Source Latex
de la correction du devoir
\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{pst-all}
\usepackage{pst-func}
\usepackage{pstricks-add}
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\vphi{\varphi}
\def\lbd{\lambda}
\def\Cf{\mathcal{C}_f}
\def\Cg{\mathcal{C}_g}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}[section]\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
\nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }
\headheight=0pt
\textheight=27.8cm
\topmargin=-2.4cm
\footskip=.5cm
\textwidth=19.6cm
\oddsidemargin=-2cm
\setlength{\unitlength}{1cm}
\newcounter{ntheo}
\setcounter{ntheo}{1}
\newlength{\ltheo}
\nwc{\bgth}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Th�or�me \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Th�or�me}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\newcounter{nprop}
\setcounter{nprop}{1}
\newlength{\lprop}
\nwc{\bgprop}[1]{
\settowidth{\lprop}{Propri�t� \arabic{nprop}}
\noindent
\paragraph{Propri�t�}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\lprop-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{nprop}
}
\nwc{\bgcorol}[1]{
\settowidth{\ltheo}{Corollaire \arabic{ntheo}}
\noindent
\paragraph{Corollaire}% \arabic{ntheo}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ltheo-0.5em}{\it #1}\enmp
}
\newcounter{ndef}
\setcounter{ndef}{1}
\newlength{\ldef}
\nwc{\bgdef}[1]{
\settowidth{\ldef}{D�finition \arabic{ndef}}
\noindent
\paragraph{D�finition}% \arabic{ndef}}
\hspace{-0.5em}%\hspace{-0.4cm}
\bgmp[t]{\textwidth-\ldef-0.5em}{\it #1}\enmp
\stepcounter{ntheo}
}
\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}
% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Correction du devoir de math�matiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\pagestyle{fancyplain}
%\setlength{\headheight}{0cm}
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}
%\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel}
\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\\$T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.5cm}
\hfill{\Large \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$
%\vspace{0.2cm}
\bgex {\it (Baccalaur�at Am�rique du nord, juin 2005)}
1. %\vspace{-0.7cm}
\bgmp[t]{12cm}
La fonction $f$ est une fonction rationnelle, d�finie,
continue et d�rivable sur $\R\setminus\la-1\ra$, donc aussi sur
$[0;2]$, et
\vspd
pour tout $x\in[0;2]$,
$\dsp f'(x)=\frac{2(x+1)-(2x+1)}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}>0$.
\enmp\hspace{0.5cm}
\bgmp[t]{3cm}\vspace{-0.8cm}
\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline
$x$ & $0$ && $2$ \\\hline
$f'(x)$ && $+$ & \\\hline
&&&$\frac{5}{3}$ \\
$f$ &&\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-0.4,-0.4)(0.5,0.5)& \\
&1&& \\\hline
\end{tabular}
\enmp
$f$ est continue et strictement croissante sur $[0;2]$, donc sur
$[1;2]$, avec de plus $\dsp f(1)=\frac{3}{2}$ et $\dsp
f(2)=\frac{5}{2}$.
On en d�duit que pour tout
$x\in[1;2]$, $\dsp 1<\frac{3}{2}\leq f(x)\leq \frac{5}{2}<2$, soit
\ul{pour tout $x\in[1;2]$, $f(x)\in[1;2]$}.
\vspd
\bgit
\item[2.\ a)]
\bgmp{8cm}
\psset{xunit=3cm,yunit=2.5cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.3)(3,1.8)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(-0.2,0)(2.5,0)
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(0,-0.2)(0,2)
\nwc{\f}[1]{2 #1 mul 1 add #1 1 add div}
\psplot[linewidth=1.2pt]{0}{2}{\f{x}}%2 x mul 1 add x 1 add div}
\put(6.2,4.2){$\Cf$}
\psplot[linewidth=1pt]{-0.2}{2.}{x}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](1,0)(!1 \space \f{1})
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!0 \space \f{1})(!\f{1} \space \f{1})
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!\f{1} \space 0)(!\f{1} \space \f{\f{1}})
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!0 \space \f{\f{1}})(!\f{\f{1}} \space \f{\f{1}})
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!\f{\f{1}} \space 0)(!\f{\f{1}} \space \f{\f{1}})
\put(2.8,-0.4){$\scriptstyle u_0$}
\put(4.,-0.4){$\scriptstyle u_1$}
\put(4.6,-0.4){$\scriptstyle u_2$}
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](2,0)(!2 \space \f{2})
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!0 \space \f{2})(!2 \space \f{2})
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!\f{2} \space 0)(!\f{2} \space \f{\f{2}})
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!0 \space \f{\f{2}})(!\f{\f{2}} \space \f{\f{2}})
\psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](!\f{\f{2}} \space 0)(!\f{\f{2}} \space \f{\f{2}})
\put(6,-0.2){$\scriptstyle v_0$}
\put(5.1,-0.2){$\scriptstyle v_1$}
\put(4.8,-0.2){$\scriptstyle v_2$}
\end{pspicture}
\enmp
\bgmp{8cm}
A partir de ce graphique, on peut conjecturer que $(u_n)$ est
croissante et $(v_n)$ d�croissante, et que ces deux suites
convergent vers le point fixe $l$ de $f$: $f(l)=l$.
En d'autres termes, on peut conjecturer que $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
\enmp
\item[b)]
$\bullet\ $\ul{Montrons par r�currence que pour tout $n\in\N$, $1\leq v_n\leq2$:}
\ul{Initialisation:} $v_0=2$, donc $1\leq v_0\leq 2$.
La propri�t� est vraie pour $n=0$.
\ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$,
$1\leq v_n\leq 2$.
Alors, d'apr�s 1., $v_{n+1}=f(v_n)\in[1;2]$, et donc la propri�t�
est vraie aussi au rang $n+1$.
\vsp
Finalement, d'apr�s le principe de r�currence,
\ul{pour tout entier $n\in\N$, $1\leq v_n\leq 2$}.
\vspd
$\bullet\ $\ul{Montrons par r�currence que pour tout $n\in\N$, $v_{n+1}\leq v_n$:}
\ul{Initialisation:} $v_0=2$ et $v_1=f(v_0)=f(2)=\frac{5}{3}$,
donc $v_1\leq v_0$, et la propri�t� est vraie pour $n=0$.
\ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$,
$v_{n+1}\leq v_n$.
Alors, comme d'apr�s ce qui pr�c�de, pour tout entier $n$,
$v_n\in[1;2]$ et que d'apr�s 1. $f$ est croissante sur $[1;2]$,
$f(v_{n+1})\leq f(v_n)$, c'est-�-dire
$v_{n+1} \leq v_{n+1}$, et la propri�t� est encore vraie au rang
$n+1$.
\vsp
Finalement, d'apr�s le principe de r�currence,
\ul{pour tout entier $n\in\N$, $v_{n+1}\leq v_n$}.
\vspd
\item[c)] Pour tout entier $n$,
$\bgar[t]{ll}\dsp
v_{n+1}-u_{n+1}
&\dsp=f(v_n)-f(u_n)
=\frac{2v_n+1}{v_n+1}-\frac{2u_n+1}{u_n+1}\vspd\\
&\dsp=\frac{(2v_n+1)(u_n+1)-(2u_n+1)(v_n+1)}{(u_n+1)(v_n+1)}
=\frac{v_n-u_n}{(u_n+1)(v_n+1)}
\enar$.
\vspd
On en d�duit, par r�currence que pour tout entier $n$,
$v_n-u_n\geq 0$:
\ul{Initialisation:} $v_0-u_0=2-1=1\geq 0$, donc la propri�t� est
vraie au rang $0$.
\ul{H�r�dit�:} Supposons que $v_n-u_n\geq 0$, alors, comme
$\dsp v_{n+1}-u_{n+1}=\frac{v_n-u_n}{(u_n+1)(v_n+1)}$,
et $u_n+1>0$ et $v_n+1>0$, on end d�duit que $v_{n+1}-u_{n+1}$
est aussi positif, c'est-�-dire que la propri�t� est encore vraie
au rang $n+1$.
\vsp
Finalement, d'apr�s le principe de r�currence,
\ul{pour tout entier $n$, $v_n-u_n\geq 0$}.
\vspd
De plus, d'apr�s 2.b), pour tout entier $n$,
$1\leq u_n\leq 2$ et $1\leq v_n\leq 2$,
d'o�, $4\leq (u_n+1)(v_n+1)\leq 9$.
Ainsi,
$\dsp\frac{v_n-u_n}{9} \leq \frac{v_n-u_n}{(u_n+1)(v_n+1)} \leq \frac{v_n-u_n}{4}$,
soit,
\ul{pour tout entier $n$, $\dsp v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{1}{4}(v_n-u_n)$}.
\vspd
\item[d)]
Montrons par r�currence que pour tout entier $n$, $\dsp v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$.
\ul{Initialisation:} $v_0-u_0=2-1=1=\lp\frac{1}{4}\rp^0$, donc la
propri�t� est vraie au rang $0$.
\ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$,
$\dsp v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$,
alors, on en d�duit d'apr�s 2.c) que,
$\dsp v_{n+1}-u_{n+1}\leq \frac{1}{4}(v_n-u_n)\leq
\frac{1}{4}\lp\frac{1}{4}\rp^n=\lp\frac{1}{4}\rp^{n+1}$, et ainsi
la propri�t� est encore vraie au rang $n+1$.
Finalement, d'apr�s le principe de r�currence,
\ul{pour tout entier $n$, $\dsp v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$}.
\vspd
\item[e)] D'apr�s 2.b), on sait que $(v_n)$ est d�croissante et que
$(u_n)$ est d�croissante.
De plus, d'apr�s la question pr�c�dente, on sait que pour tout
entier $n$, $\dsp 0\leq v_n-u_n\leq \lp\frac{1}{4}\rp^n$.
Comme $\dsp \lim_{n\to+\infty} \lp\frac{1}{4}\rp^n=0$, on en
d�duit, d'apr�s le th�or�me des gendarmes que
\mbox{$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp v_n-u_n\rp=0$.}
\vsp
Finalement, \ul{les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes},
et \ul{elles convergent donc vers une m�me limite $\alpha$}.
\vspd
De plus, comme pour tout entier $n$, $1\leq u_n\leq 2$, on sait
aussi que $\alpha\in[1;2]$.
$f$ �tant continue sur $[1;2]$, on sait d'apr�s le th�or�me du
point fixe que $(u_n)$ converge vers $\alpha$ tel que
$f(\alpha)=\alpha$, soit
$\dsp f(\alpha)=\alpha \Longleftrightarrow
\frac{2\alpha+1}{\alpha+1}=\alpha
\Longleftrightarrow \alpha^2-\alpha-1=0
\Longleftrightarrow \alpha=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \mbox{ ou, } \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Comme la premi�re racine est n�gative et que $\alpha\in[1;2]$,
on en d�duit que \ul{$\dsp\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$}.
\enit
\enex
\vspace{-0.2cm}
\bgex
\bgit
\item[1.] Pour avoir une tangente commune, les courbes $\Cf$ et $\Cg$
doivent d�j� avoir un point commun.
Si $M(x;y)$ est un point de $\Cf$ et de $Cg$,
$M(x;y)\in \Cf\cap\Cg$, alors,
$y=f(x)=g(x)$.
\vsp
$\bgar{ll}
f(x)=g(x) &\dsp\Longleftrightarrow x^2-x+4=6-\frac{4}{x+1} \\
&\dsp\Longleftrightarrow (x^2-x+4)(x+1)=6(x+1)-4
\Longleftrightarrow x^3-3x+2=0
\enar$
Soit $P(x)=x^3-3x+2$; $x=1$ est une racine �vidente de $P$,
et donc $P$ se factorise par $(x-1)$:
$P(x)=(x-1)(x^2+x-2)$.
$x=1$ est aussi une racine �vidente du trin�me du second degr�
$x^2+x-2$, dont la deuxi�me racine est donc $x=-2$ (car le produit
des racines vaut $\frac{c}{a}=-2$).
On en d�duit donc que $P(x)=(x-1)(x-1)(x+2)=(x-1)^2(x+2)$, et
donc
$P(x)=0\Longleftrightarrow f(x)=g(x) \Longleftrightarrow
x=1 \ \mbox{ ou, } \ x=-2$
\vspd
De plus, $f(-2)=g(-2)=10$ et $f(1)=g(1)=4$.
\vsp
\ul{On en d�duit donc que les courbes $\Cf$ et $\Cg$ ont deux points
d'intersection $A(-2;10)$ et $B(1;4)$}.
\vspd
Le coefficient directeur de la tangente est le nombre d�riv� de la
fonction:
\bgit
\item[\ul{en $A$,}] $f'(-2)=-5 \not= g'(-2)=4$, donc les tangentes � $\Cf$ et
$Cg$ n'ont pas le m�me coefficient directeur et ne sont donc pas
confondues.
\item[\ul{en $B$,}] $f'(1)=1=g'(1)$;
L'�quation de la tangente � $\Cf$ est
$y=f'(1)(x-1)+f(1)=x+3$, et
l'�quation de la tangente � $\Cg$ est
$y=g'(1)(x-1)+g(1)=x+3$.
\enit
\ul{$Cf$ et $Cg$ ont donc une tangente commune en $B(1;4)$ qui a pour
�quation $y=x+3$. }
\vspq
\item[2.] \bgmp{11cm}
\paragraph{\ul{Etude de $f$}} $f$ est un trin�me du second degr�
donc d�fini et d�rivable sur $\R$, et
pour tout $x$ r�el, $f'(x)=2x-1$.
\vspd
$f$ �tant un polyn�me, ses limites en l'infini sont celles de son
terme de plus haut degr�:
$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}x^2=+\infty$,
et de m�me,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}x^2=+\infty$.
\enmp\hspace{0.2cm}
\bgmp[t]{5cm}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $\frac{1}{2}$ && $+\infty$ \\\hline
$f'(x)$ && $-$ & \zb & $+$ & \\\hline
&$+\infty$&&&&$+\infty$\\
$f$ && \Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$} &\\
&&&$\frac{15}{4}$&&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\hspace*{-0.8cm}
\bgmp{14cm}
\paragraph{\ul{Etude de $g$}} $g$ est une fonction rationnelle
d�finie et d�rivable sur $\R\setminus\la-1\ra$, et
pour tout
$x\in\R\setminus\la-1\ra$,
$\dsp g'(x)=\frac{4}{(x+1)^2}>0$
%\vspt
$\dsp\lim_{x\to-\infty}\frac{4}{x+1}=0$, et donc,
$\dsp\lim_{x\to-\infty}g(x)=6$,
et de m�me,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=6$,
%\vspd
$\dsp\lim_{x\to\mbox{-}1^-}\frac{4}{x+1}=-\infty$ et donc
$\dsp\lim_{x\to\mbox{-}1^-}g(x)=+\infty$,
et de m�me, $\dsp\lim_{x\to-1^+}g(x)=-\infty$,
\enmp
\bgmp[t]{5cm}\vspace{-1.5cm}%\hspace*{-0.6cm}
\begin{tabular}{|c|p{0.4cm}*3{p{0.3cm}}p{0.5cm}|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-1$ && $+\infty$ \\\hline
$g'(x)$ && $+$ & \db & $+$ & \\\hline
&&&\hspace{-0.6cm}$\scriptstyle +\infty$&&$6$\\
$g$ && \Large{$\nearrow$} &
\psline[linewidth=0.5pt](0,-0.5)(0,0.7)
\psline[linewidth=0.5pt](0.1,-0.5)(0.1,0.7)
& \Large{$\nearrow$} &\\
&$6$&&&\hspace{-0.5cm}$\scriptstyle -\infty$&\\\hline
\end{tabular}
\enmp
\bgmp{9cm}
On en d�duit que la droite d'�quation $y=6$ est asymptote � $\Cg$ en
$-\infty$ et $+\infty$, et que la droite d'�quation $x=-1$ est
asymptote � $\Cg$.
\enmp\hspace{1cm}
\bgmp{5cm}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(10,16)
\psline[linewidth=1pt]{->}(-5.2,0)(6,0)
\psline[linewidth=1pt]{->}(0,-5)(0,18)
\multido{\i=-5+1}{11}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.1)
%\put(\i,-0.4){$\i$}
}
\multido{\i=-4+4}{5}{
\psline(-0.1,\i)(0.1,\i)
%\put(-0.4,\i){$\i$}
}
\psplot[linewidth=1.pt]{-3}{4}{x x mul -1 x mul add 4 add}
\psplot[linewidth=1.pt]{-5}{-1.35}{6 -4 x 1 add div add}
\psplot[linewidth=1.pt]{-0.65}{5}{6 -4 x 1 add div add}
\put(2.1,2.8){$\Cf$}
\put(2.2,0.8){$\Cg$}
\psline(-1,-5.5)(-1,17.5)
\psline(-5,6)(5,6)
\psplot{-5}{5}{x 3 add} % la fameuse tangente commune
\put(2.8,2.1){$T$}
\psdot(-2,10)\put(-1.4,2.1){$A$}
\psdot(1,4)\put(0.6,.7){$B$}
\end{pspicture}
\enmp
\enit
\enex
\bgex
\bgit
\item[1.]. P: Montrons par r�currence que $P$ est vraie.
Pour tout entier $n>1$, la fonction $f:x\mapsto x^n$ est une fonction
polyn�me donc d�rivable sur $\R$.
\vspd
\ul{Initialisation:} pour $n=2$, $f(x)=x^2=x\tm x$\ \ a pour d�riv�e
$f'(x)=1\tm x+x\tm1=x+x=2x$,
soit aussi $f'(x)=2x^{2-1}$, donc $P$ est vraie pour $n=2$.
\ul{H�r�dit�:} Supposons que $P$ soit vraie pour un certain entier
$n$: $f(x)=x^n$, et $f'(x)=nx^{n-1}$.
Soit alors $g(x)=x^{n+1}$.
On a $g(x)=x\,x^n=x\,f(x)$, et donc, en d�rivant ce produit:
$g'(x)=1\,x^n+x\,f'(x)=x^n+nx\,x^{n-1}$, d'apr�s l'hypoth�se de
r�currence,
soit encore $g'(x)=x^n+nx^n=(n+1)n^n=(n+1)x^{(n+1)-1}$.
Donc $P$ est encore vraie au rang $n+1$.
\vspd\noindent
On en d�duit donc, d'apr�s le principe de r�currence, que la propri�t�
$P$ est vraie pour tout entier $n\geq2$.
\vspd
Q: La d�monstration par r�currence pr�c�dente peut �tre enti�rement
reprise. Une autre m�thode, plus rapide, consiste � utiliser la
d�riv�e de fonctions compos�es:
$f=u^n=v\circ u$, o� $v:x\mapsto x^n$, de d�riv�e $v'(x)=nx^{n-1}$
d'apr�s la propri�t� $P$ pr�c�dente.
\vsp
Alors, $f'=u'\tm v'\circ u=u'\tm nu^{n-1}=nu'u^{n-1}$, et donc la
propri�t� $Q$ est vraie.
\vsp
\item[2.\,a)] Pour tout $x$ de $]-\pi;0[$,
$\dsp
h'(x)=\cos'(x)g'(\cos(x))=-\sin(x)\frac{1}{\sqrt{1-\cos^2(x)}}
=\frac{-\sin(x)}{\sqrt{\sin^2(x)}}$.
Or, pour $x\in]-\pi;0[$, $\sin(x)<0$,
d'o�, $\sqrt{\sin^2(x)}=-\sin(x)$, d'o�,
\ul{pour tout $x\in]-\pi;0[$, $h'(x)=1$}.
\vspd
\item[b)]
D'apr�s ce qui pr�c�de, on en d�duit que $h(x)=x+c$, o� $c$ est un
nombre r�el quelconque.
De plus,
$\dsp h\lp-\frac{\pi}{2}\rp=g\lp\cos\lp-\frac{\pi}{2}\rp\rp
=g(0)=0$, et comme, d'apr�s l'expression pr�c�dente,
$\dsp h\lp-\frac{\pi}{2}\rp=-\frac{\pi}{2}+c=0$,
on en d�duit que $\dsp c=\frac{\pi}{2}$, et donc que,
\ul{pour tout $x\in]-\pi;0[$, $\dsp h(x)=x+\frac{\pi}{2}$}.
\enit
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at France m�tropolitaine, septembre 2007)}
\bgit
\item[1.\ a)] \
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-3,-1.9)(22,14)
\psline[linewidth=0.8pt](-2.2,0)(22.2,0)
\psline[linewidth=0.8pt](0,-1.5)(0,15.5)
\put(-0.5,-0.5){$O$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(9,0)\put(2.5,-0.5){\large$\vec{i}$}
\psline[linewidth=1.6pt]{->}(0,0)(0,9)\put(-0.5,1.3){\large$\vec{j}$}
%\multido{\i=-2+1}{23}{
% \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](-4,\i)(25,\i)
%}
%\multido{\i=-4+1}{30}{
% \psline[linewidth=0.2pt,linestyle=dashed](\i,-2)(\i,20)
%}
\psplot[linewidth=1.6pt]{-2}{21}{1 3 div x mul 23 27 div 9 mul add}
\put(10,3.8){$\dsp y=\frac{1}{3}x+\frac{23}{27}$}
\psplot[linewidth=1.6pt]{-1.5}{16}{x}\put(8,4.5){$y=x$}
\psdot(18,0)\put(9.1,0.1){$A$}\put(9,-0.3){$u_0$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](18,0)(18,13.67)
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](18,13.67)(0,13.67)
\put(-0.5,4.1){$u_1$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,13.67)(13.67,13.67)
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,13.67)(13.67,0)
\put(6.6,-0.3){$u_1$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](13.67,12.22)(0,12.22)
\put(-0.5,3.7){$u_2$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](12.22,12.22)(12.22,0)
\put(6,-0.3){$u_2$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](12.22,11.74)(0,11.74)
\put(-0.5,3.4){$u_3$}
\psline[linewidth=0.8pt,linestyle=dashed](11.74,11.74)(11.74,0)
\put(5.5,-0.3){$u_3$}
\end{pspicture}
\item[b)] Pour tout entier $n$,
$\dsp u_{n+1}=f(u_n)$, avec $\dsp f:x\mapsto\frac{1}{3}x+\frac{23}{27}$
qui est continue sur $\R$.
Ainsi, si $(u_n)$ converge vers $l\in\R$, d'apr�s le th�or�me du
point fixe,
$\dsp l=\frac{1}{3}l+\frac{23}{27}$,
soit $\dsp \frac{2}{3}l=\frac{23}{27}$, et donc,
\ul{$\dsp l=\frac{23}{18}$}.
\item[c)] On veut d�montrer par r�currence que pour tout entier $n$,
$\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$.
\ul{Initialisation.} $\dsp u_0=2\geq \frac{23}{18}$, donc la propri�t�
est vraie pour $n=0$.
\ul{H�r�dit�.} Supposons que pour un entier $n$,
$\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$.
Alors, $\dsp \frac{1}{3}u_n\geq \frac{1}{3}\tm\frac{23}{18}$, et
donc,
$\dsp \frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}\geq
\frac{1}{3}\tm\frac{23}{18}+\frac{23}{27}=\frac{23}{27}\tm\frac{3}{2}
=\frac{23}{18}$,
ainsi, $\dsp u_{n+1}\geq \frac{23}{18}$.
\vspd
La propri�t� est donc encore vraie au rang $n+1$.
On a donc montrer que, d'apr�s le principe de r�currence,
\ul{pour tout entier $n$, $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$}.
\vspd
\item[d)] Pour tout $n\in\N$,
$\dsp u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}u_n+\frac{23}{27}-u_n
=-\frac{2}{3}u_n+\frac{23}{27}$.
D'apr�s la question pr�c�dente, $\dsp u_n\geq \frac{23}{18}$,
et donc,
$\dsp -\frac{2}{3}u_n\leq -\frac{2}{3}\tm\frac{23}{18}
=-\frac{23}{27}$.
On en d�duit finalement que
$\dsp u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}u_n+\frac{23}{27}
\leq -\frac{23}{27}+\frac{23}{27} = 0$, et ainsi que
\ul{la suite $(u_n)$ est d�croissante}.
\vspd
Comme elle est de plus, d'apr�s la question pr�c�dente minor�e par
$\dsp \frac{23}{18}$, elle est donc convergente vers une limite
$l\in\R$, qui ne peut donc �tre que celle trouv�e au b):
\ul{la suite $(u_n)$ converge vers $\dsp l=\frac{23}{18}$}.
\vspd
\item[2.\ a)] Il s'agit de la somme des $n-1$ premiers termes
cons�cutifs d'une suite g�om�trique de raison $\dsp\frac{1}{10}$ et
de premier terme $\dsp\frac{1}{10^2}$, ainsi,
$\dsp \sum_{k=2}^{n+1}\frac{1}{10^k}=
\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\cdots+\frac{1}{10^{n+1}}
=\frac{1}{10^2}\frac{1-\frac{1}{10^{n}}}{1-\frac{1}{10}}
%=\frac{1}{10^2}\frac{1-\frac{1}{10^n}}{\frac{9}{10}}
=\frac{1}{90}\lp1-\frac{1}{10^n}\rp$.
\vsp
\item[b)] Pour tout entier $n$,
$v_n=1,277\cdots7=1,2+7.10^{-2}+7.10^{-3}+\cdots+7.10^{-(n+1)}$,
soit,
$\dsp v_n=1,2+7\lp
\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+\cdots+\frac{1}{10^{n+1}}\rp
=1,2+\frac{1}{90}\lp1-\frac{1}{10^n}\rp$,
d'apr�s a).
\vsp
De plus, $\dsp \lim_{n\to+\infty}\frac{1}{10^n}=0$, et donc,
$\dsp \lim_{n\to+\infty}(v_n)=1,2+\frac{1}{90}
=\frac{12}{90}+\frac{1}{90}=\frac{23}{18}$.
\ul{La limite de la suite $(v_n)$ est donc le nombre rationnel
$\dsp \frac{23}{18}$}.
\vsp
\item[3.] Pour tout entier $n$, $v_{n+1}-v_n=0,00\cdots7=7.10^{n+1}$,
donc la suite $v$ est croissante.
De plus la suite $u$ est d�croissante d'apr�s 1.d).
Les suites $u$ et $v$ ont la m�me limites
$\dsp \frac{23}{18}$, et donc
$\dsp \lim_{n\to+\infty}(u_n-v_n)=0$.
\ul{Les suites $u$ et $v$ sont donc adjacentes}.
\enit
\enex
\bgex {\it (Baccalaur�at La R�union, juin 2008, 5 points)}
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a)]
$\dsp u_1=\lp1+\frac{2}{1}\rp u_0+\frac{6}{1}=3\tm5+6=21$.
\item[b)]
Les premiers termes de la suite $(d_n)$ sont:
$d_0=16$, $d_1=24$, $d_2=32$, $d_3=40$, $d_4=48$, $d_5=56$.
A partir de ces premiers termes, on peut conjecturer que $(d_n)$
est une suite artithm�tique de raison $r=8$ et de premier terme
$d_0=16$.
\enit
\item[2.] La somme des $n$ premiers termes de la suite arithm�tique
$(v_n)$ est:
$\dsp v_0+v_1+v_2+\cdot+v_{n-1}=n\frac{v_0+v_{n-1}}{2}
=n\frac{16+16+(n-1)8}{2}=n\lp 16+(n-1)4\rp
=4n^2+12$.
\item[3.] \ul{Initialisation:} pour $n=0$, $u_0=5=4\tm0^2+12\tm0+5$,
donc la relation est vraie pour $n=0$.
\ul{H�r�dit�:} Supposons que pour un certain entier $n$,
$u_n=4n^2+12n+5$, alors,
$\dsp u_{n+1}=\lp1+\frac{2}{n+1}\rp u_n+\frac{6}{n+1}
=\lp1+\frac{2}{n+1}\rp \lp 4n^2+12n+5\rp +\frac{6}{n+1}
$, d'apr�s l'hypoth�se de r�currence, et donc,
$\dsp u_{n+1}=\frac{(n+3)(4n^2+12n+5)+6}{n+1}
=\frac{4n^3+24n^2+41n+21}{n+1}
$
\vspd
or, $4n^3+24n^2+41n+21=(n+1)(4n^2+20n+21)$,
d'o�, $u_{n+1}=4n^2+20n+21$.
De plus, $4(n+1)^2+12(n+1)+5=4n^2+20n+21$,
et donc, $u_{n+1}=4(n+1)^2+12(n+1)+5$, ce qui montre que
l'expression est encore vraie au rang $n+1$.
\vsp
On vient donc de montrer, d'apr�s le principe de r�currence que,
\ul{pour tout entier $n$, $u_n=4n^2+12n+5$}.
\vsp
\item[4.] Pour tout entier $n$,
$d_n=u_{n+1}-u_n=
\Big[4(n+1)^2+12(n+1)+5\Big]-\Big[4n^2+12n+5\Big]$,
soit $d_n=\Big[4n^2+20n+21\Big]-\Big[4n^2+12n+5\Big]
=8n+16$, qui est bien l'expression d'une suite arithm�tique de
raison 8 et de premier terme $d_0=16$.
\enit
\enex
\end{document}
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