Source Latex: Devoir corrigés de mathématiques en Terminale S


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Type: Devoir
File type: Latex, tex (source)
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Description
Devoir corrigé de mathématiques, Terminale S: calcul de limites, Suites (annale Bac métropole 2009), et étude de fonctions (sens de variation, limites, asymptotes)
Niveau
Terminale S
Mots clé
Devoir corrigé de mathématiques, maths, TS, terminale S, limites, asymptote, suites, étude de fonctions
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Source Latex sujet du devoir

\documentclass[12pt]{article}
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\hypersetup{
    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Devoir de mathématiques},
    pdftitle={Devoir de mathématiques: Suites},
    pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S,
    }
}
\hypersetup{
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    linkcolor = red,
    anchorcolor = red,
    citecolor = blue,
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\voffset=-1.cm
% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}

\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}

\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}

\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}                              % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}}                              % Doppel-N
\def\No{\N_0}                                               % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}                              % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt                                    % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}                                % Doppel Z

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\vphi{\varphi}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}

\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}

\nwc{\bgfg}{\begin{figure}}\nwc{\enfg}{\end{figure}}
  \nwc{\epsx}{\epsfxsize}\nwc{\epsy}{\epsfysize}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}


\nwc{\limcdt}[4]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}={#4}$
}
\nwc{\limgd}[3]{
  $\dsp
  \lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
  {#3}$
}
\nwc{\tq}{\ \mbox{\bf\Large /}\ }



\headheight=0cm
\textheight=26.8cm
\topmargin=-1.8cm
\footskip=0.cm
\textwidth=18cm
\oddsidemargin=-1cm

\setlength{\unitlength}{1cm}


\renewcommand\thesection{\Roman{section}\ \ -}
\renewcommand\thesubsection{\arabic{subsection})}

% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Devoir de mathématiques}
\author{Y. Morel}
\date{}

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\renewcommand{\footrulewidth}{0.pt}
\lhead{}\chead{}\rhead{}

%\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{}%\TITLE\ - $T^{\text{ale}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\hspace{2.5cm}\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}

\vspace*{-0.4cm}

%\hspace{2cm}
\hfill{\bf \Large{\TITLE}}\hfill{\bf\Large$T^{\text{ale}}S$}

\bgex
Déterminer les limites: 
$\dsp\lim_{x\to+\infty} \dfrac{-3x+7\sqrt{x}+2}{-3+x}$
\quad et\quad
$\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}$.

\enex

\bgex {\it (Baccalauréat France métropolitaine, juin 2009, 4 points)}

\vsp
{\it Les deux questions de cet exercice sont indépendantes.}

\vsp
\bgit
\item[1.] On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour
  tout entier naturel $n$: 
  $\dsp u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+4$

  On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$. 
  \vsp
  \bgit
  \item[a.] Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en
    fonction de $v_n$. 

    \vsp
    Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ? 

    \item[b.] Démontrer que pour tout entier naturel $n$: 
      $\dsp u_n=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n+6\ .$

    \item[c.] Etudier la convergence de la suite $(u_n)$. 
  \enit

  \vspd
  \item[2.] On considère la suite $(w_n)$ dont les termes vérifient,
    pour tout nombre entier $n\geq 1$: 
    \[ n w_n = (n+1)w_{n-1}+1 \ \mbox{ et } \ w_0=1\ .
    \]

    
    Le tableau suivant donne les premiers termes de cette suite: 
    \[\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline
      $w_0$ & $w_1$ & $w_2$ & $w_3$ & $w_4$ & $w_5$ & 
      $w_6$ & $w_7$ & $w_8$ & $w_9$ \\\hline
      $1$ & $3$ & $5$ & $7$ & $9$ & $11$ & $13$ & $15$ & $17$ & $19$ \\\hline
    \end{tabular}\]

    \bgit
    \item[a.] Détailler le calcul permettant d'obtenir $w_{10}$. 
      \vsp
    \item[b.] {\it Dans cette question toute trace de recherche, même
      incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en
      compte dans l'évaluation.}
      
      Donner la nature de la suite $(w_n)$. Calculer $w_{2009}$.
    \enit
\enit
\enex

\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R\setminus\la-2;0\ra$ par 
$f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+2x}$. 

On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative. 

\bgen
\item Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$. 
\item Déterminer les limites de $f$ en $-2$ et $0$. 
\item Interpréter graphiquement les résultats des deux questions
  précédentes. 
\item Calculer $f'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$. 
\item Tracer dans un repère les asymptotes de $\mathcal{C}_f$ et
  l'allure de $\mathcal{C}_f$. 
\enen
\enex


\end{document}


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