Source Latex
sujet du devoir
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=15pt
\textheight=27.cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=18.6cm
\oddsidemargin=-1.4cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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%\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel}
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%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.2cm}
\bgex {\it (Baccalaur�at Am�rique du nord, juin 2005)}
Soit la fonction $f$ d�finie sur l'intervalle $[0;2]$
par:
$\dsp f(x)=\frac{2x+1}{x+1}
$\vspd
\bgit
\item[1.] Etudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0;2]$.
Montrer que si $x\in[1;2]$ alors $f(x)\in[1;2]$.
\vspd
\item[2.] $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites d�finies sur $\N$ par :
$\la\bgar{l}
u_0=1 \mbox{ et pour tout entier } n, u_{n+1}=f(u_n); \vspd\\
v_0=2 \mbox{ et pour tout entier } n, v_{n+1}=f(v_n).
\enar\right.$
\vspd
\bgit
\item[a.] Tracer dans un rep�re orthonormal la courbe repr�sentative
de la fonction $f$ sur l'intervalle~$[0;2]$.
Construire sur l'axe des abscisses de ce graphique les trois
premiers termes de chacune des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ en
laissant apparents les traits de construction.
\vspd
A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le
sens de variation et la convergence des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ ?
\vspd
\item[b.] Montrer � l'aide d'un raisonnement par r�currence que:
\hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $1\leq v_n\leq 2$.
\hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $v_{n+1}\leq v_n$.
\vspd
On admettra que l'on peut d�montrer de la m�me fa�on que:
\hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $1\leq u_n\leq 2$.
\hspace{0.5cm}Pour tout entier $n$, $u_n\leq u_{n+1}$.
\vspd
\item[c.] Montrer que pour tout entier naturel $n$,
$\dsp v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_n-u_n}{(v_n+1)(u_n+1)}$.
En d�duire que pour tout entier naturel $n$, $v_n-u_n\geq 0$ et que:
$\dsp v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{1}{4}(v_n-u_n)$
\item[d.] Montrer que pour tout entier $n$,
$\dsp v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$.
\item[e.] Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent vers
un m�me r�el $\alpha$.
D�terminer alors la valeur exacte de $\alpha$.
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex
On consid�re les fonctions $f$ et $g$ d�finies par les expressions :
\[ f(x)=x^2-x+4 \hspace{0.5cm} \mbox{ et, } \hspace{0.5cm}
\ g(x)=6-\frac{4}{x+1}
\]
On note $\Cf$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes repr�sentatives
respectives des fontions $f$ et $g$.
\vspd
\bgit
\item[1.] Montrer que $\Cf$ et $\mathcal{C}_g$ admettent une tangente
commune, dont on pr�cisera l'�quation.
\vspd
\item[2.] Etudier les fonctions $f$ et $g$, et tracer leur courbe
repr�sentative.
\enit
\enex
\vspd
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, septembre 2007, 5 points)}
\vspd
Les parties 1. et 2. portent sur un m�me th�me, la d�rivation, mais
sont ind�pendantes.
\noindent
{\it 1. Restitution organis�e de connaissances}
La formule donnant la d�riv�e du produit de deux fonctions d�rivables
est suppos�e connue.
On a �nonc� ci-dessous deux propositions d�sign�es par $P$ et $Q$.
Dire pour chacune d'elles si elle est vraie ou si elle est fausse et
justifier.
Dans cet exercice, $n$ d�signe un entier naturel strictement sup�rieur
� 1.
\vsp
\noindent
$P$: Soit $f$ la fonction d�finie sur $\R$ par $f(x)=x^n$; alors $f$
est d�rivable sur $\R$, de d�riv�e $f'$ donn�e par: $f'(x)=nx^{n-1}$.
\noindent
$Q$: Soit $u$ une fonction d�rivable sur $\R$ et soit $f$ la fonction
d�finie sur $\R$ par $f=u^n$; alors $f$ est d�rivable sur $\R$, de
d�riv�e $f'$ donn�e par $f'=nu'u^{n-1}$.
\vspd\noindent
2. On d�signe par $g$ la fonction d�finie sur $]-1;1[$ par $g(0)=0$ et
$\dsp g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, o� $g'$ d�signe la d�riv�e de
la fonction $g$ sur $]-1;1[$;
on ne cherchera pas � expliciter $g(x)$.
On consid�re alors la fonction compos�e d�finie sur $]-\pi;0[$
par $h(x)=g(\cos(x))$.
\vspd
\bgit
\item[a)] D�montrer que, pour tout $x$ de $]-\pi;0[$, on a
$h'(x)=1$, o� $h'$ d�signe la d�riv�e de $h$.
\vspd
\item[b)] Calculer $\dsp h\lp-\frac{\pi}{2}\rp$,
puis donner l'expression de $h(x)$.
\enit
\enex
\vspd
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, septembre 2007, 6 points)}
\vspd
\bgit
\item[1.]
La suite $u$ est d�finie par:
$u_0=2$ et $\dsp u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}$, pour tout
entier naturel $n$.
\vspd
\bgit
\item[a)] On a repr�sent�, dans un rep�re orthonorm� direct du plan
en annexe (en fin d'�nonc�), la droite d'�quation
$\dsp y=\frac{1}{3}x+\frac{23}{27}$ et le point $A$ de coordonn�es
$(2;0)$.
\vsp
Construire sur l'axe des abscisses les quatres premiers termes de
la suite $u$.
\vspd
\item[b)] D�montrer que, si la suite $u$ est convergente, alors sa
limite est $\dsp l=\frac{23}{18}$.
\vspd
\item[c)] D�montrer que, pour tout entier naturel $n$, on a
$\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$.
\vspd
\item[d)] Etudier la monotonie de la suite $u$ et donner sa
limite.
\enit
\vspd
\item[2.]
\bgit
\item[a)] Soit $n$ un entier naturel sup�rieur ou �gal � 1.
D�montrer que:
\[ \sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{10^k}=\frac{1}{90}\lp1-\frac{1}{10^n}\rp
\]
c'est-�-dire que
$\dsp
\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\cdots+\frac{1}{10^{n+1}}
=\frac{1}{90}\lp1-\frac{1}{10^n}\rp
$
\vspd
\item[b)] La suite $v$ est d�finie par $v_n=1,2777\dots7$,
avec $n$ d�cimales cons�cutives �gales � 7.
Ainsi, $v_0=1,2$, $v_1=1,27$ et $v_2=1,277$.
\vsp
En utilisant la a), d�montrer que la limite de la suite $v$ est un
nombre rationnel $r$ (c'est-�-dire le quotient de deux entiers).
\vspd
\item[3.] La suite $u$ d�finie au 1. et la suite $v$ sont-elles
adjacentes ?
Justifier.
\enit
\enit
\enex
\vspd
\bgex {\it (Baccalaur�at La R�union, juin 2008, 5 points)}
On consid�re la suite $(u_n)_{n\in\N}$ d�finie par:
\[ u_0=5\,,\ \mbox{ et, pour tout entier } n\geq1\,,\
u_n=\lp1+\frac{2}{n}\rp u_{n-1}+\frac{6}{n}\ .
\]
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)] Calculer $u_1$.
\vspd
\item[b)] Les valeurs de $u_2$, $u_3$, $u_4$, $u_5$, $u_6$, $u_7$,
$u_8$, $u_9$, $u_{10}$, $u_{11}$ sont respectivement �gales �:
$45$, $77$, $117$, $165$, $221$, $285$, $357$, $437$, $525$,
$621$.
A partir de ces donn�es, conjecturer la nature de la suite
$(d_n)_{n\in\N}$ d�finie par $d_n=u_{n+1}-u_n$.
\enit
\vspd
\item[2.] On consid�re la suite arithm�tique $(v_n)_{n\in\N}$ de
raison $8$ et de premier terme $v_0=16$.
Justifier que la somme des $n$ premiers termes de cette suite est
�gale � $4n^2+12n$.
\vspd
\item[3.] D�montrer par r�currence que, pour tout entier naturel $n$,
on a:
$ u_n=4n^2+12n+5$
\vspd
\item[4.] Valider la conjecture �mise � la question 1.b).
\enit
\enex
\end{document}
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