>2$. \\
$g(3)=14>0$, donc $2<\alpha<3$. \\
$g(2,5)=4,125>0$, donc $2<\alpha<2,5$. \\
$g(2,25)\simeq 0,6>0$, donc $2<\alpha<2,25$.
\enmp
\bgmp{8cm}
$g(2,125)\simeq -0,7$, donc $2,125<\alpha<2,25$.\\
$g(2,2)\simeq 0,05>0$, donc $2,125<\alpha<2,2$. \\
$g(2,19)\simeq -0,07<0$, donc
\ct{\fbox{$2,19<\alpha<2,20$}.}
\enmp
\vsp
\item[3.] On d�duit de la question pr�c�dcente le signe de $g$:
\begin{tabular}{|c|*4{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
$g(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
\end{tabular}
\enit
\vspace{-0.4cm}
\paragraph{Partie II.}
Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R\setminus\la-1;1\ra$ par:
$\dsp f(x)=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}$.
On note $\Cf$ sa courbe repr�sentative dans un rep�re orthonormal.
\vsp
\bgit
\item[1.] \ul{Limites en $\pm\infty$:}
$f$ est une fonction rationnelle, donc ses limites en $-\infty$ et
$+\infty$ sont celles du rapport de ses termes de plus haut degr�:
\[\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{x^2}
=\lim_{x\to-\infty}x=-\infty\
\mbox{ , et de m�me, } \
\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x=+\infty
\]
\ul{Limites en $-1$:}
Signe de $x^2-1$:
\begin{tabular}[c]{|c|*6{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$x^2-1$ && $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
\end{tabular}
\vspd
$\dsp\lim_{x\to-1} (x^3+2x^2)=1$ et
$\dsp\lim_{x\to-1^-} (x^2-1)=0^+$,
d'o�, \fbox{$\dsp\lim_{x\to-1^-} f(x)=+\infty$}.
\vspd
$\dsp\lim_{x\to-1} (x^3+2x^2)=1$ et
$\dsp\lim_{x\to-1^+} (x^2-1)=0^-$,
d'o�, \fbox{$\dsp\lim_{x\to-1^+} f(x)=-\infty$}.
\vspd
$\dsp\lim_{x\to1} (x^3+2x^2)=5$ et
$\dsp\lim_{x\to1^-} (x^2-1)=0^-$,
d'o�, \fbox{$\dsp\lim_{x\to1^-} f(x)=-\infty$}.
\vspd
$\dsp\lim_{x\to1} (x^3+2x^2)=5$ et
$\dsp\lim_{x\to1^+} (x^2-1)=0^+$,
d'o�, \fbox{$\dsp\lim_{x\to1^+} f(x)=+\infty$}.
\vspd
\ul{On en d�duit que les droites d'�quation $x=-1$ et $x=1$ sont
asymptotes verticales � $\Cf$.}
\vsp
\item[2.] $f$ est le quotient des fonctions polyn�mes
$u:x\mapsto x^3+2x^2$ et $v:x\mapsto x^2-1$ qui sont d�rivables sur
$\R$, avec $v(x)=0$ si et seulement si $x=-1$ ou $x=1$, et donc,
$f$ est d�rivable sur $\R\setminus\la-1;1\ra$,
avec, pour tout $x\in \R\setminus\la-1;1\ra$,
\[ f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}
=\frac{(3x^2+4x)(x^2-1)-(x^3+2x^2)2x}{(x^2-1)^2}
=x\frac{x^3-3x-4}{(x^2-1)^2}
=x\frac{g(x)}{(x^2-1)^2}
\]
\item[3.] On en d�duit, d'apr�s la partie I,
\begin{tabular}{|c|*{10}{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $0$ && $1$ && $\alpha$ && $+\infty$ \\\hline
$x$ && $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$g(x)$ && $-$ & $|$ & $-$ & $|$ & $-$ & $|$ & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
$(x^2-1)^2$ && $+$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ &\zb & $+$ & $|$ & $+$ & \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \db & $+$ & \zb & $-$ & \db & $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
&&$\ \ \scp+\infty$&&&$0$&&$\ \scp+\infty$&&&&$\scp+\infty$\\
$f$ && \Large{$\nearrow$}
&\psline[linewidth=0.2pt](0,-0.7)(0,0.9)
\psline[linewidth=0.2pt](0.1,-0.7)(0.1,0.9)& \Large{$\nearrow$}
&& \Large{$\searrow$}
&\psline[linewidth=0.2pt](0,-0.7)(0,0.9)
\psline[linewidth=0.2pt](0.1,-0.7)(0.1,0.9)& \Large{$\searrow$}
&& \Large{$\nearrow$}
&\\
&$\scp-\infty$&&$\ \scp-\infty$&&&$\ \ \scp-\infty$&&&$\scp f(\alpha)$&&\\\hline
\end{tabular}
\vspd
\item[4.] Pour tout $x$ de $\R\setminus\la-1;1\ra$,
$\dsp x+2+\frac{x+2}{x^2-1}=\frac{(x+2)(x^2-1)+x+2}{x^2-1}
=\frac{x^3+2x^2}{x^2-1}=f(x)$.
\vspd
Ainsi, \fbox{pour tout $x$ de $\R\setminus\la-1;1\ra$,
$\dsp f(x)=x+2+\frac{x+2}{x^2-1}$}.
\vsp
\item[5.] D'apr�s le calcul pr�c�dent, pour tout $x$ de
$\R\setminus\la-1;1\ra$, $\dsp f(x)-(x+2)=\frac{x+2}{x^2-1}$.
Ainsi,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\big[f(x)-(x+2)\big]
=\lim_{x\to-\infty}\frac{x+2}{x^2-1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{x}{x^2}
=\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0$,
\vsp
et de m�me,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\big[f(x)-(x+2)\big]=0$.
\vsp
Ainsi, \ul{la droite $\Delta: y=x+2$ est asymptote oblique � $\Cf$ en
$-\infty$ et $+\infty$.}
\vsp
\item[6.] La position relative de $\Cf$ et $\Delta$ est donn�e par le
signe de $\dsp f(x)-(x+2)=\frac{x+2}{x^2-1}$:
\hspace{-1cm}
\bgmp{10.5cm}
\begin{tabular}{|c|*{8}{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-1$ && $1$ && $+\infty$ \\\hline
$x+2$ && $-$ & \zb & $+$ & $|$ & $+$ & $|$ & $+$ &\\\hline
$x^2-1$ && $+$ & $|$ & $+$ & \zb & $-$ & \zb & $+$ &\\\hline
$f(x)-(x+2)$ && $-$ & \zb & $+$ & \db & $-$ & \db & $+$ & \\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{7.5cm}
$\Cf$ est au-dessous de $\Delta$ pour \mbox{$x\in]-\infty;-2]\cup]-1;1[$}.
\vsp
$\Cf$ est au dessus de $\Delta$ pour \mbox{$x\in[-2;-1[\cup]1;+\infty[$}.
\enmp
\vspd
\item[7.] Le coefficient directeur de $\Delta: y=x+2$ est $1$.
Le coefficient de la tangente � $\Cf$ au point d'abscisse $x$ est
$f'(x)$.
\vsp
La tangente � $\Cf$ au point d'abscisse $x$ est donc parall�le �
$\Delta$ si et seulement si,
$f'(x)=1$, soit pour $x\not=-1$ et $x\not=1$,
\[ x\frac{x^3-3x-4}{(x^2-1)^2}=1
\Longleftrightarrow x(x^3-3x-4)=(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1
\Longleftrightarrow x^2+4x+1=0
\]
Ce trin�me du second degr� a pour discriminant
$\Delta=16-4=12=(2\sqrt{3})^2>0$,
et admet donc deux racines r�elles distinctes:
$\dsp x_1=\frac{-4-2\sqrt{3}}{2}=-2-\sqrt{3}$
et $\dsp x_2=\frac{-4+2\sqrt{3}}{2}=-2+\sqrt{3}$
\ul{Les abscisses des points de $\Cf$ admettant une
tangente parall�le � $\Delta$ sont donc}
\ct{\fbox{$\dsp x_1=-2-\sqrt{3}$ et $\dsp x_2=-2+\sqrt{3}$.}}
\enit
\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-5,-4)(8,9.5)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-5,0)(5,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-5)(0,8.5)
\psplot[linewidth=1.2pt]{-5}{-1.058}{
x x mul x mul 2 x mul x mul add
x x mul 1 sub div}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-0.908}{0.8}{
x x mul x mul 2 x mul x mul add
x x mul 1 sub div}
\psplot[linewidth=1.2pt]{1.25}{6}{
x x mul x mul 2 x mul x mul add
x x mul 1 sub div}
\rput(1.6,8){$\Cf$}
\psline[linewidth=0.5pt](-1,-5)(-1,9)
\psline[linewidth=0.5pt](1,-5)(1,9)
\psplot[linewidth=0.5pt]{-5}{6}{x 2 add}% Delta
\rput(6,7.6){$\Delta$}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(1.2,5.29)(3.2,5.29)%Tgte horizontale en 0
\psline[linewidth=0.9pt]{<->}(-0.8,0)(0.8,0)%Tgte horizontale en alpha
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](2.2,0)(2.2,5.29)
\rput(2.2,-0.2){$\alpha$}
\rput(-1.2,-0.2){$\scp -1$}
\rput(1.2,-0.2){$\scp -1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\enex
\end{document}
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