Source Latex
sujet du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=15pt
\textheight=27.cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=18.6cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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%\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.2cm}
\vspt
\bgex {\it Chute d'un corps avec r�sistance de l'air}
On laisse tomber un corps de masse $m$ dans le champ de la pesanteur.
La vitesse $v$ du centre d'inertie de ce corps est fonction du temps
$t$ de chute, et satisfait � la loi:
$mv'=mg-kv$, o� $k>0$ est le coefficient de freinage et $g$
l'acc�l�ration de la pesanteur.
\vspd
\bgit
\item[a)] D�terminer la limite
$\dsp \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$
(Indication: quelle est la d�riv�e de la fonction exponentielle en~0~?)
\vspd
\item[b)] R�soudre l'�quation diff�rentielle ci-dessus.
\vspd
\item[c)] On suppose qu'une vitesse initiale $v_0$ est imprim�e �
l'instant $t=0$ au corps.
Montrer que la vitesse $v(t)$ a pour expression:
\[ v(t)=\frac{mg}{k}\lp 1-e^{-\frac{k}{m}t}\rp +v_0e^{-\frac{k}{m}t}
\]
\item[d)] Que peut-on dire de la vitesse de ce corps lorsque $k$ tend
vers $0$ (c'est-�-dire sans r�sistance de l'air) ?
Quelle loi de la physique retrouve-t-on ainsi ?
\enit
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, septembre 2008, 3 points)}
On se propose de d�terminer toutes les fonctions $f$ d�finies et
d�rivables sur l'intervalle $]0;+\infty[$ v�rifiant l'�quation
diff�rentielle
\[ (E): xf'(x)-(2x+1)f(x)=8x^2\ .
\]
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] D�montrer que, si $f$ est solution de $(E)$, alors la
fonction $g$ d�finie sur l'intervalle $]0;+\infty[$ par
$\dsp g(x)=\frac{f(x)}{x}$ est solution de l'�quation
diff�rentielle $(E') : y'=2y+8$.
\vsp
\item[b)] D�montrer que, si $h$ est solution de $(E')$, alors la
fonction $f$ d�finie par $f(x)=xh(x)$ est solution de $(E)$.
\enit
\vspd
\item[2.] R�soudre $(E')$ et en d�duire toutes les solutions de
$(E)$.
\vspd
\item[3.] Existe-t-il une fonction $f$ solution de l'�quation
diff�rentielle $(E)$ dont la repr�sentation graphique dans un rep�re
donn� passe par le point $A(-\frac{1}{2} ;0 )$ ?
Si oui, la pr�ciser.
\enit
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at Pondich�ry, Avril 2008, 7 points)}
{\it On cherche � mod�liser de deux fa�ons diff�rentes l'�volution du
nombre, exprim� en millions, de foyers fran�ais poss�dant un
t�l�viseur � �cran plat, en fonction de l'ann�e.}
Les parties A et B sont ind�pendantes.
\paragraph{Partie A: un mod�le discret}
Soit $u_n$ le nombre, exprim� en millions, de foyers poss�dant un
t�l�viseur � �cran plat l'ann�e $n$.
On pose $n=0$ en 2005, $u_0=1$ et, pour tout $n\geq 0$,
$\dsp u_{n+1}=\frac{1}{10}u_n(20-u_n)$.
\vspd
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction d�finie sur [0 ~;~ 20] par
\[ f(x)= \dfrac{1}{10}x(20 - x ).\]
\begin{enumerate}
\item �tudier les variations de $f$ sur [0 ~;~ 20].
\item En d�duire que pour tout $x \in [0~;~20],~ f(x) \in [0~;~10]$.
\item On donne en annexe en fin d'�nonc� la courbe
repr�sentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$
dans un rep�re orthonormal.
Repr�senter, sur l'axe des abscisses, � l'aide de ce
graphique, les cinq premiers termes de la suite
$\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$.
\end{enumerate}
\item Montrer par r�currence que pour tout
$n \in \N,~ 0 \leqslant u_{n} \leqslant u_{n+1} \leqslant 10$.
\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)_{n\geqslant 0}$
est convergente et d�terminer sa limite.
\end{enumerate}
\medskip
\paragraph{Partie B : un mod�le continu}
\medskip
Soit $g(x)$ le nombre, exprim� en millions, de tels foyers l'ann�e $x$.
On pose $x = 0$ en 2005, $g(0) = 1$
et $g$ est une solution, qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$, de l'�quation diff�rentielle
\[(\text{E})\quad ;~~y' = \dfrac{1}{20}y(10 - y).\]
\begin{enumerate}
\item On consid�re une fonction $y$ qui ne s'annule pas sur $[0~; ~+\infty[$ et on pose $z = \dfrac{1}{y}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $y$ est solution de (E) si et seulement si $z$
est solution de l'�quation diff�rentielle :
\[(\text{E}_{1})\quad : ~~z' = - \dfrac{1}{2}z + \dfrac{1}{20}.\]
\item R�soudre l'�quation (E$_{1}$) et en d�duire les solutions
de l'�quation (E).
\end{enumerate}
\item Montrer que $g$ est d�finie sur $[0~; ~+\infty[$ par
$g(x) = \dfrac{10}{9\text{e}^{-\frac{1}{2}x} + 1}$.
\item �tudier les variations de $g$ sur $[0~; ~+\infty[$.
\item Calculer la limite de $g$ en $+ \infty$ et interpr�ter le r�sultat.
%\item En quelle ann�e le nombre de foyers poss�dant un tel �quipement
%d�passera-t-il $5$~millions ?
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\bigskip
\textbf{� rendre avec la copie}
\bigskip
%\psset{unit=0.4286cm}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-4,-3)(24,14)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-3)(24,14)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange](0,0)(-4,-3)(24,14)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{0}{20}{20 x sub x mul 10 div}
\end{pspicture}
\end{center}
\enex
\end{document}
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