Source Latex
de la correction du devoir
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pdfauthor={Yoann Morel},
pdfsubject={Devoir de mathématiques},
pdftitle={Devoir de mathématiques: Suites},
pdfkeywords={Mathématiques, TS, terminale S,
suite, suites, fonction, fonctions
}
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% Raccourcis diverses:
\newcommand{\nwc}{\newcommand}
\nwc{\dsp}{\displaystyle}
\nwc{\ct}{\centerline}
\nwc{\bge}{\begin{equation}}\nwc{\ene}{\end{equation}}
\nwc{\bgar}{\begin{array}}\nwc{\enar}{\end{array}}
\nwc{\bgit}{\begin{itemize}}\nwc{\enit}{\end{itemize}}
\nwc{\bgen}{\begin{enumerate}}\nwc{\enen}{\end{enumerate}}
\nwc{\la}{\left\{}\nwc{\ra}{\right\}}
\nwc{\lp}{\left(}\nwc{\rp}{\right)}
\nwc{\lb}{\left[}\nwc{\rb}{\right]}
\nwc{\bgsk}{\bigskip}
\nwc{\vsp}{\vspace{0.1cm}}
\nwc{\vspd}{\vspace{0.2cm}}
\nwc{\vspt}{\vspace{0.3cm}}
\nwc{\vspq}{\vspace{0.4cm}}
\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}} % Doppel-N
\def\D{{\rm I\kern-.1567em D}} % Doppel-N
\def\No{\N_0} % Doppel-N unten 0
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}} % Doppel R
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt % Doppel C
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}} % Doppel Z
\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\vphi{\varphi}
\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}
\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}
\newcounter{nex}\setcounter{nex}{0}
\newenvironment{EX}{%
\stepcounter{nex}
\bgsk{\noindent\large {\bf Exercice }\arabic{nex}}\hspace{0.2cm}
}{}
\nwc{\bgex}{\begin{EX}}\nwc{\enex}{\end{EX}}
\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}
\nwc{\limcdt}[4]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}={#4}$
}
\nwc{\limgd}[3]{
$\dsp
\lim_{\bgar{ll}\scriptstyle{#1}\vspace{-0.2cm}\\\scriptstyle{#2}\enar}
{#3}$
}
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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Correction du devoir de mathématiques}
\author{Y. Morel}
\date{}
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\lhead{}\chead{}\rhead{}
%\lfoot{Y. Morel - \url{https://xymaths.fr}}
\rfoot{}%\TITLE\ - $T^{\text{ale}}S$ \ \ \thepage/\pageref{LastPage}}
\cfoot{}%\hspace{2.5cm}\TITLE\ - $1^{\mbox{\scriptsize{ère}}}S$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\vspace*{-0.4cm}
%\hspace{2cm}
\hfill{\bf \Large{\TITLE}}\hfill{\bf\Large$T^{\text{ale}}S$}
\bgex
$\dfrac{-3x+7\sqrt{x}+2}{-3+x}
=\dfrac{-3x\lp 1-\dfrac{7\sqrt{x}}{3x}-\dfrac{2}{3x}\rp}{x\lp1-\dfrac{3}{x}\rp}
=-3\dfrac{1-\dfrac{7}{3\sqrt{x}}-\dfrac{2}{3x}}{1-\dfrac{3}{x}}
$
avec,
$\dsp\lim_{x\to+\infty} 1-\dfrac{7}{3\sqrt{x}}
=\lim_{x\to+\infty} 1-\dfrac3x=1$,
d'où, par produit et quotient des limites,
$\dsp \lim_{x\to+\infty} \dfrac{-3x+7\sqrt{x}+2}{-3+x}=-3$
\vspd
$\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}
=\dfrac{2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}
$
avec
$\dsp\lim_{x\to+\infty} x^2+1=+\infty$
et $\dsp\lim_{X\to+\infty}\sqrt{X}=+\infty$
d'où, par composition des limites,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+1}=+\infty$.
De même,
$\dsp\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2-1}=+\infty$.
Par addition des limites, on a donc,
$\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}=+\infty$,
et donc,
$\dsp\lim_{x\to+\infty} \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}=0$.
\enex
\bgex {\it (Baccalauréat France métropolitaine, juin 2009, 4 points)}
\vsp
\bgit
\item[1.]
\bgit
\item[a.] Pour tout nombre entier naturel $n$,
$\dsp v_{n+1}=u_{n+1}-6=\frac{1}{3}u_{n+1}-2
=\frac{1}{3}\lp u_{n+1}-6\rp=\frac{1}{3}v_n$.
\vsp
On en déduit que \ul{$(v_n)$ est géométrique de raison
$\dsp q=\frac{1}{3}$} et de premier terme
$v_0=u_0-6=-5$.
\vsp
\item[b.] D'après la question précédente,
pour tout entier $n$,
$\dsp v_n=v_0q^n=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n$,
et donc que
\fbox{
pour tout entier n\ ,\
$\dsp u_n=v_n+6=-5\lp\frac{1}{3}\rp^n+6$.}
\vsp
\item[c.] Comme $\dsp 0<\frac{1}{3}<1$,
$\dsp\lim_{n\to+\infty} \lp\frac{1}{3}\rp^n=0$,
et donc, \fbox{$\dsp\lim_{n\to+\infty} (u_n)=6$}.
\enit
\vspd
\item[2.]
\bgit
\item[a.] Pour $n=10$,
$10 w_{10} = 11 w_{9}+1=11\tm 19+1=210$, d'où,
\ul{$w_{10}=21$}.
\vsp
\item[b.] D'après les valeurs de $w_n$ pour les premiers entiers,
on peut conjecturer que $w_n=2n+1$.
\vsp
\ul{Démonstration de la conjecture:}
Démonstration par récurrence.
\ul{Initialisation:} La relation est vraie pour tous les entiers
$n\leq 10$.
\ul{Hérédité:} Supposons que pour un certain entier $n$,
$w_n=2n+1$ (hypothèse de récurrence), alors,
$(n+1)w_{n+1}=(n+2)w_n+1=(n+2)(2n+1)+1$ d'après l'hypothèse de
récurrence.
On a donc, $(n+1)w_{n+1}=2n^2+5n+3=(n+1)(2n+3)$, soit donc
$w_{n+1}=2n+3=2(n+1)+1$.
Ainsi, l'expression est encore vraie au rang $n+1$.
\vspd
On a ainsi démontré d'après le principe de récurrence que,
\fbox{pour tout entier $n$, $w_n=2n+1$}.
\vsp
On en déduit que \ul{$w_{2009}=2\tm2009+1=4019$}.
\enit
\enit
\enex
\bgex
$f$ est la fonction définie sur $\R\setminus\la-2;0\ra$ par
$f(x)=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+2x}$.
\bgen
\item Pour tout $x\in\R\setminus\la-2;0\ra$,
$f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{x^2+2x}
=\dfrac{x^2\lp 1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}\rp}{x^2\lp1+\dfrac{2}{x}\rp}
=\dfrac{1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{2}{x}}
$.
On a
$\dsp\lim_{x\to-\infty} 1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}=1$
et
$\dsp\lim_{x\to-\infty} 1+\dfrac{2}{x}=1$,
et donc, par quotient des limites,
$\dsp\lim_{x\to-\infty} f(x)=1$.
De même, $\dsp\lim_{x\to+\infty} f(x)=1$.
\item \ul{Limite en $-2$:}\quad
$\dsp\lim_{x\to-2} (x+1)^2=1$.
Le dénominateur tend quant à lui vers $0$ ($x=-2$ est une valeur
interdite).
Il nous faut de plus déterminer le signe de celui-ci.
$x^2+2x=x(x+2)$ est un trinôme du second degré qui admet comme
racines $x=0$ et $x=-2$, et qui a donc pour signes
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $0$ && $+\infty$ \\\hline
$x^2+2x$ && $+$ &\zb& $-$ &\zb& $+$ & \\\hline
\end{tabular}\]
Ainsi,
$\dsp\lim_{\bgar{l}\scriptstyle x\to-2 \\[-.2cm] \scriptstyle x<-2\enar}x^2+2x=0^+$
(c'est-à-dire que $x^2+2x>0$),
puis, par quotient des limites,
$\dsp\lim_{\bgar{l}\scriptstyle x\to-2 \\[-.2cm] \scriptstyle x<-2\enar}f(x)=+\infty$
De même,
$\dsp\lim_{\bgar{l}\scriptstyle x\to-2 \\[-.2cm] \scriptstyle x>-2\enar}x^2+2x=0^-$
(c'est-à-dire que $x^2+2x<0$),
puis, par quotient des limites,
$\dsp\lim_{\bgar{l}\scriptstyle x\to-2 \\[-.2cm] \scriptstyle x>-2\enar}f(x)=-\infty$
\vspd
\ul{Limites en $0$:} \quad
$\dsp\lim_{x\to0} (x+1)^2=1$.
De même que précédemment, en utilisant le signe du dénominateur
$x^2+2x$,
on obtient:
$\dsp\lim_{\bgar{l}\scriptstyle x\to0 \\[-.2cm] \scriptstyle x<0\enar}f(x)=-\infty$
et
$\dsp\lim_{\bgar{l}\scriptstyle x\to0 \\[-.2cm] \scriptstyle x>0\enar}f(x)=+\infty$.
\item On en déduit que la droite d'équation $y=1$ est une asymptote
horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $-\infty$ et $+\infty$,
et que les droites d'équation $x=-2$ et $x=0$ sont des asymptotes
verticales à $\mathcal{C}_f$.
\item
$f'(x)=\dfrac{(2x+2)(x^2+2x)-(x^2+2x+1)(2x+2)}{(x^2+2x)^2}
=\dfrac{-2x-2}{(x^2+2x)^2}
=-2\dfrac{x+1}{(x^2+2x)^2}
$.
\[\begin{tabular}{|c|rcccccccl|}\hline
$x$ & $-\infty$ && $-2$ && $-1$ && $0$ && $+\infty$ \\\hline
$x+1$ && $-$ &$|$& $-$ &\zb& $+$ &$|$& $+$ &\\\hline
$x^2+2x$ && $+$ &\zb& $+$ &$|$& $+$ &\zb& $+$ &\\\hline
$f'(x)$ && $+$ &\db& $+$ &\zb& $-$ &\db& $-$ &\\\hline
&&&\rput(-0.4,0.1){$+\infty$}&&$0$&&\rput(0.4,0.1){$+\infty$}&&\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}
&\psline(0,-0.5)(0,0.8)\,\psline(0,-0.5)(0,0.8)
&\Large{$\nearrow$}
&&\Large{$\searrow$}
&\psline(0,-0.5)(0,0.8)\,\psline(0,-0.5)(0,0.8)
&\Large{$\searrow$}&\\
&1&&\rput(0.5,0.1){$-\infty$}&&&&\rput(-0.4,0.1){$-\infty$}&&1\\\hline
\end{tabular}
\]
\item
\bgmp[t]{7cm}
On peut alors tracer la courbe représentant $f$ en commençant
par ses asymptotes.
\vspd
On n'oublie pas non plus que $\mathcal{C}_f$ admet une tangente
horizontale en $x=-1$.
\enmp\hspace{0.3cm}
\bgmp{8cm}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=6pt}
\begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
\psline{->}(-5,0)(5.3,0)\rput(-0.2,-0.2){$O$}
\psline{->}(0,-4.8)(0,5.3)
\multido{\i=-4+1}{10}{
\psline(-0.1,\i)(0.,\i)}\rput(1.,-0.3){$1$}
\multido{\i=-4+1}{10}{
\psline(\i,-0.1)(\i,0.)}\rput(-0.1,0.8){$1$}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-5}{-2.12}{x 1 add 2 exp x x 2 add mul div}
\psplot[linewidth=1.2pt]{-1.9}{-.1}{x 1 add 2 exp x x 2 add mul div}
\psplot[linewidth=1.2pt]{.12}{5}{x 1 add 2 exp x x 2 add mul div}
\rput(0.8,2.){$\mathcal{C}_f$}
% Asymptotes
\psline(-2,-4.8)(-2,5)\rput(-2,-4.9){$x$=-$2$}\rput(0,-4.9){$x$=$0$}
\psline(-5,1)(5,1)\rput(-1,1.2){$y=1$}
\psline[linewidth=1.4pt]{<->}(-1.8,0)(-.2,0)
\end{pspicture}
\enmp
\enen
\enex
\end{document}
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